FP2-Experiment K225 Protokoll Positronenlebensdauer in Metallen und Isolatoren Dimitri Pritzkau, Niels Räth 26. Februar 27 Universität Bonn
Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen 2 1.1 Positronenquelle.................................... 2 1.2 Elektron-Positron-Annihilation............................ 2 1.3 Positronium....................................... 3 1.4 Verwendete Geräte................................... 4 1.4.1 Szintillationsdetektor, Photomultiplier.................... 4 1.4.2 Einkanalanalysator (SCA)........................... 4 1.4.3 Koinzidenzeinheit................................ 5 1.4.4 Constant-Fraction-Diskriminator (CFD)................... 5 1.4.5 Zeit-Pulshöhen-Wandler (TAC)........................ 6 1.4.6 Vielkanalanalysator (MCA).......................... 6 2 Versuchsdurchführung und Auswertung 7 2.1 Aufnahme der Spektren................................ 7 2.2 Promptkurve und Zeiteichung............................. 8 2.3 Lebensdauermessung in Indium............................ 1 2.4 Lebensdauermessung in Plexiglas........................... 12 3 Fazit 14 3.1 Anmerkungen zum Versuchsaufbau.......................... 14 A Anhang 15 A.1 Lebensdauer Indium.................................. 15 A.2 Lebensdauer Plexiglas................................. 18 1
1 Theoretische Grundlagen 1.1 Positronenquelle Der β + -Strahler 22 Na wird in diesem Versuch als Positronenquelle verwendet. 22 Na zerfällt mit einer Wahrscheinlichkeit von, 9 in einen angeregten Zustand des 22 Ne Isotops und nach Aussenden eines γ-quants (1275 kev) in dessen Grundzustand (vgl. Abbildung 1). Die Lebensdauer des Angeregten Zustands (4 ps) ist im Vergleich zur der des Positrons (mehrere hundert Nanosekunden) sehr klein. Dadurch kann das γ-quant im späteren Versuchsverlauf als Startsignal für die Lebensdauermessung des Positrons verwendet werden. 22 Na 3 + t ½ = 2,6 a 9% β + 2 + t ½ = 3,63ps γ + 22 Ne Abbildung 1: Termschema Natrium 1.2 Elektron-Positron-Annihilation Die Annihilation beschreibt eine Paarvernichtung zweier Fermionen, genau genommen eines Teilchens mit seinem Antiteilchen. Dabei entstehen mindestens zwei Photonen. Für diesen Prozess muss die Spinerhaltung gelten. Da Photonen den Spin 1 tragen und ein Elektron bzw. Positron Spin 1 2 hat, können je nach Orientierung der Fermionenspins gerade oder ungerade Anzahl von Photonen entstehen. Wenn der Gesamtspin des Elektrons und des Positrons eins ist, d.h. parallel, dann wird eine ungerade Anzahl an Photonen ausgesendet, mindestens aber drei, da sonst die Impulserhaltung verletzt wäre. Für den Fall dass der Gesamtspin null ist wird eine gerade Anzahl an Photonen ausgesendet. Der wahrscheinlichste Fall ist der bei genau zwei ausgesendeten Photonen mit einer Energie von jeweils 511 kev und dieser wird in diesem Versuch gemessen. Der Fall für drei Photonen ist einen Faktor 37 unwahrscheinlicher. Die Wahrscheinlichkeit für die Terme höherer Photonenanzahl sind verschwindend klein und können vernachlässigt werden. Die Lebensdauer von Positronen hängt von der Elektronendichte ab. Um Effekte in Festkörpern und speziell in Metallen beschreiben zu können bedient man sich des sogenannten Haftstellenmodells. Dieses erklärt, dass Leerstellen im Gitter auf Positronen anziehend wirken und die Lebensdauer in diesen Bereichen erheblich erhöhen, da die Elektronendichte dort geringer ist. Die Gitterfehlstellenkonzentration kann mit folgender Formel beschrieben werden: c L = k(s) exp H t /k B T (1) 2
wobei k ein von der Entropie abhängiger Faktor und H t die zur Leerstellenherstellung benötigte Energie (Bildungsenthalpie) ist. Um die möglichen Prozesse, die Positronen durchlaufen könnten beschreiben zu können stellt man folgende Ratengleichungen auf: dn f = N λ f n f µ t c L n f + ξn t (2) dt dn t dt = λ tn t + µ t c L n f ξn t (3) dabei ist N die Anzahl der Positronen die in das Metall eindringen, λ f der Anteil derer, die im freien Zustand annihilieren, µ t der Anteil der in Gitterleerstellen gebunden wird und λ t der Anteil der im gebundenen Zustand annihiliert. Positronen die aus dem gebundenen Zustand wieder freikommen werden mit ξ berücksichtigt, was wir jedoch von hier an vernachlässigen werden, da wir annehmen, dass gebundene Positronen auch dort annihilieren. Im thermischen Gleichgewicht ist (2) und (3) gleich und daraus folgt für die mittlere Lebensdauer τ: τ = λ t + µ t k(s) exp H t /k B T λ t λ f + µ t λ t k(s) exp H t /k B T (4) Mittl. Lebensdauer τ 1/λ t 1/λ f Temperatur T Abbildung 2: Mittlere Lebensdauer Wie in Abbildung 2 ersichtlich ist, beschreibt die Lebensdauer eine S-Kurve mit den Asymptoten 1 λ t = τ t und 1 λ f = τ f. Für spätere Anwendung wird es sinnvoll erscheinen (4) folgendermaßen umzuformen: const H t 1 ( ) (1 k B T = ln τ/τf ) (5) ( τ τ t ) 1.3 Positronium In Isolatoren gibt es noch einen weiteren Prozess, der die Lebensdauer von Positronen beinflußt: Die Bildung von Positronium. Positronium ist ein System bei dem ein Elektron und ein Positron 3
Photon wasserstoffähnlich aneinander gebunden sind. Man unterscheidet zwischen Ortho-Positronium (Gesamtspin 1) und Para-Positronium (Gesamtspin ). Aus den oben dargelegten Gründen zerfällt Ortho-Positronium in mindestens 3 Photonen und besitzt damit eine längere Lebensdauer, 142 ns gegenüber 125 ps im Vakuum [Wiki]. Die Instabilität ergibt sich aus überlappender Aufenthaltswahrscheinlichkeit vom Elektron und Positron im Grundzustand, die Annihilation geschieht wie oben beschrieben. Da unsere Apparatur als Stopsignal 511 kev-quanten benutzt, werden wir nur die Lebensdauer des Parapositroniums messen können. 1.4 Verwendete Geräte Die Aufnahme der Lebensdauern geschieht mithilfe eines Fast-Slow-Koinzidenzkreises. Wir werden nun kurz auf die wichtigsten Bauteile desselben eingehen. 1.4.1 Szintillationsdetektor, Photomultiplier Zur Detektion der γ-quanten verwenden wir in diesem Versuch zwei BaF 2 -Szintillatoren. Das durch Abregung von Exitonen an Dotierungs-Atomen erzeugte Szinzillationslicht wird durch äußere Verspiegelung zum Photomultiplier geleitet. Dort wird es über eine Dynodenkaskade verstärkt. Der Photomultiplier besitzt zwei Ausgänge einen Fast- und einen Slow-Abgriff. Der Fast- Ausgang wird wegen seiner guten Zeitauflösung zur Zeitmessung verwendet, der Slow-Ausgang wegen seiner Energieproportionalität zur Energiebestimmung. Photokathode Dynode Elektronenstrom Anode... fast- Abgriff Spannungsteiler slow-abgriff Abbildung 3: Photomultiplier 1.4.2 Einkanalanalysator (SCA) Der Einkanalanalysator (engl.: Single Channel Analyzer) ist ein elektronischer Filter, der nur Signale in einem bestimmten Amplitudenbereich durchlässt. Es lässt sich eine untere Schwelle sowie ein Fenster einstellen. Liegt ein Puls im Durchlassbereich des SCA, wird am Ausgang eine logische Eins erzeugt (siehe Abb. 4) 4
Eingangssignal untere Schranke obere Schranke Ausgangssignal Abbildung 4: Single-Channel-Analyzer 1.4.3 Koinzidenzeinheit Die Koinzidenzeinheit besteht aus einem einfachen UND-Gatter. Er gibt genau dann eine logische Eins am Ausgang aus, wenn sich an beiden Eingängen logische Einsen zeitlich überlappen. 1.4.4 Constant-Fraction-Diskriminator (CFD) Ein Diskriminator wandelt ein analoges Signal in einen digitalen Puls um, sobald das Eingangssignal eine bestimmte Schwelle überschreitet. Der Nachteil eines gewöhnlichen Diskriminators liegt jedoch darin, dass der Zeitpunkt des Überschreitens der Schwelle von der Maximalhöhe der Amplitude abhängt. Bei einem Constant-Fraction-Diskriminator wird deswegen bei einem konstanten Bruchteil α U max der Maximalamplitude getriggert. Das Signal wird dafür geteilt, die eine Hälfte wird um α abgeschwächt und invertiert, während die andere Hälfte derart zeitverzögert wird, sodass der Wert α U max genau dann erreicht wird, wenn das abgeschwächte Signal sein Maximum α U max erreicht (siehe Abb. 5). Die beiden Signale werden summiert und es ergibt sich ein Signal mit einem Nulldurchgang zu einer von der Maximalamplitude unabhängigen Zeit. 5
U S Eingangssignal U V =,2 U S Invertiertes und verzögertes Signal Summe aus UV und US Ausgangssignal Abbildung 5: Constant-Fraction-Discriminator 1.4.5 Zeit-Pulshöhen-Wandler (TAC) Ein Zeit-Pulshöhen-Wandler (engl.: Time to Amplitude Converter) dient der Zeitmessung zwischen zwei Ereignissen. Dazu wird nach Eintreffen des Startsignals ein Kondensator linear geladen und beim Eintreffen des Stopsignals wird die Spannung, auf die der Kondensator aufgeladen ist an den Ausgang gegeben. Somit erhält man einen zur Zeit zwischen Start- und Stopsignal proportionalen Spannungspuls. Da die erwarteten Lebensdauern zu kurz sind, um direkt gemessen zu werden, wird vor den Stop-Eingang ein festes Delay von 24ns geschaltet und die Lebensdauer als relative Differenz bestimmt. 1.4.6 Vielkanalanalysator (MCA) Ein Vielkanalanalysator (engl.: Multi Channel Analyzer) dient dazu, eintreffende Signale nach Spannungshöhe zu sortieren und zu zählen. Theoretisch könnte man hierzu mehrere SCA s verwenden, deren Schwellen gestaffelt sind, was jedoch in der Regel zu aufwändig wäre. Stattdessen wird die Spannungshöhe durch einen Anlaog-Digital-Wandler in eine Binärzahl umgewandelt, die einem zugeordnet (bzw. gleichgesetzt) wird (im Versuch 124) und die Ereignisse pro werden dann gezählt. 6
2 Versuchsdurchführung und Auswertung 2.1 Aufnahme der Spektren Zunächst werden die γ Spektren der beiden Detektoren aufgenommen. Hierfür wurde der in Abb. 6 Aufbau verwendet, wobei die Fenster der SCA s voll geöffnet und die Schwelle nach ganz unten gesetzt wurde. Am Oszi überzeugten wir uns von der zeitlichen Überlappung der Signale. PM fast SCA Gate slow MCA Verstärker Delay Direct Abbildung 6: Aufbau zur Aufnahme der Energiespektren Wir erhielten folgende Spektren, die Messzeit betrug jeweils etwa 2 Sekunden. 12 1 8 511 kev 6 4 2 2 4 6 8 1275 kev Abbildung 7: Energiespektrum des linken Detektors 7
14 12 1 511 kev 8 6 4 2 1275 kev 2 4 6 8 Abbildung 8: Energiespektrum des rechten Detektors Man erkennt deutlich die geringere Effizienz der Detektoren für höhere Eneergien. Neben den beiden Photopekas für 511 und 1275 kev erkennt man ganz links den Rückstreupeak, sowie links vom 1275er Peak die Comptonkante und das sich links anschließende Compton-Kontinuum. Leider fiel uns erst bei der Auswertung der signifikante Stärkenunterschied bei den beiden 1275 kev Peaks auf, der auf einen schlechteren (linken) Detektor schließen lässt. Dies ist insbesondere deshalb signifikant, da wir ausgerechnet den linken Detektor für das Startsignal verwendeten. Vielleicht ist das auch ein weiterer Grund für die geringen Countraten bei der Lebensdauermessung, doch dazu später. 2.2 Promptkurve und Zeiteichung Um eine Zeiteichung der Apparatur durchzuführen wird die Gleichzeitigkeit der beiden 511 kev Quanten ausgenutzt. Die beiden SCA s werden deshalb jeweils auf den 511 kev Peak eingestellt. Die SCA s steuern dann über ein Koinzidenzmodul das Gate des MCA an und sorgen dafür, dass nur Signale vom TAC aufgenommen werden, wenn auch tatsächlich ein gleichzeitiges Ereignis vorliegt. Dafür wurde am Oszi die Überlappung der Ausgangssignale von Koinzidenzeinheit und TAC überprüft. Der komplette Aufbau ist in Grafik 9 dargestellt. Alle Fehler die im Laufe der Auswertung auftauchen sind entweder direkt Fehler des jeweiligen Fits oder nach Gaussscher Fehlerfortpflanzung daraus errechnet. 8
fast PM PM fast slow slow Verstärker Verstärker SCA SCA links Koinzidenz Einheit rechts Gate Start TAC Stop Delay Direct MCA Diskr. Delay Diskr. Abbildung 9: Aufbau zur Aufnahme der Promptkurve Um jetzt mehrere Promptkurven aufzunehmen wurde das feste Delay, das zwischen Start und Stop am TAC geschaltet ist, in Schritten von 4 ns vergrößert. Wir erhielten folgendes Spektrum, die Messzeit betrug jeweils etwa 2 Sekunden. 4 12 ns Gauss-Fits 3 4 ns 8 ns 16 ns 2 ns 24 ns 28 ns 32 ns 2 1 2 4 6 8 Abbildung 1: Promptkurven 9
Aus den Gauss-Fits erhielten wir folgende Daten für die Zentren und die Breiten und führten einen Geradenfit durch. t [ns] x c x c FWHM w w 4 89,447,283 43,,853 8 193,324,311 41,571 1,56 12 299,854,372 35,168 1,136 16 44,127,371 3,69 1,126 2 51,681,354 35,5 1,163 24 62,239,354 39,51 1,293 28 74,269,413 38,34 1,493 32 89,82,447 39,554 1,526 t [ns] 35 3 25 2 15 1 5 Geradenfit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Abbildung 11: Geradenfit Aus dem Geradenfit erhalten wir für den Zusammenhang zwischen Zeit und t [ns] = (, 398 ±, 2) K [] (6) Die Breite der Gauss-Kurven ist ein Maß für das Zeitauflösungsvermögen und wir errechnen durchschnittlich τ = (1, 5 ±, 5) ns 2.3 Lebensdauermessung in Indium Zur Messung der Lebensdauer wird nach wie vor der Aufbau aus Abb. 9 verwendet, jedoch als Startsignal das 1275 kev Photon. Da im Energiespektrum oberhalb des 511 kev Peaks nur noch Ereignisse registriert werden, die vom 1275 kev Photon herrühren, stellen wir die Schwelle des linken SCA s knapp oberhalb des 511 kev Peaks ein und öffnen das Fenster ganz. Der rechte SCA bleibt unverändert. Die Indiumprobe wird mittels eines Lötkolbens auf die gewünschte Temperatur erhitzt und das Lebensdauerspektrum aufgenommen. Da das 22 Na in der Indium-Probe aber bereits sehr schwach ist und nur Zählraten im Bereich von 2 Hz erzeugt, dauerte es jeweils etwa eine halbe Stunde, bis über 1 Ereignisse im Peak registriert waren. Zur Auswertung fitteten wir einen exponentiellen Abfall (y = A exp [(x x)/τ]) an die abfallende Flanke. Exemplarisch ist dies hier für das Lebensdauerspektrum bei 27 C dargestellt, der Rest findet sich im Anhang. Aufgrund der doch recht geringen Ereigniszahl hängt das Ergebnis des Fits empfindlich von der Wahl des Fitbereiches ab. 1
12 Exponentieller Fit 1 8 6 4 2 2 3 4 5 Abbildung 12: Lebensdauer Indium (27 C) Wir erhalten unter Verwendung von 6 folgende Zeitkonstanten τ und tragen den Zusammenhang gegen die Temperatur auf. τ t,44 T [ C] τ [ns] τ [ns] 27,328,3 46,348,4 56,35,3 66,363,4 77,377,4 87,397,4 97,427,7 17,415,5 τ [ns] τ f,42,4,38,36,34,32 S-Kurvenverlauf 2 4 6 8 1 12 T [ C] Abbildung 13: Gemessene Lebensdauern Indium Der S-Kurven-Verlauf in der Lebensdauerkurve ist recht gut zu erkennen. Aus dem Boltzmann- Fit in Abb. 13 erhalten wir τ f = (, 327 ±, 14) ns τ t = (, 435 ±, 27) ns 11
Um aus diesen Daten die Bildungsenthalpie zu erhalten, tragen wir den Zusammenhang zwischen der inversen Temperatur 1 T und der rechten Seite (ln( )) von (5) auf. Aus diesem linearen Zusammenhang lässt sich durch Geradenfit dann die Bildungsenthalpie H t bestimmen. T [K] 1/T [mk 1 ] ln ( ) ln ( ) 3,15,333-4,735 5,59 319,15,313 -,347,154 329,15,34 -,221,11 339,15,295,421,53 35,15,286,971,12 36,15,278 1,719,44 37,15,27 3,647,84 38,15,263 2,593,176 ln(...) 5 4 3 2 1-1 -2-3 -4-5 -6-7 2,6 2,7 2,8 2,9 3, 3,1 3,2 3,3 3,4 1/T [mk -1 ] Geradenfit Abbildung 14: Geradenfit Indium Der gewichtete Geradenfit liefert ( ) (1 τ/τf ) ln ( τ τ t ) Daraus folgt eine Bildungsenthalpie von 2.4 Lebensdauermessung in Plexiglas = (2, 382 ±, 765) (6789 ± 267) 1 T H t = m k B = (, 585 ±, 23) ev Die Messung der Lebensdauern in Plexiglas lief über Nacht um hinreichend viele Ergebnisse zu sammeln. Der Aufbau blieb gegenüber der Messung mit Indium unverändert. Da Plexiglas ein Isolator ist erwarten wir, wie im Theorieteil beschrieben, die Bildung von Positronium. Deshalb betrachten wir die Lebensdauerkurve in einem logarithmischen Diagramm und finden wie erwartet zwei lineare Bereiche. 12
e 9 e 8 e 7 e 6 e 5 12 1 8 6 4 2 8 6 1. Exp. Fit 2. Exp. Fit e 4 e 3 25 3 35 4 45 5 55 6 4 2 25 3 35 4 45 5 55 6 Abbildung 15: Logarithmische Darstellung Abbildung 16: Plexi-Lebensdauerkurve Wir fitten nun in der linearen Darstellung (Abb. 16) den Teil der abfallenden Flanke links von der rot gestrichelten Linie in Abb. 15 und den Teil rechts mit 2 einzelnen exponentiellen Fits nach dem Muster y = A exp [(x x)/τ] und erhalten mithilfe von (6) für die beiden Lebensdauern τ 1 = (, 451 ±, 7) ns τ 2 = (1, 836 ±, 21) ns Wir ordnen die kürzere Lebensdauer dem Zerfall von freien bzw. in Haftstellen gebundenen Positronen zu, die längere Lebensdauer entspricht dem Zerfall von Para-Positronium. Hierbei fällt auf, dass die Lebensdauer des Positroniums im Festkörper mehr als 1 mal so lang ist wie die des freien Positroniums. Wir vermuten die Ursache hierfür unter Anderem in der möglichen Anregung des Positroniums durch Stöße. Da nur der Grundzustand des Positroniums zerstrahlen kann, verlängert sich dadurch die Lebensdauer. 13
3 Fazit Auf die verarbeitende Elektronik sind wir nur kurz eingegangen, da wir diese bereits aus Versuch K125 kennen. Beim Vergleich der Messergebnisse mit anderen Gruppen lagen unsere Werte im selben Bereich, Literaturwerte waren leider nicht zu finden. Die erhaltene Bildungsenthalpie für Indium liegt im Bereich der für andere Metalle. Was die S-förmige Lebensdauer Kurve angeht, so ist diese verglichen mit anderen Protokollen sogar noch ziemlich gut ausgefallen. Die Fehler hier werden hauptsächlich in der zu geringen Ereigniszahl liegen, aber auch die Temperaturstabilität von ±1 C leistet ihren Beitrag. 3.1 Anmerkungen zum Versuchsaufbau Die Lebensdauerspektren beim Indium weisen im linken Teil scheinbar eine Faltung von zwei Gauss-Funktionen auf, eventuell ist der Grund elektronischer Natur. Dieselben Artefakte finden sich auch bei anderen Gruppen, aber je nach Verzögerung an unterschiedlichen Stellen. Desweiteren ist die Indium-Probe für eine verlässliche Messung in annehmbarer Zeit viel zu schwach, weshalb die Fits auch sehr unzuverlässig ausfielen. Eine neue Probe ist dringend von Nöten. Wie oben schonmal erwähnt lieferte der linke Detektor bei Aufnahme des Spektrums im höherenergetischen Bereich geringere Zählraten als der rechte. 14
A Anhang A.1 Lebensdauer Indium 12 1 Exponentieller Fit 8 6 4 2 2 3 4 5 Abbildung 17: Lebensdauer Indium (46 C) 12 Exponentieller Fit 1 8 6 4 2 2 3 4 5 Abbildung 18: Lebensdauer Indium (56 C) 15
12 1 Exponentieller Fit 8 6 4 2 2 3 4 5 Abbildung 19: Lebensdauer Indium (66 C) 12 Exponentieller Fit 1 8 6 4 2 2 3 4 5 Kannal Abbildung 2: Lebensdauer Indium (77 C) 16
12 1 Exponentieller Fit 8 6 4 2 2 3 4 5 Abbildung 21: Lebensdauer Indium (87 C) 12 Exponentieller Fit 1 8 6 4 2 2 3 4 5 Abbildung 22: Lebensdauer Indium (97 C) 17
12 1 Exponentieller Fit 8 6 4 2 2 3 4 5 A.2 Lebensdauer Plexiglas Abbildung 23: Lebensdauer Indium (17 C) 12 1 8 6 4 2 2 3 4 5 6 Abbildung 24: Lebensdauer Plexiglas 18
Literatur [Skript] Versuchsbeschreibung zum Versuch K225 [Zusatzskript] Ergänzende Informationen zum Versuch K225 ( Das Haftstellenmodell ) [Wiki] http://de.wikipedia.org/wiki/positronium [ToRI] http://ie.lbl.gov/toi/nuclide.asp?iza=1122 19