Beispiel 5 (Einige Aufgaben zur Cobb-Douglas-Produktionsfunktion) Aufgabe (Die Schätzung der CD) Source: M.D. Intriligator: Econometric Models, Techniques and Applications, North Holland, Amsterdam 978 A structural model of a firm using a Cobb-Douglas production function takes the form () ln y = a + α ln L + β ln K () ln w = a + α ln L + β ln K (3) ln r = a 3 + α 3 ln L + β 3 ln K where equation () is the log linear production function and equations () and (3) jointly determine the inputs of labor and capital given the factor prices. Assuming that the endogenous variables are ln y, ln L and ln K and that the exogenous variables are ln w and ln r, obtain the reduced form, show that each equation is just identified and indicate how the structural parameters can be estimated from the reduced-form parameters. How do the results change if stochastic disturbance terms are added to the right-hand sides of all three equations? Aufgabe (Die Thünensche Funktion) Eine Produktionsfunktion sei Y = K L (Y Output, K Kapitalleistungen, L Arbeitsleistungen) a) Zeigen Sie, daß dies eine wohlverhaltene Produktionsfunktion ist. b) Bestimmen Sie die Nachfrage nach Arbeit als Funktion des Lohnsatzes w, gegeben K, bei vollständiger Konkurrenz. Zeigen Sie, daß L =, falls K = 4. w c) Bestimmen Sie den Lohnsatz, die Beschäftigung und die Ausbringung im Gleichgewicht, falls das Arbeitsangebot L = 6w und K = 4.
Aufgabe 3 (Eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion) Eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion laute y = a x b. x c, a,b,c>0; x, x 0 a) Bestimmen Sie den Verlauf der Isoquanten für 3 Wertepaare von b und c z.b. für: a b 0.5.0 0. 0.8 0.5 0. und zeichnen Sie die Isoquanten (z.b. auf mm-papier). b) Bestimmen Sie den Homogenitätsgrad der Funktion (Ökonomisch: Was geschieht mit der Ausbringung, wenn alle Faktoren um einen vorgegebenen Betrag erhöht werden?) für () b + c < () b + c = (3) b + c > d) Schreiben Sie die Funktion in logarithmischer Form und zeichnen Sie eine Isoquante auf doppelt logarithmisches Papier. e) Interpretieren Sie die Koeffizienten b und c. Aufgabe 4 (CD und CES Funktion) In welcher Weise ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion () als Sonderfall der CES- Produktionsfunktion () aufzufassen? Hinweis: Die aufgeführten Funktionen sollen nur Beispiele sein: () Y = AK α L β () Y = B(θK ρ + (-θ)l ρ ) ρ K = Kapitalleistungen, L = Arbeitsleistungen α, β, θ, ρ, A, B geeignet gewählte positive Konstante Lösung: Der Verbindungspunkt für beide Produktionsfunktionen ist die Substitutionselastizität σ Für CES-Funktionen ist σ = constant, σ = ρ ρ für C-D-Funktionen ist überdies σ =, ρ 0, ρ 0 und
Aufgabe 5 (Verallgemeinerung der CD-Produktionsfunktion) 3 Sei x = f(v), f(v) = av b >0, v R +, x R +, a>0, b>0 Prüfen Sie die Funktion auf Konkavität bzw. Konvexität und diskutieren Sie die Verallgemeinerungsfähigkeit auf mehr als einen Faktor, d.h. auf v R + Lösung f'(v) = abv b- >0 f"(v) = ab(b-)v b- >0 b> Konvexität f"(v) = ab(b-)v b- <0 b< Konkavität Die Verallgemeinerung auf mehr als einen Input ist nicht offensichtlich. Aufgabe 6 Diskutieren Sie die folgenden zwei homogenen Funktionen, die nicht konvex sind, auf ihre Eignung als Produktionfuntion: () f(v) = v v () f(v) = v v Obwohl eine konstante Skalenelastizität vorliegt: α= und α= f f(v) = v v, bzw. f(v) = f v sowie v H = f(v) = v v 4 v v v v v v v v, bzw. H = f(v) = 0 0 Man wähle die Punkte v '= ( 3 ) und v '= ( 3 ). Für Funktion () gilt H =0 und für Funktion () H <0
Aufgabe 6 (A reparametrization / Umbenennung) Source: M. D. Intriligator: Econometric Models, Techniques and Applications, North Holland, Amsterdam 978 y i = AL i α K i β e u i y i = αy i = w L i L i p e v i y i K i = β y i K i = r p e w i (after some rearrangements / nach einigen Umformungen) ln y i = a + α ln L i + β ln K i + u i, a:= ln(a) ln y i = - ln α + ln L i + ln w p + v i 4 ln y i = - ln β + ln K i + ln r p + w i y production (output) K capital services L labor services r rate of interest p price of output w wages u, v, w stochastic variables i index of observation Zeigen Sie, daß diese Formulierung zu einer geeigneten Schätzung der CD- Funktion führt. Aufgabe 7. Eine Produktionsfunktion sei Y = V KL a) Zeigen Sie, daß dies eine wohlverhaltene Produktionsfunktion ist. b) Bestimmen Sie die Nachfrage nach Arbeit als Funktion des Lohnsatzes w, gegeben K, bei vollständiger Konkurrenz. Zeigen Sie, daß L =, falls K = 4. w c) Bestimmen Sie den Lohnsatz, die Beschäftigung und die Ausbringung im Gleichgewicht, falls das Arbeitsangebot L = 6w und K = 4.
Aufgabe 8 (Konkavität der Produktionsfunktion) 5 (CES, PRODUCTION, ILS, IDENTIFICATION, HOMOGENEITY, CONCAVITY)