Übungsaufgaben Klasse 7 2. Oktober 2006 Dreieckskonstruktion Versuche erst, alle Aufgaben zu lösen. Die Lösungen findest du ab Montag auf: http://www.hagener-berg.de/serdar/ unter dem Punkt Schulinfos. 1. Welche der folgenden Dreieck lassen sich konstruieren. Gib eine Begründung an. (a) a = 5cm,b = 6cm,c = 8cm Lässt sich konstruieren nach Kongruenzsatz SSS. (b) a = 3cm,b = 5cm,c = 2cm Lässt sich nicht konstruieren, da a + c = b. Deshalb gilt die Dreiecksungleichung (a + c > b) nicht. (c) α = 30,β = 45,γ = 105 Lässt sich nicht konstruieren, einen Kongruenzsatz WWW gibt es nicht. (d) c = 10cm,α = 30,β = 45 Lässt sich konstruieren nach Kongruenzsatz WSW. (e) a = 5cm,b = 8cm,α = 30 Lässt sich nicht konstruieren, da α der kürzeren Seite gegenüberliegt und somit der Kongruenzsatz SsW nicht gilt. (f) a = 5cm,b = 8cm,β = 30 Lässt sich konstruieren nach Kongruenzsatz SsW. 2. Konstruiere die folgenden Dreiecke. (a) a = 5cm,b = 6cm,c = 8cm Konstruktion nach Kongruenzsatz SSS. Zuerst wird eine der Seiten gezeichnet (im Beispiel Seite c). Anschließend werden die Seitenlänge 1
Abbildung 1: Aufgabe 2a Abbildung 2: Aufgabe 2b von Seite a im Punkt B und die Seitenlänge von Seite b im Punkt A mit dem Zirkel abgetragen. Der Schnittpunkt dieser beiden Kreise (in richtiger Beschriftung!) ist der Punkt C und wird mit den beiden anderen Punkten verbunden. (b) c = 10cm,α = 30,β = 45 Konstruktion nach Kongruenzsatz WSW. Zuerst wird die gegebene Seite c gezeichnet. Anschließend werden der Winkel α im Punkt A und der Winkel β im Punkt B abgetragen. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der Punkt C und wird mit den beiden anderen Punkten verbunden. (c) a = 5cm,b = 8cm,β = 30 Konstruktion nach Kongruenzsatz SsW. Zuerst wird die gegebene Seite a gezeichnet (die Seite, an welcher der Winkel β anliegt). Anschließend wird der Winkel β im Punkt B abgetragen. Als letztes muss noch 2
Abbildung 3: Aufgabe 2c die Länge der Seite b mit dem Zirkel im Punkt C abgetragen werden, um den Schnittpunkt zwischen den Seiten c und b zu erhalten. Nun kann das Dreieck gezeichnet werden. 3
Abbildung 4: Aufgabe 3 3. Die Entfernung zwischen zwei Berggipfeln A und B beträgt 2,9 km. Von A aus sieht man den Gipfel B und einen weiteren Gipfel C unter einem Sehwinkel von 54, von B aus sieht man A und C unter einem Sehwinkel von 35. Wie weit ist C von A und B entfernt? Lege zunächst eine Planskizze an. Konstruktion nach Kongruenzsatz WSW. Als erstes wählen wir uns einen passenden Maßstab. In meiner Zeichnung habe ich 2 cm für 1 km gewählt, das macht 1 cm für 500 m, also 1 cm für 50000 cm. Mein Maßstab ist also 1:50000. Damit ist die Seite AB bei mir 5,8 cm lang. Die Winkel kann ich direkt übernehmen. Zuerst wird die gegebene Seite AB gezeichnet. Anschließend werden die Winkel α und β in den entsprechenden Punkten abgetragen. Der Schnittpunkt, den wir erhalten, ist der Punkt C, somit kann das Dreieck nun gezeichnet werden. In diesem Dreieck können wir nun die Entfernungen AC und BC ausmessen: AC = 3,3cm;BC = 4,7cm Mit unserem Maßstab auf die reale Welt umgerechnet ergibt sich: AC = 1,65km;BC = 2,35km 4
Abbildung 5: Planskizze zu Aufgabe 4 4. Ein Schiff ist 9 km von einem Leuchtturm entfernt. Der Winkel zwischen der Fahrtrichtung des Schiffes und der Richtung Schiff-Leuchtturm wird gemessen: 77. Nach 30 min Fahrt wird der Winkel erneut gemessen: 108. Wie schnell ist das Schiff? Konstruktion nach Kongruenzsatz WSW. Diese Aufgabe ist etwas kniffelig. Hier kommt es vor allem auf eine gute Planskizze an (siehe Abbildung 5). Ich starte mit dem Schiff in Punkt A und fahre weiter an Punkt C vorbei. Der Leuchtturm steht an Punkt B. Wichtig ist jetzt noch der Hinweis, dass der Winkel zwischen Leuchtturm und Fahrtrichtung des Schiffes gemessen wird! Dies ist nicht der Innenwinkel des Dreiecks im Punkt C! Den Winkel γ erhalten wir, indem wir den gemessenen Winkel von 180 abziehen. Zum Zeichnen des Dreiecks brauchen wir nur noch den Winkel β, den wir über die Innenwinkelsumme des Dreiecks berechnen (wie in meiner Planskizze). Mit einem passenden Maßstab können wir jetzt nach dem Kongruenzsatz WSW mit α, c und β das Dreieck zeichnen. Als Maßstab wähle ich hier 1:100000 (1cm für 1km) und erhalte das Dreieck wie in Abbildung 6. Abmessen ergibt eine Strecke von 4,9 cm, was umgerechnet 4,9 km in einer halben Stunde bedeutet. Also fährt das Schiff mit einer Geschwindigkeit von 9,8 km/h. 5
Abbildung 6: Aufgabe 4 5. Zeichne in einem Koordinatensystem das Dreieck mit den folgenden Punkten ein: A = (1 1),B = (12 2),C = (8 6) Konstruiere nun die Senkrechte zu AB durch den Punkt C und die Senkrechte zu AC durch den Punkt B. Zeichne das Dreieck in ein neues Koordinatensystem und konstruiere die Mittelsenkrechte der Seiten AB und AC. Konstruiere anschließend den Umkreis des Dreiecks ABC. Zeichne das Dreieck in ein neues Koordinatensystem und bilde die Winkelhalbierenden der Winkel α und β. Zeichne nun den Innenkreis des Dreiecks ABC. Die Aufgabe 5 wird nochmal im Unterricht wiederholt! 6