Landesinstitut für Schule Abteilung Qualitätssicherung und Innovationsförderung Freie Hansestadt Bremen Mathematik Dem Zufall auf der Spur Handreichung zum Rahmenplan Grundschule Jahrgangsstufe 3/4
2 Handreichung Mathematik 3/4 Herausgegeben vom Landesinstitut für Schule Am Weidedamm 20, 28215 Bremen 2007 Abteilung Qualitätssicherung und Innovation: Koordinatorin Primarstufe: Erarbeitet von: Beratung: Beate Vogel Evamaria Meevissen Karin Behring Prof. Dr. Susanne Prediger
Handreichung Mathematik 3/4 3 Einleitung Der Rahmenlehrplan für den Mathematikunterricht in der Grundschule weist als neuen Bereich auch das Themenfeld Daten und Zufall aus, in dem Kinder schon im Grundschulalter Erfahrungen im Bereich der Statistik, der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung sammeln. Folgende Standards sind im Rahmenlehrplan als Leistungsanforderung in diesem Themenbereich für Ende Klasse 4 formuliert: Schülerinnen und Schüler Statistik erfassen Daten aus Sachtexten und Sachsituationen und stellen sie in unterschiedlicher Weise dar, entnehmen aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen und interpretieren diese, Kombinatorik lösen einfache kombinatorische Aufgaben, Wahrscheinlichkeitsrechnung vergleichen Wahrscheinlichkeiten von zufälligen Ergebnissen und verwenden die Begriffe sicher, möglich und unmöglich. Während für die beschreibende Statistik (d.h. das Erheben, Darstellen und Interpretieren von Daten, Tabellen und Diagrammen) und die Kombinatorik (als Lehre des geschickten Zählens) bereits viele gute Unterrichtsvorschläge vorliegen und das Thema auch in den Schulbüchern meist angemessenen abgedeckt ist, wurde die Wahrscheinlichkeitsrechnung in den letzten Jahren sowohl in Schulbüchern als auch in der Schulpraxis wenig thematisiert. Mit dieser Handreichung soll daher eine Orientierung gegeben werden, wie das Thema in der 3. und 4. Klasse behandelt werden kann. Gerade das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung kann ein von Arithmetik und Geometrie geprägtes Mathematikbild ergänzen um ein Bild von Mathematik, in dem die Worte richtig und falsch ihre ausschließliche Bewertungskraft verlieren (Rahmenlehrplan, S. 21/22). Statt dessen spricht man nur von sicher, möglich oder unmöglich. Denn mit dem Wahrscheinlichkeitskonzept steht zwar einerseits ein mächtiges Werkzeug zur Verfügung, um für zufällige Prozesse Prognosen auf lange Sicht zu machen, andererseits ist das einzelne zufällige Ereignis nicht vorhersagbar. So weiß man z. B. bei einem Münzwurf nie, ob die Münze auf Kopf oder Zahl fällt, bei tausend Versuchen ist dennoch eine Regelmäßigkeit erkennbar, denn es wird ungefähr 500mal Kopf erscheinen. Kinder sollten ihre Erfahrungen mit dieser Diskrepanz beginnen zu reflektieren. Aufgrund des Lebensweltbezuges und über die experimentelle Tätigkeit sowie deren intuitive Deutungen erleben sie, dass es Erscheinungen mit mehreren möglichen Ergebnissen gibt. Sie erfassen, dass deren Eintreten vom Zufall abhängt und nur im Sinne von Wahrscheinlichkeitsaussagen vorhersehbar ist. (Rahmenlehrplan, S. 21/22). Obwohl die Wahrscheinlichkeitsrechnung weit über Spiele hinaus von lebensweltlicher Bedeutung ist, werden in der Grundschule mit gutem Recht Betrachtungen zur Wahrscheinlichkeit zumeist an die Durchführung von Spielen gebunden. In diesem Zusammenhang gewinnen Schülerinnen und Schüler auch Erfahrungen mit einfachen Zufallsexperimenten. Dabei lernen sie
4 Handreichung Mathematik 3/4 Charakteristika einzelner Zufallsgeräte kennen und sicher damit umzugehen. Die experimentell gewonnenen Ergebnisse werden zusammengetragen, als Datenbasis veranschaulicht und gedeutet. Die Schülerinnen und Schüler reflektieren Spielverläufe unter verschiedenen Aspekten. In den Jahrgangsstufen 3 und 4 beginnen Überlegungen darüber, ob alle Spieler die gleichen Chancen haben, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, beim Spiel zu gewinnen oder zu verlieren und wie man seine Gewinnchancen verbessern kann. Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Wahrscheinlichkeit als ein Maß dafür, wie sicher mit dem Eintreten eines Ereignisses gerechnet werden kann. Sie gehen auf einer naiven Ebene mit Begriffen wie Chance, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit oder Gewinnmöglichkeit um, ohne dafür mathematische Definitionen zu erfahren. Zu diesem inhaltlichen Verständnis gelangen die Schülerinnen und Schülern nicht nur über spielerische Tätigkeiten, sondern auch über die Beschreibung von Alltagssituationen. (Rahmenlehrplan, S. 21/22) Konkret werden folgende Anforderungen und Inhalte zur Wahrscheinlichkeitsrechnung im Rahmenplan aufgeführt und in den Materialien berücksichtigt: Anforderungen Klasse 1/2 in Vorgängen der eigenen Erfahrungswelt zufällige Ereignisse finden den Ereignissen Begriffe zuordnen Klasse 3/4 Einfache Zufallsexperimente planen, durchführen und dokumentieren Versuchsreihen nutzen, um die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen einzuschätzen Anordnungen nutzen, um die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen einzuschätzen Inhalte Verständnis von Wahrscheinlichkeit: ist möglich (aber nicht sicher), ist sicher, ist unmöglich Zufallsexperimente genauso wahrscheinlich wie, die Chance ist größer als, in 2 von 8 Fällen, kommt häufiger vor als Die Arbeitsblätter dieser Handreichung für die Klassen 3 und 4 können als Unterrichtseinheit eingesetzt werden. Für einen spiralförmigen Aufbau eines Curriculums ist jedoch die Verteilung über die beiden Schuljahre hinweg noch besser geeignet. Die Arbeitsblätter oder Aufgaben mit dem Zusatz E sind Zusatzmaterialien auf dem erweiterten Niveau, gedacht zur selbstständigen Bearbeitung für besonders leistungsstarke Kinder innerhalb der Klasse oder für eine gemeinsame Bearbeitung in besonders leistungsstarken Klassen. Darüber hinaus sind viele der in den vorgeschlagenen Materialien aufgeführten Fragestellungen selbstdifferenzierend.
Handreichung Mathematik 3/4 5 Die für diese Unterrichtseinheit relevanten Kompetenzen des Rahmenlehrplans Grundschule Mathematik (Brandenburg, Berlin, Bremen, Mecklenburg-Vorpommern 2004/05) werden in der folgenden Tabelle dargestellt. In der ersten Spalte werden alle für die Unterrichtseinheit relevanten Kompetenzen des Rahmenplans aufgeführt. Diese sind unterteilt in allgemeine mathematische und stochastische Fähigkeiten, d.h. fachspezifische Kompetenzen für den Bereich Daten und Zufall. In der zweiten Spalte wird anhand der ersten zwei Arbeitsblätter exemplarisch verdeutlicht, wie die Aufgabenbeispiele die Kompetenzen konkretisieren. In der rechten Spalte werden die konkretisierten Fähigkeiten und Kompetenzen in Beziehung gesetzt zu den drei Anforderungsbereichen (AB) der KMK-Bildungsstandards Mathematik für den Primarbereich. Sie sind wie folgt definiert: Anforderungsbereich "Reproduzieren" (AB I): Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und das Ausführen von Routinetätigkeiten. Anforderungsbereich "Zusammenhänge herstellen" (AB II): Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen. Anforderungsbereich "Verallgemeinern und Reflektieren" (AB III): Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern. Allgemeine mathematische Fähigkeiten Konkretisierung: Arbeitsblatt 1 AB Schülerinnen und Schüler beschreiben Sachverhalte unter Verwendung der Fachsprache erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese können aus Sachtexten und anderen Darstellungen die relevanten Informationen entnehmen und mit anderen darüber kommunizieren stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen in der Lebenswirklichkeit nutzen geeignete heuristische Methoden zum Lösen von Problemen schätzen die Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und -schülern beim Lösen von Aufgaben ein (müssen noch keine Fachsprache verwenden, denn erste Annäherungen an das Thema werden bewusst nur allgemeinsprachlich formuliert) beschreiben bereits gewonnene Erfahrungen mit dem Zufallsgerät Würfel und in Spielsituationen, in denen der Zufall eine Rolle spielt lesen Texte gemeinsam und erschließen die Inhalte vergleichen eigene Vorstellungen mit den Erfahrungen anderer Kinder [kommt hier nicht vor] [kommt hier nicht vor] schätzen (Fehl)-Vorstellungen zur Vorhersagbarkeit und Beeinflussbarkeit von Ereignissen ein und kommentieren sie II/III I III III
6 Handreichung Mathematik 3/4 beschaffen sich zielgerichtet Informationen mit Hilfe von verschiedensten Medien und bereiten dies auf [kommt hier noch nicht vor] Stochastische Kompetenzen verwenden die Begriffe sicher, möglich und unmöglich vergleichen Wahrscheinlichkeiten von zufälligen Ergebnissen planen einfache Zufallsexperimente, führen sie durch und dokumentieren sie nutzen Versuchsreihen, um die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen einzuschätzen nutzen Anordnungen, um die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen einzuschätzen verwenden intuitiv die Begriffe sicher/nicht sicher, um Erklärungen wie Pech oder Glück zu widerlegen diskutieren, ob alle Würfelfälle dieselbe Chance haben [kommt hier noch nicht vor] [kommt hier noch nicht vor] [kommt hier noch nicht vor] II/III II Allgemeine mathematische Fähigkeiten Konkretisierung: Arbeitsblatt 2.1 und 2.2 AB beschreiben Sachverhalte unter Verwendung der Fachsprache erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese können aus Sachtexten und anderen Darstellungen die relevanten Informationen entnehmen und mit anderen darüber kommunizieren stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen in der Schülerinnen und Schüler verwenden Begriffe wie besonders häufig, weniger häufig oder gleichmäßig häufig, Zufall, zufällig, mit großer Wahrscheinlichkeit, Gewinnchance, Vermutung, mathematische Versuchsreihe, Versuchsergebnisse, Diagramm, Tabelle, theoretisch, kommunizieren damit ihre Ideen und trainieren so diese Ausdrücke überprüfen ihre Vermutungen mithilfe der Ergebnisse aus einer Versuchsreihe entnehmen und deuten mit Lehrerhilfe Informationen über die Ergebnisse eines mathematischen Versuchs aus einer (sehr großen) Tabelle entnehmen Informationen über die Ergebnisse eines mathematischen Versuchs aus einem Diagramm und setzen sie zu den Ergebnissen in der Tabelle in Beziehung vergleichen ihre Vermutungen mit den Ergebnissen ihrer mathematischen Versuchsreihen und suchen Begründungen für Übereinstimmungen bzw. Abweichungen führen einen mathematischen Versuch mit Würfeln durch, notieren Ergebnisse in einer Tabelle, deuten sie und setzen II II/III I II III II/III
Handreichung Mathematik 3/4 7 Lebenswirklichkeit nutzen geeignete heuristische Methoden zum Lösen von Problemen schätzen die Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und -schülern beim Lösen von Aufgaben ein beschaffen sich zielgerichtet Informationen mit Hilfe von verschiedensten Medien und bereiten dies auf Stochastische Kompetenzen verwenden die Begriffe sicher, möglich und unmöglich vergleichen Wahrscheinlichkeiten von zufälligen Ergebnissen planen einfache Zufallsexperimente, führen sie durch und dokumentieren sie nutzen Versuchsreihen, um die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen einzuschätzen nutzen Anordnungen, um die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen einzuschätzen Ergebnisse zur Ausgangsfrage und zu ihren Vermutungen in Beziehung [kommt hier nicht vor] [kommt hier nicht vor] [starke Anregung dazu geht von Arbeitsblatt 4 aus ] [kommt hier noch nicht vor, wird erst bei Arbeitsblatt 6 thematisiert] vergleichen aus einem Experiment gewonnene Wahrscheinlichkeiten (Strichlisten) mit eigenen Schätzungen planen und führen Zufallsexperimente mit Lehrerhilfe durch und dokumentieren sie erfahren Gleichwahrscheinlichkeit der Würfelergebnisse durch Experiment erfassen und begründen Aussagen zur Gleichwahrscheinlichkeit der einzelnen Augenzahlen über die geometrische Eigenschaften des Würfels (Symmetrie, Seiten gleich groß,...) III II I II III
8 Handreichung Mathematik 3/4 Aufgaben
Handreichung Mathematik 3/4 9 Erfahrungen beim Spielen mit Würfeln AB 1 Florian, Mia und Jasmin spielen das Spiel Mensch-Ärgere-Dich-Nicht. Sie machen unterschiedliche Erfahrungen mit dem Würfeln. Seht mal, ich kann gut Sechsen würfeln. Ich bekomme bestimmt noch mehr! Dann gewinne ich. Florian hat schon achtmal eine Sechs gewürfelt. Die 1 bekommt man ganz schlecht. Da muss man viel länger darauf warten als auf die 3, 4 oder 5. Jasmin braucht dringend eine 1. Jetzt warte ich schon so lange auf eine 6! Heute ist einfach mein Pechtag. Immer bekomme ich nur Fünfen, weil ich fünf Jahre alt bin! Mia wartet schon siebenmal vergeblich auf (1) Lest die Sprechblasen mit verteilten Rollen vor. (2) Wie sind deine Erfahrungen beim Würfeln? Sprecht miteinander darüber. (3) Schreibe nun deine Meinung zu jedem Kind auf. (3a) Was meinst du zu Florian? Ist es wirklich sehr wahrscheinlich, dass er weiterhin viele Sechsen bekommt? (3b) Was meinst du zu Mia? Ist es sicher, dass sie das nächste Mal endlich eine Sechs bekommt? (3c) Was meinst du zu Jasmin? Bekommt man eine 1 schlechter als eine 3, 4 oder 5? (4a) Wie ist das bei dir, wenn du eine Sechs brauchst? (4b) Wie sind deine Erfahrungen zum Würfeln der Eins? (5) Lies der Klasse vor, was du geschrieben hast. Vergleicht und diskutiert miteinander. (6) Und eure Lehrerin, was glaubt sie, besser würfeln zu können? Einser oder Sechser?
10 Handreichung Mathematik 3/4 Hinweise zu Arbeitsblatt 1: Erfahrungen beim Spielen mit Würfeln (reflektieren) Lehrerhinweise Ausgangspunkt für das Themenfeld Zufall und Wahrscheinlichkeit ist die Lebenswelt der Kinder. Im Grundschulalter haben alle Kinder bereits Erfahrungen gesammelt mit dem Zufallsgerät Würfel und mit der Spielsituation, eine 1 oder eine 6 würfeln zu müssen (wie z. B. im Menschärgere-dich-nicht-Spiel). Die Lehrkraft kann den Einstieg in das Thema erleichtern, indem sie für die Kinder die sprachlich dargestellte Situation des Arbeitsblattes 1 lebendig werden lässt (z. B. Lehrkraft bringt ein Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel mit, und die Kinder beschreiben die Spielregeln; die Kinder spielen die Situation im Rollenspiel nach). Anschließend werden die zugehörigen Arbeitsaufträge 2-6 des Arbeitsblattes im Klassengespräch bearbeitet. Um den Kindern die Bearbeitung des Arbeitsblattes zu erleichtern, kann ab Aufgabe 3a) der Arbeitsauftrag auch gleich bei jeder Teilaufgabe durchgeführt werden, also aufschreiben, vorlesen, vergleichen und diskutieren. Dabei kommen wichtige Vorstellungen und auch mitgebrachte Fehlvorstellungen zur Sprache. Nicht alles wird in dieser Eröffnungssituation endgültig geklärt, es sensibilisiert aber für die weiteren Bausteine. Organisation / Material Mensch-Ärgere-Dich-Nicht-Spiel oder ein ähnliches Würfelspiel oder nur ein Würfel; eventuell kleine Zettel; Arbeitsblatt 1. Mögliche Variation (an Stelle des Arbeitsblattes 1): Explizierung der Vorstellungen in der Klasse durch Kartenabfrage: Die Lehrkraft gibt jedem Kind einen kleinen Zettel (etwa von der Größe eines Notizzettels). Dazu sagt sie: Nina und A- lex spielen Mensch-Ärger-Dich-Nicht. Nina braucht dringend eine 1, Alex braucht unbedingt eine 6. Was meinst Du? Wer bekommt schneller die gewünschte Zahl, also welche Zahl geht leichter zu würfeln? Schreibe deine Antwort auf diesen Zettel und begründe sie. Die Antworten der Kinder werden anschließend an der Pinnwand/ Tafel gesammelt und zwar sortiert nach 1 geht leichter zu würfeln 6 geht leichter zu würfeln andere Antworten Zunächst können die Antworten in den 3 Spalten quantitativ verglichen werden, gefolgt von einer ersten inhaltlichen Auseinandersetzung, in der z. B. die Kinder (oder die Lehrkraft) die Antworten Spaltenweise vorlesen und dabei Ergänzungen oder Kommentare abgeben. Es geht hier allein um die Erfahrungen und Sichtweise der Kinder. Die Lehrkraft sollte sich mit Kommentaren zurückhalten. Weiterführung Bei Aufgabe 8 des Arbeitsblattes 2.2 wird noch einmal Bezug genommen zur Ausgangssituation des Arbeitsblattes 1 (Rollenspiel). Diese Arbeitsblätter 1 bis 2.2 sollten im möglichst nahen Zusammenhang unterrichtet werden.
Handreichung Mathematik 3/4 11 Schülerlösungen aus einer Bremer Klasse 4 3a) vielleicht weil man weiß nie was geschied. 3b) Ja wenn sie Glück hat dan kann eine 1 kommen schon. 3c) vieleicht es gibt ja noch eine 2, 3, 4,5 oder 6 4a) manchmal bekomme ich die sechs hintereinander 4b) vieleicht wenn ich Glück habe dan kommt sie. 3a) Ja er bekommt ja viele sechsen. 3b) Möglich aber nicht sicher sie kann auch eine 1, 4 und eine 5 bekommen. 3c) Kan sein sie kann auch eine 6, 5 und eine f würfen Die 1 ist ja bei mir ganz schwer. 4a) wenn ich eine 6 brauche bekomme (ich) eine1, 2 oder... 4b) Bei mir ist die 1 ganz schwer zu würfeln.
12 Handreichung Mathematik 3/4 Zufall und Wahrscheinlichkeit AB 2.1 Vermutungen anstellen und Versuchsreihe mit Würfel durchführen 1) Wir untersuchen mit einem mathematischen Versuch: Wie oft kommt jede Augenzahl, wenn wir sechzig Mal würfeln? (1a) Bevor ihr mit der Versuchsreihe beginnt, schreibt jeder für sich in Tabelle 1 seine Vermutung auf: Wie viel Mal wird wohl die Augenzahl 1 gewürfelt werden, wie viel Mal die Augenzahl 2, wie viel Mal die Augenzahl 3 usw. Denkt daran, dass es zusammen 60 sein müssen, weil ihr 60 Mal würfeln sollt. (1b) Hat jeder seine Vermutungen aufgeschrieben? Dann prüft nun eure Vermutungen mit einer Versuchsreihe: Ein Kind würfelt, ein anderes Kind notiert nach jedem Würfeln in der Tabelle 2 bei der gewürfelten Augenzahl einen Strich. Tabelle 2 für den mathematischen Versuch Augen- Zahl 1 2 3 4 5 6 Versuchsergebnisse Strichliste Zusammen Anzahl Tabelle 1 für die Vermutung Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Zusammen Wie viel Mal? 60 x (2) Vergleiche die Versuchsergebnisse mit deinen Vermutungen. Was stimmt überein? Was nicht? Woran kann das liegen? (3) Sprecht auch über eure Vermutungen und eure Ergebnisse in der Klasse.
Handreichung Mathematik 3/4 13 Zufall und Wahrscheinlichkeit AB 2.2 Eine ganz große Versuchsreihe zum Würfeln mit einem Würfel durchführen Die Kinder der Grundschule am Rosengarten wollten das mit Glück und Pech und Zufall beim Würfeln ganz genau untersuchen und wissen. Sie haben alle ihre Würfelergebnisse zusammengefasst und dann in eine Riesentabelle für die ganze Schule eingetragen. Und das sieht so aus: Versuchsergebnisse des Würfelns mit einem Würfel der Grundschule am Rosengarten Augenzahl Klasse 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c alle zusammen 1 114 93 108 106 101 93 117 97 102 179 208 200 1518 2 110 101 102 98 75 102 88 90 85 226 207 212 1496 3 84 101 117 78 110 109 115 125 89 209 243 179 1559 4 91 106 82 108 106 103 92 99 106 174 178 209 1454 5 97 96 84 100 106 88 86 101 110 193 178 214 1453 6 104 103 107 110 102 105 102 88 108 219 186 186 1520 600 600 600 600 600 600 600 600 600 1200 1200 1200 9000 (4) Schaut euch die Schultabelle genau 1800 an: Was kann man hier ablesen? 1600 Sprecht darüber, wie oft die Augenzahl 1, die Augenzahl 2, die Augen- 1400 1200 zahl 3 usw. gewürfelt worden ist. 1000 (5) Betrachtet auch das Diagramm: 800 Was kann man hier ablesen? (6) Überlegt dann: Gibt es eine Augenzahl, die besonders günstig oder be- 400 600 sonders ungünstig zu würfeln ist? 200 (7) Jasmin sagt plötzlich erstaunt: 0 Hey, ich weiß zwar nicht, was beim nächsten Würfeln für eine Augenzahl Augenzahl kommt, aber auf lange Sicht, also wenn ganz, ganz oft gewürfelt wird, ist der Zufall ja doch nicht so zufällig. Was meint sie wohl damit? (8) Macht ein kleines Rollenspiel. Lest noch einmal mit verteilten Rollen vor, was Florian, Mia und Jasmin zum Würfeln von Augenzahlen sagen (siehe AB 1). Antwortet dann jeweils den Kindern. Häufigkeit 1 2 3 4 5 6
14 Handreichung Mathematik 3/4 Hinweise zu Arbeitsblatt 2.1 und 2.2. Vermutungen anstellen und eine mathematische Versuchsreihe mit einem Würfel durchführen Lehrerhinweise Es empfiehlt sich, die Kinder das gesamte Arbeitsblatt 2.1 zuerst still lesen zu lassen, damit sie den Zusammenhang von Vermutungen und mathematischem Versuch herstellen können. Es sollte sicher gestellt sein, dass jedes Kind die Begriffe Augenzahl und Vermutung versteht, z.b. indem die Kinder die Durchführung des Versuchs mit ihren Worten schildern. Nachdem jedes Kind weiß, wie man eine Strichliste anfertigen kann, kann jeder die Aufgabe 1a) schriftlich bearbeiten. Bevor die Kinder dann selbstständig Aufgabe 1b) durchführen, wird noch einmal die Problemstellung formuliert, nämlich Wie oft kommt jede Augenzahl, wenn 60 Mal gewürfelt wird? Aufgrund der Komplexität der Aufgabe bietet sich die gemeinsame Erarbeitung im Klassengespräch an (Aufgaben 2-7). Mit Aufgabe 8 soll der Zusammenhang zwischen bisherigen Erfahrungen beim Würfeln mit Vermutungen über den Zufall (Glück, Pech) beim Würfeln und Erkenntnissen aus der großen Versuchsreihe mit 9000 Mal Würfeln hergestellt und noch einmal verdeutlicht werden: Der Zufall ist auf lange Sicht doch nicht so zufällig. Statt der vorgegebenen Ergebnisse aus der Versuchsreihe der Grundschule am Rosengarten (Arbeitsblatt 2.2), kann man auch in der eigenen Schule in allen Klassen diese mathematische Versuchsreihe mit einem Würfel von den Kindern der jeweiligen Klassen durchführen, alle Ergebnisse von den Kindern einer bestimmten Klasse sammeln und sie in einer Riesentabelle darstellen und berechnen lassen. Die Kinder (z.b. einer anderen Klasse) können dann dazu ein Diagramm anfertigen. Tabelle und Diagramm werden dann an einer geeigneten Stelle in der Schule ausgehängt. Die Vorteile bei diesem Vorgehen sind, dass die Kinder sich mit dem Versuchsergebnisse mehr identifizieren und auch die ganze Schule eingebunden wird. Allerdings ist damit ein größerer Zeitaufwand verbunden und es bedarf eines größeren Durchhaltevermögens bei den Kindern. Voraussetzung für eine erfolgreiche Durchführung ist auch eine gewisse Rechenfertigkeit der Kinder. Auf höherem Niveau kann die Arbeit auf den Arbeitsblättern 2.3 E bis 2.7 E fortgesetzt werden. Sie schließen inhaltlich an, vertiefen jedoch die theoretische Betrachtung von Wahrscheinlichkeiten. Dies kann auch in zeitlichem Abstand geschehen, z.b. erst in Klasse 4. Organisation/ Material je einen Würfel für 2 Kinder; Arbeitsblatt 2.1; Arbeitsblatt 2.2; eventuell Riesentabelle als Tafelanschrift und Diagramm als Plakat vorbereiten oder beides als Folie für den Tageslichtschreiber anfertigen.
Handreichung Mathematik 3/4 15 Mögliche Antworten / Lösungen Zu Aufgabe 1a: Tabelle 1 Wie viel Mal? Augenzahl eine mögliche Vermutung: noch eine Vermutung: 1 5 10 2 7 10 3 10 10 4 15 10 5 16 10 6 7 10 Zusammen 60 60 Viele Schülerinnen und Schüler vermuten gewöhnlich, dass die Augenzahlen 1, 2 und 6 weniger häufig fallen als die Augenzahlen 3, 4, 5 (siehe Beispiel Tabelle 1 mittlere Spalte). Der mathematischen Theorie entspricht jedoch die Vermutung, dass die Augenzahlen 1 bis 6 eher gleichmäßig häufig fallen, wenn auch vermutlich nicht exakt 10 Mal jeweils (siehe Beispiel Tabelle 1 rechte Spalte). Zu Aufgabe 1b, 2, 3, 4: In Tabelle 2 kann sich z. B. folgende Verteilung ergeben: Tabelle 2 für den mathematischen Versuch Augen- Zahl Versuchsergebnisse Strichliste Anzahl 1 9 2 11 3 7 4 10 5 8 6 13 58 Es kommt in der Praxis durchaus vor, dass die Kinder nicht genau 60 Würfelversuche durchführen. Aufgrund der geringen Anzahl der Würfe wird sich eine gleichmäßige Verteilung auf alle Augenzahlen (wie in der Theorie) wohl kaum ergeben. Erst bei einer sehr großen Anzahl von Würfen (siehe Riesentabelle und Tabelle der Grundschule am Rosengarten) lässt sich deutlicher erkennen, dass alle Augenzahlen etwa gleichmäßig häufig fallen (Aufgabe 4). An dieser Stelle geht es erst einmal darum, den Kindern beispielhaft einen mathematischen Versuch erfahrbar zu machen, sie zu Überprüfung ihrer vorher angestellten Vermutungen anzuregen, Begründungen zu überlegen und miteinander darüber zu kommunizieren. Zu Aufgabe 5: Das Diagramm zeigt sehr anschaulich, dass die Augenzahlen annähernd gleichmäßig häufig fallen.
16 Handreichung Mathematik 3/4 Zu Aufgabe 6: Nein, denn Schultabelle und das Diagramm zeigen eine annähernd gleichmäßige Verteilung. Zu Aufgabe 7: Mögliche Antwort: Wenn ganz häufig gewürfelt wird, kann man damit rechnen, dass die Sechs etwa genauso häufig kommt wie die Fünf oder eine andere Augenzahl. Dennoch kann man niemals genau wissen, welche Augenzahl als nächstes fällt. Es kann also zufällig passieren, dass ich ganz häufig hintereinander eine Sechs würfele oder dass ich ganz lange keine Sechs würfele. Zu Aufgabe 8: Florian: Seht mal, ich kann gut Sechsen würfeln. Ich bekomme bestimmt noch mehr! Dann gewinne ich. Mögliche Antwort: Florian, du hast jetzt schon so häufig eine Sechs bekommen. Da auf lange Sicht alle Augenzahlen gleichmäßig häufig kommen, müsste eigentlich bald eine andere Augenzahl fallen. Mia: Jetzt warte ich schon so lange auf eine 6! Heute ist einfach mein Pechtag. Immer nur bekomme ich Fünfen, weil ich fünf Jahre alt bin! Mögliche Antwort: Dass du fünf Jahre alt bist, hat nichts mit dem Würfeln zu tun. Du hast heute wirklich Pech, denn eigentlich kommen auf lange Sicht alle Augenzahlen gleichmäßig häufig vor und so müsstest du bald eine andere Zahl würfeln. Jasmin: Die 1 bekommt man ganz schlecht. Da muss man viel länger darauf warten als auf die 3, 4 oder 5. Mögliche Antwort: Nein, denn eigentlich kommt auf lange Sicht die 1 genauso häufig wie die 3, 4 oder 5.
Handreichung Mathematik 3/4 17 Zufall und Wahrscheinlichkeit Vermutungen über zwei Würfel anstellen und überprüfen AB 2.3 E Die Kinder der Klasse 3a haben dieses Spiel gespielt: Jeder hat eine Zahl 1 bis 12 gewählt und aufgeschrieben. Dann wurden jedes Mal mit zwei Würfel geworfen und die Augensumme ermittelt, indem die Augenzahlen addiert wurden. Gewinner war, wessen Zahl als Augensumme am häufigsten erschien. 1) Probiert das Spiel einmal kurz gemeinsam aus, damit ihr versteht, wie es geht. Spielregeln nun verstanden? 2) Bevor ihr das Spiel gleich um die Wette spielt, ist es wichtig, dass du die richtige Augensummenzahl wählst. Die beiden Vermutungen sollen dir bei der Wahl helfen. Überlege genau und kreuze dann eine der beiden Vermutungen an. Vermutung 1: Alle Augensummen 1 bis 12 erhalte ich beim Würfeln gleichmäßig häufig, also ist es egal, welche Augensummenzahl 1 bis 12 ich wähle und aufschreibe. Vermutung 2: Manche Augensummen erhalte ich beim Würfeln besonders häufig. Es sind die Augensummen.. Also schreibe ich eine von diesen Augensummen auf. 3) Vergleicht eure Vermutungen. Wer hat wohl Recht? Tauscht eure Ideen dazu aus. 4) Wie könnt ihr herausbekommen, wer wirklich Recht hat? Spielt das Spiel und stellt dabei Untersuchungen an, um herauszubekommen, welche Vermutung richtig ist. Die Tabelle 1 auf der nächsten Seite wird euch bei der Untersuchung der Vermutungen helfen.
18 Handreichung Mathematik 3/4 Zufall und Wahrscheinlichkeit Vermutungen über zwei Würfel anstellen und überprüfen AB 2.4 E 5) Würfelt etwa 100 Mal, addiert die Augenzahlen zur Augensumme und macht zum Erfassen der Häufigkeit eine Strichliste in Tabelle 1. Tabelle 1 Augensumme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Strichliste für Anzahl der Würfe Wie viel Mal? 11 6) Vergleiche das Ergebnis des mathematischen Versuches nun 12 mit deiner Vermutung. 7) Gibt es noch andere Kindergruppen/ Paare in der Klasse, die diesen mathematischen Versuch durchgeführt haben? Wenn ja, vergleicht eure Versuchsergebnisse miteinander. Das könnt ihr mündlich tun oder eure Ergebnisse in einer großen Tabelle (z. B. an der Tafel) zusammenfassen und sichtbar machen. (Einen Vorschlag für eine Riesentabelle findet ihr auf dem Arbeitsblatt 2.5 E) 8) Was kannst du auf Grund der Versuchsergebnisse über die Chancen beim Würfeln mit 2 Würfeln erzählen? a) Gibt es Augensummen, die auffällig häufiger kommen? Wenn ja, welche Augensummen sind das? b) Gibt es Augensummen, die dagegen selten vorkommen? Wenn ja, welche Augensummen sind das? 9) Schaut euch dazu auch die Versuchsergebnisse der Grundschule am Rosengarten an (Tabelle und Diagramm auf Arbeitsblatt 2.6 E) und sprecht darüber. Was sagen diese Tabelle und das zugehöriger Diagramm über die Chancen beim Werfen mit zwei Würfeln aus? 10) Über die Gründe für diese Ergebnisse könnt ihr auf Arbeitsblatt 2.7 E etwas erfahren.
Handreichung Mathematik 3/4 19 Zufall und Wahrscheinlichkeit Vermutungen über zwei Würfel anstellen und überprüfen AB 2.5 E Hier ist ein Vorschlag für eine Riesentabelle: Ihr könnt diese Tabelle z. B. an die Tafel schreiben. Augensummen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Kind/Gruppe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 alle zusammen
20 Handreichung Mathematik 3/4 Zufall und Wahrscheinlichkeit Vermutungen über zwei Würfel anstellen und überprüfen AB 2.6 E Die Kinder der Grundschule am Rosengarten haben 9000 Mal mit zwei Würfeln gewürfelt. Anschließend hat jede Klasse ihre Versuchsergebnisse zusammengefasst und dann in eine Riesentabelle für die ganze Schule eingetragen. Und das sieht so aus: Augensummen Versuchsergebnisse des Würfelns mit zwei Würfeln der Grundschule am Rosengarten Klasse 1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c alle zusammen 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 19 22 20 21 13 18 17 15 26 31 36 33 271 3 45 30 37 34 33 33 42 31 42 61 56 56 500 4 55 39 41 59 55 47 56 63 45 92 90 106 748 5 73 66 62 64 69 55 60 64 71 134 126 137 981 6 79 79 80 98 69 70 96 83 92 149 163 166 1224 7 105 107 95 101 100 126 87 88 93 208 225 190 1525 8 75 83 83 83 78 83 71 85 89 160 161 165 1216 9 61 81 66 58 83 66 70 62 48 161 137 139 1032 10 38 50 57 34 45 51 46 55 46 99 106 116 743 11 30 26 41 30 41 34 40 40 36 66 73 56 513 12 20 17 18 18 14 17 15 14 12 39 27 36 247 600 600 600 600 600 600 600 600 600 1200 1200 1200 9000 So sieht das Diagramm zu dieser Tabelle aus. Erkennst du, welche Augensumme besonders günstig ist und welche Augensummen eher ungünstig sind? 1800 1600 1400 Häufigkeit 1200 1000 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Augensumme
Handreichungen Mathematik 3/4 21 Zufall und Wahrscheinlichkeit AB 2.7 E Vermutungen über zwei Würfel anstellen und theoretisch überprüfen 11) Wenn man gründlich und systematisch nachdenkt, kann man auch rein theoretisch (das bedeutet ohne Ausprobieren) Gründe für diese Würfelergebnisse erkennen und bemerkt auch, dass die Würfelergebnisse kein Zufall sind. Und so kannst du das theoretisch überlegen: a) Schreibe in Tabelle 2 einmal auf, wie jede Augensumme entstehen kann. Ein Beispiel ist in der Tabelle 2 schon aufgeschrieben: Für die Augensumme 5 geht 1+4, 2+3, 3+2, 4+1. Es gibt also 4 Möglichkeiten, die Augensumme 5 zu erwürfeln. Schreibe genau so zu den anderen Augensummen 1 bis 12 alle Möglichkeiten auf, die es gibt, sie zu erwürfeln. b) Vergleiche die theoretischen Ergebnisse in der Tabelle mit den Versuchsergebnissen deiner Mitschüler. 12) Nun kannst du begründen: a) Bei welchen Augensummen hast du größere Chancen, sie zu würfeln? Warum ist das so? b) Bei welchen Augensummen hast du geringe Chancen? Warum? c) Bei welcher Augensumme hast du keine Chance? Warum? Tabelle 2 1 2 3 4 Möglichkeiten Augensumme Gesamtzahl 5 1+4, 2+3, 3+2, 4+1 4 6 7 8 9 10 11 12
22 Handreichung Mathematik 3/4 Hinweise zu Arbeitsblatt 2.3 E 2.7 E Würfelversuche mit zwei Würfeln Leistungserwartungen Die Schülerinnen und Schüler - sammeln weitere Erfahrungen mit Zufallsversuchen, mit der Benutzung von Strichlisten und Häufigkeitstabellen, - stellen Vermutungen (Hypothesen) über die Verteilung der Augensummen beim Werfen mit zwei Würfeln an und kommunizieren diese, - führen eine mathematische Versuchsreihe durch und notieren die Ergebnisse in einer Tabelle, - vergleichen ihre Vermutungen zunächst mit ihren Ergebnissen aus der Versuchsreihe, - überprüfen ihre Vermutungen (Hypothesen) und ihre Versuchsergebnisse zusätzlich mit einer Häufigkeitstabelle (Riesentabelle mit den Ergebnissen der Klasse, Tabelle und Diagramm mit den Versuchsergebnissen der Grundschule am Rosengarten), - erfassen durch systematisches Nachdenken die theoretische Verteilung der Augensummen in einer Tabelle und leiten daraus Begründungen für die Verteilung der Augensummen im Versuch ab. Lehrerhinweise Diese Sequenz der Unterrichtseinheit für das erweiterte Niveau ist in zweierlei Weise einsetzbar, a) entweder zur Differenzierung für leistungsstarke Kinder in selbstständiger Bearbeitung oder b) als Erweiterung und Vertiefung des Themas Zufall für die gesamte Klasse. Zu a) Die Kinder arbeiten selbstständig in Partnerarbeit. Nach Möglichkeit sollten sie im Anschluss Gelegenheit bekommen, das Spiel, ihre Erfahrungen und Ergebnisse der Klasse vorzustellen. Alternativ ist auch denkbar, dass alle die Kinder, die sich selbstständig mit dieser Unterrichtseinheit befasst haben, gemeinsam im Gesprächskreis über ihre Erfahrungen und Ergebnisse der Lehrkraft berichten. Alternativ können die Kinder die Fragen der Aufgabe 12 des Arbeitsblattes 2.7 E schriftlich in ihr Heft beantworten, damit es die Lehrkraft würdigen kann. Zu b) Für diese Sequenz der Unterrichtseinheit 2.3 E bis 2.7 E brauchen die Kinder einiges Durchhaltevermögen, denn sie sollte möglichst im Zusammenhang bearbeitet werden. Aus diesem Grunde ist sie für Klasse 4 zu empfehlen. Die Lehrkraft sollte sicherstellen, dass der Begriff Augensumme und Vermutung von den Kindern verstanden wird. Zunächst spielen zwei Kinder das Würfelspiel kurz vor, um die Spielregeln und das Spielziel zu verdeutlichen. Aufgabe 2 kann in der Folge von den Kindern schriftlich beantwortet werden. Anschließend lesen einige Kinder ihre Vermutung vor und versuchen sie zu begründen (Aufgabe 3). Es ist anzunehmen, dass die Kinder die nun folgende Versuchsreihe (Aufgabe 5) und das Vergleichen ihrer Ergebnisse mit ihren Vermutungen (Aufgabe 6) selbstständig durchführen
Handreichungen Mathematik 3/4 23 können, da das Vorgehen ihnen von den vorausgehenden Arbeitsblättern 2.1 und 2.2 bereits bekannt ist. Die Aufgaben 7 bis 11 sollten gemeinsam bearbeitet werden. Dagegen kann Aufgabe 11a/ 11b selbstständig, eventuell in Partnerarbeit, gelöst werden. Aufgabe 12 sollte dann wieder im gemeinsamen Gespräch bearbeitet werden. Bei einer großen Zahl von Versuchen müssten sich die Striche in der Tabelle 1 wie in einer Glockenkurve verteilten. Dass dies kein Zufall ist, zeigt die folgende Darstellung der Möglichkeiten: Für die Augensumme 7 gibt es sechs Möglichkeiten der Realisierung, für 2 und 12 jeweils nur eine, nämlich 1+1 beziehungsweise 6+6, für die Augensumme 1 natürlich gar keine. Man darf allerdings nicht erwarten, dass die Häufigkeiten bei 100 Versuchen den theoretischen Verteilungen schon exakt entsprechen würden, denn die wirklich gewürfelten Häufigkeiten schwanken um die Wahrscheinlichkeiten. Für die Kinder kommt es auch nur darauf an, die Häufung in der Mitte und die Abnahme nach den Seiten hin festzustellen und dann durch eher qualitative Überlegungen zu begründen. (Bildquelle: Fuchs, Walter R. (1966): Knaurs Buch der modernen Mathematik, Knaur, München, S. 194) Organisation/ Material Arbeitsblatt 2.3 E bis 2.7 E; für je zwei Kinder zwei Würfel.
24 Handreichung Mathematik 3/4 Mögliche Antworten / Lösungen Zu Aufgabe 2: Vermutung 1: Alle Augensummen 1 bis 12 erhalte ich beim Würfeln gleichmäßig häufig, also ist es egal, welche Augensummenzahl 1 bis 12 ich wähle und aufschreibe. Es könnte sein, dass die Kinder Vermutung 1 ankreuzen, weil sie unreflektiert an die Erfahrungen mit dem Werfen von einem Würfel denken (siehe AB 2.1 bis AB2.2). Vorrangig geht es hier darum, ihnen das Schema mathematischer Sachverhalt - Vermutungen dazu - Überprüfung der Vermutung nahe zu bringen. Vermutung 2: Manche Augensummen erhalte ich beim Würfeln besonders häufig. Es sind die Augensummen 6, 7 und 8. Also schreibe ich eine von diesen Augensummen auf. Eine tragfähige Vorstellung haben die Kinder bereits entwickelt, wenn sie die Vermutung 2 ankreuzen und auch noch angeben können, dass die Augensummen 6, 7 und 8 voraussichtlich häufiger fallen werden als die Augensummen 2 oder 12. Zu Aufgabe 3: Es geht bei Aufgaben 3 hauptsächlich darum, dass die Kinder ihre Vermutungen und Ideen kommunizieren und sich im Ausdrücken von mathematischen Sachverhalten trainieren. Die Frage Wer hat Recht? soll die Kinder zusätzlich dazu anregen, Gründe zu benennen. Die Begründung für die Vermutung 2 könnte lauten: Die Augensumme 7 kann ich erhalten mit den Würfen 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1; es gibt also 6 Möglichkeiten für die 7. Die Augensummen 12 kann ich dagegen nur mit 6+6 erwürfeln. Das ist nur eine Möglichkeit. Also wird die Augensumme 7 häufiger vorkommen als die Augensumme 12. (siehe Bild o- ben). Für die Augensummen 6 und 8 beziehungsweise für die Augensumme 2 gelten entsprechende Begründungen. Zu Aufgabe 5, 6, 7: Aufgrund der geringen Anzahl der Würfe wird sich eine Idealverteilung wohl kaum ergeben. Doch eine Tendenz zu Gunsten der Augensummen 6, 7, 8 und zu Ungunsten der Augensummen 2 und 12 wird erkennbar werden. Die Kinder werden auch erkennen können, dass die Augensumme 1 gar nicht erwürfelbar ist. Von besonderer Bedeutung ist hier wieder, dass die Kinder einen mathematischen Versuch durchführen (und hier vielleicht schon selbstständiger in Partnerarbeit), die Ergebnisse mit ihren Vermutungen vergleichen und miteinander darüber kommunizieren. Zu Aufgabe 8: a) Es gibt Augensummen, die auffällig häufiger kommen. Die Augensumme 7 kommt am häufigsten vor, die Augensummen 6 und 8 kommen auch sehr häufig vor. b) Die Augensummen 2 und 12 kommen dagegen deutlich seltener vor. Die Augensumme 1 kann man mit zwei Würfeln gar nicht würfeln. Zu Aufgabe 9: Bei einer sehr großen Anzahl von Würfen wie die Riesentabelle und Tabelle der Grundschule am Rosengarten sie zeigt, lässt sich deutlich erkennen, dass die Augensumme 7 am häufigsten
Handreichungen Mathematik 3/4 25 fällt und die Augensummen 6 beziehungsweise 8 auch sehr häufig erwürfelt werden, während die Augensummen 2 und 12 deutlich weniger vorkommen. Das Diagramm zeigt besonders deutlich, wie die Chancen beim Würfeln der Augensummen 1 bis 12 verteilt sind, welche Augensummen besonders ungünstig sind und welche Augensummen besonders günstig sind. Zu Aufgabe 11: a) Die Kinder können mit dieser Tabelle die Häufung der Möglichkeiten in der Mitte und die Abnahme nach den Seiten hin feststellen. Sie haben damit eine Grundlage für Ihre Begründungen in Aufgabe 12 (siehe Bild oben). b) Es geht hier wiederum hauptsächlich darum, dass die Kinder ihre Vermutungen, Versuchsergebnisse und die systematischen Überlegungen der Tabelle 2 kommunizieren und sich im Ausdrücken von mathematischen Sachverhalten trainieren. Zu Aufgabe 12: a) Mit der Augensumme 7 hat man die größten Chancen beim Würfeln, weil es dafür sechs Möglichkeiten gibt. Große Chancen hat man auch bei der Augensumme 6 beziehungsweise 8. Bei diesen Zahlen gibt es jeweils fünf Möglichkeiten sie zu erwürfeln. b) Bei den Augensummen 12 und 2 hat man viel geringere Chancen beim Würfeln. Bei diesen Zahlen gibt es jeweils nur eine Möglichkeit sie zu erwürfeln. c) Bei der Augensummen 1 gibt es gar keine Möglichkeit sie zu erwürfeln, da es die Würfelkombination 1+0 nicht gibt. Kinder, die viel Training in additiven Zerlegungen haben, schreiben hier zuweilen alle Zerlegungen auf: 9 = 8+1 = 7+2 Dies können sie aber selbst korrgieren. Tabelle 2 Augensumme Möglichkeiten Anzahl 1 Keine Möglichkeiten 0 2 1+1 1 3 1+2, 2+1 2 4 1+3, 3+1, 2+2 3 5 1+4, 2+3, 3+2, 4+1 4 6 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 5 7 1+6,.. 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3 8 1+7, 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4 9 3+6, 6+3, 4+5, 5+4 4 10 4+6, 6+4, 5+5 3 6 5 11 5+6, 6+5 2 12 6+6 1
26 Handreichung Mathematik 3/4 Gewinnchancen AB 3.1 (1) Lasst euch das Spiel Plättchen werfen erklären. Legt einen Spielplan mit weißen und schwarzen Feldern vor euch auf den Tisch (siehe unten Nr. 2). Stellt euch im Abstand von etwa 50 cm davor und werft abwechselnd mit einem Plättchen. Wer ein schwarzes Feld trifft, bekommt einen Punkt. Wer zuerst 10 Punkte hat, ist Gewinner? (2) Welche der unten aufgezeichneten Zielfelder möchtest du für das Spiel nehmen? Spielplan A Spielplan B Spielplan C Spielplan D Überlege dazu vor deiner Entscheidung folgendes: a) Bei welchem Spielplan A, B, C oder D hast du die größte Chance, ein schwarzes Feld zu treffen? a) b) Bei welchen Spielplänen ist die Chance, ein schwarzes Feld zu treffen, gleich ungünstig? b) c) Bei welchem Spielplan ist die Chance für schwarz und weiß gleich groß? Schreibe auf und begründe deine Antworten. c) d) Also, welchen Spielplan möchtest du nehmen? d) (3) Spielt das Spiel Plättchen werfen als Steinchen werfen auf dem Schulhof. Ritzt euch dazu Spielfelder wie oben oder ähnliche Spielfelder mit einem Stöckchen in die Erde auf dem Schulhof oder zeichnet sie mit Kreide auf. Statt weiß könnt ihr die Felder auch mit X kennzeichnen. Stellt euch im Abstand von einem Meter davor und werft abwechselnd mit Steinchen. Wer ein schwarzes Feld trifft, bekommt einen Punkt. Wer hat zuerst 10 Punkte?
Handreichungen Mathematik 3/4 27 Gewinnchancen beim Würfeln AB 3.2 E 4) Gewinnchancen beim Würfeln a) Ina, Oskar und Betül würfeln mit zwei Würfeln um die Wette. Sie addieren dabei immer die beiden Augenzahlen. Ina wählt die 5, Oskar die 7 und Betül die 10 als Ergebniszahl. Wer hat die größere Chance zu gewinnen? Begründe. a) b) Maria, Florian, Osman und Katrin spielen ihr Würfelspiel mit zwei Würfeln anders. Sie multiplizieren immer die beiden Augenzahlen. Maria wählt die 12, Florian die 8, Osman die 7 und Katrin die 4 als Ergebniszahl. Wer hat die größte Chance zu gewinnen? Untersuche systematisch und mache dir eine Tabelle wie auf AB E 2.5, dann kannst du begründen, welches Augenprodukt die größte Gewinnchance hat. b)
28 Handreichung Mathematik 3/4 Hinweise zu Arbeitsblatt 3.1und 3.2 E: Gewinnchancen beim Plättchen werfen und beim Würfeln Leistungserwartungen Die Schülerinnen und Schüler - schätzen Gewinnchancen in konkreten Spielsituationen ein, - setzen die Größe einer Fläche in Relation zu möglichen Gewinnchancen, - formulieren mathematische Begründungen. Lehrerhinweise Zunächst sollen die Kinder das Spiel Plättchen werfen ausprobieren (Aufgabe 1). Die Kinder können das Spiel z. B. an Gruppentischen oder auf dem Fußboden des Flures der Schule spielen. Der Abstand zum Spielplan beim Werfen sollte je nach Größe der Spielpläne etwa 50cm bis 1m sein. Die Kinder sollen Gelegenheit haben, die verschiedenen Spielpläne auszuprobieren. Anschließend sollen die Kinder darüber reflektieren, welchen Einfluss die Gestaltung des Spielplanes - also die Verteilung bzw. der Anteile der schwarzen und weißen Felder - auf die Gewinnchancen haben. Dabei kann bei Aufgabe 2 so vorgegangen werden, dass die Arbeitsaufträge 2a) 2c) zunächst mündlich im Klassengespräch bearbeitet werden und die Kinder danach ihre Antworten aufschreiben. Auch der umgekehrte Weg ist denkbar: Die Kinder formulieren ihre Antworten (z. B. in Partnerarbeit) erst schriftlich, danach werden die Antworten vorgelesen, verglichen und diskutiert. Als Differenzierungsmöglichkeit bietet sich an, dass die Kinder selbst solche Spielpläne erfinden, aufzeichnen und untersuchen. Eine einfache Differenzierungsmöglichkeit stellt das Spiel Steinchen werfen von Aufgabe 3 des Arbeitsblattes 3.1 dar. Die Aufgabe E 4a) des Arbeitsblattes 3.2 E setzt voraus, dass die Kinder Vermutungen und Erfahrungen gesammelt haben, wie die Augensummen sich beim Würfeln mit zwei Würfeln verteilen (siehe Arbeitsblatt 2.3 E 2.7 E). Die Aufgabe E 4b) regt die Kinder dazu an, theoretische Überlegungen zum Würfeln von Augenprodukten anzustellen. Sie sollen versuchen, ob sie für ihre theoretischen Überlegungen die gewonnenen Erfahrungen mit Tabelle 2 des Arbeitsblattes 2.7 E nutzen und auf die neue Situation mit dem Augenzahlprodukt übertragen können. Organisation/ Material Arbeitsblatt 3.1; Vergrößerte Fotokopien (z. B. auf DIN A 3) der Spielpläne A bis D des Arbeitsblattes 3.1; 2 Würfel als Versuchs - und Anschauungsmaterial; als Zusatzmaterial für leistungsstarke Kinder Arbeitsblatt 3.2 E.
Handreichungen Mathematik 3/4 29 Mögliche Antworten / Lösungen Zu Aufgabe 2: a) Bei Spielplan D habe ich die größte Chance, ein schwarzes Feld zu treffe, weil dort die größte schwarze Fläche ist. b) Bei Spielplan A und C sind die Chancen gleich ungünstig, weil da die kleinsten schwarzen Flächen sind. c) Bei Spielplan B ist die Chance für schwarz und weiß gleich, weil da die schwarze Fläche aus acht Kästchen besteht und die weiße Fläche auch aus acht Kästchen besteht. d) Ich möchte Spielplan D nehmen, weil da die Chance schwarz zu treffen am größten ist. Zu Aufgabe E 4 (von AB 3.2): a) Oskar hat die größte Chance zu gewinnen, weil es für die Augensumme 7 die meisten Möglichkeiten gibt (nämlich 6), sie zu erwürfeln. Für die Augensumme 5 gibt es nur 4 Möglichkeiten, für die Augensumme 10 gibt es sogar nur 3 Möglichkeiten. Das zeigt die Tabelle 2 von AB 2.7 E. b) Maria hat die größte Chance zu gewinnen, weil es für das Augenprodukt 12 die meisten Möglichkeiten gibt - nämlich 4 Möglichkeiten -, sie zu erwürfeln. Für das Augenprodukt 4 gibt es nur 3 Möglichkeiten, für das Augenprodukt 8 gibt es nur 2 Möglichkeiten und für das Augenprodukt 7 gibt es sogar keine Möglichkeit. Das zeigt nebenstehende Tabelle. Tabelle 2 Augenprodukt Möglichkeiten Anzahl 1 1 1 1 2 1 2, 2 1 2 3 3 1, 1 3 2 4 1 4, 2 2, 4 1 3 5 1 5, 5 1 2 6 1 6, 2 3, 3 2, 6 1 4 7 1 7, 7 1 0 8 1 8, 2 4, 4 2, 8 1 2 9 1 9,3 3, 9 1 1 10 1 10, 2 5, 5 2, 10 1 2 11 1 11, 11 1 0 12 1 12, 2 6, 3 4, 4 3, 6 2, 12 1 4
30 Handreichung Mathematik 3/4 Wer will schon Regenwetter im Urlaub? AB 4 (1) Frau Schönert möchte in den Urlaub nach Mallorca fahren. Sie möchte dort möglichst wenig Regen erleben. Sie schaut sich dazu folgende Seite im Internet an. Bookmark Klima: Palma de Mallorca Besprecht in der Klasse, worüber diese Internetseite informiert. Schreibe nun deine Meinung zu folgenden Fragen auf: a) In welchem Monat sollte Frau Schönert Urlaub machen, weil die Regenwahrscheinlichkeit dann am geringsten ist? Begründe deine Antwort. b) In welchem Monat sollte sie auf keinen Fall Urlaub machen, weil dann die Regenwahrscheinlichkeit am größten ist? Begründe deine Antwort. c) Frau Schönert lässt sich zusätzlich im Reisebüro beraten und sucht sich dann den besten Monat heraus. Ist es nun sicher, dass Frau Schönert auf Mallorca keinen Regen hat? Begründe deine Antwort.
Handreichungen Mathematik 3/4 31 Hinweise zu Arbeitsblatt 4: Wer will schon Regenwetter im Urlaub? Regenwahrscheinlichkeit auf Mallorca Leistungserwartungen Die Schülerinnen und Schüler - entnehmen und interpretieren aus einem Diagramm Informationen über Regenmenge und Regenhäufigkeit pro Monat, - erfahren dabei etwas über langjährige Wetteraufzeichnungen, Statistik und Durchschnittswerte und bringen so statistische Aspekte mit Zufall in Verbindung, - lernen den Begriff (Regen-)Wahrscheinlichkeit kennen und interpretieren ihn (langjährige Wetteraufzeichnungen liefern recht gute, aber nie hundertprozentige Voraussagen für Regenmenge und Regenhäufigkeit. Zufällig kann es auch ganz anders sein), - beschreiben und begründen Sachverhalte und Zusammenhänge. Lehrerhinweise Die Kinder werden aufgefordert zu erzählen, worüber das Diagramm von Palma de Mallorca informiert. Wenn die Kinder noch keine Erfahrungen mit Diagrammen haben, kann die Lehrkraft das Entnehmen der Informationen durch gezielte Fragen unterstützen. Die Lehrkraft sollte den Kindern erzählen, wie diese Daten zustande kommen (langjährige Aufzeichnungen der Wetterdaten, Durchschnittswerte) und dass diese Daten sehr brauchbare Richtwerte für (Urlaubs)Planungen liefern. Trotzdem kann man nie sicher sein, dass nicht zufällig ein anderes Wetter passieren kann. Wenn die Kinder die Informationen aus dem Klimadiagramm erfasst haben, können sie die Fragen a) c) selbstständig (z. B. in Partnerarbeit) schriftlich bearbeiten. Anschließend wird verglichen und diskutiert. Wenn in der Schule Computer und Internetanschluss zu Verfügung stehen, können Kinder kennen lernen, wo und wie man sich über das Klima (und das aktuelle Wetter) anderer Länder und Regionen im Internet informieren kann. Klimadiagramme von Bremen und / oder von Deutschland untersuchen, daraus Informationen entnehmen und sie interpretieren; diese Daten (besonders Regenwahrscheinlichkeit) mit den Daten von Mallorca vergleichen; Dieses Arbeitsblatt ist für fächerverbindendes Arbeiten mit Sachunterricht und Deutsch geeignet. Organisation / Material Arbeitsblatt 4; ggf. Computer mit Internetanschluss, Drucker. Mögliche Antworten / Lösungen
32 Handreichung Mathematik 3/4 Zu Aufgabe 1: a) b) c) Mögliche Antwort: Frau Schönert sollte im Juli Urlaub machen, weil dann wenig Regen (nur 9 mm) fällt und der Regen auch nur auf wenige Regentage (4 Regentage) verteilt ist. Mögliche Antwort: Frau Schönert sollte auf keinen Fall im November Urlaub machen, weil da viel Regen fällt (54 mm Niederschlag) und der Regen auf ziemlich viele Regentage (nämlich 14 Regentage) verteilt ist. Auch im Oktober gibt es viel Regen (75 mm), also mehr Niederschlag als im November, aber der Regen ist auf wenige Regentage verteilt. Es sind nur 9 Regentage. Ähnlich ungünstig ist der Dezember mit 61 mm Niederschlag verteilt auf 12 Regentage. Mögliche Antwort: Nein, es ist nicht sicher, dass Frau Schönert keinen Regen hat, denn das Klimadiagramm gibt eine Niederschlagsmenge von 9 mm an verteilt auf 4 Regentage. Außerdem muss das Diagramm nicht Recht haben, denn es sind ja nur langjährige Durchschnittswerte. Es kann sein, dass es überhaupt nicht regnet oder, wenn der Zufall es will, kann es auch mehr als 4 Tage regnen. Die Wahrscheinlichkeit ist aber groß, dass Frau Schönert keinen oder nur wenig Regen hat. Schülerlösung zu Aufgabe 1 aus einer Bremer Klasse 4: a) sie sollte am besten im Juli Urlaub machen. Weil es im Juli nur 9% Regenmenge ist. b) sie sollte nie im Oktober Urlaub machen. Weil es 75% Regenmenge ist. c) Weil es sehr wahrscheinlich nicht so oft Regnet.
Handreichungen Mathematik 3/4 33 Gewinnchancen beim Perlen ziehen AB 5.1 Lisa möchte mit Tim das Spiel Perlen ziehen spielen. Lisa hat dazu 4 Becher mit Perlen in 2 Farben gefüllt, so wie in der Abbildung. Das Spiel Perlen ziehen geht so: Nur wer eine schwarze Perle zieht, bekommt einen Punkt. Wer zuerst 8 Punkte hat, hat gewonnen. Jeder Spieler darf selbst bestimmen, aus welchem Becher er ziehen möchte. Natürlich darf man nicht in den Becher hineinschauen. Auch muss jedes Mal die herausgezogene Perle anschließend wieder zurück in den Becher gelegt und mit den anderen gut durcheinander geschüttelt werden. Tim überlegt, bei welchem Becher die Gewinnchancen (Gewinnaussichten) am größten sind, weil man daraus wohl am häufigsten eine schwarze Perle ziehen wird. 1a) Welchen Becher würdest du ihm empfehlen und warum? 1b) Welchen Becher sollte er nicht wählen? Begründe es. 1c) Sind auch Becher dabei, bei denen die Gewinnchancen gleich groß sind?
34 Handreichung Mathematik 3/4 Gewinnchancen beim Perlen ziehen - Versuchsreihe AB 5.2 2) Macht eine Versuchsreihe zu diesem Spiel, um zu überprüfen, bei welchem Becher man am ehesten gewinnen kann, also die größten Gewinnchancen hat. Ein Kind schüttelt den Becher durch, zieht (ohne hinzugucken!) und legt das Plättchen dann wieder zurück, ein anderes Kind trägt Striche in die Tabelle unten ein: Wenn schwarz gezogen wurde, wird ein Strich bei schwarz gemacht, wenn weiß gezogen wurde, wird ein Strich bei weiß gemacht. Ihr könnt euch auch mit dem Ziehen und Aufschreiben abwechseln. Zieht bei jedem Becher etwa 60 Mal. Versuchsergebnisse Strichliste Anzahl zusammen schwarz weiß schwarz weiß schwarz weiß schwarz weiß 3) Sprecht über eure Ergebnisse in der Klasse. a) Kannst du nun erkennen, bei welchem Becher die Chance am größten ist, dass du eine schwarze Perle ziehst? Erkläre auch! b) Vergleiche das Ergebnis mit deiner Empfehlung für Tim. Hättest du ihm den richtigen Rat gegeben? 4) Wenn ihr ganz sicher herausfinden möchtet, bei welchem Becher die Gewinnchancen am größten sind, so müsst ihr bei jedem Becher mindestens 1000 Mal ziehen und das Ergebnis in einer Tabelle aufschreiben. Erst dann kann man sicher erkennen, dass der Zufall auf die lange Sicht, d.h. wenn ich es ganz oft tue, doch nicht so zufällig ist. 5) Erfindet Becherspiele mit anderen Perlenverhältnissen (Perlenanzahlen in 2 Farben) und spielt sie nach den Spielregeln wie am Anfang beschrieben.
Handreichungen Mathematik 3/4 35 Hinweise zu den Arbeitsblättern 5.1 und 5.2: Gewinnchancen beim Perlen ziehen Leistungserwartungen Die Schülerinnen und Schüler - stellen Vermutungen an, welcher Becher auf Grund der Perlenrelation die größten Gewinnchancen bietet, - führen eine mathematische Versuchsreihe durch, - notieren die Ergebnisse eines mathematischen Versuchs in einer Tabelle, - vergleichen ihre Ergebnisse aus der Tabelle mit ihren Vermutungen und ziehen Schlussfolgerungen. Lehrerhinweise In der klassischen Theorie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses als den Quotienten aus den günstigen zu den möglichen Fällen: w = g/m. Die günstigen sind die Fälle, in denen sich der ins Auge gefasste Ausgang des Ereignisses realisieren würde. Die möglichen meinen alle Fälle, die überhaupt vorkommen können. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, aus dem Becher 2 eine schwarze Perle zu ziehen, ist 2/8 oder ¼; denn es gibt zwei günstige Fälle (weil es 2 schwarze Perlen gibt) und insgesamt 8 mögliche (weil es insgesamt 8 Perlen gibt). Beim praktischen Tun kann es trotzdem vorkommen, dass man dauernd hintereinander eine weiße Perle zieht. Die Wahrscheinlichkeit ¼ für eine schwarze Perle gibt nur eine Prognose für die relative Häufigkeit bei einer hinreichend großen Zahl von Ziehungen. Trotzdem kann bei 60 Versuchen der Fall eintreten, dass bei Becher 2 eine schwarze Perle häufiger gezogen wird als eine weiße, denn die relative Häufigkeit schwankt um die Wahrscheinlichkeit ¼. Je größer die Anzahl der Versuche (z. B. 1000 Mal - Aufgabe 4), desto geringer werden i.d.r. die Schwankungen. Natürlich sollen die Kinder nicht die Wahrscheinlichkeit nach dieser Formel berechnen. Dennoch können einige sie bereits intuitiv so bestimmen. Wenn dies noch nicht gelingt, sollen sie zumindest Gelegenheit gekommen, in Spielsituationen Erfahrungen mit Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten zu sammeln, mathematische Versuchsreihen durchzuführen, sich über Vermutungen und Versuchsergebnisse auszutauschen. Die Lehrkraft hält die Kinder an, sich die Situation vorzustellen und Überlegungen anzustellen, bei welchem Becher die Gewinnchancen am größten sind. Dabei hält sich die Lehrkraft mit eigenen Hinweisen auf die Gewinnchancen zurück. Die Kinder werden dann gebeten, ihre Meinung zu den Fragestellungen 1a 1c aufzuschreiben. Einige Meinungen werden der Klasse vorgelesen. Je nach Leistungsstand kann auf der theoretischen Ebene diskutiert werden (wenn viele Kinder der Klasse bereits adäquate Überlegungen anstellen können), oder es kann auch direkt in die Versuchsreihe übergeleitet werden. Anschließend führen die Kinder in Partnerarbeit eine Versuchsreihe zu diesem Spiel durch und notieren die Ergebnisse in der Tabelle des Arbeitsblattes 5.2. Diese Arbeitsweise ist den Kindern schon von den vorausgehenden Arbeitsblättern bekannt. Auch das darauf folgende Vergleichen der Versuchsergebnisse im Gespräch, das Kommentieren und Reflektieren über Wahrscheinlichkeiten sowie das Überprüfen der Vermutungen ist den Kindern bereits bekannt.
36 Handreichung Mathematik 3/4 Auf eine Häufigkeitstabelle (wie z. B. bei der Untersuchung von Wahrscheinlichkeiten beim Werfen mit einem oder zwei Würfeln - siehe Riesentabelle der Grundschule Rosengarten) wurde diesmal zu Gunsten der Aufgabe E 5 verzichtet. Bei Bedarf und genügend Zeit kann natürlich eine Versuchsreihe mit insgesamt 1000 Mal Perlen ziehen durchgeführt und notiert werden. Es kann für die Kinder reizvoll sein, für das Becherspiel andere Perlenverhältnisse sich auszudenken, damit zu spielen und Erfahrungen zu sammeln (Aufgabe E 5). In dieser Aufgabe können sich die Kinder den ihrem jeweiligen Niveau entsprechenden Herausforderungen stellen. Wer die Gewinnchancen theoretisch durchdringt, kann gleichwertige Becher bauen. Organisation/ Material Arbeitsblatt 5.1 und 5.2; 4 Becher (oder Schachteln oder Dosen), dazu Perlen (ersatzweise Kugeln, Knöpfe oder Steckwürfel) in 2 Farben, mindestens je 6 in der einen Farbe (z. B. schwarz) und mindestens 13 in der anderen Farbe (z. B. weiß). Für die Erweiterungsaufgaben E 5 könnten auch andere Anzahlen an Perlen gebraucht werden. Mögliche Antworten/ Lösungen Zu Aufgabe 1: 1a) Mögliche Antwort: Ich würde ihm den Becher 1 empfehlen, weil da die Gewinnchancen für schwarz genauso groß sind wie für weiß. 1b) Mögliche Antwort: Ich würde sagen, er soll nicht den Becher 2 wählen, weil da viel mehr weiße Plättchen drinnen sind (nämlich 6) als schwarze Plättchen (nämlich nur 2). Die Chance, dass er ein weißes Plättchen zieht statt ein schwarzes und, ist ziemlich groß. 1c) Mögliche Antwort: Ja, bei Becher 3 und Becher 4 sind die Gewinnchancen gleich. Bei Becher 4 gibt es zwei weiße Plättchen und ein schwarzes Plättchen. Bei Becher 3 gibt es doppelt so viele weiße Plättchen, nämlich 4, und auch doppelt so viele schwarze Plättchen, nämlich 2. Die Gewinnchancen sind gleich geblieben, weil es dasselbe Verhältnis an schwarzen und weißen Plättchen ist. 2) Die theoretischen Wahrscheinlichkeiten werden sich in der Versuchsreihe nicht exakt, aber in der Tendenz widerspiegeln. Je mehr Versuche, desto weniger schwanken die relativen Häufigkeiten um die Wahrscheinlichkeiten.
Handreichungen Mathematik 3/4 37 Verloren, Gewinn oder sogar Hauptgewinn! Was ist unmöglich, was ist möglich, was ist sicher? AB 6.1 Fabian verkauft beim Schulfest die letzten Lose. Er weiß, es gibt noch einen Hauptgewinn, 3 kleine Gewinne und 3 Nieten. Wären die Lose geöffnet, würde das so aussehen: Stell dir vor, du ziehst von diesen Losen. (Natürlich sind sie dann zusammengerollt und du weißt nicht, was darauf steht!). 1) Wie sind deine Chancen für den Hauptgewinn, wenn du 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Lose ziehst? Kreuze entsprechend in der Tabelle an. Du nimmst Hauptgewinn ist unmöglich Hauptgewinn ist möglich Hauptgewinn ist sicher 1 Los 2 Lose 3 Lose 4 Lose 5 Lose 6 Lose 7 Lose