FEM Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagen zu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagen zu können. Charles Tschopp
Aus dem Programm Maschinenelemente und Konstruktion Pro/ENGINEER Wildfire 4.0 für Einsteiger kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna Pro/ENGINEER Wildfire 5.0 für Fortgeschrittene - kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel/ herausgegeben von S. Vajna Solid Works von U. Emmerich CATIA V5 - kurz und bündig von S. Hartmann/herausgegeben von S. Vajna NX7.5 kurz und bündig von G. Klette und M. Nulsch/herausgegeben von S. Vajna Pro/ENGINEER-Praktikum herausgegeben von P. Köhler CATIA V5-Grundkurs für Maschinenbauer von R. List Solid Edge kurz und bündig von M. Schabacker/herausgegeben von S. Vajna Lehrwerk Roloff/Matek Maschinenelemente H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek Entwickeln, Konstruieren, Berechnen von B. Fleischer und H. Theumert Konstruieren, Gestalten, Entwerfen von U. Kurz, H. Hintzen und H. Laufenberg Technisches Zeichnen von S. Labisch und C. Weber Leichtbau-Konstruktion von B. Klein
Bernd Klein FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite- Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 9., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 231 Abbildungen, 12 Fallstudien und 20 Übungsaufgaben STUDIUM
Prof. Dr.-Ing. Bernd Klein Univ. Kassel Kassel Deutschland ISBN 978-3-8348-1603-0 DOI 10.1007/978-3-8348-2134-8 ISBN 978-3-8348-2134-8 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1990, 1997, 1999, 2000, 2003, 2005, 2007, 2010, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Thomas Zipsner Imke Zander Einbandentwurf: KünkelLopka GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-vieweg.de
V Vorwort zur 1. Auflage Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die ich seit 1987 an der Universität Kassel für Studenten des Maschinenbaus halte. Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte damit auch für viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-Systembeauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusammenhänge dargestellt werden. Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwendungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten. Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle ebenfalls herzlich gedankt sei. Kassel, im September 1990 B. Klein Vorwort zur 9. Auflage Fachbücher haben die Eigenschaft, eigentlich nie fertig zu werden. So fallen mir auch beim Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungen und Ableitungen auf, die man besser machen kann. Die Neuauflage enthält wieder eine Vielzahl von Verbesserungen im Text und in den Übungen, die zum noch besseren Verständnis der Finite-Element-Methode beitragen sollen. Auch soll dem Lernenden eine geglättete Theorie helfen, die doch sehr mathematisch fundierten Zusammenhänge besser zu verstehen. Gemäß dem alten Motto des Buches Anschaulichkeit vor Wissenschaftlichkeit hoffe ich auch weiterhin auf einen interessierten Leserkreis an Fachhochschulen, Universitäten und in der Praxis. Die eingearbeiteten Verbesserungen beruhen überwiegend auf Anregungen von Studierenden und Mitarbeitern, welche auch weiterhin sehr dankbar aufgenommen werden. Mit der textlichen Umsetzung waren Herr Dipl.-Ing. M. Oxe, Herr Dipl.-Ing. M. Hochgräf, Herr cand. Ing. M. Schelhas und Frau M. Winter betraut, denen an dieser Stelle herzlich gedankt seien. Calden bei Kassel, im September 2011 B. Klein
VI Inhaltsverzeichnis 1 Einführung... 1 1.1 Historischer Überblick... 1 1.2 Generelle Vorgehensweise... 4 1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse... 8 1.4 Qualitätsstandards... 10 2 Anwendungsfelder und Software... 11 2.1 Problemklassen... 11 2.2 Kommerzielle Software... 12 3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode... 16 3.1 Matrizenrechnung... 16 3.2 Gleichungen der Elastostatik... 19 3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik... 26 3.4 Finites Grundgleichungssystem... 27 3.4.1 Variationsprinzip... 27 3.4.2 Methode von Galerkin... 31 4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode... 34 5 Das Konzept der Finite-Element-Methode... 41 5.1 Allgemeine Vorgehensweise... 41 5.2 FE-Programmsystem... 44 5.3 Mathematische Formulierung... 45 5.3.1 Ebenes Stab-Element... 45 5.3.2 Ebenes Drehstab-Element... 50 5.3.3 Ebenes Balken-Element... 53 5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf... 62 5.4.1 Steifigkeitstransformation... 62 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte... 65 5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen... 68 5.4.4 Sonderrandbedingungen... 72 5.4.5 Lösung des Gleichungssystems... 74 5.4.6 Berechnung der Spannungen... 81 5.4.7 Systematische Problembehandlung... 83 6 Wahl der Ansatzfunktionen... 89 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme... 93 7.1 3-D-Balken-Element... 93 7.2 Scheiben-Elemente... 97 7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand... 97 7.2.2 Dreieck-Element... 98 7.2.3 Flächenkoordinaten... 105 7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements... 110 7.2.5 Rechteck-Element... 111
Inhaltsverzeichnis VII 7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente... 119 7.2.7 Timoshenko-Theorie... 120 7.2.8 Viereck-Element... 125 7.2.9 Isoparametrische Elemente... 129 7.2.10 Numerische Integration... 134 7.3 Platten-Elemente... 139 7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand... 139 7.3.2 Problematik der Platten-Elemente... 143 7.3.3 Rechteck-Platten-Element... 146 7.3.4 Dreieck-Platten-Element... 152 7.3.5 Konvergenz... 153 7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen... 155 7.3.7 Beulproblematik... 156 7.4 Schalen-Elemente... 165 7.5 Volumen-Elemente... 170 7.6 Kreisring-Element... 175 8 Kontaktprobleme... 182 8.1 Problembeschreibung... 182 8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme... 184 8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme... 188 8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt... 188 8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt... 189 9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme... 202 9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik... 202 9.2 Elementmassenmatrizen... 204 9.2.1 3-D-Balken-Element... 205 9.2.2 Endmassenwirkung... 208 9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element... 209 9.3 Dämpfungsmatrizen... 212 9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter System... 213 9.4.1 Gleichungssystem... 213 9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte... 221 9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan... 222 9.5 Freie Schwingungen... 226 9.6 Erzwungene Schwingungen... 228 9.7 Beliebige Anregungsfunktion... 237 9.8 Lösung der Bewegungsgleichung... 238 10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode... 247 10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben... 247 10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten... 250 10.3 Plastizität... 253 10.4 Geometrische Nichtlinearität... 257 10.5 Instabilitätsprobleme... 259
VIII Inhaltsverzeichnis 11 Wärmeübertragungsprobleme... 266 11.1 Physikalische Grundlagen... 266 11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung... 271 11.3 Lösungsverfahren... 273 11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung... 275 11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung... 276 12 Mehrkörpersysteme... 279 12.1 Merkmale eines MKS... 279 12.2 Kinematik von MKS... 281 12.2.1 Drehmatrix... 283 12.2.2 Ebene Bewegung... 285 12.3 Kinetik von MKS... 287 12.3.1 Grundbeziehungen für den starren Körper... 289 12.3.2 Newton-Euler-Methode... 291 12.4 Lagrange sche Methode... 293 12.5 Mechanismenstrukturen... 295 13 Bauteiloptimierung... 297 13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe... 297 13.2 Parameteroptimierung... 298 13.3 Bionische Strategie... 300 13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung... 303 14 Grundregeln der FEM-Anwendung... 306 14.1 Fehlerquellen... 306 14.2 Elementierung und Vernetzung... 307 14.3 Netzaufbau... 311 14.4 Bandbreiten-Optimierung... 314 14.5 Genauigkeit der Ergebnisse... 318 14.6 Qualitätssicherung... 320 14.7 Modelladäquatheit... 322 Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Matrix-Steifigkeitsmethode... 325 Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise... 327 Fallstudie 3: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen... 331 Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung... 332 Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen... 334 Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped meshing... 337 Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente / Free meshing... 339 Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme... 342 Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen... 345 Fallstudie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearität... 349 Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität... 352 Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme... 355 Übungsaufgabe 4.1... 359 Übungsaufgabe 5.1... 360 Übungsaufgabe 5.2... 361
Inhaltsverzeichnis IX Übungsaufgabe 5.3... 363 Übungsaufgabe 5.4... 365 Übungsaufgabe 5.5... 367 Übungsaufgabe 5.6... 370 Übungsaufgabe 5.7... 371 Übungsaufgabe 5.8... 372 Übungsaufgabe 5.9... 375 Übungsaufgabe 6.1... 376 Übungsaufgabe 7.1... 377 Übungsaufgabe 7.2... 378 Übungsaufgabe 9.1... 379 Übungsaufgabe 9.2... 380 Übungsaufgabe 9.3... 381 Übungsaufgabe 9.4... 382 Übungsaufgabe 10.1... 383 Übungsaufgabe 11.1... 384 Übungsaufgabe 11.2... 385 Mathematischer Anhang... 386 QM-Checkliste einer FE-Berechnung... 402 Literaturverzeichnis... 404 Sachwortverzeichnis... 409
X Formelzeichensammlung - A - a i Multiplikatoren A (mm 2 ) Querschnittsfläche A (mm) Koordinatenmatrix; Koeffizientenmatrix; Iterationsmatrix A Boole sche Matrix A i Koeffizient - B - B Lösungsbereich B differenzierte Ansatzfunktionsmatrix; Koeffizientenmatrix B N nichtlinearer Anteil der Matrix B - C - c (N/mm) Federkonstante c Elementdämpfungsmatrix c i, C i Integrationskonstante c i (mm; grd) Koeffizient c ij (N/mm; grd) Drehsteifigkeitskoeffizient C Systemdämpfungsmatrix; Wärmekapazitätsmatrix - D - d (mm) Knotenverschiebungen d (mm/s 2 ) Knotenbeschleunigung d (mm/s) Knotengeschwindigkeit d P Plattenanteil der Knotenverschiebung d S Scheibenanteil der Knotenverschiebung D(u) Differenzialoperator D Differenzialoperatorenmatrix - E - E (N/mm 2 ) Elastizitätsmodul E (N/mm 2 ) Elastizitätsmatrix E T Tangenten-Elastizitätsmatrix - F - f (N) bezogene (verteilte) Kraft F(x) Funktion allgemein F (N) Vektor der äußeren Einzelkräfte F a äußere Kräfte F b Reaktionskräfte F c Resultierende der Schwingungs-DGL F i Einzelkraft F ia äquivalente Einzelkräfte F s unbekannte Reaktionskräfte - G - g Zeilenvektoren gi, gj Formfunktionen G (N/mm 2 ) Gleitmodul G Formfunktionsmatrix; Matrix der Knotenansatzfunktionen G i Formfunktionsmatrix G K (N) Gravitationskraft G kub kubischer Anteil der Formfunktionsmatrix G lin linearer Anteil der Formfunktionsmatrix
Formelzeichensammlung XI G r G t rotatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix translatorischer Anteil der Formfunktionsmatrix - H - h Stützstelle h i (mm) Amplitudenhöhe H Hermite sche Ansatzfunktionsmatrix - I - I I Integral, allgemein Gebietsintervall; Einheitsmatrix - J - J Jacobi-Matrix J p (mm 4 ) polares Flächenträgheitsmoment Jy, Jz (mm 4 ) Flächenträgheitsmoment J 2. Invariante des 2 Spannungstensors - K - k (N/mm) Federkonstante k (N/mm) Elementsteifigkeitsmatrix; (W/mm K) Elementwärmeleitungsmatrix k (N/mm) transformierte Elementsteifigkeitsmatrix k B (N/mm) Biegesteifigkeitsmatrix k G (N/mm) geometrische Steifigkeitsmatrix k ij Verschiebungseinflusszahlen; (N/mm) Steifigkeitskoeffizienten k P (N/mm) Plattenanteil der Steifigkeitsmatrix k S (N/mm) Scheibenanteil der Steifigkeitsmatrix K, M Diagonalhypermatrix K (N/mm) Systemsteifigkeitsmatrix; (W/mm K) Systemwärmeleitungsmatrix Kaa Kab partitionierte Systemsteifigkeitsmatrix Kba K bb K B Systembiegesteifigkeitsmatrix K cc reduzierte Steifigkeitsmatrix K N (N/mm) geometrische Systemsteifigkeitsmatrix K T (N/mm) Tangentensteifigkeitsmatrix K σ (N/mm) Initialspannungsmatrix - L - ij Koeffizienten; Matrixelement L (mm) Länge L Differentialoperator L (N/mm) Dreiecksmatrix; Lastoperator - M - m (kg) Elementmassenmatrix m ij (kg) Massenkoeffizient m K Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten m 0 m t (N mm/ mm) Oberflächenlastvektor bei verteilten Momenten verteiltes Torsionsmoment m xy, seitenbezogene Biegemomente
XII Formelzeichensammlung M Systemmassenmatrix M b Biegemoment M cc reduzierte Massenmatrix M i (N mm) Moment Muu Mus partitionierte Msu M Systemmassenmatrix ss - N - n Stützstellen; Zähler - O - 0 (mm 2 ) Oberfläche n xy, seitenbezogene Kräfte N j Schnittgrößen n Festwertvektor N Ansatzmatrix; Nebenbedingungsmatrix - P - p i (N) Kraftkomponente p k Knotenlastvektor p x (N/mm) verteilte Längskraft p z (N/mm 2 ) verteilte äußere Querkraft P Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Struktur P (N) Systemlastvektor Pˆ (N) Vektor der Elementknotenkräfte p ä äquivalente Kräfte p 0 Oberflächenkräfte P S Kraftvektor des Scheibenanteils P P (N) Kraftvektor des Plattenanteils - Q - q (N/mm) seitenbezogene Querkraft q Wärmestromdichte q (N/mm 2 ) Vektor der verteilten äußeren Oberflächenkräfte q xz,yz (N/mm) seitenbezogene Querkräfte q z (N/mm) verteilte Streckenlast Q Knotenpunktwärmeflüsse Q Wärmestrom Q i (N) Querkraft Q xz (N) Querkraft - R - r (mm) Radius R Rand R (N) Vektor der Kontaktknotenkräfte R e (N/mm 2 ) Fließgrenze R m (N/mm 2 ) Bruchgrenze R Vektor der Elementknotenkräfte der ungebundenen Struktur - S - S (N/mm 2 ) Spannungsmatrix S ij (N) Schnittkräfte in Stäben S y, z (mm 3 ) statische Momente - T - t (mm) Elementdicke t (s) Zeit T (K) Temperatur (N mm) Torsionsmoment T Transformationsmatrix T c Eliminationsmatrix
Formelzeichensammlung - U - u, v, w (mm) Verschiebungskomponenten u (mm) Elementverschiebungsvektor u (mm/s) Geschwindigkeitsvektor der Elementverschiebungen u (mm/s 2 ) Beschleunigungsvektor der Elementverschiebungen u i (mm) Verschiebung U (mm) Systemverschiebungsvektor U a (mm) unbekannte Verschiebungen U c primäre Freiheitsgrade Ü c U e U s U u Ü u Beschleunigungen der primären Freiheitsgrade sekundäre Freiheitsgrade bekannte Verschiebungen unbekannte Verschiebungen Beschleunigungen der unbekannten Verschiebungen - V - v Vektor V (mm 3 ) Volumen V i Vergrößerungsfunktion - W - w(x, t) Verschiebefunktion w b (mm) Biegeverformung w s Schubverformung W (N mm) Arbeit W a (N mm) äußere Arbeit W i (N mm) innere Arbeit W R XIII Formänderungsenergie; Restwert - X - x (mm) Weg x Eigenvektor X Eigenvektormatrix - Y - y Hilfsvektor α (1/K) Längenausdehnungskoeffizient α Konstantenvektor α Wärmeübergangskoeffizient α i Richtungswinkel β Winkel; Parameter Δ Differenz ε Verzerrungsvektor o Anfangsverzerrungsvektor φ Ergiebigkeit beliebiger Drehwinkel φ( x ) φ ji Koeffizienten der Elementträgheitsmatrix Φ i Verdrehung am Knoten γ Winkel η i Auslenkung η, ξ normierte Koordinate Koeffizientenmatrix κ Krümmung; spez. Wärme λ (1/s) Längsfrequenz (W/mm K) Wärmeleitfähigkeit; Eigenwerte; Lagrange scher Multiplikator μ Reibkoeffizient Eigenwertmatrix Θ Massenträgheit
XIV Formelzeichensammlung ρ (kg/dm 3 ) Dichte ρ Vektor der Elementknotenverschiebungen Ω äußere Anregung σ (N/mm 2 ) Normalspannung τ (N/mm 2 ) Schubspannung τ η () t ν ξ ω ψ Re d ζ i ψ Re d ζ i (1/s) (1/s) (1/s) Erregungsfunktion Querkontraktion; Frequenz Dämpfungsmaß Kenngröße für den Schubwiderstand; Eigenkreisfrequenz Winkel Flächenkoordinate Eigenkreisfrequenz Winkel Flächenkoordinate