A B A B A B B \A A (B C) = (A B) (A C) A B Def. = {x x A oder x B} = {x x B oder x A} = B A. Def

à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ ÁÑ ÓÐ Ò Ò Ø Ö Ò ÖØ Ò Ö ÒÓ Ñ Ð Ö Ô Ö Ø ÐÐغ A B A B A B A B A B A B A\B B \A A B A B ½º¾ Ê ÒÖ ÐÒ Ö Å Ò Ò ½º Ë ØÞ Ë Ò ÙÒ Å Ò Òº ÒÒ ÐØ Ò ÓÐ Ò Ê ÒÖ ÐÒ Ö Å Ò Ò µ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ A B = B A ÙÒ A B = B A µ ÓÞ Ø Ú ØÞ A B C = A B C ÙÒ A B C = A B C. A B C = A B A C µ ØÖ ÙØ Ú ØÞ A B C = A B A C Û º Ö Û Ö Ø Ò Ù Ò ÒØ ÔÖ Ò Ò Ê ÐÒ Ö ÙÒ ÙÒ Ó Ö º A B Def = {x x A oder x B} = {x x B oder x A} Def = B A ÞÛ Ø Ð Ø Þ Ò ÓÐ Ø Ù Ö Ï Ö Ø Ø ÐÐ º

à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ ½º½½ Ñ Ö ÙÒ ÎÓÐÐ ØÒ ÁÒ Ù Ø ÓÒµ ÚÓÖ Û Ö Ò Ë ØÞ Û Ò Ù Ò Û Ö ÙÒ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÐÙ Û Ñ Ø Ó Ò ÚÓÐÐ ØÒ ÁÒ Ù Ø ÓÒº Ë z Z ÙÒ Ñ n Z Ñ Ø n z Ò Ù Xn ÞÙ ÓÖ Ò Øº Ð Ø ÐØ Ø ÚÓÒ Xn Ö ÐÐ n z ÞÙ Þ Òº ÞÙ Ö ÞÛ Ö Û Ö ØØ º ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò Ò Xz Ø Ö Ø º ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ö ØØ ÍÒØ Ö Ö ÒÒ Ñ Xn Ö Ø Ø Ö ÐÐ z m n Û Ö Ê Ø Ø ÚÓÒ Xn+1 Þ Øº Ë ØÞ ½º½¼º Ë ØÞ z = 0, Xn Á Ø A Ò Ó Ø PA = 2 n º ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò Ò X0 Ø Ö Ø Ø Ø ÞÙ Þ Ò Á Ø ¼ Ó Ø PA = 2 0 = 1º Ø Ð Ö A = ÙÒ P = { } = 1 º ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ö ØØ ÒÒ Ñ Xm Ø Ö Ø Ö ÐÐ 0 m nº Ø Ö ÐÐ Å Ò Ò B Ñ Ø B Ò ÒÒ ÐØ PB = 2 n º Ð Ø ÞÙ Þ Ò Á Ø A Ò Å Ò Ñ Ø A Ò ½ PA = 2 n+1 º Ë ÒÙÒ A ß º º º Ð Ñ Ø A Ò ½º ÒÒ Ø A º Ë a A Ð ÙÒ ØÞ A = A\{a}º ÒÒ Ø A Òº ØÖ Ø Ò Û Ö ÒÙÒ Ò Ð Ì ÐÑ Ò B ÚÓÒ A Ó ÙÒØ Ö Ò Û Ö ¾ Ú Ö Ò ÐÐ ½º ÐÐ a B Û Ö Ò B Ø ÚÓÑ ÌÝÔ ½µº ÒÒ Ø B Ø ÐØ B = {a} B ÛÓ B = B\{a} A º Á Ø Ò Ö Ö Ø C A Ó Ø C {a} Ò Ì ÐÑ Ò ÚÓÒ A ÚÓÑ ÌÝÔ ½º ÐØ Ë Ò B 1,B 2 ÚÓÑ ÌÝÔ ½ Ñ Ø B 1 = B 2 Ó Ø B 1 = B 2. Ë Ò C 1,C 2 A Ñ Ø C 1 {a} = C 2 {a}, Ó Ø C 1 = C 2. Ð Ó Ø ÒÞ Ð Ö Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ A ÚÓÑ ÌÝÔ ½ Ð Ö ÒÞ Ð Ö Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ A³ Ñ Ø 2 A = 2 n º ¾º ÐÐ Ë a / B Û Ö Ò ÒÒ Ø ÚÓÑ ÌÝÔ ¾µº ÒÒ ÐØ Ó Ò ØÐ a / B B Aº Ð Ó Ø ÒÞ Ð Ö Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ ÚÓÑ ÌÝÔ ¾ Ð A = 2 n. ÁÒ ÑØ Ö Ø ÒÒ PA = Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÑ ÌÝÔ ½ Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÑ ÌÝÔ ¾ = 2 n +2 n = 2 2 n = 2 n+1. Ö ÈÙÒ Ø Ö Ñ Î Ö Ò ÙÒ Þ Ò ÙØ Ø Î Ö Ò ÙÒ ¹ ÙÒ Ø Øº

à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ ¾µ ÐØ m m Ó ÐØ Ù m mº ËÝÑÑ ØÖ µ µ ÐØ m m m m, Ó ÐØ Ù m m º ÌÖ Ò Ø Ú Øص ½º½ Ô Ð Ë M = Nº ÒÒ Û Ö ÙÖ R = {m,m m M} Ð Ó ÙÖ Ð Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒÞÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÖØ Ø º ½º½ Ë ØÞ Ë M Ò Å Ò º µ Ë Ò ÕÙ Ú Ð ÒÞÖ Ð Ø ÓÒ Ù Mº Á Ø m M Ó Ò Ö Ò Û Ö Tm = {m m M,m m}º ÒÒ ÐØ M = Tm. ÖÒ Ö Ø m M 0, Ö m / Tm Tm Tm = Tm = Tm, Ö m Tm Å Ò Ò Tm Ò ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ð Ò Ò M ÞÙ º Ï Ð Ò Û Ö Ù Ñ Tm Ò Ð Ñ ÒØ m ÙÒ Ò ÒÒ Ò Û Ö Ó Ð Ø Å Ò V Ó ÐØ M = Ñ Ø Ö Ò Ø Ta Tb = Ö a,b V ÙÒ a bº m V M Ø Ð Ó ÙÒ Ø Î Ö Ò ÙÒ Ö Tm Ñ Ø Û Ö Ò ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ M Ð Öغ µ Ë M = j J m V º Ö Ò Ö ÒÒ Ò M j Ñ Ø M j º Ë ØÞ ÒÙÒ m m ÐÐ m ÙÒ m Ò Ñ Ð Ò M j Ð Òº ÒÒ Û Ö ÙÖ Ò ÕÙ Ú Ð ÒÞÖ Ð Ø ÓÒ Ù M Ò Öغ Û º µ Ë m M Ï Ò m m Ø m Tm º Ö ÐØ M M = Tmº m M m M Tm M. Ð Ó ÐØ Ë ÒÙÒ m Tm ÒÒ ÐØ Ò Ò Ø ÓÒ m mº Ë ÒÙÒ m 0 Tm Ø m 0 m º Ï Ò Ö ÌÖ Ò Ø Ú ØØ ÐØ ÒÒ Ù m 0 m Ø m 0 Tmº Ö Ù ÓÐ Ø ÒÒ Tm Tmº Ù ËÝÑÑ ØÖ Ö Ò Ò ÐØ Ö Ù m m º Ö ÓÐ Ø Ò ÐÓ Tm Tm ÙÒ Ö Ø Tm = Tm º Ë ÒÙÒ m / Tmº Ò ÒÓÑÑ Ò Ü Ø ÖØ Ò m 0 Tm Tm º Ò ÐÓ ÞÙÑ Ö Ø Ò Ì Ð ÓÐ Ø Ö ÒÒ Tm = Tm 0 = Tm m. µ Ù Ð Ø ÒÞ Ò Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ñ Ä Ö Ð ÙÒ ¹ Ù ÖÐ Òº

½¼ à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ ¾º Ô Ð µ Ð ÙÒ f Ù ¾º¾ µ Ø ÙÖ Ø Úº Ð ÙÒ f Ù ¾º¾ µ Ø Ò Ø ÙÖ Ø Úº µ Ò Ö f HomQ, Q ÙÖ fa = 2a+3 Ö a Q f Ø Ò Ø Ú Ë fa 1 = fa 2 2a 1 +3 = 2a 2 +3 a 1 = a 2 f Ø ÙÖ Ø Ú Ë b Qº ÒÒ Ø Ò Ø ÖÐ Ù b 2 3 2 Qº Ö Ù ÓÐ Ø ÒÒ f b 2 3 2 = 2 b 2 3 2 = b Ù Ö Ê ÒÙÒ Ö Ø ÒÒ ËÙÖ Ø Ú ØØ ÙÒ Ñ Ø Ø f Ø Úº µ ØÖ Ø ÒÙÒ Ð ÙÒ f HomQ, Q Ò Ø ÖØ ÙÖ fa = a 2 ÒÒ Ø f Ò Ø Ò Ø Ú f1 = 1 2 = 1 2 = f 1º f Ø Ö Ù Ò Ø ÙÖ Ø Ú Ò Ð Ñ ÒØ a Q Ø Ñ Ø a 2 = 1º Å Ò Ø a Q Ò ÑÙ ÒÒ Û Ö Û Ö Ò ÔØ Ö Ö Ò Ø ÓÒ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò Ò Û Ö Ò Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ Ò Ò ÒÒ Òºµ ¾º Ò Ø ÓÒ ÃÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÚÓÒ Ð ÙÒ Òµ Ë f HomA,B ÙÒ g HomB,Cº ÒÒ Ø g f HomA,C ÃÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ö À ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù ÖÙÒ ÚÓÒ f Ñ Ø gº ÃÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø ÒÒ Ò ÖØ ÙÖ g fa = gfa Ö ÐÐ a Aº Ö Ô Ö Ø ÐÐÙÒ ÓÐÐ ÃÓÑÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ú Ö ÙØÐ Ò a A f B g C fa gfa g f ¾º Ô Ð Ë f HomZ, Q Ò ÖØ ÙÖ fa = a 2 ÙÒ g HomQ, R Ò ÖØ ÙÖ gb = b+1º ÒÒ Ø g f HomZ, R Ñ Ø g fa = gfa = ga 2 = a 2 +1

½¾ à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ µ Ü Ø ÖØ Ò Ù ÒÒ Ò Ð ÙÒ g HomA,B Ñ Ø g f = id A Û ÒÒ f Ò Ø Ú Øº f Ø ÒÒ Ò Ä Ò ÙÚ µ µ Ü Ø ÖØ Ò Ù ÒÒ Ò Ð ÙÒ h HomB,A Ñ Ø f h = id B ÐÐ f ÙÖ Ø Ú Øº f Ø Ò Ê Ø ÙÖÚ µ µ Ü Ø ÖØ Ò Ù ÒÒ Ò Ð ÙÒ g HomB,A Ñ Ø g f = id A,f g = id B Û ÒÒ f Ø Ú Ø º Ð ÙÒ g Ø ÙÖ f Ò ÙØ Ø ÑÑØ ÙÒ Ø Ø Úº g Ø ÒÒ Ù ÞÙ f ÒÚ Ö Ð ÙÒ Ó Ö ÒÙÖ ÁÒÚ Ö ÙÒ Û Ö Ñ Ö f 1 Þ Ò Øº Û º µ ÒÙÒg HomA,B Ñ Øg f = id A º Ë ÒÙÒfa 1 = fa 2 Ñ Ø a 1,a 2 Aº Ù Þ Ò Ø ÒÙÒ ÒÒ a 1 = a 2 º ÆÙÒ ÐØ a 1 = id A a 1 = g fa 1 = gfa 1 = gfa 2 = g fa 2 = id A a 2 = a 2 Ë ÒÙÒ f Ò Ø Úº Ï Ö Ñ Ò ÒÙÒ g HomB,A Ò Ò Ñ Ø g f = id A º f Ò Ø Ú Ø Ø ÞÙ b B Ø Ò Ò a A Ñ Ø fa = bº Ï Ö Ò Ö Ò ÒÙÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ g a, fallsb = fa Bildf g : B A ÙÖ gb = a 0, fallsb / Bildf mit a 0 A beliebig Ë ÒÙÒ a Aº ÒÒ Ø gfa = gfa = a = id A Ð Ó Ø gf = id A º µ ÒÙÒ Ò h HomB,A Ñ Ø fh = id B. Ë ÒÙÒ b B Ð º ÒÒ ÐØ b = id B b = fhb = fhb Bildfº Ð Ó Ø f ÙÖ Ø Úº Ë f ÒÙÒ ÙÖ Ø Úº ÒÒ Ü Ø ÖØ ÞÙ Ñ b B Ò a A Ñ Ø fa = bº Ò Ö ÒÙÒ h HomB,A ÙÖ hb = a Ñ Ø Ó Ñ aº ÒÒ Ø Ö fhb = fhb = fa = b = id B bº Ð Ó Ø fh = id B º µ ÒÙÒ Ò g HomB,A Ñ Ø gf = id A,fg = id B º Æ µ ÙÒ µ Ø f ÒÒ ÙÖ Ø Ú ÙÒ Ò Ø Ú ÙÒ Ö f Ø Úº ÒÙÒ f Ø Úº Æ µ Ü Ø ÖØ Ò g HomB,A Ñ Ø gf = id A ÙÒ Ò µ Ü Ø ÖØ Ò HomB,A Ñ Ø fh = id B º ÐØ ÒÒ g = g id B = gfh = gfh = id A h = h Å Ò Ø Ù g ÙÖ f Ò ÙØ Ø ÑÑØ Ø ÙÒ g Ò µ ÙÒ µ Ø Ú Øº

½ à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ ½µ Â Ñ a,b G G Ø Ò Ù Ò Ð Ñ ÒØ c G ÞÙ ÓÖ Ò Øº Ï Ö Ö Ò c = a b Ø Î Ö Ò Ô ÙÒ Ó Ö ÈÖÓ Ù Øµ Ù G ÔØ Ö a b = ab Ó Ö a+bµº ¾µ Ö ÐÐ a,b,c ÐØ a b c = a b c µ Ø e G Ñ Ø º e a = a Ö ÐÐ a G º Ù Ñ a G Ø Ò b G Ñ Ø b a = e º ÐØ Ù Ö ½µ ¾µ µ Ù µ a b = b a Ö ÐÐ a,b G Ó Ø G Ð º ƺ º Ð ½ ¼¾¹½ ¾ µ º Á Ø G Ò Ò Ð Å Ò Ó Ò ÒÒ Ò Û Ö G ÇÖ ÒÙÒ ÚÓÒ º º Ï Ö ÒÙÖ ½µ ÙÒ ¾µ ÓÖ ÖØ Ó Ø G Ò À Ð ÖÙÔÔ º º¾ Ô Ð º Â Å Ò Z, Q, R Ð Ø Þ Ð Ö Ø ÓÒ + Ò ÖÙÔÔ Ð ÖÙÔÔ µº ÖÙÔÔ Ò Þ Ò Ò Û Ö Ñ Ø Z +, Q +, R + º º Å Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò N Ø Þ Ð + Ò ÖÙÔÔ Ö À Ð ÖÙÔÔ µ Ø Ò e N Ñ Ø e+1 = 1º º Ë ØÞ R = {r r R,r 0} ÙÒ Ú ÖÛ Ò Ð Î Ö Ò Ô ÙÒ ÅÙÐØ ÔÐ ¹ Ø ÓÒº Ð ÖÙÔÔ µ º Ò Ù Ó Ø Q Ò Ð ÖÙÔÔ º Ë M º Ë ØÞ SM = {f ÀÓÑM,M f Ø Ú}º Ë Ò f,g SM Ó Ò Ö fg Û Ò ¾º º Æ ¾º Ø º½º º ½µ Ö ÐÐغ º½º º ¾µ Ø Ò ÐÐ Ò ¾º Ö ÐÐغ Æ ¾º½¼ Ò f 1,g 1 SMº º½º º µ Û Ö Ö ÐÐØ Ñ Ø e = id M º ÒØ ÐØ M Ñ Ò Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø SM Ò Ø Ð º Ë Ò m 1,m 2,m 3 Ö Ú Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ù M Ò Ö f,g SM ÙÖ fm 1 = m 2,fm 2 = m 1,fm 3 = m 3 gm 1 = m 1,gm 2 = m 3,gm 3 = m 2 ÙÒ fm = gm = m Ö ÐÐ m M {m 1,m 2,m 3 } fgm 1 = fgm 1 = fm 1 = m 2 gfm 1 = gfm 1 = gm 2 = m 3 Ð Ó fg gf

¾¼ à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ º Á Ø M = {a,b,c,...} Ó Ö Ù M = a,b,c,... ÙÒ ØÞ M 1 M k = M 1,...,M k º Ë ØÞ Ë G Ò ÖÙÔÔ ÙÒ M Gº Ë ØÞ M 1 = {m 1 m M}º ÒÒ M = {e,x 1 x n x j M M 1,n N}º Û º Ë U = {e,x 1 x n x j M M 1,n N}º Ç Ò ØÐ Ø ÈÖÓ¹ Ù Ø ÞÛ Ö Ð Ñ ÒØ Ù U Û Ö Ò U ÙÒ x 1 x n 1 = x 1 n x 1 1 Uº Ð Ó Ø M U G ÙÒ ÑÒ M Uº Ë u = x 1 x 2 x n Uº ÒÒ Ø x i M M 1 < M >º Ð Ó u = x 1 x n M º Ñ Ø Ø U M ÙÒ ÓÑ Ø U = M º º Ò Ø ÓÒ Ë G Ò ÖÙÔÔ ÙÒ U Gº Á Ø g G Ó ØÞ gu = {gu u U} Ä Ò Ò ¹ Ò Ð ÚÓÒ g Ò U ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ug = {ug u U} Ê Ø Ò Ò Ð ÚÓÒ g Ò Uº Ø gu = U g U ÒÒ Ë gu = Uº ÒÒ Ø g = ge gu = U Ë g Uº ÃÐ Ö gu Uº Ë u Uº ÒÒ Ø g 1 u U ÙÒ ÓÑ Ø u = g g 1 u guº Ð Ó U guº º Ò Ø ÓÒ Ë G Ò ÖÙÔÔ ÙÒ U Gº Ë Ò g,h G Ó Ö g h g 1 h U h guº Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒÞÖ Ð Ø ÓÒ Ù G ÒÒ º g guº Ð Ó g g g 1 g = e Uº º Ë g hº ÒÒ Ø h guº Ø h = gu Ñ Ø u Uº ÒÒ Ø Ù u 1 U ÙÒ h u 1 = gº Ø Ð Ó g gu = h u 1 U = huº Ð Ó h gº º Ë g h,s kº ÒÒ Ø h gu ÙÒ k huº ØÛ h = gu 1 ÙÒ k = hu 2 Ñ Ø u 1,u 2 Uº Ð Ó Ø k = gu 1 u 2 = gu 1 u }{{} 2 º Ð Ó k ku = gu 1 u 2 U = guº U Ð Ó Ø g kº ÞÙ Ö Ò ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ð Ò Ò Tg = {h G h g} =, ÐÐ h / gu {h G h gu} = guº Æ ½º ÐØ gu hu = gu = hu, ÐÐ h gu Ï Ð Ù Ö ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ð gu Ò Ù Ò Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ù Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ò Å Ò Lº ÒÒ Ø G = luº l L

º ÊÍÈÈ ÆÀÇź ÆÇÊÅ ÄÌ ÁÄ Ê ÍÆ ÃÌÇÊ Êº ¾ º Ë e Ò Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ Hº ÒÒ e αe = αe = αe 2 = αe αe Æ º αe = e º º αg 1 αg = αg 1 g = αe = e Ò ½ºµ αg αg 1 = αgg 1 = αe = a Ò ½ºµ Ð Ó αg 1 = αg 1 Û Ò Ö Ò ÙØ Ø Ö ÁÒÚ Ö Òº º Ë αg 1,αg 2 Bildα, g 1,g 2 Gº αg 1 αg 2 = αg 1 g 2 Bildα αg 1 1 = αg 1 1 Bildα Ð Ó Bildα Hº º Ë Ò g 1,g 2 Kernα º º αg 1 = αg 2 = e. αg 1 g 2 = αg 1 αg 2 = e e = e º g 1 g 2 Kernα. αg 1 = αg 1 1 = e 1 = e º º g 1 1 Kernα. Ð Ó Kernα Gº Ë Ò ÒÙÒ g 1,g 2 G ÙÒ x Kernα º º αx = e. αg 1 xg = αg 1 αx αg = αg 1 e αg = αg 1 αg = αg 1 g = αe = e Ð Ó g 1 xg Kernαº º Ë Kernα = {e} Ë αg 1 = αg 2 º ÒÒ Ð Ó e = αg 1 1 αg 2 = αg 1 1 αg 2 = αg 1 1 g 2 º g 1 1 g 2 Kernα = {e} Ð Ó g 1 1 g 2 = e g 1 = g 2 º Ë α Ò Ø Ú ÒÒ Ø ÒÙÖ Ò y G Ñ Ø αy = e ÒÑÐ y = e Ò ½ºµº Ð Ó Kernα = {e}º º ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÒÙÒ Ú Ö Ù Ò ÖÙÔÔ Ò Ù Ò Ö ÖÙÔÔ Ò ÞÙÖ ÞÙ Ö Òº Ö Ò Ø Ò Û Ö ÞÙÒ Ø ËØÖÙ ØÙÖ Ö ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ö ÙÒ ÔØ Ö ÒÒ Ó ¹ Ò ÒÒØ Ò ØÓÖ ÖÙÔÔ Òº º Ò Ø ÓÒ ÆÓÖÑ ÐØ Ð Öµ Ë G Ò ÖÙÔÔ º º Ö a,b G ØÞ a b := b 1 ab. Æ ÒÒ a ÓÒ Ù ÖØ ÞÙ a b Ú ÖÑ bº

¾ à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ º Á Ø M G Ó ØÞ M b = {m b m M} º º Ë N Gº N Ø ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ö ÚÓÒ G ÐÐ g 1 Ng = N g N g G. Ë Ö N G,N Gº º Ô Ð ÁÒ Ò ÓÐ Ò Ò Ô Ð Ò Ø ÐÐ Ò Û Ö Ò ØÝÔ ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ö ÚÓÖ º {e} G, G G º Á Ø G Ð Ó Ø ÍÒØ Ö ÖÙÔÔ ÚÓÒ G ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ö ÚÓÒ Gº º Á Ø α : G H ÀÓÑÓÑÓÖÔ ÑÙ Ó Ø Kernα Gº Ò º º ºµ º Ë ØÞ Ë U Gº ÒÒ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ º U G º º g 1 Ug U Ö ÐÐ g Gº º g G Ø g 1 Ug = Uº º g G Ø Ug = guº º Â Ä Ò Ò Ò Ð ÚÓÒ U Ò G Ø Ò Ê Ø Ò Ò Ð ÚÓÒ U Ò Gº º Â Ê Ø Ò Ò Ð ÚÓÒ U Ò G Ø Ò Ä Ò Ò Ò Ð ÚÓÒ U Ò Gº º g 1,g 2 G Ø g 1 Ug 2 U Ò Ä Ò Ò Ò Ð º º g 1,g 2 G Ø g 1 Ug 2 U = g 1 g 2 Uº Û º 1. 2. Æ ÎÓÖÖº g 1 Ug U g Gº Ð Ó Ù gug 1 Uº U = g 1 gug 1 g = g 1 gug 1 g g 1 Ug Uº Ð Ó g 1 Ug = Uº

¾ à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÙØÖ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ñ Ø Ú Ò Ò ÙØÖ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÒØ ÔÖ Øº º½ Ò Ø ÓÒ Ò Å Ò Ã Ñ Ø ÞÛ Î Ö Ò Ô ÙÒ Ò + ÙÒ Ø Ò Ã ÖÔ Ö ÐÐ º Ã Ø Þ Ðº + Ò Ð ÖÙÔÔ Ñ Ø Ò ÙØÖ Ð Ñ Ð Ñ ÒØ 0 ÆÙÐÐ Ð Ñ ÒØ von K. Diese Gruppe heißt die additive Gruppe à + ÚÓÒ Ãºµ ½µ Ã Ø Ò Ø Ð Öº K Áº½ µ ¾µ ÐØ ÓÞ Ø Ú ØÞ Ö ÐÐ a,b,c K a+b+c = a+b+c Áº½ µ µ Ø Ò Ð Ñ ÒØ ¼ Ñ ÆÙÐÐ Ð Ñ ÒØ Ò Ã 0+a = a a K Áº½ µ µ Ù Ñ a K Ø b K Ñ Ø a+b = 0 Áº½ µ Ë Ö b = a ÒÚ ÖØ Ö Ö µ ÐØ ÃÓÑÑÙØ Ø Ú ØÞ Ö ÐÐ a,b K a+b = b+a a,b K Áº¾¼µ º K\{0} Ø Þ Ðº Ò Ð ÖÙÔÔ Ñ Ø Ò ÙØÖ Ð Ñ Ð Ñ ÒØ ½ Ò Ð Ñ ÒØ von K. Diese Gruppe heißt die multiplikative Gruppe à X ÚÓÒ Ãºµ ½µ K \ {0} Ø Ò Ø Ð Öº º º Ö Ã ÖÔ Ö K 2 K \ {0}, Áº¾½µ ¾µ ÐØ ÓÞ Ø Ú ØÞ Ö ÐÐ a,b,c K a b c = a b c Áº¾¾µ µ Ø Ò Ð Ñ ÒØ 1 0 Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ã 1 a = a a K \ {0} Áº¾ µ

º à ÊÈ Ê Á Ä Ëµ a 1 b 1 b 1 a 1 ÒÒ Ø C Ò Ã ÖÔ Ö Ñ Ø a 2 b 2 := b 2 a 2 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 +a 2 b 1 C a 2 b 1 +a 1 b 2 b 1 b 2 +a 1 a 2 Áº µ ÆÙÐÐ Ð Ñ ÒØ := 0 0 0 0 und Ò Ð Ñ ÒØ := 1 0 0 1 º Ð ÙÒ Ñ Ø a 0 f a = 0 a Ø Ò Á ÓÑÓÖÔ ÑÙ ÚÓÒ R Ù Ò ÍÒØ Ö ÖÔ Ö { } a 0 a R 0 a Áº µ Áº µ ÚÓÒ C f a 1 +a 2 = = a 1 +a 2 0 0 a 1 +a 2 a 1 0 a 2 0 + 0 a 1 0 a 2 Áº µ = f a 1 +f a 2 Ø Ú Ð Öº Ð Ó R = { a 0 0 a a R } Áº ¼µ º Ë ØÞ i := 0 1 1 0 Áº ½µ ËÓÑ Ø Ö ÐØ Ñ Ò Ö ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÚÓÒ Ñ Ø Ð Ö i 2 0 1 0 1 = 1 0 1 0 1 0 = 0 1 1 0 = 0 1 Áº ¾µ

à ÈÁÌ Ä Áº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ µ Ë Ò A Í ÙÒ A Î/Í ÅÓÒÓÑÓÖÔ Ñ Ò Ó Ø Ù A Ò ÅÓÒÓÑÓÖÔ ÑÙ º Ò ÐÓ ÐØ Ù Ö Ô ÑÓÖÔ Ñ Ò ÙÒ Á ÓÑÓÖÔ Ñ Òº µ Á Ø dim K Î < ÙÒ Ø A Ò Á ÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ò Ù A Í,A Î/Í Á ÓÑÓÖ¹ Ô Ñ Òº Û º µ ÓÐ Ø Ó ÓÖØ ÙÖ Æ Ö Ò Ò Ö Ö ÓÖ ÖÐ Ò Ò Ø Òº µ Ï Ö Þ Ò ÏÓ Ð Ò ÖØ Ø ÚÓÒ A Î/Í Ë Ò v 1,v 2 Î Ð Ñ Ø v 1 + Í = v 2 + ͺ ÒÒ ÐØ v 2 v 1 Í Av 2 Av 1 = Av 2 v 1 Í. Ð Ó ÓÐ Ø Av 1 + Í = Av 2 + ͺ Ù Ö Ñ Ø A Î/Í Ð Ò Ö ÒÒ ÐØ A Î/Í v 1 + Í+v 2 + Í = A Î/Í v 1 +v 2 +Í = Av 1 +v 2 +Í = Av 1 +Av 2 + Í = Av 1 + Í+Av 2 + Í = A Î/Í v 1 + Í+A Î/Í v 2 + Í ÓÛ Ö ÐÐ λ K : A Î/Í λv+ Í = A Î/Í λv + Í = Aλv+Í = λav+í = λav + Í = λa Î/Í v + Í. µ Ë Ò A Í ÙÒ A Î/Í ÅÓÒÓÑÓÖÔ Ñ Òº Ë v à ÖÒAº ÒÒ ÐØ Av = 0 ÙÒ ÓÑ Ø Í = 0+Í = Av + Í = A Î/Í v+ Í. Ö Ù ÓÐ Ø Ð Ó v + Í Ã ÖÒA Î/Í = {Í}. ËÓÑ Ø Ø v + Í = Í, º º v Uº Ï Ø Ö Ò ÐØ ÒÙÒ 0 = Av = A Í v Ð Ó v à ÖÒA Í = {0}º ÓÐ Ð Ø v = 0 ÙÒ v Ð Û ÐØ Û Ö Ã ÖÒA = {0}. Ñ Ø Ø A Ò ÅÓÒÓÑÓÖÔ ÑÙ º Ë Ò ÒÙÒ A Í ÙÒ A Î/Í Ô ÑÓÖÔ Ñ Ò ÙÒ v κ A Î/Í Ò Ô ÑÓÖÔ ÑÙ Ø Ø v 1 Î Ñ Ø v + Í = A Î/Í v 1 + Í = Av 1 + ͺ ËÓÑ Ø Ø v Av 1 ͺ Ò ÒÐÓ ÞÙ Ø A Í Ò Ô ÑÓÖÔ ÑÙ Ø Ò u Í Ñ Ø

½º Ë Ê ÀÆ Æ ÅÁÌ ÄÁÆ Ê Æ ÁÄ ÍÆ Æ Û º º Æ Ë ØÞ ¾º½¼ºº Ø Ò Ù Ò B Ñ Ø BA = E Î1 ÙÒ AB = E Î2 º Ð Ø ÞÙ Þ Ò B Ð Ò Ö Øº Ë Ò ν 2,ν 2 Î 2º ÒÒ ÐØ A Ò Ø Ú Ø ÓÐ Ø ÞÙ ØÞÐ ABν 2 +ν 2 = ABν 2 +ν 2 = ν 2 +ν 2 = ABν 2 +ABν 2 = ABν 2 +ABν 2 = ABν 2 +Bν 2. Bν 2 +ν 2 = Bν 2 +Bν 2. Å Ø Ò Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò ÐØ Ö ν 2 Î2 ÙÒ k K Å Ø Ö ÁÒ Ø Ú ØØ ÚÓÒ A ÓÐ Ø ABkν 2 = ABkν 2 = kν 2 = kabν 2 = kabν 2 = AkBν 2. Bkν 2 = kbν 2. º Ù ÐØ Ó Ò ØÐ º ½º Ò Ø ÓÒ Ö ÙÐÖ Å ØÖ Þ Ò Ò Ö Ð Ð Ò Ö ÖÓÙÔµ º Á Ø A Hom K Î, Î Ò ÙØÓÑÓÖÔ ÑÙ º º A 1 Ü Ø ÖØ Ò Ë ØÞ ½º Ó Ø A Ö ÙÐÖ Ó Ö ÒÚ ÖØ Ö Öº Á Ø A Ò Ø Ö ÙÐÖ Ó Ø A Ò ÙÐÖº ÁÒ Ñ ÐÐ Ø A Ò Ò ÓÑÓÖÔ ÑÙ º º Ë ØÞ GlÎ = {A Hom K Î, Î Ö ÙÐÖ}º ÒÒ Ø GlÎ Þ Ð Ö Ù Hom K Î, Î Ò ÖØ Ò ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ÖÙÔÔ Ó Ò ÒÒØ Ò Ö Ð Ð ¹ Ò Ö ÖÓÙÔ ÐÐ ÖÙÔÔ Ò Ò Ø Ò Ö ÐÐØ Û Ö Ò º Ë Ò A,B Glκ Æ Ë ØÞ ½º ÐØ AB GlÎ ÙÒ ÓÑ Ø Ø ÖÙÔÔ ÐÓ Òº º ÓÞ Ø Ú ØØ ABC = ABC ÐØ Ö Ø Ò Hom K Î, Î ÙÒ Ö¹ ØÖ Ø Ö Ø Ù Glκ

ÙÒ n ËÔ ÐØ Ò s j = a 1j a 2j º à ÈÁÌ Ä ÁÁº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½, j = 1,...,n a mj Ñ Ø ÃÓ Þ ÒØ Ò a ij Kº Ð ÃÙÖÞ ÓÖÑ Ö Ò Û Ö a ij ÛÓ i Ö Ð Ò Ò Ü ÙÒ j Ö ËÔ ÐØ Ò Ò Ü Øº Å Ò ÐÐ Ö Å ØÖ Þ Ò ÚÓÑ ÌÝÔ m,n Ø K m,n Ó Ö K m n µº Á Ø m = n Ó Ø a ij ÕÙ Ö Ø º ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ò Û Ö Ù K n Ø ØØ K n,n º Ð À ÙÔØ ÓÒ Ð Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ò Å ØÖ Ü Þ Ò Ò Û Ö ÒØÖ a 11,a 22,...,a nn Û Ð Ò ÓÐ Ò ØØ ÖÙ Ø Ò º a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n º º ºº º º a m1 a m2... a mn ÖÒ Ö ÛÓÐÐ Ò Û Ö Ö ËÔ Þ Ð ÐÐ ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº º Ò Ö ÙÒØ Ö Ò Ö Ñ ØÖ Ü Ò ÐØ a ij = 0 Ö ÐÐ ÒØÖ Ñ Ø i < jº Ñ Ø ÒÒÞ Ò Ø Ò ÒØÖ Ò Ð º 0... 0 0... 0 0 º º ºº º º... 0... Ò ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Ü ÒÒ Ô Ð Û ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ù Ò 1 0 0 8 2 0 7 6 5 º Ò ÐÓ Ò Ò Ö Ó Ö Ò Ö Ñ ØÖ Ü Ö i > j ÐÐ ÒØÖ a ij = 0º... 0... º º ººº º 0 0... 0 0... 0

¼ à ÈÁÌ Ä ÁÁº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ k = 1,...,n 3 º Ö Ù ÓÐ Ø ABν j = ABν j n2 = A b ij ω i i=1 n 2 = b ij Aω i i=1 n 2 n3 = b ij a ki µ k i=1 n 3 n2 = k=1 n 3 k=1 b ij a ki µ k i=1 = c kj µ k k=1 ÛÓ Û Ö Ñ Ð ØÞØ Ò Ë Ö ØØ Ù ÒÙØÞ Ò b ij a ki = a ki b ij ÙÒ ÓÑ Ø n3 k=1 a kib ij = c kj Ðغ ¾º Ò Ø ÓÒ Ë Ò a ki K l,m, b ij K m,n º ÒÒ Ñ Ø c kj = m i=1 a kib ij º Å Ø Ö Ò Ø ÓÒ ÐØ Ò Ë ØÞ ¾º º º ¾º Ô Ð a ki b ik c kj K l,n L 3 AB L1 = L3 A L2 L 2 B L1. 1 2 3 0 1 2 1 2 3 0 1 2 1 0 1 1 1 0 2 0 1 3 1 2 = = = 1 1 + 0 2 + 1 3 4 = 1 0 + 0 1 + 1 2 2 1 1+2 2+3 3 1 1+0 2+1 3 0 1+1 2+2 3 1 0+2 1+3 2 1 0+0 1+1 1 0 0+1 1+2 2 14 4 8 8 2 5

à ÈÁÌ Ä ÁÁº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ Ø Å ØÖ Ü Þ Ð Ö Ò 1 ÙÒ 2 ÓÐ Ò ÓÖÑ a 11 a 12 a 13 A = 1 2 a 21 a 22 a 23 º ÐØ Ò ÓÐ Ò Ð ÙÒ Ò Av 1 = w 1 Av 2 = 3w 1 w 2 Av 3 = w 2 ÒÒ Ö ÐØ Ò Û Ö Ö Å ØÖ Ü Þ Ð Ö Ò 1 ÙÒ 2 1 3 0 A = 1 2 0 1 1 º Ñ Ö ÙÒ Ù Ò Ö ËØ ÐÐ Ø Ö ÍÒØ Ö ÞÛ Ò Ò Ö Å Ò ÚÓÒ Î ØÓÖ Ò ÙÒ Ò Ñ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Î ØÓÖ Ò Û ÒØÐ º ÍÑÒÙÑÑ Ö Ö Ò Ö Ò Ò ÖØ Ñ Ðй Ñ Ò Ò ÞÙ Ö Ò Å ØÖ Þ Òº Ð Ô Ð ØÖ Ø Ò Û Ö Ö ØÞØ Ð ÙÒ Ò Û Ò Ô Ð º ¾µ ÙÒ ÒÙÑÑ Ö Ö Ò ÙÒ Ö ÒØÖ Û ÓÐ Ø ÙÑ ÒÒ ÐØ Av 1 = w 2 v i = v i Ñ Ø i = 1,2,3 w 1 = w 2 ÙÒ w 2 = w 1. Av 2 = w 1 +3w 2 Av 3 = w 1 A = 1 2 0 1 1 1 3 0 ÞÙ Ö Å ØÖ Ü Þ Ð Ö Ò 1 ÙÒ 2 Ø Ò Ö ÒØÖ Ð Å ØÖ Ü Ò Ô Ð º º º Ë ØÞ º Ë Ò Î Ï K¹Î ØÓÖÖÙÑ Ñ Ø Ò 1 = v 1,...,v n ÙÒ 2 = w 1,...,w n º Ð ÙÒ f 1 2 : Hom k Î, Ï K m,n Ñ Ø f A = A Ø Ò K¹Î ØÓÖÖ ÙѹÁ ÓÑÓÖÔ ÑÙ º 1 2 1 2 Hom k Î, Ï ÙÒ K m,n Ò Ð Ó ÓÑÓÖÔ ÞÙ Ò Ò Öº ÙÖÞ Ö Ò Hom k Î, Ï = K m,n µ

º Å ÌÊÁ Æ ÍÆ ÄÁÆ Ê ÁÄ ÍÆ Æ ½¼ Æ Ë ØÞ º½ ÐØ b kl Ö ÙÐÖ ÙÒ b kl 1 = E Ï. Ñ Ø Ö ÐØ Ò Û Ö 2 2 A 2 1 = E Ï AE Î 2 1 = E Ï A E Î 2 1 2 2 1 1 = b kl 1 A 2 1 a ij ÏÓ ¾ Ð ÙÒ Ù Ò Ø ÓÒ º ÓРغ º ÓÐ Ø Ó ÓÖØ Ù ½º º Ë 1 = v 1,...,v n ÚÓÒ Î ÙÒ 2 = w 1,...,w m ÚÓÒ Ïº Ù Ö¹ Ñ B = b jk. Ò Ö A Hom k Î, Ï ÙÖ Av k = m j=1 b jkw j. ÒÒ Ø Ö Ð Ö A 2 1 = B. Ë ØÞØ X 1 = x ij ÙÒ Y = y ij º Ù Ö Ñ Ñ Ø j = 1,...,n ÙÒ Ñ Ø l = 1,...,mº n v j = y ij v i w l = i=1 m x kl w k Ë ØÞ Ò Û Ö ØÞØ 1 = v 1,...,v n ÙÒ 2 = w 1,...,w m ÒÒ ÐØ A 2 1 k=1 = a X 1 1 A 2 1 Y = XBY º¾ Ñ Ö ÙÒ º Ë Ò Î ÙÒ Ï Ò Ð Ñ Ò ÓÒ Ð K¹Î ØÓÖÙÑ ÙÒ A Hom k Î, Ï. ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐÙÒ Ï ÒÒ Ñ Ò Ò 1 ÙÒ 2 ÚÓÒ Î Þ ÙÒ Û Ï Ó Û Ð Ò A 2 1 Ò Ñ Ð Ò Ø ÐØ Ø ÁÒ ËÔÖ Ö Å ØÖ Þ Ò Ë Ò Å ØÖ Ü B Ò ÒÒ Ù Ò Û Ö ÒÚ ÖØ Ö Ö Å ØÖ Þ Ò X ÙÒ Y Ö ÖØ XBY Ñ Ð Ø Ò Ø ÐØ Øº º Ë A Hom k Î, Ï ÙÒ dim k Ï <. ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐÙÒ

½¾¾ à ÈÁÌ Ä ÁÁº ÄÁÆ Ê Ä Ê ½ Á Ø π i i Ö i = 1,...,r Ó Ø π i = i Ö i = 1,...,rº ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò Ò r = 1 π 1 1 ÓÐ Ð Ð Ó π 1 = 1 ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ö ØØ Ë Þ Ø π i = i Ö i r 1 π i i Ö i = r } Ö Ù ÓÐ Ø π r = r Ð Ó Á Ø π Ó Ø Ò i o {1,...,n} Ñ Ø π i0 > i 0 ÒÒ ÐØ a i0,π i0 = 0 ÙÒ Ñ Ø Ø A = a 11 a nn + º Ä ÑÑ π Òπ a 1,π1 a n,πn = a 11 a nn }{{} =0 Ë A = a ij R n ÙÒ A ÌÖ Ò ÔÓÒ ÖØ ÚÓÒ Aº ½¾º½ µ ÒÒ ÐØ Ø A = Ø A º Û º Ë A = b ij Ð Ó b ij = a ji Ö i,j = 1,...,nº Ø A = Ò π b 1,π1...b n,πn = Ò π a π1,1...a πn,n π S n π S n Ù j {1,...,n} Ø Ò Ù Ò k {1,...,n} Ñ Ø π k = jº ÐØ k = π 1 j Ð Ó ÓÐ Ð Ù a πk,k = a j,π 1. j ÍÒ R ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Ö Ø Ð ÙÒ Ø A = Ò π a 1,π 1...a 1 n,π 1 n π S n Ø Ù Ö Ñ Ò π Ò π 1 = Ò π π 1 = Ò = 1 ÏÓÑ Ø Þ Ø ÛÖ Ò π = Ò π 1 ÓÖØ Ö Ò ÒÒ Ò Û Ö ÒÙÒ Þ Ò Ø A = Ò π 1 a 1,π 1...a 1 n,π 1 ØÞ π 1 = τµ n π S n = Ò τ a 1,τ1...a n,τn τ S n = Ø A º Ä ÑÑ µ Ë A = a ij R n º Ë i j ÙÒ ÐØ z i = z j Ö ÞÛ Ð Ò z i ÙÒ z j ÚÓÒ Aº ÒÒ ÐØ Ø A = 0º µ Ò ÐÓ Ö ÞÛ Ð ËÔ ÐØ Òº Û º µ Ë τ = i,j S n º Æ º ÐØ S n = A n An τ Ø A = π S n Ò π a 1,π1 a n,πn = α A n Ò α a 1,α1 a n,αn + Ò ατ a 1,ατ1 a n,ατn ÐØ Ò ατ = Ò α Ò τ = 1 1 = 1 Ø A = α A n a 1,α1 a n,αn a 1,ατ1 a n,ατn = α A n a1,α1 a i,αi a j,αj a n,αn a 1,α1 a i,αj a j,αi a n,αn

¾º ÈÇÄ ÆÇÅ ½ h i := c 2 n j=2,j i f j Ö i 2 g = 1 c 1 f 1 = 1+h 1 f 1 g = c 2 f 2 f n = h i f i Ö i 2 ¾º¾¼ Ò Ø ÓÒ Ë R Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ê Ò Ñ Ø 1º µ Ë R, º Ø Ò Á Ð ÚÓÒ R ÐÐ Á Ø f 1,f 2 Ó Ø f 1 ±f 2 Á Ø f,g R Ó Ø f g Ô Ð µ Á Ø R = Z ÙÒ n Z ÒÒ Ø = nz Ò Á Ð ÚÓÒ Zº µ Á Ø R = K[x] ÙÒ f K[x] ÒÒ Ø = fk[x] Ò Á Ð ÚÓÒ K[x]º µ Ø Ò f R Ñ Ø = fr = {fr r R} Ó Ø Ò À ÙÔØ Ð ÚÓÒ Rº Á Ø Á Ð Ò Ê Ò Ò À ÙÔØ Ð Ó Ò ÒÒ Ò Û Ö Ò Ê Ò À ÙÔØ ÐÖ Ò º ¾º¾½ Ë ØÞ K[x] Ø Ò À ÙÔØ ÐÖ Ò º Û º Á Ø = {0} Ó Ø = 0 K[x] Ò À ÙÔØ Ðº Ë Ð Ó {0}º ØÖ Ø M = { Ö f 0 f } N {0}º Ç Ò ØÐ Ø M º Ë n = Ö g Ò Ð Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ù M Ñ Ø g ÙÒ f Ð º ÙÖ ÒÛ Ò Ò Ù Ð Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ º µ ÓÐ Ø f = gq+r Ñ Ø Ö r < Ö gº Ö Ù ÓÐ Ø r = f gq }{{}}{{} Ö Ö r / M Ö r < Ö gº Ð Ó ÐØr = 0 ÙÒ f = gqº Ñ Ø Ö Ø f gk[x]. ÙÑ ÖØ ÁÒ ÐÙ ÓÒ Ð Ö Ø Ö ÐØ Ò Û Ö = gk[x]º, ÒÑ Ö ÙÒ Ò Ù Ó Ö Ø Z Ø Ò À ÙÔØ ÐÖ Ò º Ö ØÞ ÞÙ Ö ÙÖ º

½ ¾ à ÈÁÌ Ä ÁÁÁº ÄÁÆ Ê Ä Ê ¾ µ Ë = K n. ÒÒ Ø α A : K[x] Ñ Ø α A a 0 +a 1 x+...+a n x = a 0 E+a 1 A+...+a n A n ÒK¹ Ð Ö Ò ÙØÓÑÓÖÔ ÑÙ º Ë α A f = fa,k = {0,1} Ò Ã ÖÔ Ö f = x 2 x K[x] ÙÒ 0 0 A = º ÒÒ Ø fa = A 2 A = A 0º 1 0 µ Ë Ò K[x] ÙÒ K[y] ÈÓÐÝÒÓÑÖ Ò º ÒÒ ÐØ K[x] = K[y] Ð K¹ Ð Ö Ò ÙÒ α y : K[x] K[y] Ø Ò K¹ Ð Ö Ò ÙØÓÑÓÖÔ ÑÙ Ñ Ø ÁÒÚ Ö α x º º Ò Ø ÓÒ Ë f K[x],L Ò Ã ÖÔ Ö Ñ Ø K L ÙÒ b L. Á Ø fb = 0 Ó Ø b Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ÚÓÒ f Ò Lº º Ë ØÞ Ë f K[x]. µ Ë Ò b 1,...,b n Ô ÖÛ Ú Ö Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ f ÙÒ b i Kº ÒÒ Ø Ò g K[x] Ñ Ø f = x b 1 x b n gº µ Á Ø Ö f = m 0 Ó Ø f Ò K Ø Ò m ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Òº µ Á Ø Ö f 2 ÙÒ Ø f Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ó Ø f Ò Ø ÖÖ ÙÞ Ðº Û º µ Æ ½ º µ Ø q,r K[x] Ñ Ø f = x b 1 q +r ÙÒ Ö r < Ö x b n = 1º Ï Ò 0 = fb 1 = rb 1 ÓÐ Ø Ð Ó r = 0º Þ Ø ÙÔØÙÒ Ö n = 1º Ë ÒÙÒ Ö Ø Ö k < n Þ Ø f = x b 1 x b k g k Ñ Ø g k K[x]º ÒÒ Ò Û Ö 0 = fb k+1 = b k+1 b 1 b }{{} k+1 b k g }{{} k b k+1. 0 0 Ñ Ø ÓÐ Ø g k b k+1 = 0º Ð Ó g k = x b k+1 g k+1 Ñ Ø g k+1 K[x]º µ Ë Ò b 1,...,b m Ô ÖÛ Ú Ö Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ fº Æ µ ÐØ f = x b 1 x b m g Ñ Ø Ö f = } 1+...+1 {{} + Ö g mº m Ñ Ð µ Ë fb = 0 Ñ Øb Kº Æ µ ÐØf = x bg Ñ Ø2 Ö f = 1+ Ö g Ð Ó Ö g 1º Ö Ù ÓÐ Ø g Ò Ò Ø Øº Ð Ó Ø f Ö ÙÞ Ðº