Mathematik für alle Mathematics for Everyone This is a fractal with the word luck 1 2 Mathematik für Kinder Kroptografie Mathematics for Children Kroptografie Decode the message: auf der Kinderseite einer Kundenzeitung in the children s page of commercial newspaper 3 4 Mathematik echt leicht Mathematics is Easy Solution: Der Apfel faellt nicht weit vom Stamm a german idiomatic expression: The apple falls not far from the tree 6 1
Cäsarcode, Urtyp der Kryptografie Schlüssel- Buchstabe über das A stellen Kryptogramm-Buchstaben Caesar s code, Prototype of the Cryptographic Methods keyletter Schlüssel- Buchstabe put it over the A über das A stellen letters of the ciphertext Kryptogramm-Buchstaben letters of the plaintext 8 Schlüssel- Buchstabe do it yourself: caesarcode über das A stellen DRKYV Kryptogramm-Buchstaben Caesar s Code, the Origin of the Cryptography keyletter DRKYV Schlüssel- Buchstabe put it over the A über das A stellen letters of the ciphertext Kryptogramm-Buchstaben 9 letters of the plaintext 10 Kyptografie, Vigenère-Verfahren Vigenère-Verfahren Cyptographie, Vigenère s Method Vigenère-Verfahren plaintext Kryptogramm: keyword Kryptogramm: ciphertext: 11 12 2
Kyptografie, Vigenère-Verfahren Vigenère-Verfahren Kryptogramm: Cyptographie, Vigenère s Method Vigenère-Verfahren plaintext ciphertext: XENWLMNTTO keyword XENWLMNTTO DYJTY DYJTY 13 14 Kyptografie macht sich auf den Weg 4344239 Cyptography Goes On 4344239 INFO: Der ASCII-Code ist die übliche Codierung des Alphabetes. Die großen Buchstaben reichen von 6 bis 90, dann folgen die kleinen Buchstaben. Hier ist die Zahl 30 vom ASCII-Code abgezogen, damit man zweistellig bleibt. 1 INFO: The ASCII-Code is the usual way to realise letters and sign in the computer. The big Letters have the Mumbers 6 to 90, then the small letters follow. The number 30 is subtracted from ASCII-Code here, so that two figures are enough. 16 Kyptografie macht sich auf den Weg Cyptography Goes On Klartext m 4344239 Schlüssel s 28469381 plaintext m 4344239 key s 28469381 free chosen 1 18 3
Zahlen ermöglichen gute Kryptografie Numbers are Good for Good Cryptography Klartext m 4344239 Schlüssel s 28469381 plaintext m 4344239 key s 28469381 you habe to add it without transfer 10 19 20 Zahlen ermöglichen gute Kyptografie Numbers are Good for Good Cryptography Klartext m 4344239 Schlüssel s 28469381 plaintext m 4344239 key s 28469381 21 22 Rechnen geht besser als Ablesen To Add is Better than to Read Vigenère s Table Die Tabelle können wir vergessen, man kann das ganz einfach auch ausrechnen! Klartext m 4344239 Schlüssel s 28469381 Forget the table, it is easier to add it (without transfer the 10) plaintext m 4344239 key s 28469381 Ziffernweise ohne Übertrag addieren cz sz mz Ziffernweise abziehen modulo 10 23 add the figures and drop the tens mz sz cz cz sz mz subtract the figures take a 10 if you need modulo 10 24 4
Rechnen geht besser als Ablesen To Add is Better than to Read Vigenère s Table Die Tabelle können wir vergessen, man kann das ganz einfach auch ausrechnen! Klartext m 4344239 Schlüssel s 28469381 Forget the table, it is easier to add it (without transfer the 10) plaintext m 4344239 key s 28469381 Ziffernweise ohne Übertrag addieren cz sz mz Ziffernweise abziehen modulo 10 2 add the figures and drop the tens mz sz cz cz sz mz subtract the figures take a 10 if you need modulo 10 26 Kyptografisches Protokoll one-time-pad (dezimal) Vorbereitungsphase Anton und Berta vereinbaren einen Schlüssel Anwendungsphase: Verschlüsselung (encryption) 1. Anton übersetzt einen Klartext in eine Zahl m 2. Er addiert ziffenweise modulo 10 (d.h. ohne Übertrag) den Schlüssel s 3. Das Ergebnis c schickt er Berta. Entschlüsselung (decryption) 1. Berta subtrahiert ziffernweise modulo 10 den Schlüssel von dem Krytogramm c und erhält m 2. Sie übersetzt m zurück in Buchstaben und liest. cz sz mz 2 Cryptographic Protokoll one-time-pad (decimal) preparation phase Anton and Berta agree on a key application phase: encryption 1. Anton translates a plaintext in a Number m 2. He adds figurewise modulo 10 (without take 10) the key s 3. He sends the result, the ciphertext, c to Berta. decryption 1. Berta subtracts modulo 10 the key from the ciphertext. The result ist the message m. 2. She translates m back in letters ans reads the message. cz sz mz 28 Vierer-Übung Vier Studis bilden eine Gruppe Rechts-Unten sagt den Schlüssel an. 8 Stellen zufällig Die, die nebeneinander sitzen, verschlüsseln ein Wort mit 4 Buchstaben. Die beiden anderen müssen es herausbekommen. 6 Minuten cz sz mz 29 Exercises with Four Students Four students build a group. Right-down says an arbitrary key. 8 figures randomly The students, which are neighbours, encrypt one word whith 4 letters. The two others must decrypt this word. 6 minutes cz sz mz 30
Was ist moderne Kyptografie? What is Modern Cryptography? It ist a very special joke, that one can read important german dictionary: cryptography is a randomly made scratching of adults. The goal of this lecture is, to enable people to know it better. 31 32 Was ist moderne Kryptografie? treibt das Rechnen auf die Spitze verwendet riesige Zahlen von 200 Stellen Länge werkelt mit Primzahlen erzeugt das Kryptogramm und die Schlüssel durch Rechnungen die Rechnungen laufen modulo n, im Restklassen ring von n Das wird jetzt erkärt: 33 What is modern cryptography? high end calculating with numbers takes giant numbers with 200 figures handles with primnumbers produce the ciphertext and the keys only with calculating calculation is modulo n, in residue class ring on n This will be explained: 34 modulo 20 was bedeutet das? Die Vielfachen von 8 bzw. 9 modulo 20 Es geht nur um die Reste beim Teilen durch 20. modulo 20 what is it? The multiples of 8 (left) and 9 (right) modulo 20 Importend are only the residues in divison by 20. gehe von Null 8 Schritte und 8 Schritte u.s.w. gehe von Null 9 Schritte und 9 Schritte u.s.w. go from zero 8 steps and 8 steps and so on go from zero 9steps and 9 steps and so on zero one one zero 3 36 6
modulo n was bedeutet das? Die Vielfachen von 8 bzw. 9 modulo 20 Es geht nur um die Reste beim Teilen durch 20. modulo n what is it? The multiples of 8 (left) and 9 (right) modulo 20 Importend are only the residues in divison by 20. n = 20 n = 20 8 hat einen gemeinsamen Teiler mit 20, nämlich 4. Es bleiben Punkte übrig. 9 hat keinen gemeinsamen Teiler mit 20 Es bleiben keine Punkte übrig. 8 has a common divisor with 20, namely 4. There are points in the circle without lines. 9 don t have a commom divisor with 20 All points in the circle get lines. 3 38 modulo n: was bedeutet das? n = 19 Die Vielfachen von 8 modulo 19 Keine Zahl 1 z 19hat einen gemeinsamen Teiler mit 19. Darum wird immer jeder Punkt erreicht. Es bleiben nie Punkte übrig. 19 ist eine Primzahl Eine Primzahl p ist eine Zahl mit genau zwei Teilern: 1 und p. 39 modulo n: what is it? n = 19 The multiples of 8 modulo 19 No Number 1 z 19 has a common divisor with 19. Therefore in all cases every point ist reached. No points are left. 19 is a prime number A prime number p is a number with exact two divisors: 1 and p. 40 Die Primzahlen und das modulo-n- Rechnen Kryptografie Prime Numbers and the Calulating modulo n That s the New Cryptography n =19 n =4 n =1 n = 221423210133901281966816409644 10689439491246809219280298496 41 n =19 n =4 n =1 n = 2132890004644223364991216144948844 610436902866431669032382601396263900216918440 200214682419613986086338912118382811369 42
Erklärung zur letzten Folie: Für jede Zahl n denkt man sich den Kreis der Zahlen als Punkte {0,1,2,3,.. n-1} auf dem Zifferblatt einer Uhr. Beim Rechnen modulo n kommen nur diese Zahlen vor. Ihre Menge bezeichnet man mit n. ( sind die ganzen Zahlen ) Die Vielfachen einer Zahl t lassen manchmal Punkte aus. Das ist für die Kryptografie ungünstig. n Bei Primzahlen kann das nicht passieren, darum sind Primzahlen so wichtig für die Kryptografie. In der Kryptografie verwendet man riesige Primzahlen. Der ganz große Kreis rechts müsste für das angegebene n (etwa 10 10 ) viel mehr Punkte haben, als im Universum Atome (etwa 10 ) sind. 43 Explanation of the Last Slide: We think for every number n a circle of numbers with points {0,1,2,3,.. n-1} as a face plate of a clock. When we calculate modulo n the are only this numbers. We name the set of these numbers n. ( are the integers) The multiples of a number t sometimes leap some points. This is awkward for cryptography. n With prime numbers this is impossible. Thats why prime numbers are so important for cryptography In cryptography one take giant prime numbers Primzahlen. For the given n (ca. 10 10 ) the biggest circle at the right must have more points than the universe has atoms (ca. 10 ). 44 Jetzt: Kopfrechnen mit den Resten beim Teilen durch n: das ist Rechnen modulo-n 1 2 1 modulo ist 2 1 ist gleich 2 modulo 1 ist kongruent 2 modulo heißt Teiler oder modulo-zahl mod (1, ) 2 1 2 mod Now: Mental Arithmetic with the Rests by Dividing by n: That is modulo n Calculation. 1 2 1 modulo equals 2 1 equals 2 modulo 1 is congruent 2 modulo is the divisor or modulo-number mod (1, ) 2 1 2 mod Ganze Vielfache von n weglassen! 4 leave whole multiples of n! 46 Jetzt: Kopfrechnen mit den Resten beim Teilen durch n: das ist Rechnen modulo-n 1 2 1 modulo ist 2 1 ist gleich 2 modulo 1 ist kongruent 2 modulo heißt Teiler oder modulo-zahl mod (1, ) 2 1 2 mod Now: Mental Arithmetic with the Rests by Dividing by n: That is modulo n Calculation. 1 2 1 modulo equals 2 1 equals 2 modulo 1 is congruent 2 modulo is the divisor or modulo-number mod (1, ) 2 1 2 mod Ganze Vielfache von n weglassen! evt. schrittweise 4 leave whole multiples of n! perhaps more steps 48 8
modulo-rechnen ist einfach modulo Calculating ist Easy Man rechnet wie immer, lässt aber an beliebigen Stellen in Zahlen Vielfache der modulo-zahl n weg oder addiert sie. You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. 49 modulo-rechnen ist einfach 0 modulo Calculating ist Easy Man rechnet modulo n wie immer, lässt aber an beliebigen Stellen in den Zahlen Vielfache der Modulzahl n weg. You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. weil: -2+=3 because -2+=3 1 Z(m) ist die Menge der möglichen Reste beim Teilen durch m 2 Z(m) is the Set of all Possible Rests in Division by m V k ü f Verknüpfungstafeln t f l t bl off operation table ti 3 4 9
Vier Studis helfen einander. Four Studis help eachother. 4 Min You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. Vier Studis helfen einander. Four Studis help each other. 4 Min You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. Muster sample Kopfrechnen mental arithmetic Muster sample Kopfrechnen mental arithmetic 6 Gleichungen? Equations? keine Lösung no solution keine Lösung no solution Weil k*10+3 ungerade aber 8*x gerade * 1,2,3,4 only by trial and error 10 0,1,2,3,4,,6,,8,9 hat außer 0 weitere Nullteiler!!!! zero divisor has no zero divisors because is prime. 8 Was muss ich mir merken? Die Ganzen Zahlen sind {... 2, 1, 0, 1, 2, 3...} In der Kryptografie geht es um das Rechnen modulo n in der Menge n { 0, 1, 2, 3,..., n 1}, der Menge der Reste. In der Kryptografie hat n etwa 200 Stellen. Zum Lernen nehmen wir kleine n und rechnen meist im Kopf. Hinter jeder Zahl r in n muss man sich alle Zahlen vorstellen, die denselben Rest beim Teilen durch n ergeben. Sie ergeben sich aus r durch Addition eines beliebigen Vielfachen von n. Also r repräsentiert zn r mit z Das schreibt man so: r znr n Im Beispiel { 0, 1, 2, 3,...,6} 3 z3 3 1310 3 2003143 3134 9 What Shall I Have to Keep in My Mind? The integers are this: {... 2, 1, 0, 1, 2, 3...} In cryptography one calculate modulo n in the set n { 0, 1, 2, 3,..., n 1}, the set of residues, the set of rests. In cryptografie n has ca. 200 digits. to learn it, we take small modulo-numbers n and mostly we calculate by head. behind every number r in n one must imagine alle numbers with the same rest in division by n. They are constructed from r by addition of an arbitrary multiple of n. So r represents zn r mit z We write in this manner: r znr n In example { 0, 1, 2, 3,...,6} 3 z3 31310 3 2003143 3134 60 Uff, jetzt haben wir schon viel gelernt! Ziel: Kryptografie verstehen Weitere Überraschungen beim modulo-rechen folgen! 61 10
Wow, We Have Learned Much in this Short Time! Potenzen sind spannend Die Potenzen von 3 modulo 20 3 hat in Z (20) die Ordnung 4, denn goal: to understand cryptography Futher surprises with modulo-calculating! 62 Nur Zahlen, deren Potenzen in Z(n) wieder 1 erzeugen sind brauchbar. Der kleinste Exponent k von a, mit heißt Ordnung von a modulo n. 63 Powers are exciting The powers of 3 modulo 20 Powers modulo n 3 has in Z (20) the Order 4, denn Numbers are only useful, if the powers in Z(n) equal 1 for any exponent. The smalest exponent k von a, mit is named Order of a modulo n. 64 6 Powers in Z(n) The powers of 3 modulo 20 k ist the order of 3 modulo 10 Potenzen in Z(n) 4038996298133900863409810848394498166 96348623186628102184426316324409899912831 12221908031226440922982112489181 0338304034419302831610118 8129043164196698062 369028664868962029148644410318481136 68348884283 210948081600929296263111 0406984120338360666463902423649284424180 99083124846114044413999818842326862989 3384 638409130343261896468436 26462216898936939 2213800868321919461 20333321439182449136148 19168349141 24869914132248923990419194 121423139 01012630466886323132319390082 Die Potenzen von 3 modulo 20 14806802 963102633129482429331 800946829026948 0921126322042210803019 8 02981233109860121132209932 349899369 4880826632849362 08469320466083908922 819926966624 931286293386196648224641929042991462439 038624893616196889410826921 8926329429991040124010829239460862 88448401091384892062622114321898606399438969 4.0389963* 10 ^ 238 2241444430834130994418 0308940116392449921436191128 606640849628198883226 33888062092 9003322309418 28493291048089968220004468631366224 618461206839130948166 42203 238260012998030 1846303044130262680898302249090434931284634844263 39644646260892 228164292649692268689836828221 491014801484632422189680862290608301969616186838499 2803 04299049608449130842202616221888696208030864632041 3261826126984984843340681194692 3912086834836813643614830336480 10498916660149081421414948463 006444808828699 69448180443844 48610061128628469486134020824838406866811418448386144996346098 98616081349326323438422309802299681600668389429061260886441119141414 24898862896 828629961338393889213448982160466983 198603399323316 3961929060416360633293648 893086913392026236922333024104329996433246882493294306881 6609394928863664041943691066 0169603801436222221488486803934144 890619044809134680891643616393400023219138866 88362688113380023092924492383140866436366049608809430643000042429183036380263 268832904300918386680282000168818888430210414996088362881806349999111106849 926238933420163686819341001992202623320 8169339416830264498039818891302383468113 9326336004936313699826100001 That s cryptography! 66 68 11