START MATHEMATIK-STAFFEL 2008 Du hast 60 Minuten Zeit um die 20 Aufgaben zu bearbeiten. Insgesamt kann man 500 Punkte erreichen. Staffel-Aufgabe 1 (30 Punkte, Rest 470 Punkte) Ausradiert In die Kreise hat jemand die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 geschrieben, und in jedes Dreieck die Summe der Zahlen, die in den Ecken des Dreiecks stehen. In den Kreisen kommt jede Zahl genau einmal vor. Danach hat jedoch jemand die Zahlen in den Kreisen und auch die Zahlen in den untersten vier Dreiecken ausradiert. 10 18 15 24??? Welche Zahl hat im untersten Dreieck gestanden?
Staffel-Aufgabe 2 (20 Punkte, Rest 450 Punkte) Kuchen Ein kreisförmiger Kuchen ist durch sechs gerade Schnitte in sechzehn Stücke geteilt worden: Jemand macht zusätzlich noch zwei gerade Schnitte. Welches ist die größste Anzahl an Stücken, in die der Kuchen dadurch geteilt werden kann?
Staffel-Aufgabe 3 (20 Punkte, Rest 430 Punkte) Durchstreichen Streiche Zahlen so durch, dass in jeder Reihe und jeder Spalte höchstens eine 1, eine 2, eine 3, und eine 4 übrig bleiben. 3 2 2 1 4 1 1 4 3 4 2 2 5 4 1 3 4 3 2 3 2 1 3 1 4 Welches ist die kleinste Anzahl an Zahlen, die du durchstreichen musst?
Staffel-Aufgabe 4 (20 Punkte, Rest 410 Punkte) Der Schachwürfel Auf jede der sechs Seitenflächen eines Würfels wird ein Schachbrett gemalt: ein Muster aus 8 8 weißen und schwarzen Quadraten, so dass zwei aneinander grenzende Quadrate jeweils verschiedene Farben haben. An einigen Kanten des Würfels werden Paare von weißen Quadraten oder Paare von schwarzen Quadraten aneinander grenzen. Welches ist die kleinste Anzahl von Paaren von Quadraten der gleichen Farbe?
Staffel-Aufgabe 5 (30 Punkte, Rest 380 Punkte) Gräben und Rücken Ein Blatt Papier wird acht mal gefaltet. Die Faltlinien sind A, B, C, D, K, L, M, N. Die Faltungen wurden aber nicht in dieser Reihenfolge vorgenommen. Wenn das Papier wieder aufgefaltet wird, siehst du, dass jedes Stück Faltlinie ein Graben (Talfalte) oder ein Rücken (Bergfalte) ist. In der unten stehenden Figur sind die Gräben mit G bezeichnet und die Rücken mit R. A B C D K L M N G G G G G R R R R G R R R G R R R G G G G R G R G R G G G G R G R R G R G R G R K L M N A B C D In welcher Reihenfolge sind die acht Linien gefaltet worden? Notiere deine Antwort, wie beispielhaft hier angegeben: NMLKDCBA.
Staffel-Aufgabe 6 (30 Punkte, Rest 350 Punkte) Fünfen und Sechsen In wievielen der Zahlen zwischen 3000 und 4000 kommen als Ziffern mehr Fünfen als Sechsen vor?
Staffel-Aufgabe 7 (20 Punkte, Rest 330 Punkte) Bohren Ein großer Würfel besteht aus 5 5 5 kleinen Würfeln. In jede Seitenfläche werden 5 Löcher gebohrt, und zwar senkrecht zur Seitenfläche und durch den Würfel hindurch. Die Stellen der Löcher sind in der unten stehenden Zeichnung angegeben. Wieviele kleine Würfel bleiben unberührt?
Staffel-Aufgabe 8 (20 Punkte, Rest 310 Punkte) Fussball Deutschland, Niederlande, Belgien und Luxemburg bilden eine Gruppe in der Vorrunde einer Fussballweltmeisterschaft. Sie spielen alle einmal gegen einander. Der Gewinner eines Spiels bekommt 3 Punkte, der Verlierer 0. Bei Unentschieden erhalten beide Mannschaften 1 Punkt. Am Ende wird der Tabellenstand durch die Anzahl der Punkte bestimmt, die jedes Land erhalten hat. Welche der folgenden Tabellen sind möglich? Tabelle 1 Tabelle 2 Tabelle 3 Tabelle 4 Tabelle 5 Tabelle 6 Deutschland 8 6 7 5 5 6 Niederlande 5 5 4 3 5 4 Belgien 4 4 3 3 3 3 Luxemburg 1 3 2 2 2 3
Staffel-Aufgabe 9 (20 Punkte, Rest 290 Punkte) Schneiden Ein quadratisches Blatt Papier wird gefaltet, viermal horizontal und viermal vertikal, so dass ein kleines Quadrat mit 25 Schichten entsteht. Danach wird dieses Quadrat durchgeschnitten, und zwar entlang einer Linie, die parallel zur Diagonalen aber nicht die Diagonale selbst ist. Zum Schluss wird wieder alles aufgefaltet. Wieviele Stücke Papier hast du dann?
Staffel-Aufgabe 10 (20 Punkte, Rest 270 Punkte) Punkte In einem regelmäßigen rechteckigen Punktmuster von 40 Reihen mit je 66 Punkten wird einen Diagonale gezogen. 40 66 Wieviele Punkte liegen auf der Diagonalen (inklusive Anfangs- und Endpunkt)?
Staffel-Aufgabe 11 (30 Punkte, Rest 240 Punkte) Linsenfläche Der Radius des großen Kreises beträgt 4. Wie groß ist die graue Fläche?
Staffel-Aufgabe 12 (20 Punkte, Rest 220 Punkte) Drehen Innerhalb eines Winkels mit dem Scheitelpunkt A liegt ein Punkt P. X 2 P 45 45 Y 2 A X 1 Y 1 X 1 und X 2 sind die Fußpunkte der Lote, die von P aus auf die Schenkel des Winkels gefällt werden. Die Lote werden um einen Winkel von 45 gegen den Uhrzeigersinn um den Punkt P herum gedreht. So entstehen die Punkte Y 1 und Y 2. Die Länge der Strecke X 1 X 2 beträgt 6. Wie lang ist die Strecke Y 1 Y 2?
Staffel-Aufgabe 13 (30 Punkte, Rest 190 Punkte) Labyrinth Ein Platz ist gepflastert mit 31 31 quadratischen Pflastersteinen. Wir sagen, dass zwei Steine aneinander grenzen wenn sie eine Seite gemeinsam haben, und sich berühren, wenn sie keine Seite, aber wohl eine Ecke gemeinsam haben. Die Steine am Rand sind dunkel. Vom Rand ausgehend schlängelt sich ein Pfad aus grauen Steinen der nummeriert ist mit 1, 2,.... Die übrigen Steine sind weiß. Stein 1 grenzt an den Rand, die anderen Steine des Pfades nicht. Die Steine 1 und 2 grenzen aneinander, ebenso 2 und 3, usw., die Steine 1 und 3, sowie 3 und 5 berühren einander, wie alle Steine vor und nach einer Kurve. Ansonsten grenzen oder berühren sich keine weiteren Steine des Pfades. Es gibt kein 2 2 Quadrat, dass nur aus weißen Steinen besteht. Das untenstehende Beispiel zeigt eine solche Situation für einen 15 15 Platz; es gibt dort einen Pfad aus 72 grauen Steinen, und ansonsten gibt es 56 dunkele Steine und 97 weiße. 2 3 4 1 5 Aus wie vielen grauen Steinen besteht der Pfad in dem 31 31 Platz?
Staffel-Aufgabe 14 (30 Punkte, Rest 160 Punkte) Der Hinzugekommene In einem Raum befindet sich eine Gruppe von Menschen, bestehend aus mindestens 2 und höchstens 24 Personen. Jemand bemerkt: Unsere Anzahl ist gerade. Stille. Jemand bemerkt: Unsere Anzahl ist teilbar durch 3. Stille. Jemand bemerkt: Wenn noch zwei Menschen hinzukommen, ist unsere Anzahl ein Vielfaches von 5. Stille. Jemand bemerkt: Unsere Anzahl ist keine Primzahl. Stille. Jemand bemerkt: Unsere Anzahl ist ungerade. Alle fünf Bemerkungen waren richtig in dem Moment, in dem sie ausgesprochen wurden, aber während einer der stillen Pausen ist eine Person hinzugekommen. Wie viele Menschen sind am Ende im Raum?
Staffel-Aufgabe 15 (30 Punkte, Rest 130 Punkte) Ausgeschnittene Stücke Wir wählen einen Punkt innerhalb eines Dreiecks mit Seiten der Längen 5, 6 und 8. Durch diesen Punkt ziehen wir Linien parallel zu den Seiten des Dreiecks. Die Linien schneiden aus den Seiten des Dreiecks Stücke der Länge 1, 3 und x aus, entsprechend dem zweiten Bild. 6 5 8 3 1 x Wie groß ist x?
Staffel-Aufgabe 16 (20 Punkte, Rest 110 Punkte) Der Spaziergang Hier unten ist ein Grundriss eines Stadtparks abgebildet. Die Punkte geben die Stellen an, an denen eine Statue steht. Wir wollen einen Spaziergang durch den Park machen, der am Eingang (bei A) beginnt und endet, und zwar so, dass wir an jeder Statue genau einmal vorbeikommen. A Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Staffel-Aufgabe 17 (20 Punkte, Rest 90 Punkte) Rollende Münzen A, B und C sind drei gleichgroße Münzen. Sie liegen in einer Reihe, B in der Mitte, und A und C berühren B, so wie im unten stehenden Schema. A B C Zur selben Zeit beginnen A und C im Uhrzeigersinn ohne zu rutschen über den Rand von B zu rollen, C zweimal so schnell wie A. Die Bewegung stoppt, sobald C auf A stößt. l m n k o j i h g p q r s t f e d u v c w b a x In dem oben stehenden Diagram sind 24 Punkte des Randes von B mit Buchstaben benannt worden. Bestimme den Buchstaben des Punktes von B, den A im Moment des Stoppens berührt.
Staffel-Aufgabe 18 (30 Punkte, Rest 60 Punkte) Glasbausteine Ein Künstler baut einen Würfel aus 7 7 7 gleich großen würfelförmigen Blöcken. Ihm stehen Glasblöcke in verschiedenen Farben zur Verfügung. Er möchte den großen Würfel so bauen, dass bei Drehungen oder Spiegelungen des Würfels in sich, die Blöcke stets auf Stellen landen, an denen vorher ein Block derselben Farbe war. So müssen unter anderem die beiden hellgrauen Blöcke im unten stehenden Diagram dieselbe Farbe bekommen. Dasselbe gilt für die drei dunkelgrauen Blöcke. Welche ist die größte Anzahl von Farben, die der Künstler benutzen kann?
Staffel-Aufgabe 19 (30 Punkte, Rest 30 Punkte) Römische Zahlen Die römischen Ziffern und ihr Wert werden durch unten stehende Liste beschrieben: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Wir erstellen Kombinationen bestehend aus zwei römischen Ziffern. Der Wert einer Kombination wird durch die folgende Regel bestimmt: Wenn eine kleinere Ziffer vor einer größeren steht, muss die kleinere von der größeren abgezogen werden; anderenfalls werden die Ziffern addiert. Beispiele: VD hat den Wert 495 und CI hat den Wert 101. Es sind jedoch nicht alle Kombinationen gültig; ungültig ist jede Kombination mit einem Wert, welcher auch durch eine einzige Ziffer ausgedrückt werden kann. So ist LC nicht gültig, da ihr Wert gleich dem von L ist. Auch VV ist ungültig, denn ihr Wert ist gleich dem von X. Wie groß ist die Summe der Werte aller gültigen Kombinationen aus zwei römischen Ziffern?
Staffel-Aufgabe 20 (30 Punkte, Rest 0 Punkte) Maximales Produkt Die Zahl 101 kann auf verschiedene Weise in eine Summe von ungeraden Zahlen zerlegt werden. Bei welcher Zerlegung ist das Produkt der Summanden maximal?