Computer Graphik II Tesselierung impliziter Kurven und Flächen

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Walter Linden
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1 Computer Graphik II impliziter Kurven und Flächen 1

2 impliziter Flächen Problem: Nullstellenmenge kann nicht explizit berechnet werden! Lösung: ApproximaCon der Fläche auf Zellen Beispiel 2D: f p ( ) < 0 2

3 2D - Vierecksnetz Im 2D- Fall gibt es zwei 2 4 unterschiedliche KonfiguraConen. Diese lassen sich durch Symmetrie- Betrachtungen (RotaConen) und Komplementbildung auf 6 bzw. 4 KonfiguraConen zurückführen: 3

4 2D Vierecksnetz, Konsistenz Fall 4 führt zu einem (nicht entscheidbaren) Problem: Entscheidet man sich stets für dieselbe Art der Behandlung, so werden Inkonsistenzen vermieden! 4

5 2D - Dreiecksnetz Werden anstaz quadracscher Zellen Dreiecke verwendet, so gibt es keine MehrdeuCgkeiten! 5

6 3D Marching Cubes 6

7 3D Marching Cubes Marching Cubes (Lorensen and Cline 1987) 1. Lade vier Schichten des GiZers in den Speicher 2. Erzeuge einen Würfel, der je vier Ecken in den mizleren beiden Schichten enthält. 3. Klassifiziere die Würfelecken wie im zweidimensionalen Fall in markierte, d.h. im oder auf dem Objekt liegend, und unmarkierte. 7

Erzeuge einen Würfel, der je vier Ecken in den mizleren beiden Schichten enthält.

8 3D Marching Cubes ErmiZle einen Fallindex. Indem für jede markierte Ecke ein bescmmtes Bit in einem Byte gesetzt wird, erhält man eine Numerierung der 2 8 = 256 Fälle, die es für die markierten und unmarkierten Ecken gibt. Diese fallen in eine der 14 Aquivalenzklassen für den 3D- Fall. 8

wird, erhält man eine Numerierung der 2 8 = 256 Fälle, die es für die

9 3D KonfiguraFonen Die 256 Fälle des Marching Cubes Algorithmus lassen sich durch RotaCon, Spiegelung an einer Ebene und Komplementbildung aus 14 Aquivalenzklassen abbilden. 9

10 3D Marching Cubes MiZels des Index kann man aus den zuvor tabellierten 256 Fällen werden die Knoten auf den geschnizenen Kanten und die zugehörigen Dreiecke ausgelesen. Der Eintrag in einer Look- up- Tabelle für den Index 33 umfasst z.b. einen Verweis auf die geschnizenen Kanten e 1 ; e 4 ; e 5 ; e 6 ; e 9 und e 10 sowie die Vorschrij zur Verbindung dieser SchniZe zu den Dreiecken (e 1 ; e 9 ; e 4 ) und (e 5 ; e 10 ; e 6 ). 10

11 3D Marching Cubes ErmiZle die genaue PosiCon der VerCces auf den geschnizenen Kanten durch lineare InterpolaCon: ErmiZle die Normalen an den Dreiecksknoten v s = αv a + ( 1 α)v b α = f( v b ) f( v b ) f( v a ) Laufe zum nächsten Würfel 11

ErmiZle die Normalen an den Dreiecksknoten v s = αv a + ( 1

12 3D KonfiguraFonen, Konsistenz MehrdeuCgkeiten bei der Triangulierung: Im linken Würfel wird trennend, im rechten verbindend trianguliert. Zwischen den gestrichelten Linien verbleibt ein Loch in der Triangulierung der Oberfläche. Das Problem kann vermieden werden, sofern man in beiden Würfeln, die eine zweideucge Seite gemein haben, beide gleich behandelt, also entweder in beiden Seiten trennend oder in beiden Seiten verbindend trianguliert. 12

Zwischen den gestrichelten Linien verbleibt ein Loch in der Triangulierung der Oberfläche.

13 3D Tetraedernetz Tetraederzellen (analog zu Dreieckszellen in 2D) Keine topologischen MehrdeuCgkeiten Weniger Fälle Verschiedene Zerlegungsmöglichkeiten für gegebene Würfel Zusätzliche Kanten sowohl im Innern als auch auf den Seiten des Würfels Diagonalen auf der Oberfläche der Würfel müssen für aneinandergrenzende Würfel konsistent gewählt werden 13

Zusätzliche Kanten sowohl im Innern als auch auf den Seiten des Würfels Diagonalen auf

14 3D Tetraedernetz Tabelle Vor- und Nachteile Einfachheit (kleinere Lookup- Tabellen) Konsistent (spezielle Auflösung der MehrdeuCgkeiten) erzeugt etwa doppelt so viele Dreiecke wie bei Quaderzellen 14

15 Grid- Snapping Probleme kurzer Dreieckskanten Schneidet die Oberfläche den Würfel nahe einem Würfeleckpunkt, so entstehen kleine Dreiecke (tragen kaum zur Fläche bei) Liegt der SchniZ nahe entlang einer Würfelkante, so entstehen sehr spitze lange Dreiecke (schlechtes Seitenverhältnis) Dreiecke mit kurzen Kanten verbrauchen Resourcen, tragen aber nicht zur Güte der Fläche bei 15

nahe entlang einer Würfelkante, so entstehen sehr spitze lange Dreiecke (schlechtes

16 Grid- Snapping ErmiZele die Abstände der SchniZpunkte der Oberfläche mit den Würfelkanten zu den Würfeleckpunkten Unterschreitet diese Distanz eine Schwelle d snap, so wird der SchniZpunkt auf den nächsten Würfeleckpunkt gezogen Schnappen mehrere SchniZpunkte eines Dreiecks zum gleichen Eckpunkt, so degeneriert es und wird am Ende des Algorithmus aus der Triangulierung gestrichen. 16

den nächsten Würfeleckpunkt gezogen Schnappen mehrere SchniZpunkte eines Dreiecks zum gleichen

17 Grid- Snapping Meist versucht man die ApproximaCon dadurch zu verbessern, dass zusammengezogene SchniZpunkte in ihrem Schwerpunkt platziert werden MiZels Grid- Snapping wird eine erhebliche DatenredukCon erreicht. Parameter 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,46 0,495 Ecken Reduktion 0 3,3 13,3 18,3 25,7 42,6 42,6 17

Snapping wird eine erhebliche DatenredukCon erreicht.

18 Ecken und Kanten Erkennung von Ecken und Kanten (Kobbelt et al. 2001) Evaluierung der Normale Bei großer Normalenabweichung wird zusätzlicher Punkt eingefügt 18

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