Schulinterner Lehrplan für die gymnasiale Oberstufe, gültig ab 2014/15 Mathematik
Inhalt Seite 1 Die Fachgruppe Mathematik am Goethe Gymnasium 3 2 Entscheidungen zum Unterricht 7 2.1 Unterrichtsvorhaben 7 2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Einführungsphase 9 2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Einführungsphase 11 2.1.3 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Grundkurs 17 2.1.4 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Grundkurs 19 2.1.5 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Leistungskurs 28 2.1.4 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Leistungskurs 30 2.2 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit 43 2.3 Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung 45 2.4 Lehr- und Lernmittel 51 3 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen 52 4 Qualitätssicherung und Evaluation 53 2
1 Die Fachgruppe Mathematik am Goethe Gymnasium Das Goethe Gymnasium liegt am Rande des Stolberger Stadtzentrums auf einem Hügel in einem Wohngebiet. Die Schule verfügt über ein großes Gelände mit weitläufigen Grünanlagen. Die Schule ist überwiegend vierzügig und hat im Schuljahr 2013/14 736 Schülerinnen und Schüler. Die Zahl der Schulformwechsler in der Einführungsphase liegt zwischen Null und Zwei (im aktuellen Schuljahr kein Schüler). Im Schuljahr 2013/14 gibt es in der gymnasialen Oberstufe in der Einführungsphase im Fach Mathematik drei Grundkurse (mit durchschnittlich 24 Schülern) und einen Vertiefungskurs (mit 13 Schülern). In der Qualifikationsphase gibt es in der Q1 einen Leistungskurs (mit 31 Schülern) und drei Grundkurse (mit durchschnittlich 17 Schülern), sowie in der Q2 zwei Leistungskurse (mit durchschnittlich 14 Schülern) und zwei Grundkurse (mit durchschnittlich 23 Schülern). Das Goethe Gymnasium ist eine Ganztagsschule, in der an drei Lang- und zwei Kurztagen im 90 Minutentakt unterrichtet wird. Die Schule ist umfassend mit Medien ausgestattet: Alle Klassen- und Kursräume sind mit Beamer und Audioanlagen bzw. mit Smartboard ausgestattet. Die Schule verfügt über drei Computerräume für den Unterricht sowie zwei mit je 8 Computern ausgestattete Lernzeiträume für den Unterricht in der Erprobungsstufe und zwei ebenfalls mit je 8 Computern ausgestattete Arbeitsräume für die Oberstufe. Alle Arbeitsplätze haben Internetzugang. Über W-Lan ist der Zugang zum Internet im gesamten Hauptgebäude und im Erweiterungsbau möglich. Zehn Notebooks und drei Dokumentenkameras können Lehrer/innen für den Einsatz im Unterricht ausleihen. Außerdem steht ihnen ein Arbeitsraum mit drei Computern zur Verfügung. Der Fachgruppe Mathematik gehören im laufenden Schuljahr 13 Kolleginnen und Kollegen, von denen 2 in Elternzeit sind, sowie 2 Lehramtsanwärter an. Fachvorsitzende ist im Schuljahr 2014/2015 Herr Randhahn, sein Stellvertreter ist Frau Banaszak. Gemäß der in unserem Schulprogramm formulierten Leitziele sieht die Fachgruppe Mathematik sich der Aufgabe verpflichtet, unsere Schülerinnen und Schüler dabei zu unterstützen, zu weltoffenen, aufnahmebereiten und aufnahmefähigen Menschen zu werden und sie zu lebenslangem Lernen zu befähigen, damit sie als mündige Bürger aktiv die sich ständig verändernde Lebenswirklichkeit mitgestalten können. Dazu gehört, den Schülerinnen und Schülern Kenntnisse zu vermitteln, ihre Leistungsbereitschaft, Neugierde und ihr Interesse zu wecken. Die Schülerinnen und Schüler erhalten hierbei hinsichtlich ihrer Begabungen eine differenzierte Förderung. Dabei reicht unsere Bandbreite vom Förderunterricht bis zur Begabtenförderung. Der Förderunterricht wird in Jahrgangsstufe 6 durch Fachkollegen und in Jahrgangsstufe 7 bis 9 durch geschulte Schülerinnen und Schüler (Tutoren) erteilt. In der Einführungsphase schließt ein Vertiefungskurs an. Den mathematisch leistungsfähigen und interessierten Schülerinnen und Schülern ermöglichen wir die Teilnahme an einer breiten Palette außerschulischer Angebote, 3
wie z.b. die Teilnahme an Wettbewerben (Känguruwettbewerb, Mathematik- Olympiade, Mathematik im Advent), an Workshops (Aachener Modell, ANT-alive) und an Angeboten der RWTH (Mathe-Akademie, Schülerstudium). Außerdem gibt es eine Arbeitsgruppe speziell für begabte Schülerinnen und Schüler im Fach Mathematik. Im Mathematikunterricht erhalten die Schülerinnen und Schüler eine mathematische Grundbildung innerhalb der Bereiche Arithmetik und Algebra, Funktionen, Geometrie und Stochastik. Die Verwendung lebensnaher und praxisorientierter Problemstellungen motiviert die Schülerinnen und Schüler dabei in besonderem Maße. An geeigneten Stellen wird der Bezug zwischen aktuell zu behandelnden mathematischen Inhalten und Berufsbildern, in denen diese eine wesentliche Rolle spielen, hergestellt. Hierdurch wird für die Schülerinnen und Schüler im Laufe der Zeit transparent, dass die Mathematik eine Wissenschaft ist, die fast alle Lebensbereiche durchdringt und wesentlicher Bestandteil vieler Berufe ist. Darüber hinaus wird ihnen aber auch vermittelt, dass die Mathematik eine eigenständige kulturelle Leistung darstellt. Um dieses Ziel zu erreichen vermitteln wir an möglichst vielfältigen, praxis- und lebensweltorientierten Beispielen nicht nur mathematische Kenntnisse, sondern schulen auch prozessbezogene Kompetenzen wie Argumentieren und Kommunizieren, Problemlösen, Modellieren und den Umgang mit Werkzeugen. Im Kompetenzbereich Argumentieren und Kommunizieren erlernen die Schülerinnen und Schüler in kooperativen Sozialformen, sich miteinander über mathematische Problemstellungen auszutauschen und ihre Ergebnisse unter Verwendung der mathematischen Fachsprache in einer sachlogischen Argumentation angemessen zu präsentieren. Die Schülerinnen und Schüler erlernen im Bereich Problemlösen nicht nur isolierte, standardisierte Problemlösestrategien, sondern auch in umfassenderen Problemstellungen Muster und Beziehungen zu erkennen und die ihnen zur Verfügung stehenden Strategien kreativ zu verknüpfen und anzuwenden. Anhand zunehmend komplexerer, anwendungsbezogener Problemstellungen schulen die Schülerinnen und Schüler ihre Fähigkeit, diese mit Blick auf konkrete Fragestellungen zu erfassen, zu strukturieren und mithilfe ihrer mathematischen Kenntnisse zu modellieren. Vor allem im Kompetenzbereich Umgang mit Werkzeugen kommt dem Computer eine besondere Rolle zu. Die gute Ausstattung des Goethe Gymnasiums macht es möglich, schon in der Sekundarstufe I neben dem Einsatz eines einfachen Taschenrechners (ab Klasse 7) auch in Zusammenarbeit mit dem Fach ITG (informationstechnische Grundbildung) Tabellenkalkulation, dynamische Geometrie- Software und weitere computergestützte Werkzeuge einzusetzen. Die Schülerinnen und Schüler benutzen ab der Klasse 5 die Computerräume. Genutzt werden vor allem Onlineangebote zum interaktiven Üben von Lerninhalten, die als willkommene Abwechslung zur klassischen Übungsstunde in den Unterricht eingebaut werden. Zur Differenzierung wird testweise die Online-Übungsplattform bettermarks eingesetzt. 4
Im vorletzten Schuljahr wurde eine schulinterne Fortbildung zum Einsatz des Programms Geogebra im Mathematikunterricht organisiert und durchgeführt. Im letzten Schuljahr wurde für den Fachbereich Mathematik eine schulinterne Fortbildung zum Umgang und Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners durchgeführt. In der Sekundarstufe II kann davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge vertraut sind. Ab der Einführungsphase wird auf diesen Grundkenntnissen aufgebaut. So macht Geogebra z.b. eine interaktive, dynamische Erforschung von Funktionen möglich. Die in fast allen Klassenräumen vorhandenen Beamer kommen im Mathematikunterricht vielseitig zum Einsatz. Als Präsentationswerkzeug für Schülervorträge, Lehrfilme oder Visualisierungen von Funktionen und geometrischen Objekten wird er ebenso verwendet wie als Strukturierungshilfe zur Darstellung des Stundenverlaufes der Lerneinheit. Mit den vorhandenen Dokumentenkameras ergibt sich im Unterricht die Möglichkeit, auch lange Schülerlösungen (sowohl Hausaufgaben, als auch Erarbeitungen im Unterrichtsgeschehen) schnell fürs Plenum zugängig zu machen. Der Anteil echter Lernzeit kann so gesteigert werden, da sich mehr Zeit für die Präsentation und Diskussion ergibt. Die in den Räumen der Oberstufe vorhandenen Interaktiven Whiteboards ergänzen die oben beschriebenen Einsatzmöglichkeiten noch weiter. Erarbeitete Inhalte lassen sich nicht nur visualisieren, sondern direkt bearbeiten. Durch das Verfolgen von Änderungen und die Möglichkeit, diese rückgängig zu machen ist ein stärkeres Auseinandersetzen mit den erstellten Inhalten möglich. Auch ein Aufgreifen in späteren Unterrichtseinheiten wird ermöglicht, da alle Ergebnisse gespeichert werden können. Um den Schülerinnen und Schülern eine fachübergreifende Vernetzung ihrer Kompetenzen zu ermöglichen arbeitet die Fachschaft Mathematik insbesondere mit den fachaffinen Fachschaften der Naturwissenschaften sowie ITG zusammen (siehe Kapitel 3). 5
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2 Entscheidungen zum Unterricht 2.1 Unterrichtsvorhaben Das Übersichtsraster dient dazu, einen schnellen Überblick über die Reihenfolge der Unterrichtsvorhaben und die Zuordnung der Kompetenzen zu verschaffen. In den nachfolgenden Kapiteln werden die inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen konkretisiert und Absprachen bzw. Vorschläge zu den Unterrichtsvorhaben ergänzt. Die Fachkonferenz hat beschlossen, zur ersten Erprobung des neuen Kernlehrplans in der Einführungsphase zunächst die Unterrichtsvorhaben aus dem Themenfeld Analysis umfänglich zu behandeln und damit eine gesicherte Basis für den Anfangsunterricht in der Qualifikationsphase zu schaffen. Da die Themenfelder Stochastik und analytische Geometrie unabhängig voneinander unterrichtet werden können, schließt sich dann das Thema an, das verpflichtend für die Vorbereitung der zentralen Abschlussklausur der EF ist. Neben den im Folgenden aufgeführten Unterrichtsvorhaben für die Einführungs- und Qualifikationsphase bieten wir nach Wahl der Schüler zweistündige Mathematikvertiefungskurse an. In diesen werden je nach den individuellen Bedürfnissen der Teilnehmer wesentliche Inhalte der SI wie zum Beispiel das Lösen von Gleichungen (insbesondere quadratischer Gleichungen), die Anwendung der Potenzgesetze, der Funktionsbegriff (insbesondere lineare, quadratische und Potenzfunktionen) vertiefend wiederholt bzw. mathematisch tiefer durchdrungen. Dieser Kurs richtet sich zum einen an Schülerinnen und Schülern der Einführungsphase, die aus anderen Schulformen zu uns kommen und solche, die Defizite aus der Mittelstufe aufarbeiten möchten. Andererseits können an ihm aber auch mathematisch interessierte Schülerinnen und Schüler teilnehmen. Ziel des Vertiefungskurses ist es die teilnehmenden Schülerinnen und Schüler möglichst gezielt auf eine erfolgreiche Teilnahme am Mathematikunterricht der Qualifikationsphase vorzubereiten. Da das Goethe Gymnasium in der Oberstufe durchgehend mit dem Schulbuch Lambacher Schweizer des Klett Verlages arbeitet, setzt der Fachbereich Mathematik eine überarbeitete Version des Stoffverteilungsplans dieses Verlages ein. Demnach orientiert sich die Nummerierung der Unterrichtsvorhaben an der Kapitelnummerierung des Lehrwerks. Die zeitlichen Angaben sind Richtwerte und dienen damit lediglich der Orientierung. Am Ende des Schuljahres 2016/2017 wird die Mathematik-Fachgruppe die Umsetzung des jetzt hier vorliegenden schulinternen Curriculums evaluieren und ggf. überarbeiten. 7
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2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Einführungsphase Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich als grobe Orientierungsgröße. Einführungsphase Unterrichtsvorhaben I: Thema: Eigenschaften von Funktionen (Symmetrie, Nullstellen, Transformation) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Potenz-und Sinusfunktionen, Ganzrationale Funktionen Zeitbedarf: 22 Std. Unterrichtsvorhaben II: Thema: Die Ableitung, ein Schlüsselkonzept (Änderungsrate, Ableitung, Tangente) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Zeitbedarf: 18 Std. Unterrichtsvorhaben III: Thema: Funktionsuntersuchungen (charakteristische Punkte, Monotonie, Extrema) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Potenzfunktionen Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Zeitbedarf: 16 Std. Unterrichtsvorhaben IV: Thema: Potenzen in Termen und Funktionen (rationale Exponenten, Exponentialfunktionen, Wachstumsmodelle) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Exponentialfunktionen Zeitbedarf: 16 Std. 9
Einführungsphase Fortsetzung Unterrichtsvorhaben V: Thema: Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen (Erwartungswert, Pfadregel, Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zeitbedarf: 16 Std. Unterrichtsvorhaben VI: Thema: Vektoren, ein Schlüsselkonzept (Punkte, Vektoren, Rechnen mit Vektoren, Betrag) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Koordinatisierungen des Raumes Vektoren und Vektoroperationen Zeitbedarf: 16 Std. Summe Einführungsphase: 104 Stunden 10
2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Einführungsphase Die Unterrichtsvorhaben der Einführungsphase werden im Folgenden bezüglich der inhaltsbezogenen Kompetenzen konkretisiert. Bei den prozessbezogenen Kompetenzen sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nur die Kompetenzbereiche angegeben, die bei den jeweiligen Unterrichtsvorhaben besonders intensiv geübt werden sollen. Alle prozessbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans müssen bei der Unterrichtsplanung Berücksichtigung finden. Einführungsphase Funktionen und Analysis (A) Thema: Eigenschaften von Funktionen (Symmetrie, Nullstellen, Transformation) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf quadratische Funktionen an und deuten die zugehörigen Parameter beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen wenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen innermathematischer Probleme an lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare oder quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne Hilfsmittel wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Sinusfunktionen und Potenzfunktionen an und deuten die zugehörigen Parameter Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Der GTR wird eingeführt und die Schüler erkunden systematisch mit dem GTR die Potenzfunktionen. Auch Transformationen bei Potenz- und Sinusfunktionen werden mit dem GTR erarbeitet. Differenzierung: Einige Schüler müssen erfahrungsgemäß das Lösen quadratischer Gleichungen wiederholen. Es bietet sich an die schnelleren bzw. leistungsstarken Schüler die Themen Linearfaktorzerlegung und evtl. auch Polynomdivision bearbeiten zu lassen. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Argumentieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen 11
Thema: Die Ableitung, ein Schlüsselkonzept (Änderungsrate, Ableitung, Tangente) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler berechnen durchschnittliche Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion) leiten Funktionen graphisch ab nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten, wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an. nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate wird die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durchschnittsgeschwindigkeit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Messgerät ermittelten Momentangeschwindigkeit genutzt. Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometrischer Kontext betrachtet werden. Tabellenkalkulation und Dynamische-Geometrie-Software werden zur numerischen und geometrischen Darstellung des Grenzprozesses beim Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate bzw. der Sekanten zur Tangenten (Zoomen) eingesetzt. Für eine quadratische Funktion wird der Grenzübergang bei der h-methode exemplarisch durchgeführt. Um die Ableitungsregel für höhere Potenzen zu vermuten, nutzen die Schüler den GTR und die Möglichkeit, Werte der Ableitungsfunktionen näherungsweise zu tabellieren und zu plotten. Modellieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen 12
Thema: Funktionsuntersuchungen (charakteristische Punkte, Monotonie, Extrema) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Eigenschaften eines Funktionsgraphen begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich wenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten an wenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von außermath. Problemen an Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren Problemlösen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Durch gleichzeitiges Visualisieren der Ableitungsfunktion erklären Lernende die Zusammenhänge zwischen charakteristischen Punkten. Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendet wird, werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen sie mit den Eigenschaften des Graphen oder Terms argumentieren. So erzwingt z. B. Achsensymmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf der Symmetrieachse. Differenzierung: Schnellere Schüler können zusätzlich bereits die zweite Ableitung als Kriterium für Extremstellen erkunden. 13
Thema: Potenzen in Termen und Funktionen (rationale Exponenten, Exponentialfunktionen, Wachstumsmodelle) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Exponentialfunktionen an und deuten die zugehörigen Parameter beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Dieser Themenkomplex ermöglicht es in besonderem Maße lebensweltbezogene Probleme zu stellen. Hierbei greifen wir auf das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler aus den Naturwissenschaften zurück (z.b. radioaktiver Zerfall, Wachstumsprozesse) und modellieren diese mit den Methoden der Mathematik. 14
Einführungsphase Stochastik Thema: Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente simulieren Zufallsexperimente stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln modellieren Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln mithilfe der Pfadregeln Wahrscheinlichkeiten verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen modellieren Sachverhalte mithilfe von Vier- oder Mehrfeldertafeln bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durchgängig Simulationen - auch unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalkulation) geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator). Digitale Werkzeuge werden zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnen verwendet. Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu thematisieren. Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstellungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und diese zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen können. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen 15
Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Thema: Vektoren, ein Schlüsselkonzept (Punkte, Vektoren, Rechnen mit Vektoren, Betrag) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhaltes in der Ebene und im Raum stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Ausgangspunkt ist eine Vergewisserung (z. B. in Form einer Mindmap) hinsichtlich der den Schülerinnen und Schülern bereits bekannten Koordinatisierungen (GPS, geographische Koordinaten, kartesische Koordinaten, Robotersteuerung). Die dreidimensionale Koordinatensystem und Vektoren können mithilfe des Vektorenkoffers veranschaulicht werden. Durch Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrische Problemstellungen gelöst. Beschreibungen von Diagonalen (insbesondere zur Charakterisierung von Viereckstypen), Auffinden von Mittelpunkten (ggf. auch Schwerpunkten), Untersuchung auf Parallelität. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Argumentieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen 16
2.1.3 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Grundkurs Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Q1-GK Unterrichtsvorhaben I: Thema: Eigenschaften von Funktionen (Höhere Ableitungen, Besondere Punkte von Funktionsgraphen, Funktionen bestimmen, Parameter) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Funktionen als mathematische Modelle Zeitbedarf: GK 28 Std. Unterrichtsvorhaben IV: Thema: Untersuchung zusammengesetzter Funktionen (Produktregel, Kettenregel) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: GK: 16 Std. Gesamt: Q1-GK: 100 Stunden Unterrichtsvorhaben II: Thema: Das Integral, ein Schlüsselkonzept (Von der Änderungsrate zum Bestand, Integral- und Flächeninhalt, Integralfunktion) Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren, Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung Zeitbedarf: GK: 20 Std. Unterrichtsvorhaben V: Thema: Geraden und Skalarprodukt (Bewegungen und Schattenwurf) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Skalarprodukt Zeitbedarf: GK: 20 Std. Unterrichtsvorhaben III: Thema: Exponentialfunktion (natürlicher Logarithmus, Ableitungen) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: GK: 16 Std. 17
Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Q2-GK Unterrichtsvorhaben VI: Thema: Ebenen als Lösungsmengen linearer Gleichungen (Untersuchung geometrischer Objekte) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: GK: 18 Std. Gesamt: Q2-GK: 52 Stunden Unterrichtsvorhaben VIII-1 Thema: Wahrscheinlichkeit Statistik: Ein Schlüsselkonzept Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Problemlösen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Zeitbedarf: GK: 22 Std. Unterrichtsvorhaben X: Thema: Von Übergängen und Prozessen Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse Zeitbedarf: GK: 12 Std. 18
2.1.4 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Grundkurs Unterrichtsvorhaben I Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung beschreiben notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten verwenden Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurückführen und diese lösen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben, bestimmen ( Steckbriefaufgaben ) Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang interpretieren Kapitel I Eigenschaften von Funktionen 1 Wiederholung: Ableitung 2 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 3 Kriterien für Extremstellen 4 Kriterien für Wendestellen 5 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen 6 Ganzrationale Funktionen bestimmen 7 Funktionen mit Parametern Wiederholen Vertiefen Vernetzen Modellieren Strukturieren Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen. Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Begründen Werkzeuge nutzen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen einfache und komplexe mathematische Probleme, analysieren und strukturieren die Problemsituation erkennen und formulieren, Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln, ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, einschränkende Bedingungen berücksichtigen einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen nutzen, vermehrt logische Strukturen berücksichtigen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder- Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen), Digitale Werkzeuge nutzen zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Funktionen (grafisch und als ertetabelle), zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle 19
Unterrichtsvorhaben II Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Funktionen und Analysis Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe interpretieren, die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext deuten, zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion skizzieren an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs erläutern und vollziehen geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion erläutern Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen, die Intervalladditivität und Linearität von Integralen nutzen den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate (LK oder der Randfunktion) ermitteln, Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten (LK: und uneigentlichen) Integralen ermitteln Integrale mithilfe von gegebenen (LK: oder Nachschlagewerken entnommenen) Stammfunktionen und numerisch(gk: auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge) bestimmen Kapitel II Schlüsselkonzept: Integral 1 Rekonstruieren einer Größe 2 Das Integral 3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 4 Bestimmung von Stammfunktionen 5 Integral und Flächeninhalt Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Rezipieren Produzieren Werkzeuge nutzen Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur präzisieren, Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen wechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren Digitale Werkzeuge nutzen zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen, und Abszisse, 20
Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Funktionen und Analysis Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung Kapitel II Schlüsselkonzept: Integral (Fortsetzung) Wahlthema Mittelwerte von Funktionen Argumentieren Vermuten Begründen Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur präzisieren, Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären Wiederholen Vertiefen Vernetzen Exkursion Stetigkeit und Differenzierbarkeit Kommunizieren Rezipieren Produzieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen wechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren Werkzeuge nutzen Digitale Werkzeuge nutzen zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse, Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen, 21
Unterrichtsvorhaben III Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Eigenschaften von Exponentialfunktionen beschreiben die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bilden die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion beschreiben die Ableitung von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen und deren Ableitung bilden Wachstums- und Zerfallsvorgänge mit Hilfe funktionaler Ansätze untersuchen Kapitel III Exponentialfunktion 1 Wiederholung 2 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung 3 Natürlicher Logarithmus Ableitung von Exponentialfunktionen 4 Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum Wiederholen Vertiefen Vernetzen Modellieren Strukturieren Validieren Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen Werkzeuge nutzen Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen An-nahmen reflektieren Muster und Beziehungen erkennen, Informationen recherchieren ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen einschränkende Bedingungen berücksichtigen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können, Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit beurteilen Digitale Werkzeuge nutzen zum Erkunden Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle), grafischen Messen von Steigungen, Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen 22
Unterrichtsvorhaben IV Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen bilden (Summe, Produkt, Verkettung) die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen anwenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen anwenden, die Ableitungen von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten bilden verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten Parameter von Funktionen im Kontext interpretieren Kapitel IV Zusammengesetzte Funktionen 1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Summe, Produkt, Verkettung 2 Produktregel 3 Kettenregel 4 Zusammengesetzte Funktionen untersuchen 5 Zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang Wiederholen Vertiefen Vernetzen Problemlösen Lösen Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen Kommunizieren heuristische Strategien und Prinzipien nutzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen Vermutungen aufstellen, beispielgebunden unterstützen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren, math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen sowie Argumente zu Argumentationsketten verknüpfen, verschiedene Argumentationsstrategien nutzen lückenhafte Argumentationsketten erkennen und vervollständigen, fehlerhafte Argumentationsketten erkennen und korrigieren Produzieren eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, Fachsprache und fachspezifische Notation verwenden, Werkzeuge nutzen Digitale Werkzeuge nutzen zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen. 23
Unterrichtsvorhaben V Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Analytische Geometrie und lineare Algebra Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Skalarprodukt Geraden in Parameterform darstellen den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext interpretieren Strecken in Parameterform darstellen die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen interpretieren Lagebeziehungen zwischen Geraden untersuchen Schnittpunkte von Geraden berechnen und sie im Sachkontext deuten das Skalarprodukt geometrisch deuten und es berechnen Kapitel V Geraden* 1 Wiederholung: Punkte im Raum, Vektoren, Rechnen mit Vektoren 2 Geraden 3 Gegenseitige Lage von Geraden 4 Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt Modellieren Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern Werkzeuge nutzen Geodreiecke, geometrische Modelle und dynamische Geometrie-Software nutzen; Digitale Werkzeuge nutzen zum grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden, Darstellen von Objekten im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum untersuchen (Orthogonalität, Winkelund Längenberechnung) 5 Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt Wiederholen Vertiefen Vernetzen * Kapitel V kann auch vorgezogen werden, es verwendet keine Kompetenzen, die in Kapitel I bis IV erworben werden 24
Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Q2-GK Unterrichtsvorhaben VI Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Analytische Geometrie und lineare Algebra lineare Gleichungssysteme Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lagebeziehungen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise darstellen den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme beschreiben den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind, anwenden die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen interpretieren Ebenen in Parameterform darstellen Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen untersuchen Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen berechnen und sie im Sachkontext deuten Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen berechnen und sie im Sachkontext deuten Kapitel VI Ebenen 1 Das Gauß-Verfahren 2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 3 Ebenen im Raum - Parameterform 4 Lagebeziehungen 5 Geometrische Objekte und Situationen im Raum Problemlösen Erkunden Lösen Reflektieren Kommunizieren Produzieren Diskutieren Werkzeuge nutzen wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...]Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [ ])nutzen, einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen, verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten vergleichen, Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz beurteilen und optimieren, Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren. die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang verwenden, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität vergleichen und beurteilen. Digitale Werkzeuge nutzen zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Objekten im Raum Wiederholen Vertiefen Vernetzen 25
Unterrichtsvorhaben IV Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Stochastik Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Testen von Hypothesen untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben, den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen erläutern den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen bestimmen und damit prognostische Aussagen treffen Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente verwenden die Binomialverteilung erklären und damit Wahrscheinlichkeiten berechnen den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung beschreiben Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen nutzen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit schließen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit schließen Kapitel VIII Wahrscheinlichkeit Statistik 1 Daten darstellen und durch Kenngrößen beschreiben 2 Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen 3 Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung 4 Praxis der Binomialverteilung 5 Problemlösen mit der Binomialverteilung Wahlthema Von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen Wiederholen Vertiefen Vernetzen Modellieren Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf konkrete Fragestellungen erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter [ ] Modelle für die Fragestellung beurteilen, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen reflektieren. Problemlösen Erkunden Reflektieren Kommunizieren Diskutieren Werkzeuge nutzen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen, die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen, Ergebnisse vor dem Hintergrund der Fragestellung interpretieren Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet und konstruktiv Stellung nehmen, Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbeiführen Digitale Werkzeuge nutzen zum Generieren von Zufallszahlen, Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten, Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial-verteilten Zufallsgrößen. 26
Unterrichtsvorhaben X Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Stochastik Stochastische Prozesse stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen beschreiben Kapitel X Stochastische Prozesse 1 Stochastische Prozesse 2 Stochastische Matrizen Modellieren Strukturieren Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zuordnen Problemlösen Erkunden eine gegebene Problemsituation analysieren und strukturieren, heuristische Hilfsmittel auswählen, um die Situation zu erfassen, Muster und Beziehungen erkennen die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse verwenden (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände). 3 Matrizen multiplizieren 4 Potenzen von Matrizen - Grenzverhalten Werkzeuge nutzen Digitale Werkzeuge nutzen zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen. Wiederholen Vertiefen Vernetzen 27
2.1.5 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Leistungskurs Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Q1-LK Unterrichtsvorhaben I: Thema: Eigenschaften von Funktionen (Höhere Ableitungen, Besondere Punkte von Funktionsgraphen, Funktionen bestimmen, Parameter) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Funktionen als mathematische Modelle Zeitbedarf: LK: 30 Std. Unterrichtsvorhaben IV: Thema: Untersuchung zusammengesetzter Funktionen (Produktregel, Kettenregel) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: LK: 32 Std. Gesamt: Q1-LK: 140 Stunden Unterrichtsvorhaben II: Thema: Das Integral, ein Schlüsselkonzept (Von der Änderungsrate zum Bestand, Integral- und Flächeninhalt, Integralfunktion) Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren, Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung Zeitbedarf: LK: 32 Std. Unterrichtsvorhaben V: Thema: Geraden und Skalarprodukt (Bewegungen und Schattenwurf) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Skalarprodukt Zeitbedarf: LK: 20 Std. Unterrichtsvorhaben III: Thema: Exponentialfunktion (natürlicher Logarithmus, Ableitungen) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: LK: 26 Std. 28
Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Q2-LK Unterrichtsvorhaben VI: Thema: Ebenen als Lösungsmengen linearer Gleichungen (Untersuchung geometrischer Objekte) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: LK: 20 Std. Unterrichtsvorhaben VIII-2 Thema: Signifikant und relevant? Testen von Hypothesen Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Testen von Hypothesen Zeitbedarf: LK: 16 Std. Gesamt: Q2-LK: 114 Stunden Unterrichtsvorhaben VII Thema: Abstände und Winkel Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen und Abstände Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: LK: 24 Std. Unterrichtsvorhaben IX Thema: Ist die Glocke normal? Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Normalverteilung Zeitbedarf: LK: 16 Std. Unterrichtsvorhaben VIII-1 Thema: Wahrscheinlichkeit Statistik: Ein Schlüsselkonzept Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Problemlösen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Zeitbedarf: LK: 24 Std Unterrichtsvorhaben X: Thema: Von Übergängen und Prozessen Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse Zeitbedarf: LK: 14 Std. 29
2.1.4 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Leistungskurs Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Q1-LK Unterrichtsvorhaben I Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung beschreiben notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten verwenden Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurückführen und diese lösen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben, bestimmen ( Steckbriefaufgaben ) Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext interpretieren und ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen untersuchen Kapitel I Eigenschaften von Funktionen 1 Wiederholung: Ableitung 2 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 3 Kriterien für Extremstellen 4 Kriterien für Wendestellen 5 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen 6 Ganzrationale Funktionen bestimmen 7 Funktionen mit Parametern 8 Funktionenscharen untersuchen Modellieren Strukturieren Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen. Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Begründen Werkzeuge nutzen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen einfache und komplexe mathematische Probleme, analysieren und strukturieren die Problemsituation erkennen und formulieren, Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln, ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, einschränkende Bedingungen berücksichtigen einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen nutzen, vermehrt logische Strukturen berücksichtigen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder- Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen), Digitale Werkzeuge nutzen zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Funktionen (grafisch und als ertetabelle), zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Wiederholen Vertiefen Vernetzen 30