Langfristige Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht Konzepte Methoden - Beispiele Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik der TU Darmstadt, AG Didaktik www.math-learning.com www.prolehre.de
Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick
1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? Aktuelle Phänomene: In den Medien: In Mathe war ich immer schlecht
1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? Aktuelle Phänomene: In den Medien: In Mathe war ich immer schlecht Eltern: Er könnte das ja alles, Sie müssen ihn nur richtig motivieren! Schüler: Wozu brauche ich das denn? Kommt das in der Arbeit dran? Problem: Wertschätzung der Mathematik und von Mathematikkönnen in der Gesellschaft Parallelproblem: Wertschätzung und Akzeptanz von Anstrengung beim Lernen
1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? - Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und Anstrengung? Verantwortung übernehmen für das eigene Lernen? Schüler(in) in der Klassenarbeit: Das habe ich noch nie verstanden. Mache ich nicht. Nächste Aufgabe! - Aufbau der Mathematiklehrpläne nach der Fachlogik Effekte des MU? Der gesunde Menschenverstand bleibt auf der Strecke? In einem Zwinger leben Hasen und Fasanen. Man kann 24 Köpfe zählen und 60 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Art? - Die Sinnfrage für die Lerninhalte im MU stellen Zieltransparenz? Rätsel, eingekleidete Aufgaben mit unrealistischen Fragestellungen, Kapitänsaufgaben, FERMI-Aufgaben...
Pekrun, v.hofe (2006), Projekt PALMA
und die Realität der Schülerargumentation: Mathematik ist in den Dingen versteckt, Experten kümmern sich darum (Mathe muss man nicht können) Mathematik polarisiert: Macht viele mutlos und manche zu Außenseitern (Begabungsvorstellung) Mathematik hat aus Schülersicht durch viele konstruierte Aufgaben oft nur wenig mit der Lebenswelt zu tun, eigene Lösungswege passen nicht zu den Vorstellungen der Lehrer und gesunder Menschenverstand ist wenig gefragt (Mathe ist nichts für mich!) Die Bereitschaft sich anzustrengen hängt mit dem individuellen Lernerfolg zusammen
Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick
Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995
Mit Mathematik Aufmerksamkeit erringen für Mathematik begeistern Märchen: Der Froschkönig.und die Kugel war aus purem Gold.
Orientierung des Unterrichts an den Bildungsstandards was ist damit gemeint? Bauer Alfred benötigt einen neuen Fasswagen: Er hat in einer Internetauktion folgenden Fasswagen gefunden: In der Beschreibung steht: Robuster Fasswagen mit Selbsttränke auf 15 Zoll-Felgen. Aufgabe: Bauer Alfred möchte in erster Linie wissen, welches Volumen der Wagen fasst. Du kannst ihm sicher helfen! Schätze das Fassungsvermögen des Wagens ab. M.Frank, www.madaba.de
Gemeinsame Strategie dieser Abschätzaufgaben : - einen geeigneten Vergleichsmaßstab finden und in Verbindung mit einer berechenbaren Figur umsetzen Kompetenzen, die gefordert sind: Modellieren K3 Probleme lösen K2 (wenn völlig ungewohnt) Techniken K5 (je nach Mathematisierungsidee) Leitidee: Messen
Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.
Phasen mathematischen Modellierens als Rahmen schulischen Lernens von Mathematik Mathematisches Modell Mathematik Realität 3 2 4 Mathematische Ergebnisse 1 Strukturieren 2 Mathematisieren 3 Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Prüfen Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
- mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 Einbettung der Kompetenzen - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
Wo kann es individuell schwierig werden? Problemlösen! Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
- mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 Einbettung der Kompetenzen - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
- mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 Einbettung der Kompetenzen - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
- mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 Einbettung der Kompetenzen - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation
Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.
Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick
3. Schnittstellen bewusst machen: Mit der Mathebrille durch die Welt
Ziele des MU langfristiger Kompetenzaufbau - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt?
a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.
Einstufung der Aufgabe: a) L2 Messen, K3- Modellieren, Level II, K6- Kommunizieren, Level II b) Ohne genaue Maßangaben: L2 Messen, K2- Problemlösen, Level II, K3- Modellieren, Level II, K5- math. Technik, Level I
Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Wasserwechsel im Schwimmbad, Bau einer Autobahnabfahrt, Bester handy-tarif Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?
Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Reflexion: Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?
Reflexion und Hintergrund Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, - auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - Jedes Ziel umfasst: Intelligentes Wissen In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Handlungskompetenz Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Metakompetenz Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen
Ziele und Lehr-/Lernmethoden - welche Methode passt zu welchem Ziel? Weinert, F.E. (1999). Die fünf Irrtümer der Schulreformer. Welche Lehrer, welchen Unterricht braucht das Land? Psychologie heute, 26(7), 28-34
Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Problemlösen lernen Funktionen erkennen untersuchen variieren Algorithmus schätzen berechnen Informationen zeichnen wahrnehmen darstellen strukturieren Ein mathematisches Thema (z.b.: Zuordnungen) Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum
Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!) Schaffen es die Luftballons bis über den nahe gelegenen Berg? Erfüllt die Konfektschachtel die Kriterien einer Mogelpackung? Wie viel Liter Wasser passen in diesen Fasswagen?
Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick
4.Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Wichtig: Alle drei Erkenntnisebenen durchlaufen! Enaktiv (Muskelerinnerung, Körpererfahrung) Ikonisch (Visualisierungen beispielhaft) Symbolisch (Verallgemeinerung, Abstraktion)
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Wie berechnet man die Nullstellen einer Funktion? Paul: Was war das nochmal? Ich kann (will) mir das nicht alles merken, diese vielen Begriffe! Alternative: Woran merkst du dir, was eine Nullstelle einer Funktion bedeuten kann? - Das Warenlager ist leer gekauft. - Die Kerze ist herunter gebrannt. - Das Wasser einer Fontäne ist auf dem Boden angekommen usw. Metaphern im Lehr- und Lernprozess einsetzen und Vernetzungen fördern!
Systematisches Probieren Aufgabe: Kerzen Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36cm lang und brennt mit 3cm pro Stunde ab, Kerze B ist 10cm lang und brennt mit 1cm pro Stunde ab. Wann sind beide Kerzen gleich lang? Weitere Hilfsmittel und Strategien: Gleichung Invarianzprinzip Informative Figur Überprüfung des Ergebnisses mit der realen Situation Kerze B: y=10-1x Kerze A: y=36-3x Gleichsetzen!
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Misserfolgserlebnisse, Entmutigung fehlendes Kompetenzerleben Alternativen: Lernende zu Experten machen (Ichstärke fördern) Wer hat Recht? Finde den Fehler! Berate... bei deren Entscheidungen... (Tanken im Ausland? Welchen handy-tarif wählen? Planung einer Geburtstagsparty...) Kannst Du helfen (mit Mathematik)?
Schnittstellen bewusst machen: Mit der Mathebrille durch die Welt Vorstellungen schulen, experimentieren, vergewissern: Könnte man eine Korkkugel von 1 m³ tragen, wenn sie nicht so unhandlich wäre? Angenommen, man könnte um den Äquator der als ideale Kugel angenommenen Erde ein Seil legen und fest spannen. Würde eine Maus hindurch passen, wenn man das Seil dann um 1m verlängert und wieder gleichmäßig um die Erde spannt?
Fehler finden macht Lernende zu Experten! Fuhr vor einigen Jahren noch jeder 10. Autofahrer zu schnell, so ist es mittlerweile heute nur noch jeder Fünfte. Doch auch 5% sind zu viele, und so wird weiterhin kontrolliert, und die Schnellfahrer haben zu zahlen. Nordemeyer Badezeitung, zitiert nach Der Spiegel 41/1991, S.352 Schreibe einen Leserbrief!
Aufgaben lösen auf verschiedenen Abstraktionsstufen, Zulassen verschiedener Lösungswege The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? A 0 P B Ausprobieren mit Bierdeckel (I) P Mathematik Realität Mathematisches Modell 2 Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse A DGS (II) P 0 B A (III) math. Zusammenhänge finden 0 B
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Wann habe ich etwas (elementar) verstanden? Identifizieren und Realisieren Beispiel und Gegenbeispiel angeben können Ein Beispiel für ein Prisma angeben und eins, das kein Prisma ist. Welche Möglichkeiten kennst Du, um Zuordnungen darzustellen? Gib ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung an und nenne ein Beispiel, das keine proportionale Zuordnung ist. Welchen Vorteil kann eine mathematische Beschreibung von Zuordnungen haben?
4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Individualisierte Lernangebote: Flexibler Umgang mit Aufgaben - Wahlaufgaben - offene Aufgaben bzgl. Lösungsweg - offene Aufgaben anforderungsgestuft: Blütenaufgabe --offene Aufgabe bzgl. der Eingangsinformationen (Modellierungsaufgaben)
Familie Schmidt möchte auf ihrem Grundstück eine Terrasse anlegen. Sie soll die Form eines Rechtecks haben, kann aber auf Grund bestehender Anpflanzungen maximal 7 m lang und höchstens 5 m breit werden. a) Zur Vorbereitung der Pflasterung wird diese Fläche einen halben Meter tief ausgeschachtet. Wie viel Kubikmeter Erde fallen an? b) In dem Werbeprospekt eines Baumarktes findet Familie Schmidt ein Angebot für Terrassenplatten verschiedener Größe. Familie Schmidt möchte nur ganze Platten einer Größe verlegen. Was würdest du Familie Schmidt empfehlen? Begründe deine Entscheidung. 35 cm x 35 cm 2,50 pro Stück 40 cm x 40 cm 2,90 pro Stück
Aufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit: An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? c) Handelt es sich bei der Preistabelle um eine proportionale Zuordnung? Begründe. d) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. e) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Uni Kassel 2004
Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Überblick: Wichtig: Alle drei Erkenntnisebenen durchlaufen! Metaphern im Lehr- und Lernprozess einsetzen und Vernetzungen fördern! Lernende zu Experten machen (Ichstärke fördern) Vorstellungen schulen, experimentieren, vergewissern (Mathebrille aufsetzen) Aufgaben lösen auf verschiedenen Abstraktionsstufen, Zulassen verschiedener Lösungswege Wann habe ich etwas (elementar) verstanden? Identifizieren und Realisieren Beispiel und Gegenbeispiel angeben können
5. Ausblick Unterstützungsinstrumente für eine kompetenzorientierte Lehre: - Aufgabendatenbank www.madaba.de - www.amustud.de für Arbeitsprodukte der Studierenden
5. Ausblick www.prolehre.de Aktuelle Halbjahreskurse in der Fortbildung: - Basics - Problemlösen - Computergestützt Mathematik lehren und lernen - Modellieren Kontakt: bruder@mathematik.tu-darmstadt.de