Multiplikation Die schriftliche Multiplikation ist etwas schwieriger als die Addition. Zum einen setzt sie das kleine Einmaleins voraus, zum anderen sind die Überträge, die zu merken sind und häufig in der Rechnung gar nicht notiert werden, oft größer als bei der Addition. Daher sollen zunächst Möglichkeiten des halbschriftlichen Multiplizierens genannt werden. Im Zehnersystem kann man Zahlen zwischen 10 und 20 noch gut mit dem Punktefeld veranschaulichen und die Teilaufgaben im Malkreuz aufschreiben: Mit Hilfe des Malkreuzes kann auch folgender Rechentrick geklärt werden: 19 17 könnte man wie folgt rechnen: 19 + 7 = 26, 9 7 = 63 also ist 19 17 = 260 + 63 = 323. Prüfen Sie, ob dieser Trick auch für 15 16, für 13 17 und auch für 23 14 gilt. Erklären Sie ihn mit Hilfe des Malkreuzes. Das Malkreuz könnte auch für größere Zahlen mit noch mehr Stellen verwendet werden. Ein Nachteil könnte sein, dass man etwa bei 5000 200 schon nicht mehr so recht weiß, wie viele Nullen das Ergebnis hat. Eigentlich ist es wichtig, dies zu üben. Andererseits ist es angenehmer, wenn man sich über die Nullen zunächst keine Gedanken machen muss und nur mit den Ziffern rechen kann. Eine Möglichkeit, nur mit den Ziffern zu arbeiten, sind die sogenannten Malstreifen, auch Nepersche Streifen genannt (nach dem schottischen Mathematiker John Neper 1550 1617). Hier ein Beispiel mit einer Erklärung eines Schülers:
Man sieht, es ist eine Vorstufe zur schriftlichen Multiplikation, die aber den Vorzug hat, dass man sich zunächst keine Gedanken um Überträge machen muss. Zunächst braucht man nur das kleine Einmaleins, um die Felder zu füllen, danach erst wird addiert. Der Nachteil des Verfahrens ist, dass man die Streifen erst zeichnen muss. Kinder können dabei auch üben, parallele Linien zu ziehen. Sowohl die Malstreifen als auch die Neperschen Streifen können auch in anderen Stellenwertsystemen verwendet werden. Im Zweiersystem ist die Multiplikation besonders einfach: Es gibt nur 1 x 1 = 1. Hier können auch keine Überträge auftreten, so dass die Multiplikation gleich schriftlich durchgeführt werden kann. Bsp. 1101 101 1101 0 1101 1000001 Was passieren kann, ist, dass man schnell mindestens 3 Teilprodukte hat und ein Übertrag dabei schon zur Gesamtsumme 4 für eine Stelle führt. Gesamtsumme 4 = 100 2 heißt, dass der nächste Übertrag nicht um eine Stelle, sondern sogar um 2 Stellen nach links geschoben wird. So könnten sich an einer Stelle sich auch 2 Überträge sammeln. Ein (vielleicht extremes) Beispiel: 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 0 1 0 0 1 4 Vierer führen zu 1 gemerkt in der Sechzehnerspalte, in der Achterspalte sind es 3, also gibt es auch diesmal 1 gemerkt für die Sechzehnerspalte. Folglich stehen in der Sechzehnerspalte nun 2 Gemerktzahlen. Insgesamt gibt es wieder 4 Sechzehner und damit eine Gemerktzahl für die Vierundsechzigerspalte.
Betrachten wir nun ein Beispiel im 5er-System: Dazu erstellen wir zunächst die Einmaleinstafel im 5er-System: 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 11 13 3 3 11 14 22 4 4 13 22 31 Nun eine Aufgabe gelöst mit den Neperschen Streifen: 234 5 x34 5 Schriftlich gerechnet hätte man die Zwischenergebnisse: 13120 5 und 2101 5. Etwas aufwändiger ist das kleine Einmaleins im Zwölfersystem: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z e 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z e 2 2 4 6 8 Z 10 12 14 16 18 1z 3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 5 5 z 13 18 21 26 2e 34 39 42 47 6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 55 7 7 12 19 24 2e 36 41 48 53 5z 65 8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 Z z 18 26 34 42 50 5z 68 76 84 92 E e 1z 29 38 47 56 65 74 83 92 z1 Eine solche Tabelle können wir so ausfüllen, dass wir jede Aufgabe im Zehnersystem rechnen und die Ergebniszahl ins Zwölfersystem übersetzen. Man kann eine Reihe aber auch fortlaufend füllen, indem man zum vorherigen Ergebnis immer das Gleiche hinzuzählt. (So werden auch die Einmaleinsreihen in der Grundschule gewonnen). Im Zwölfersystem kann auffallen: bei mal 2 und mal z erhält man alle geraden Ziffern als Endziffern. Bei mal 4 und mal 8 sind es nur die Ziffern 4, 8 und 0. Bei mal 6 ergibt sich abwechselnd 6 und 0. Bei mal 3 und mal 9 erhält man 3, 6, 9 und 0. Bei mal 1, mal 5, mal 7 und mal e tauchen alle Ziffern ungleich 0 in den Ergebnissen auf. Bei den Vielfachen von e ist die Summe der Ziffern immer e. Analoge Beobachtungen können (und sollen) Kinder bei den Einmaleinsergebnissen im Zehnersystem machen.
Um mehrstellige Aufgaben zu rechnen, brauchen wir nur in die Neperschen Streifen einzusetzen. Beispiel: 4ez 12 38 12 = 16348 12 Bei der schriftlichen Rechnung wären die Zwischenergebnisse: 12e60 12 und 33z8 12 Wenn man mehrere Einmaleinstafeln schreiben würde, würde einem vielleicht noch so manches auffallen. Ich will ein Beispiel nennen, das mir irgendwann erstaunte: Das Quadrat der höchsten Ziffer scheint immer auf 1 zu enden. Beispiele: 9 10 9 10 = 81 10, 1 2 1 2 = 1 2, 2 3 2 3 = 11 3, 3 4 3 4 = 21 4, 4 5 4 5 = 31 5, e 12 e 12 = z1 12, F 16 F 16 = E1 16 Dies scheint kein Zufall zu sein. Um es allgemein zu prüfen schreiben wir die höchste Ziffer als 10 1. Dies geht in jedem System. (10 1) (10-1) = 100 10 10 +1 = 10 (10 1 1)+1 = 10 (10 2) +1 Auch diese Umformungen gelten in jedem System gleichermaßen. Die letzte Umformung ist im 2er-System nicht mehr möglich, dort gilt 10 1 1 = 0 und das Ergebnis ist schlicht 1. In den anderen Systemen ist die erste Ziffer immer die zweithöchste und die Einerziffer des Ergebnisses ist immer 1. Hier noch eine Seite aus der Vorlesungsmitschrift einer Studentin zum Einmaleins: