LAND BRANDENBURG Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2010 Aufgabenvorschlag Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache, nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner, an der Schule eingeführtes Tafelwerk/ Formelsammlung 270 Minuten inkl. Lese- und Auswahlzeit Aufgabenstellung 1 Thema/Inhalt: Hinweis: Analysis Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 1.1 oder 1.2 zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung 2 Thema/Inhalt: Hinweis: Analytische Geometrie Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 2.1 oder 2.2 zur Bearbeitung aus. Aufgabenstellung 3 Thema/Inhalt: Hinweis: Stochastik Wählen Sie eine der beiden Aufgaben 3.1 oder 3.2 zur Bearbeitung aus.
Aufgabe 1.1: Skihalle Gegeben ist die Funktionenschar f a mit Der Graph der Funktion f a sei G a. In der Anlage sind einige Graphen G a dargestellt. a x a( x) ( x a) e, IR; a IR, a 0 f x. a) Ermitteln Sie die Nullstelle von f a, die Koordinaten und Art des Extrempunktes sowie die Koordinaten des Wendepunktes von G a in Abhängigkeit vom Parameter a. Auf den Nachweis der Existenz des Wendepunktes wird verzichtet. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente t a. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f a für x und x. a x [Kontrollergebnis: f '( x) ( x a 1) e ] 2a 1 b) Alle Extrempunkte 1 a e a E a der Graphen a G liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für h und zeichnen Sie den Graphen von h In das vorhandene Koordinatensystem. a x c) Weisen Sie nach, dass für alle Funktionen f a die Gleichung fa( x) fa '( x) e gilt. Ermitteln Sie eine Stammfunktion von f a. a x [Kontrollergebnis: F x 1 a x) e c a ( ] d) Berechnen Sie den Inhalt der zwischen G a und der x-achse liegenden Fläche über dem Intervall a; 2 a. e) Der Graph der Funktion f 1 beschreibt für x 0 im Modell das Profil der Skipiste in einer Skihalle (1 LE = 10 m). Das Profil des Hallenbodens liegt auf der x-achse. Der Querschnitt des Unterbaus der Piste ist ein rechtwinkliges Trapez, das begrenzt wird durch die beiden Koordinatenachsen, einer Parallelen zur x-achse durch den Wendepunkt W 1 1 2 von G 1 und der zugehörigen Wendetangente t 1 (x) = -x +3. Der Raum oberhalb des Unterbaus wird mit Kunstschnee aufgefüllt, bis die gewünschte Profilform der Piste erreicht ist. Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Kunstschnee für eine Piste von 25 m Breite und einer waagerechten Länge von 60 m hergestellt werden müssen. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE 19 6 6 4 5 40 Seite 3 von 25 10_Ma_L_A1.1_V1
Name:... Anlage zu Aufgabe 1.1 Seite 4 von 25 10_Ma_L_A1.1_V1
Aufgabe 1.2: Brückenträger Gegeben sind die Funktionen f a mit der Gleichung Die Graphen dieser Funktionen f a seien G a. f a 2 a x + 3 ( x) = ; 2x 1 a IR. a) Geben Sie den Definitionsbereich von f a an und bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f a für x + und x in Abhängigkeit von a für a 0. G hat den lokalen Extrempunkt ( ( )) b) Einer der Graphen a E 1 fa 1. Bestimmen Sie für diesen den Wert des Parameters a und die Art des Extrempunktes E. Der zum berechneten Parameterwert a = 1, 5 gehörende Graph hat einen weiteren lokalen Extrempunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten und die Art. 2 2ax 2ax 6 [Kontrollergebnis: f a ( x) = ] 2 (2x 1) c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen G a auf der y-achse schneiden. Weisen Sie nach, dass die Graphen G a in diesem gemeinsamen Punkt gemeinsame Tangente t haben und ermitteln Sie deren Gleichung. S y auch eine d) Der Querschnitt eines Brückenträgers entspricht in guter Näherung modellhaft der Fläche, die der Graph G 1 und die Geraden x = 8 und x = 0, 5 mit der x-achse einschließen. Berechnen Sie die Größe dieser Fläche auf zwei Dezimalstellen gerundet. - 8-0,5 e) Berechnen Sie im Intervall 8 x 4 den mittleren Anstieg von G 1. Zeigen Sie, dass die untere Begrenzung des Brückenträgers aus Teilaufgabe d) auch sehr gut durch eine Gerade beschrieben werden kann, indem Sie nachweisen, dass sich der mittlere Anstieg und der maximale Anstieg von G 1 in diesem Intervall um weniger als 0,02 unterscheiden. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE 4 17 3 7 9 40 Seite 7 von 25 10_Ma_L_A1.2_V2
Aufgabe 2.1: Haus am Hang Die Ebene E ist durch die Gleichung y 10z 0 gegeben. E stellt einen Hang dar, auf dem ein Haus errichtet werden soll. Wegen der Hanglage des Grundstücks müssen ein Fundament und eine zur x-y-ebene parallele, rechteckige Bodenplatte mit den Eckpunkten A 10 4 0,5, B 0 4 0,5, C 0 5 0,5 und D 10 5 0,5 gebaut werden, auf der das Haus aufgestellt werden kann. Das Dach des Hauses reicht an zwei Seiten bis auf die Bodenplatte herunter (sog. Nur-Dach-Haus ). Die vordere und die hintere Dachspitze sind durch die Punkte S 5 4 8 und T 5 5 8 gegeben. Eine Längeneinheit entspricht 1 m. a) Weisen Sie nach, dass die Punkte C und D direkt auf dem Hang liegen. Zeichnen Sie das Haus in das vorgegebene Koordinatensystem ein. b) Die Hangneigung wird durch die in E verlaufenden Geraden h und k verdeutlicht. Die Gerade h geht durch die Punkte D und P 10 4 0,4, und k verläuft parallel zu h durch C. Geben Sie für h und k eine Geradengleichung an und ergänzen Sie in Ihrer Zeichnung beide Geraden. c) Die Geschossdecke verläuft 2,5 m oberhalb der Bodenplatte. Berechnen Sie die vier Eckpunkte der Decke und die Größe der Deckenfläche. d) An der Giebelseite ABS soll eine Terrasse mit den Eckpunkten, B, F 0 7 0,5 10 7 0,5 A und G gebaut werden. Dazu wird eine senkrechte Begrenzungsmauer ringsum die Terrasse bis zur Höhe der Bodenplatte errichtet und der entstehende Hohlraum mit Erde verfüllt. Zeichnen Sie die Terrasse und die Begrenzungsmauer in Ihre Zeichnung ein. Berechnen Sie das Volumen der benötigten Erde. Die Wandstärke der Begrenzungsmauer soll nicht berücksichtigt werden. e) Die Dachspitze S wirft an sonnigen Tagen einen Schattenpunkt S auf den Boden der Terrasse. Die Richtung der Sonnenstrahlen ändert sich mit der Zeit t und ist durch 5t r r ( t) (1 t) 1,5 gegeben. 7,5 Geben Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S in Abhängigkeit von t an. Berechnen Sie zwischen welchen zwei Punkten sich der Schattenpunkt in einer Stunde ( 0 t 1) bewegt. Beschreiben Sie die Lage dieser Punkte auf der Terrasse und die Bewegungslinie des Schattenpunktes. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE 4 4 7 8 7 30 Seite 10 von 25 10_Ma_L_A2.1_V1
Name:... Anlage: Haus am Hang Seite 11 von 25 10_Ma_L_A2.1_V1.doc
Aufgabe 2.2: Dreieck, Viereck, Quader Gegeben sind die Punkte Am ( 5 3m + 1 1), Bm ( 1 2 2m + 1) für m / R und C ( 1 1 1). a) Gegeben sind die Eckpunkte A 2, B 2 undc eines Dreiecks. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels A 2 CB 2. Untersuchen Sie, ob auch die Punkte A B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind. 3, 3 b) Die Geraden g m verlaufen durch den Punkt C und die Punkte A m. Die Geraden h m verlaufen durch den Punkt C und die Punkte B m. Stellen Sie eine Gleichung für die Geradenschar f m auf, die durch den Punkt C und sowohl zu g m als auch zu h m orthogonal verläuft. Prüfen Sie, ob Geraden f m existieren, die I) zur y-z-ebene parallel verlaufen, II) zur z-achse parallel verlaufen. c) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D des Parallelogramms A B 1 CD Berechnen Sie eine Höhe dieses Parallelogramms. 1. d) Die Punkte A m und B m seien die Eckpunkte von Quadraten. Zeigen Sie, dass ein m / R existiert, so dass das Quadrat einen extremalen Flächeninhalt hat. 1 e) Für 1 m bilden die Punkte A 3 m eine Kante eines Quaders und die Punkte zweite Kante dieses Quaders. Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte dieses Quaders an. B m eine Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE 7 8 7 4 4 30 Seite 14 von 25 10_Ma_L_A2.2_V1
Aufgabe 3.1: Schülerumfrage Nach einer repräsentativen Umfrage unter Schülern haben 97 % ein Handy, 75 % einen Computer und 60 % eine Spielekonsole. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer zufällig ausgewählten Gruppe von 100 Schülern A: alle ein Handy haben, B: mehr als 50 und weniger als 70 eine Spielekonsole haben. b) Berechnen Sie, wie viele Schüler mindestens gefragt werden müssen, um mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens einen Schüler zu finden, der kein Handy besitzt. c) Der eines Gymnasiums hat 12 Schüler; davon haben 10 einen Computer und sechs eine Spielekonsole. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von vier zufällig ausgewählten Schülern des es mindestens drei einen Computer besitzen. d) Eine genauere Auswertung der Umfrage ergab, dass unter den Handybesitzern sogar 76,2 % einen Computer haben, unter den Nicht-Handybesitzern nur 36,2 %. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Schüler kein Handy, aber einen Computer besitzt. Bestätigen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass sich aus diesen Umfragewerten für den Anteil der Schüler, die einen Computer haben, tatsächlich 75 % ergeben. e) Ein Gymnasium hat 1260 Schüler. Geben Sie an, wie viele Computerbesitzer unter den Schülern zu erwarten sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 900 aber höchstens 950 Schüler einen Computer besitzen. f) Durch einen Sponsor bekommen alle 160 Schüler der 11. Klassen des besagten Gymnasiums einen neuen Computer. Jens wettet daraufhin mutig mit seinem Freund Max, dass nach dieser Spende der Anteil der Computerbesitzer an der Schule auf mindestens 80 % gestiegen ist. Zeigen Sie, dass Jens die Wette verliert, wenn weniger als 848 Schüler außerhalb der 11. Klassen einen Computer besitzen. Berechnen Sie mithilfe dieses Ergebnisses die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jens diese Wette verliert. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE 7 4 4 3 6 6 30 Seite 17 von 25 10_Ma_L_A3.1_V3
N 100 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 p 0,05 0,10 0059 0371 1183 2578 4360 6160 7660 8720 9369 9718 9885 9957 0003 0019 0078 0237 0576 1172 2061 3209 4513 5832 7030 8018 8761 9274 9601 9794 9900 9954 9980 n k 0,95 0,90 1 6 0004 0013 0038 0095 0231 0427 0777 1297 2000 2874 3877 4942 5994 6965 7803 8481 8998 9370 9621 9783 9881 9938 9969 0,20 0,25 0,30 0003 0009 0023 0057 0126 0253 0469 0804 1285 1923 2712 3621 4602 5595 6540 7389 8109 8686 9125 9442 9658 9800 9888 9939 9969 Anlage zu Aufgabe 3.1 0004 0010 0025 0054 0111 0211 0376 0630 0995 1488 2114 2864 3711 4617 5535 6417 7224 7925 8505 8962 9307 9554 9723 9836 9906 9948 9973 9986 Summierte Binomialverteilungen 0002 0004 0010 0022 0045 0089 0165 0288 0479 0755 1136 1631 2244 2964 3768 4623 5491 6331 7107 7793 8371 8839 9201 9470 9660 9790 9875 9928 9960 9979 1 3 0002 0005 0011 0024 0048 0091 0164 0281 0458 0715 1066 1524 2093 2766 3525 4344 5188 6019 6803 7511 8123 8630 9034 9341 9566 9724 9831 9900 9943 9969 9983 Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist 0,, alle freien Plätze bzw. weggelassenen k-werte links unten enthalten 1,0000, rechts oben 0,0000. Wenn die Tabelle von unten gelesen wird (p > 0,5), dann ist der richtige Wert 1 (abgelesener Wert). 5 6 0,80 0,75 0,70 2 3 0,40 0,45 0,50 K 0003 0006 0012 0024 0046 0084 0148 0248 0398 0615 0913 1303 1795 2386 3068 3822 4621 5433 6225 6967 7635 8211 8689 9070 9362 9577 9729 9832 9900 9942 9968 9983 0002 0004 0008 0015 0030 0055 0098 0166 0272 0429 0651 0951 1343 1831 2415 3087 3828 4613 5413 6196 6931 7596 8173 8654 9040 9338 9559 9716 9824 9894 9939 9966 9982 0002 0004 0009 0018 0033 0060 0105 0176 0284 0443 0666 0967 1356 1841 2421 3087 3822 4602 5398 6178 6914 7579 8159 8644 9033 9334 9557 9716 9824 9895 9940 9967 9982 0,60 0,55 0,50 p 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 k Seite 18 von 25 10_Ma_L_A3.1_V3.doc
Anlage zu Aufgabe 3.1 Standardnormalverteilung Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist 0,. Bei negativen Werten liest man nach der Gleichung Φ( z) = 1 Φ(z) ab. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 5000 5398 5793 6179 6554 6915 7257 7580 7881 8159 8413 8643 8849 9032 9192 9332 9452 9554 9641 9713 9772 9821 9861 9893 9918 9938 9953 9965 9974 9981 9987 9990 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9987 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9987 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9988 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7704 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9988 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 5279 5675 6064 6443 6808 7157 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9990 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8133 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 9990 Beispiele: Φ(2,37) = 0,9911; Φ( 2,37) = 1 Φ(2,37) = 1 0,9911 = 0,0089; Φ(z) = 0,7910 z = 0,81; Φ(z) = 0,2090 = 1 7910 z = 0,81. Seite 19 von 25 10_Ma_L_A3.1_V3.doc
Aufgabe 3.2 : Infektionskrankheit In einem Landesteil sind 7 % der Bevölkerung von einer medikamentös behandelbaren Infektionskrankheit K betroffen, die von zwei Erregern E 1 bzw. E 2 verursacht wird. Im Folgenden kann davon ausgegangen werden, dass nicht beide Erreger gleichzeitig auftreten. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Unter 25 zufällig ausgewählten Bewohnern dieses Landesteils befinden sich höchstens 23 Personen, die nicht an K erkrankt sind. B: Unter 2500 zufällig ausgewählten Bewohnern des Landesteils befinden sich mehr als 159 Personen, die an K erkrankt sind. b) Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass ein Bluttest 98,8 % der an K erkrankten Personen und 99,1 % der nicht an K erkrankten Personen richtig diagnostiziert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis, d. h., dass die Person als gesund ausgewiesen wird. Ein Patient hat sich dem Bluttest unterzogen. Der Test weist ihn als gesund aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: C: Der Patient ist dennoch an K erkrankt. c) Zur Behandlung von K gibt es nur ein Medikament M, das beim Vorliegen von E 1 zu 40 % und beim Auftreten von E 2 zu 90 % heilt. In einer Studie wurde festgestellt, dass 69 % der Patienten mit M geheilt wurden. Berechnen Sie den Anteil p ( 0 < p < 1) derjenigen Patienten, die mit dem Erreger E 1 infiziert wurden. d) Der Inhaber einer Apotheke in dem Landesteil erwartet in der kommenden Woche 750 Kunden, von denen vermutlich 4,5 % das Medikament M benötigen werden. Die Zufallsgröße Z beschreibe die Anzahl der Kunden, die M kaufen wollen. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße Z. Berechnen Sie, wie viele Packungen dieses Medikamentes zu Wochenbeginn am Lager sein müssten, damit der Vorrat mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 0,975 ausreicht. e) Im Wartezimmer einer Arztpraxis, die in dem Landesteil gelegen ist, befinden sich 30 Patienten, von denen vier an einer Erkältung, m (m N, 0 < m < 26) an der Krankheit K und der Rest an anderen Krankheiten leiden. Es werden drei Patienten zufällig gleichzeitig ausgewählt. Bestimmen Sie m für den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter ihnen einer an einer Erkältung, einer an K und einer an einer anderen Krankheit leidet, maximal ist. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE 9 7 4 6 4 30 Seite 22 von 25 10_Ma_L_A3.2_V2
Anlage zur Aufgabe 3.2 Standardnormalverteilung Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist 0,. Bei negativen Werten liest man nach der Gleichung Φ( z) = 1 Φ(z) ab. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 5000 5398 5793 6179 6554 6915 7257 7580 7881 8159 8413 8643 8849 9032 9192 9332 9452 9554 9641 9713 9772 9821 9861 9893 9918 9938 9953 9965 9974 9981 9987 9990 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9987 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9987 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9988 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7704 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9988 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 5279 5675 6064 6443 6808 7157 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9990 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8133 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 9990 Beispiele: Φ(2,37) = 0,9911; Φ( 2,37) = 1 Φ(2,37) = 1 0,9911 = 0,0089; Φ(z) = 0,7910 z = 0,81; Φ(z) = 0,2090 = 1 7910 z = 0,81. Seite 23 von 25 10_Ma_L_A3.2_V2.doc