Wie druckt man eine Mannigfaltigkeit? Über die Topologie des 3D-Drucks

Wie druckt man eine Mannigfaltigkeit? Über die Topologie des 3D-Drucks MNU-Landestagung. 02/2016. Regensburg Clara Löh Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg

Überblick Ziele Verständnis des Grundprinzip des 3D-Drucks Verständnis der topologischen Grundlagen dafür Clara Löh Einleitung 2

Überblick Ziele Verständnis des Grundprinzip des 3D-Drucks Verständnis der topologischen Grundlagen dafür Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Einleitung 2

Das Grundprinzip des 3D-Drucks Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 3

Das Grundprinzip des 3D-Drucks Dreidimensionale Objekte werden gedruckt, indem man Schicht für Schicht für Schicht für Schicht für Schicht... Material aufträgt. Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 3

Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4

Umsetzungen dieses Grundprinzips Stereolithographie UV-Laser härtet schichtweise Polymerharz STL Form 1+ (Formlabs) Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 5

Umsetzungen dieses Grundprinzips Stereolithographie UV-Laser härtet schichtweise Polymerharz Fused Deposition Modeling (Stratasys) = Fused Filament Fabrication (Reprap-Projekt) geschmolzenes Material wird schichtweise aufgetragen... STL Form 1+ (Formlabs) FFF Prusa i3 (Reprap) Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 5

Fused Filament Fabrication Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 6

Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7

Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7

Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Tasker @ Shapeways JohnStudios @ Shapeways rpeschetz @ Shapeways Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7

Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Tasker @ Shapeways JohnStudios @ Shapeways rpeschetz @ Shapeways Anschauungsmaterial für den Mathematik-Unterricht: Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7

Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Tasker @ Shapeways JohnStudios @ Shapeways rpeschetz @ Shapeways Anschauungsmaterial für den Mathematik-Unterricht: Bathsheba @ Shapeways Bathsheba @ Shapeways Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7

Drucker, die Drucker drucken 3D-Drucker bestehen aus Einzelteilen, von denen die meisten von einem 3D-Drucker gedruckt werden können... Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 8

Drucker, die Drucker drucken 3D-Drucker bestehen aus Einzelteilen, von denen die meisten von einem 3D-Drucker gedruckt werden können... I Das Reprap-Projekt (http://reprap.org) I Auswahl von Druckern im Reprap-Projekt: Mendel Clara Löh Prusa i3 Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Holliger 8

Überblick Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 9

Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10

Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Es genügt also, die Oberfläche des Objekts zu spezifizieren, und die Schnittflächen/Schnittlinien in der gewünschten Druckauflösung daraus zu berechnen. Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10

Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Es genügt also, die Oberfläche des Objekts zu spezifizieren, und die Schnittflächen/Schnittlinien in der gewünschten Druckauflösung daraus zu berechnen. Diese Oberflächen sind zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, die in R 3 eingebettet sind. Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10

Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Es genügt also, die Oberfläche des Objekts zu spezifizieren, und die Schnittflächen/Schnittlinien in der gewünschten Druckauflösung daraus zu berechnen. Diese Oberflächen sind zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, die in R 3 eingebettet sind. Fragen Was sind Mannigfaltigkeiten? Wie kann man Mannigfaltigkeiten geeignet spezifizieren? Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10

Mannigfaltigkeiten und ihre Ränder Definition Sei n N. Eine n-mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie R n aussieht und hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Modellfall Beispiel Nicht-Beispiel Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 11

Mannigfaltigkeiten und ihre Ränder Definition Sei n N. Eine n-mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie R n aussieht und hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Modellfall Beispiel Nicht-Beispiel Definition Sei n N. Eine n-mannigfaltigkeit mit Rand ist ein topologischer Raum, der lokal wie R n oder {x R n x n 0} aussieht und hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Modellfälle Beispiel Nicht-Beispiel Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 11

Beispielmannigfaltigkeiten... Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 12

Diskrete Darstellung von Mannigfaltigkeiten? Wir suchen eine diskrete Beschreibung von Mannigfaltigkeiten, die für Berechnungen geeignet ist Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 13

Diskrete Darstellung von Mannigfaltigkeiten? Wir suchen eine diskrete Beschreibung von Mannigfaltigkeiten, die für Berechnungen geeignet ist Idee Lineare Approximation von Mannigfaltigkeiten durch Punkte, Strecken, Dreiecke, Simplizes,... Berechnung der Schnitte durch lineare Algebra Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 13

Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14

Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Sind s, t S, so ist der Durchschnitt s t leer oder eine Seite von s und t. erlaubt erlaubt nicht erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14

Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Sind s, t S, so ist der Durchschnitt s t leer oder eine Seite von s und t. erlaubt erlaubt nicht erlaubt nicht erlaubt Die Vereinigung S ist eine n-mannigfaltigkeit. erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14

Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Sind s, t S, so ist der Durchschnitt s t leer oder eine Seite von s und t. erlaubt erlaubt nicht erlaubt nicht erlaubt Die Vereinigung S ist eine n-mannigfaltigkeit. erlaubt nicht erlaubt Eine Triangulierung einer n-mannigfaltigkeit M ist eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit S, für die S zu M homöomorph ist. (Ein mögliches Gütekriterium für eine Triangulierung einer eingebetteten Mannigfaltigkeit ist, dass der Abstand zur gegebenen Mannigfaltigkeit klein ist.) Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14

Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15

Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: solid name Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15

Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: solid name Es folgt die Liste der Dreiecke der Triangulierung, wobei jedes Dreieck wie folgt definiert ist: facet normal n 1 n 2 n 3 outer loop vertex u 1 u 2 u 3 vertex v 1 v 2 v 3 vertex w 1 w 2 w 3 endloop endfacet u w v n äußerer Einheitsnormalenvektor erster Eckpunkt des Dreiecks zweiter Eckpunkt des Dreiecks dritter Eckpunkt des Dreiecks Zusätzlich wird verlangt, dass die Orientierung des Dreiecks mit der Richtung des Normalenvektors kompatibel ist; daher ist die Angabe von facet normal redundant. Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15

Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: solid name Es folgt die Liste der Dreiecke der Triangulierung, wobei jedes Dreieck wie folgt definiert ist: facet normal n 1 n 2 n 3 outer loop vertex u 1 u 2 u 3 vertex v 1 v 2 v 3 vertex w 1 w 2 w 3 endloop endfacet u w v n äußerer Einheitsnormalenvektor erster Eckpunkt des Dreiecks zweiter Eckpunkt des Dreiecks dritter Eckpunkt des Dreiecks Zusätzlich wird verlangt, dass die Orientierung des Dreiecks mit der Richtung des Normalenvektors kompatibel ist; daher ist die Angabe von facet normal redundant. endsolid name Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15

Darauf aufbauende Fragen Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 16

Überblick Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 17

Welche STL-Dateien geben sinnvolle dreidimensionale Objekte? D.h. welche Listen von Dreiecken in R 3 bilden den Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 18

Welche STL-Dateien geben sinnvolle dreidimensionale Objekte? D.h. welche Listen von Dreiecken in R 3 bilden den Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? topologische/geometrische Einschränkungen die Vereinigung der Dreiecke ist eine 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, und es dürfen keine Selbstdurchdringungen vorliegen (d.h. die Schnittbedingung für Dreiecke muss erfüllt sein) Topologische Tatsache: Jede 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, die in R 3 eingebettet ist, ist Rand einer kompakten in R 3 eingebetteten 3-Mannigfaltigkeit. Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 18

Welche STL-Dateien geben sinnvolle dreidimensionale Objekte? D.h. welche Listen von Dreiecken in R 3 bilden den Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? topologische/geometrische Einschränkungen die Vereinigung der Dreiecke ist eine 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, und es dürfen keine Selbstdurchdringungen vorliegen (d.h. die Schnittbedingung für Dreiecke muss erfüllt sein) praktische Einschränkungen keine losen Komponenten im inneren der äußersten Oberfläche, genug intrinsische Stabilität Topologische Tatsache: Jede 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, die in R 3 eingebettet ist, ist Rand einer kompakten in R 3 eingebetteten 3-Mannigfaltigkeit. Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 18

Topologische/geometrische Einschränkungen Es genügt, folgendes nachzuweisen: Jede Kante eines Dreiecks der Liste ist Kante von genau zwei Dreiecken der Liste. erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 19

Topologische/geometrische Einschränkungen Es genügt, folgendes nachzuweisen: Jede Kante eines Dreiecks der Liste ist Kante von genau zwei Dreiecken der Liste. erlaubt nicht erlaubt Jede Ecke v eines Dreiecks der Liste erfüllt: die gegenüberliegenden Kanten formen einen Polygonkreis. erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 19

Topologische/geometrische Einschränkungen Es genügt, folgendes nachzuweisen: Jede Kante eines Dreiecks der Liste ist Kante von genau zwei Dreiecken der Liste. erlaubt nicht erlaubt Jede Ecke v eines Dreiecks der Liste erfüllt: die gegenüberliegenden Kanten formen einen Polygonkreis. erlaubt nicht erlaubt Zur Überprüfung der Schnittbedingung sind alle Schnitte von je zwei Dreiecken zu berechnen. Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 19

Topologische Trickkiste Fragen Gegeben sei eine STL-Datei, die druckbar ist. Wieviele Henkel hat das resultierende dreidimensionale Objekt? Kann man einen Torus drucken, bei dem an jeder Ecke genau 2016 Dreiecke zusammentreffen? Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 20

Topologische Trickkiste Fragen Gegeben sei eine STL-Datei, die druckbar ist. Wieviele Henkel hat das resultierende dreidimensionale Objekt? Kann man einen Torus drucken, bei dem an jeder Ecke genau 2016 Dreiecke zusammentreffen? Beide Fragen lassen sich mithilfe der Klassifikation von Flächen beantworten: Satz Es gibt bis auf Homöomorphie nur die folgenden kompakten orientierbaren zusammenhängenden 2-Mannigfaltigkeiten ohne Rand:... Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 20

Die Euler-Charakteristik Definition Es sei eine triangulierte 2-Untermannigfaltigkeit S gegeben. Die Euler-Charakteristik von S ist definiert als χ(s) := #Ecken in S #Kanten in S + #Dreiecke in S Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 21

Die Euler-Charakteristik Definition Es sei eine triangulierte 2-Untermannigfaltigkeit S gegeben. Die Euler-Charakteristik von S ist definiert als χ(s) := #Ecken in S #Kanten in S + #Dreiecke in S Satz Ist S eine triangulierte, zusammenhängende 2-Untermannigfaltigkeit von R 3, so ist S eine kompakte orientierbare 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand mit genau 1 1 2 χ(s) Henkeln. Insbesondere hängt die Euler-Charakteristik nicht von der gewählten Triangulierung ab(!). Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 21

Überblick Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 22

Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23

Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Erinnerung: Klassifikation solcher Flächen (bis auf Homöomorphie):... Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23

Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Erinnerung: Klassifikation solcher Flächen (bis auf Homöomorphie):... Kann jede solche Fläche in R 3 eingebettet werden? Kann jede solche Fläche trianguliert werden? Kann jede solche Fläche gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23

Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Erinnerung: Klassifikation solcher Flächen (bis auf Homöomorphie):... Kann jede solche Fläche in R 3 eingebettet werden? Ja! Kann jede solche Fläche trianguliert werden? Ja! (Radó) Kann jede solche Fläche gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? Ja! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23

Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Mannigfaltigkeit gedruckt werden? (falls höherdimensionale Drucker zur Verfügung stehen) Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 24

Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Mannigfaltigkeit gedruckt werden? (falls höherdimensionale Drucker zur Verfügung stehen) Kann jede solche Mannigfaltigkeit in R? eingebettet werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten höherdimensionalen Mannigfaltigkeit? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 24

Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Mannigfaltigkeit gedruckt werden? (falls höherdimensionale Drucker zur Verfügung stehen) Kann jede solche Mannigfaltigkeit in R? eingebettet werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten höherdimensionalen Mannigfaltigkeit? Klassifikation solcher Mannigfaltigkeiten (bis auf Homöomorphie):?! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 24

Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25

Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Ja! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25

Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Ja! Kann jede kompakte n-mannigfaltigkeit in R n+1 eingebettet werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25

Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Ja! Kann jede kompakte n-mannigfaltigkeit in R n+1 eingebettet werden? Nein! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25

Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26

Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Nein! (Freedman) Für glatte Mannigfaltigkeiten: Ja! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26

Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Nein! (Freedman) Für glatte Mannigfaltigkeiten: Ja! Eindeutigkeit: Besitzen je zwei Triangulierungen eine gemeinsame Verfeinerung? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26

Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Nein! (Freedman) Für glatte Mannigfaltigkeiten: Ja! Eindeutigkeit: Besitzen je zwei Triangulierungen eine gemeinsame Verfeinerung? Nein! (Widerlegung der sogenannten Hauptvermutung; Gegenbeispiel von Donaldson) Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26

Füllbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. gibt es zu jeder kompakten n-mannigfaltigkeit M ohne Rand eine kompakte n + 1-Mannigfaltigkeit W mit W = M? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 27

Füllbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. gibt es zu jeder kompakten n-mannigfaltigkeit M ohne Rand eine kompakte n + 1-Mannigfaltigkeit W mit W = M? Nein! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 27

Füllbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. gibt es zu jeder kompakten n-mannigfaltigkeit M ohne Rand eine kompakte n + 1-Mannigfaltigkeit W mit W = M? Nein! Diese Fragestellung führt zum Begriff des Bordismus, der wichtige Entwicklungen in der geometrischen Topologie, Homotopietheorie, und der algebraischen Geometrie angestoßen hat. Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 27

Zusammenfassung Dreidimensionale Objekte werden Schicht für Schicht gedruckt Man modelliert dreidimensionale Objekte durch ihre zweidimensionale Oberfläche (bzw. eine feine Triangulierung davon) Nicht jede STL-Datei kann gedruckt werden Nicht jede Mannigfaltigkeit kann auf diese Weise gedruckt werden, selbst wenn hochdimensionale Drucker zur Verfügung stehen Clara Löh Zusammenfassung 28

Werbung! Schülerzirkel Mathematik der Fakultät für Mathematik der Universität Regensburg: http://www.mathematik.uni-r.de/schuelerzirkel Nächster Workshop: voraussichtlich im Mai 2016. Der Schülerzirkel in Buchform: Quod erat knobelandum C. Löh, S. Krauss, N. Kilbertus (Hrsg.) Springer Spektrum, erscheint 2016 (morgen?!). Clara Löh Werbung! 29