Ä Ä Óµ Ö Ò Ð Ö Ä Óµ Ö Ò Ù Ò Ù Ò Û ÖØ Ò Ù Ä ÙÒ Òº ÆÙÖ ÅÙØ Ù Û ÒÒ Ù Ò Å Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ò Ó Ø ÐØ Ø Ù ÞÙÖ Ä ÙÒ Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ò Å Ø ¹ËØÓ Ö Ë ÙÐ Ö Ù Øº Î ÐÑ Ö Û Ö

Â Ö Ò ¼ À Ø ½¼¾ ÂÙÒ ¾¼½¼ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ö Ë Ð Ö ÒÒ Òµ ÙÒ Ä Ö Ö ÒÒ Òµ ½ ¼ Ö Ò Ø ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØÐ Ö Ö Ù Ò ÚÓÑ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Å Ø Ñ Ø Ò Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ Å ÒÞ JG U JOHANNES GUTENBERG UNIVERSITÄT MAINZ

Ä Ä Óµ Ö Ò Ð Ö Ä Óµ Ö Ò Ù Ò Ù Ò Û ÖØ Ò Ù Ä ÙÒ Òº ÆÙÖ ÅÙØ Ù Û ÒÒ Ù Ò Å Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ò Ó Ø ÐØ Ø Ù ÞÙÖ Ä ÙÒ Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ò Å Ø ¹ËØÓ Ö Ë ÙÐ Ö Ù Øº Î ÐÑ Ö Û Ö Ø Ù Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ð Ø ØÒ Ò Ò Ö Ù Ò Ö Ù Ø Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ù Ù Öº Ï Ø Ù Û Ö ÒÙÖ Ò Ù Ó Ö Ì Ð ÒÞ ÐÒ Ö Ù Ò Ð Ò ÒÒ ÓÐÐØ Ø ÐÒ Ñ Ò Ö Û ÒÒ Ò ÈÖ Ø ÒÒÓ Ñ Ð º Ò Ø ÙÖ Ò Ä ÙÒ Ò Ö Ò Ù Ò Ä ÙÒ Û ÒÞÙ Ò Ö Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ò Ò Ö Ø Ö Ä Ò Å Ø Ô Ð Ö Ò ÚÓÖ ¹ Ò Ù Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ö Ñ ØÑ Ò Ö ÒÙÖ Ù Ö Ö Ð Ò ÈÙÒ ØÞ Ðº ÐÐ Ë Ð Ö Ò ÓÒ Ö Ö Ò Ö ÃÐ Ò ¹½ ÒÒ Ò Ä ÙÒ Ò Ñ Ø Ä ÙÒ Û µ ÞÙ Ò Æ Ù Ò Ù Ò Òº Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ö ÐØ Ò Ö ½ ¹ ÈÙÒ ØÞ Ðº ÈÙÒ Ø Ù Ò ÊÙ Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö¹ Ò Å Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ò ÙÒ Ï Ö ÓÖ Ø Ñ Ø Û Ö Ò Ö Î Ö ÓÖ ÖÔÖ ÞÙ ÖÙÒ Ð Øº ØÖ ÞÙ Ú Ö ¹ Ò Ò ÊÙ Ö Ò ØØ Ù Ú Ö Ò Ò ÐØØ ÖÒºµ ¹ Ò Ò ¹µ Ì ÖÑ Ò Ö Ä ÙÒ Ò Ø Ö Ù Ö Ø Ò ØØ Ò ÓÐ Ò Ò Ö Ø ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Å Ø Ñ Ø ÅÇÆÇÁ ¹Ê Ø ÓÒ ¼ Å ÒÞ ½º¼ º¾¼½¼º Ì Ðº ¼ ½ ½» ¾ ½¼ Ü ¼ ½ ½» ¾ ¹Å Ð ÑÓÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº Ò ÓÐ Ò Ò Ë ÙÐ Ò Ø ØÖ Ù Ò Ä Ö Ö Ò Ò Á Ö ÙÖ Ä ÙÒ Ò Ò ÒÒØ Ñ Ð Ø ¹Ä Ò Ö¹ ÝÑÒ ÙÑ ÐÞ Ý À ÖÖÒ ÃÖ Ø Ò Ö Ä Ø¹ Ö ÙÐ Ø Ö Ð À ÖÖÒ Â Ó Ñ Ã ÖÓÐ Ò Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ Ö Ò ÒØ Ð Ö Ù Ë Ð Ë Ò Ö Ò Ö ¹Â¹Ä¹ ÑØ ÙÐ À Ñ Ö Ö Ù Æ ÖÐ Ò Ö Ð Ö ¹ ÐÔ¹Ë ÙÐ À Ö Ñ À ÖÖÒ ÖÙÒ Ö Ñ Ö Ù ÒÐÓ ¹ ÝÑÒ ÙÑ Å ÒÞ À ÖÖÒ Å ØØ Ò Å ÒÒ Ñ À ÖÖÒ Ï ØØ Ò Ø Ñ ÝÑÒ ÙÑ Å Ö Ò Ö Æ Ù Ö Ù Ä Ò ÑÔ Ñ ÝÑÒ ÙÑ Ç ÖÙÖ Ð Ö Ù ØÐ Ñ Ä Ò Þ¹ ÝÑÒ ÙÑ ØÖ Ò Ò À ÖÖÒ ÊÓÒ ÐÐ Ò Ø Ñ ÝÑÒ ÙÑ ÆÓÒÒ ÒÛ ÖØ Ò Ê Ñ Ò À ÖÖÒ Å ÜÒ Ö ÙÒ Ñ Ï Ð ÐÑ¹ Ö ¹ ÝÑÒ ÙÑ Ï ÒÒÛ Ð Ö À ÖÖÒ Å ÜÒ Öº Æ Ñ Ò ÐÐ Ö Ö Ø Ä ÙÒ Ò Ò Ö Ø Ò Û Ö Ò Ò ÅÇÆÇÁ Ò Ö ÊÙ Ö Ö Ä Ö ÙÒ Ù Ö ÅÇÆÇÁ ¹ÀÓÑ Ô Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø Ö Ò Òº Ï Ö ØØ Ò Ù ÙÑ Ò Ù Ù Ò Ù Ð Ø Ö Ø ÐÐØ Ø ÙÑ ÞÙ Ú Ö ¹ ÒØÐ Òº Ù Ò ÓÐÐ Ò Ö Ò Ø Ù ÖÒ Ó Ö Ù Ò ÑÑÐÙÒ Ò ÒØÒÓÑÑ Ò Ò ÓÒ ÖÒ Ò Ö Ò Ò ÒØ ÒØ ÔÖ Ò Òº Ï Ö Ò Ø ÒÑ Ð Ö Þ Ò Ò Ù ÞÙ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ä ÙÒ ÚÓÖ Ö Ø ÒÙÖ Ù ÒÒ Ø Ñ Â Ö Ò Û Ö Ò ÖÙÒ ¼ ÈÖ Ò Ø Ò Å Ø Ö Ø Ö Ú Ö Òº Ë Ø ½ Ø ÒÓ Ò Ò ÓÒ Ö Ò ÈÖ ÓÐ Ò Åº Ù Ö Ö Å ÐÐ Ñ Ø Ñ ÓÐ Ò Ò Å Ø Ò Ò ØÐ ¹ Ò Ð ØÖ Ö Ø Å Ø Ö Ø ÅÇÆÇÁ ÙÒ Ò ¹ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø Ú ØØ Ò ÒÑÐ Ä ÙÒ Ò ÞÙ Ò Æ Ù Ò Ù Ò ÙÒ Ò Å Ø Ô Ð Ö Ò ÖØ Ð Ö Ò Ä Ò ÚÓÒ ËØ ÖÒ Ò Ù Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ Ò Ù Ò Ù Ò Øº ÍÒ ÒÙÒ Û Ò Ò Û Ö Ù Ú Ð Ö ÓÐ ÙÖ Ö Å Ø Ö Ø Ê Ø ÓÒ ¾

Ä Ò ÒÐ Ò Ð ÒÐ Ò ÙÒ Ö ÀÝÔ ÖÖ ÙÑ ÚÓÒ ËØ Ô Ò ÊÓ ÖÓ Ä Ò ÒÐ Ò ÙÒ Ð ÒÐ Ò Î Ö Ù Ò Û Ö ÙÒ Ó ÒÑ Ð ÚÓÖÞÙ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ö ÒÞ Ä Ò Û Ö Ò Ò Ö Ö Ò Ò Ä Ò ÒÐ Ò Ø ØØ Ò Òº ÒÞ Ï ÐØ Û Ö ÒÙÖ Ù Ò Ö ÒÞ Ò Ö Ò Ø Òº Â Ö ÚÓÒ ÙÒ ÛÖ ÒÒ Ò Ò ËØÖ ÙÒ Ò Ð ÒÒº Ï Ö ÒÒØ Ò Ò Ø Û ÖÒ Ñ Ò Û Ù Ö Ð Ö Ö Ò Ð Øº Ï Ö ÒÒØ Ò Ò Ø Ò Ó Ò Ó Ö ÙÒØ Ò Ö Ø Ó Ö Ð Ò Ù Òº ÒÙÖ ÚÓÖÒ ÙÒ ÒØ Ò º ÁÒ Ð ÙÒ ½ Ò Û Ö Ö Ï Ò Ò Ä Ò ÒÐ Ò º Ð ÙÒ ½ Ä Ò ÒÐ Ò Ñ Ø Ï Ò Ö Ò ÙÒ Ð Ò Û ÖÞ Ò ËØÖ Ò Ò Ò Ì Ð ÚÓÒ Ä Ò ÒÐ Ò Ó Ò Ï Ò Ö Òº ÐÐ Ö Ò ËØÖ Ò Ò ÛÓ Ò Ö Ä Ò ÒÐ Ò º Ò Ï Ò Û Ø Ö Ö Ø ØÓ Ò Ò Ò Ò Öº ÍÒ Ö Æ ÖÒ Ò Û Ö ÒÙÖ Ð ÒÞ ÐÒ ÈÙÒ Ø ÙÒ ÞÛ Ö ÒÙÖ Ò ÚÓÖ ÙÒ ÒØ Ö ÙÒ º Ä Ò ÑÙ ÓÖØ Ö Ð Ò Û Ð Òº Ð ÙÒ ¾ Ð ÒÐ Ò Ñ Ø Ï Ò Ö Ò ØÛ ÒØ Ö ÒØ Ö Ø Ú ÐÐ Ø Ò Ð ÒÐ Ò º ÓÖØ Ð Ò ÐÐ Ï Ò Ò ¹ Ò Ö Ð º Ë ÒÒ Ò Ò Ø Ó Ó Ö ÖÙÒØ Ö Ù Ò ÓÒ ÖÒ ÒÙÖ Ò Ö Ø Ó Ö Ð Ò ÙÒ ÚÓÖÒ Ó Ö ÒØ Òº ÁÒ Ð ÙÒ ¾ Ò Û Ö Ò Ô Ö ÛÓ Ò Ö Ð ÒÐ Ò ÙÒ Ò Ò Ã Ð Ö Ò º ÐÐ ÛÓ Ò Ö Ð ÒÐ Ò Ò Ò ØÙÖ¹ Ñ Ï Òº Ï Ö Ð Ê ÙÑÐÒ Ö ÒÒ Ò Ò Ò Ò Ã Ð Ö Ò ÚÓÒ

Ð ÒÐ Ò Ö Ò Ó Ò Ò ÞÙ Ò Òº Ï Ö Ò Ò Ò ÁÒ ÐØ Ó ÛÓ Ð Ö ÐÓ Ò Øº Ð ÒÐÒ Ö Ò Ö Ò Ò Ò ÖÑ ÙÒ ËÔ Ö Ö Û Û Ö ÓÒ Ø ÛÖ Ò ÞÛ Ø ÐØ Û Ò Ð ÙÒ º Ö Ï Ò Ò Ð ÒÐ Ò Ú Ð Ð ÙÒ Ã Ò ÛÓ Ò Ö Ð ÒÐ Ò ÞÙ Òº Ø Ò Ò ÒØ Ö ÒØ Ò ÊÓÑ Ò Ù Ñ Â Ö ½ ÚÓÒ Û Ò ÓØØº Ö Ø Ð ÒÐ Ò ÙÒ ÓÖØ ÒÒ Ñ Ò Ú Ð Ö Ð ÒÐÒ Ö ÙÒ Ä Ò ÒÐÒ Ö Ò Ð Òº ÍÒ ÒØ Ö ÖØ Ö Û Ð ÒÐÒ Ö Ò Ä Ò ÒÐÒ ÖÒ Ð ÒÐ Ò ÙÒ Ö Ï Ò ÓÖØ Ö ÐÖ Ò ÒÒ Òº Ï Ö Ö Ò Ò Ø Ú Ö Ò Ä Ò ÒÐÒ¹ Ö Ð ÒÐ Ò Ö ÙÔØ Ò Ø ÚÓÖ Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ò Ó Ò Ñ Ð Ö Ø ÙÒ Ð Ò Ö Ö Ò ÓÒ ÖÒ ÒÙÖ ÚÓÖÒ ÙÒ ÒØ Ò º Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ú Ð Ë ÒÒ ÞÙ Ò Ù Ñ Ð Ò Ö Ø º ÒÒ Ò Ä Ò ÒÐÒ Ö Ò Ø ÙÒ ÒÒ Ò Ù Ö Ò Ø ÚÓÖ Ø ÐÐ Ò Û Ò ÓÐÐº Ø Ö ÓÒ Ò Å Ð Ø Ò Ä Ò ÒÐÒ ÖÒ Û Ò Ø Ò Ó Ò Ò ÙØÐ ÞÙ Ñ Ò Û Ð ÒÐÒ Ö Ù Òº Å Ò ÒÒ Ð ÒÐÒ Ö ÙÖ Ä Ò ÒÐ Ò ÙÖ Ø Ù Ò Ð Ò Ó Û Ò Ð ÙÒ º Ï Ò Ä Ò ÒÐÒ¹ Ð ÙÒ Ò Ö Ø Ù Ø ÙÖ Ä Ò ÒÐ Ò Ö Û ÒÒ Ö ÚÓÒ Ó Ò ÙÖ Ä Ò ÒÐ Ò Ø Ù Ø Ò Ù Ö Ø ÙÑ Ò Ä Ò ÒÐÒ Ö Ö ÙÔØ ØÛ ÚÓÒ Ñ Ö Ò ÒÒ Òº Ï Ò Ù Ö Ø Ò Ò Ò ÈÙÒ Ø Û ÒÒ Ö ÒØ Ù Øº Ö ÈÙÒ Ø ÖÛ Ø ÖØ ÞÙ Ò Ö ÑÑ Ö ÐÒ Ö Ò ËØÖ ÚÓÒ Ö Ä Ò ÒÐÒ Ö Ö Ù ÒÙÖ Ò Û Ð Ò Ò ÔÙÒ Ø Ò Û Ö Ù ÞÙ ÓÑÑØº Ò Û Ö ËØÖ Û Ö ÖÞ Ö Û Ö ÞÙ Ò Ñ ÈÙÒ Ø Û Ö º

Å Ò ÒÒ Ù ÖÐ Ò Û Ñ Ò Ø Û ÒÒ Ò Ö Ð ÒÐÒ Ö ÙÖ Ä Ò ÒÐ Ò Ø Ù Òº ÃÓÑÑØ Ò Ê Ø Ñ Ø Ò Ö Ã ÒØ ÞÙ Ö Ø ÒÒ Ø Ñ Ò ÑÑ Ö ÒÙÖ Ò Ð Ð Ò ËØÖ º ÃÓÑÑØ Ò Ê Ø Ò Ò Ñ Ø Ò Ö ÞÙ Ö Ø Ò Ä Ò ÒÐ Ò Ò ÒÒ Ø Ñ Ò Ò ËØÖ Ò Ä Ò ÒÐ Ò Û Ò ÖÒº Ò Ö Ò Ë ÞÞ Ñ Ø Ù Ö Ö ÚÓÖ Ø ÐÐ Ò ÒÒ Øº Ê ÙÑÐ Ò Ï Ö Ð Ò Ò Ê ÙÑÐ Ò º Ø Ê ÙÑÐ Ò Û Ð Û Ö Ö Ê ØÙÒ Ò ÞÙÖ Î Ö¹ ÙÒ Ò ÚÓÖÒ» ÒØ Ò Ö Ø»Ð Ò ÙÒ Ó Ò»ÙÒØ Ò Ò ÖÙÑÐ º Ï Ð ÒÐÒ ÖÒ Ò Ä Ò ÒÐÒ ÖÒ Ñ Ò Û Ö Ò Ð ÒÐÒ ÖÒ ÙÒ Ö Ò Ê ÙÑ Ö ÐÖ Òº Ð ÒÐÒ Ö ÒÒ Ò Ó Ò ÙÒ ÙÒØ Ò Ò Ø ÚÓÖ¹ Ø ÐÐ Òº Ä Ø Ð ÒÐ Ò Ò ÙÒ Ö Ñ Ê ÙÑÐ Ò ÒÒ ÒÒ Ò Ù Û Ö Ò¹ ØÒ ÙÖ Ð ÒÐ Ò ÙÖ Ø Ù Ò Ð Òº Ñ Ð Ø Ø Ò Ð Ø Ú ÐÐ Ø Ò ÃÙ Ð Ö ÐÖ Òº ÁÒ Ð ÙÒ Ø Ù Ø Ð ÙÒ Ò ÃÙ Ð Ø Ù Ø ÙÖ Ð ÒÐ Ò Ò ÃÙ Ð ÙÖ Ð ÒÐ Ò º Ö Ë Ò ØØ Ø ÒÞ Ñ Ò Ò Ò ÈÙÒ Øº Ö Û Ö Ò ÐÐ ÞÙ Ò Ñ ÃÖ Û Ò Ð ÙÒ º Ö ÃÖ Û Ö ÑÑ Ö Ö Ö ÙÒ Ò ÑÑ Ö Ð Ò Ö Ö Ë Ò ØØ Û Ö ÒÙÖ ÒÓ Ò ÈÙÒ Ø Øº Ï Ö ÐÖ Ò Û Ö Ò Ò Ï Ö Ð Ò Ï Ö Ð ÒÒØ ÞÙ Ö Ø Ñ Ø Ò Ö Ë Ø Ò Ñ Ø Ò Ö Ã ÒØ Ó Ö Ñ Ø Ò Ö Ò Ð ÒÐ Ò ÒØ Ù Òº ÁÒ Ð ÙÒ Ø Ù Ø Ò Ï Ö Ð Ñ Ø Ò Ö Ë Ø Ò ÞÙ Ö Ø ÙÒ Ò Ò Ö Ö Ñ Ø Ò Ö Ã ÒØ Ð ÙÒ Ï Ö Ð Ø Ù Ò ÙÖ Ð ÒÐ Ò ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ð ÒÐ Ò º Ï ÒÒ Ñ Ò Ò

ËÔ ÒÒ Ò Ö Û Ö Û ÒÒ Ò Ï Ö Ð ÞÙ Ö Ø Ñ Ø Ò Ö ÒØ Ù Ø Û Ò ¹ Ð ÙÒ º Ù Ö Ø Ø Ñ Ò Ò ÑÑ Ö Ö Ö Û Ö Ò Ö º Ò Ò Ð ÙÒ Ï Ö Ð Ø Ù Ø Ñ Ø ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ð ÒÐ Ò ÔØ Ö Û Ö Ó Ö Ò Ë Û Ñ Ò Ò Ð ÙÒ Ö ÒÒØº Ð ÙÒ Ï Ö Ð Ø Ù Ø Ñ Ø ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ð ÒÐ Ò Ï Ö ÒÒØ Ò ÒÓ Ú Ð Ò ØÒ ÙÖ Ê ÙÑÐ Ò Ø Ù Ò Ð Òº Ø Ò ÙØ ÙÒ ÚÓÖÞÙ Ø ÐÐ Ò Û Ñ Ò ÚÓÒ Ö Ø Û ÒÒ Ù ÙÖ Ð¹ ÒÐ Ò Ø Ù Øº Ï ÒÒ Ù Ñ Ø Ò Ò ÞÙ Ö Ø ÒØ Ù Ø Ø Ñ Ò Ò Ò ÞÛ Ð Ò Ø Ò Ø ËÔ Ð Ð Ò Ö Òº Ï Ö Ò ÞÛ Ò ÙÖ ÙÒ Ö Ú Ö Ò Ò ÄÒ Ö ÞÙ ÑÑ Ò Ä Ò ÒÐ Ò Ø ½¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ð ÒÙÖ Ò Ê ØÙÒ Ø ÚÓÖÒ Ò¹ Ø Òµº Ð ÒÐ Ò Ø ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ð ÞÛ Ê ØÙÒ Ò Ø ÚÓÖÒ Ò¹ Ø Ò Ö Ø Ð Ò µº Ê ÙÑÐ Ò Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Û Ð Ö Ê ØÙÒ Ò Ø ÚÓÖÒ ÒØ Ò Ö Ø Ð Ò Ó Ò ÙÒØ Òµº ÍÒ ÒÒ Á Ø ÐÐ

Ö ÀÝÔ ÖÖ ÙÑ Ö ÀÝÔ ÖÖ ÙÑ Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ðº Ø Ú Ö ÞÙ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Ê ØÙÒ¹ Ò ÚÓÖÒ ÒØ Ò Ö Ø Ð Ò Ó Ò ÙÒØ Ò ÙÒ Ð ØÞØ Ê ØÙÒ ÛÓÐÐ Ò Û Ö Ò Ø Ò ÒÒ Òº Ð ØÞØ Ê ØÙÒ ÒÒ Ò Û Ö ÙÒ Ò Ø ÚÓÖ Ø ÐÐ Ò Ò Ù Ó Û Ò Û Ð ÒÐÒ Ö Ó Ò ÙÒØ Òº Â ØÞØ Ò Û Ö Ò Ö Ð Ò Ë ØÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Ò Ò ÖØ Ð Ä Ò ÒÐÒ Ö Ó Ö ØÛ ÔØ Ö Ð ÒÐÒ Ö Û Ö Ò ÛÓ Ò Ö ÀÝÔ ÖÖ ÙÑ Ñ Ò ÙÒ Ö Ò ÀÝÔ Ö¹ Ö ÙÑ Ö ÐÖ Òº Ï Ð Ò Ö ËØ ÐÐ ÚÓÒ Ê ÙÑÐ Ò Ò Ò Ø Ê ØÙÒ Ù Ø Ø Ê ÙÑÐ Ò Ù Ë Ø Ö ÛÓ Ò Ö ÚÓÒ ÀÝÔ ÖÖ ÙÑ Ù º ÀÝÔ ÖÖ ÙÑ ÛÓ Ò Ö ÒÒ Ò Ò ÙÒ Ö Ã Ð ÖÒ Ö Ò Ó Ò ÞÙ Ò Òº ÆÓ Ö Ë ÒÒ Ò ÙÒ ÓÔ Ö Ö Ò Ó Ò ÙÒ Ö Ò Ã ÖÔ Ö Ù ÞÙ¹ Ò Òº Ï Ö Ñ Ø Ò Ò Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð Ú Ö Ø Òº ÞÙ Ñ Ò Û Ö Ö ¹ Ò Û Û Ö ÙÒØ Ö Ò Ñ Ï Ö Ð Ö ÙÔØ Ú Ö Ø Ò ÛÓÐÐ Òº Ò ½¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ï Ö Ð W 1 Ø Ò Ò ËØÖ ÙÒ Ò ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ï Ö Ð W 2 Ò ¹ Û ÒÐ ÉÙ Ö Øº Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ï Ö Ð W 3 ÓÐÐ Ö ÛÓ ÒØ Ï Ö Ð Ò Û Û Ö Ò ÒÒ Òº Ï Ø ÒÒ Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ï Ö Ð W 4 ÙÑ Î Ö ØÒ Ò Ð Ø ÓÐ Ò Ñ W 1 Ò Ö ËØÖ Ø ÚÓÒ Ö ÒÙÖ Ò Ã ÒØ Ù Ñ W 2 ÚÓÒ Ö ÞÛ Ã ÒØ Ò ÙÒ Ñ W 3 Ò ÚÓÒ Ö Ö Û Ð ÞÙ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Ã ÒØ Ò Ù º Ñ W 4 Ò Ð Ó ÚÓÒ Ö Ú Ö Û Ð ÞÙ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Ã ÒØ Ò Ù º ÁÒ Ð ÙÒ Ò Û Ö Ã ÒØ Ò Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð º ÎÓÒ Ö Ò Ð ÙÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ï Ö Ð Ú Ö Ã ÒØ Ò Ù ÐÐ ÞÙ Ò Ò Ö Ò Ö Ø Ø Ò ÓÐÐ Òº ÒÙÖ Ò Ð Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð Ø Ò Ã ÒØ Ò Ò Ø Ò Ö Ø ÞÙ Ò¹ Ò Ö Ù º Ø ÒÞ ÒÐ Û Ñ Ð ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð Ù Ð ÙÒ ½¼º ÁÒ Ö Ð ÙÒ Ù Ò Û Ö ÚÓÒ Ó Ò Ù Ò Ò ÙÖ Ø ¹

Ð ÙÒ ½¼ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ï Ö Ð Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð ÙÒ Ò Ò Ã ÒØ Òº Û Ö Ò Ò Ö ÒÙÖ Ò Ö Ø ÞÙ Ò Ò Ö Û ÒÒ Û Ö ÙÒ Ò Ï Ö Ð Ô Ö Ô Ø Ú ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº Ø ÒÓ Ò Ò ÐÓ ÞÛ Ò Ñ ¹ ÙÒ Ñ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð ÁÒ Ð ÙÒ Ø Ò Ð Ò Ö ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ï Ö Ð Ò Ö Å ØØ ÚÓÒ Ò Ñ ÖÓ Òº ÁÒ Ð ÙÒ ½¼ Ø Ò Ð Ò Ö ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ï Ö Ð Ò ÉÙ Ö Ø Ò Ö Å ØØ ÚÓÒ Ò Ñ ÖÓ Òº Ï Ö Ö ÐØ Ò ÒÑÐ Ã ÒØ Ò ÚÓÒ Ò Ñ Ï Ö Ð Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ñ Û Ö ÞÛ Ï Ö Ð Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ñ Ò Ò Ò ¹ Ø Ê ØÙÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ò ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ò Ò Ú Ö Ò¹ Òº Ä Ø Ö Ø Ñ Ò Ò Ó Ö ÞÛ Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ö Å Ò Ö ÐØ Ò ÉÙ Ö Ø W 2 Ò Ñ Ñ Ò ÞÛ ËØÖ Ò W 1 Ö Ò Ò Ö Ð Ø ÙÒ Ò ÒØ ÔÖ Ò Ú Ö Ò Øº ÁÒ Ð ÙÒ ½½ Ø Ö Ö Ò ÚÓÑ W 1 ÞÙÑ W 2 Ð ÙÒ ½½ Ö Ò ÚÓÑ ½¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÞÙÑ ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð Ö Ø ÐÐØº Ù Ö Ö Ò ÚÓÑ ÉÙ Ö Ø ÞÙÑ Ï Ö Ð Ð Ø Ó Ö ÐÖ Ò Û Ü ÑÔÐ Ö Ò W 2 Û Ö Ò Ñ Ø Ø Ò Ö Ò Ò Ö Ð Ø ÙÒ ÒÒ ÒØ ÔÖ Ò Ò Ú Ö ÙÒ Òº Ö Ø Ò Ã ÒØ ÒÑÓ ÐÐ Ò W 3 º Ñ Ø Ú Ö ÓÔÔ ÐØ Ð Ó ÒÞ Ð Ö Ò Ñ Ö Ò ÚÓÒ Ò Ñ Ï Ö Ð ÞÙ Ñ Ö Ò Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒº Ò ËØÖ Ø ÞÛ Ò Ò ÉÙ Ö Ø Ú Ö Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ï Ö Ð Ø ÙÒ Ö W 4 Ø 16 Òº Ð Ó Ø Ö n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ï Ö Ð 2 n Òº Ï Ö Þ Ð Ò Ã ÒØ Ò Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð Ò Ö Ò Ú Ö

Ã ÒØ Ò Ù ÙÒ Ø 16 Òº Ï Ð Ã ÒØ Ö 2 Ò Ø Ø 16 4 2 = 32 Ã ÒØ Ò. Ï Ú Ð ÉÙ Ö Ø Ð Ó ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ï Ö Ð Ø Ñ Ê Ò W 4 Û ¹ Ò ÞÛ Ã ÒØ Ò Ò Ò Ö Ø Ò ÉÙ Ö Øº Ø ÉÙ Ö Ø Ø Ò Ö º Â ÉÙ Ö Ø Ø Ö Ò Ú Ö Òº Ð Ó Ø 16 6 = 24 ÉÙ Ö Ø. 4 Ò Ù Ó ÒÒ Ñ Ò ÖÐ Ò 16 4 8 = 8 Ê Ò Û Ö Ð ÐÐ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ï Ö Ð Ò Ñ Ê Ò ÚÓÑ W 4 Øº Ù Ø Ñ Ò Ò Ð ÙÒ º Ö Ñ ØØÐ Ö Ð Ò Ï Ö Ð ÙÒ Ï Ö Ð Ò Ò Ö ÒÞ Ò Ò Ú ÖÞ ÖÖØ Ù µ ÙÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ï Ö Ð Ù Ò Ð Ð ØÞØ Ö Ï Ö Ðº ÁÒ Ï Ö Ð Ø Ò Ï Ö Ð ÐÐ Ð ÖÓ Ò Ù Ó Û Ê Ò ÕÙ Ö Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð Ò Ð ÙÒ ½¼º ÍÑ Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð ÒÓ Ö ÞÙ Ú Ö Ø Ò Ñ Ø Ò Û Ö Ò ÙÖ ÙÒ Ö Ê ÙÑÐ Ò Ø Ù Ò Ð Òº ÁÒ Ð ÙÒ Ð Ò Ò Û Ö Ò Ò W 3 Ñ Ø Ò Ö Ë Ø Ò ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ð ÒÐ Ò Ø Ù Ò Ð Òº Ñ Ò ÚÓÒ Ò Ö Ê ØÙÒ Ó Ò ÙÒØ Òµ ÚÓÒ Ö Ö Ú Ö Ã ÒØ Ò ÒÙÖ Ò ÙÒ ÚÓÒ Ò Ò Ö Ò Ò Ê ØÙÒ Ò Ø Ñ Ò Ã ÒØ Òº ÒÞ Ò ÐÓ Ú Ö Ø Ø Ñ Ò ÙÖ Ø Ù Ò ÚÓÒ Ò Ñ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ð ÙÖ Ê ÙÑÐ Ò Ï ÒÒ Û Ö Ñ Ø Ò Ñ Ë Ø ÒÛ Ö Ð ÞÙ Ö Ø ÒØ Ù Ò Ò Û Ö ÑØ Ò Ã ÒØ Ò ÚÓÒ Ö Ê ØÙÒ Ò ÚÓÖÒ ÒØ Ò Ö Ø Ð Ò Ó Ò ÙÒØ Òµ ÙÒ ÚÓÒ Ö Ò Ø Ê ØÙÒ Ò Û Ö ÒÙÖ Ò º Ï Ö Ò Ð Ó Ò Ò ÒÓÖÑ Ð Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ðº Ñ Û Ø Ö ÙÖ Ò Ò Û Ö ÑÑ Ö ÒÙÖ Ò Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ï Ö Ðº Ø Ò ¹ Ø Ã ÒØ Ò Û Ö Ò ÞÙ Ñ ØÔÙÒ Ø ÚÓÒ ÙÒ Ö Ñ Ê ÙÑÐ Ò Ò Ò Ñ ÈÙÒ Ø Ò ØØ Òº ÁÒ Ð ÙÒ Ò Û Ö Ò Ò W 3 Ñ Ø Ò Ö ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ð ÒÐ Ò Ø Ù Ò Ð Òº Ñ Ò ÚÓÒ Ö Ã ÒØ ÚÓÒ Ö Ô Þ ÐÐ Ò Ù Ò ÑÑ Ö ÒÙÖ Ò Ò ÈÙÒ Ø ÙÒ Ð Ò Ö º Ä Ò Û Ö Ò Ò W 4 Ñ Ø Ò Ö ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ê ÙÑÐ Ò Ø Ù Ò ÒÒ Ò Ø ÙÒ Ö Ê ÙÑ¹ Ð Ò ÑÑ Ö Ú Ö Ã ÒØ Ò Ò Ò Ñ ÈÙÒ Øº Ï Ö Ò Ò Ò Ì ØÖ Ö Ö Ð Ò Ñ Ö Ö Û Ö º ËÓÐÐØ Ò Ð Ó Ö Ò Û Ð ÐØ Ñ Ò Ð ÔÐ ØÞÐ Ò Ò Ù Ò Ö ÄÙ Ø Ù Ø Ù Ò ÒÒ Ã Ò È Ò Ò Ø ÑÑØ ÒÙÖ ÀÝÔ ÖÐÒ Ö Ö Ò ¹ Û Ð Ã ÖÔ Ö ÙÖ ÙÒ Ö Ê ÙÑÐ Ò Ø Ù Òº ÒÑ Ö ÙÒ ØÙ ÐÐ Ì Ø Ð Ð Þ Ø Ò Ã ÒØ ÒÑÓ ÐÐ Ò 4¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ç Ø Ö

Ò Ù Ö Ø Ò ÈÖÓ Ø ÓÒ Ù ÍÑ Ð Ø ÅÇÆÇÁ ¹À Ø º ÅÓ ÐÐ Ø Ø Ò Ò Ù Ö Ú Ö ÒÔ Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ø Ò ÞÙÑ ÍÖ ÔÖÙÒ Ñ R 4 Ò ÙÒ Ù Ò Ú Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ð Òº Â ÞÛ Ò Ò Ñ Ø Ò Ö Ã ÒØ Ú Ö ÙÒ Ò Ù Ö Ò Ò Ù Ñ Ð Ò ÒÔ Öº ÐÐ Ã ÒØ Ò Ò Ð Ð Ò º Å Ò Ö ÒÒØ Ö Ò Ú Ö 3¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ç Ø Ö Ò Ñ Ñ Ò Û Ð Ò ÒÔ Ö ÙÒ ÐÐ ÚÓÒ Ù Ò Ò Ã ÒØ Ò Ò Ð µ Ð Øº Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö¹ Ò Î ÖÑÙØÙÒ ÚÓÒ º º Ö Ú ÒÒØÐ Ø Ð 2 p 1 1 ÙÖ p Ø Ð Ö Û ÒÒ p Ò ÙÒ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ø ÓÐ ÖÙÒ Ù Ñ Ð Ò Ò Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Øµº Ö Ú Ú ÖÑÙØ Ø 2 p 1 1 Ó Ò ÙÖ p 2 Ø Ð Ö Øº ÖÔÖ Î ÖÑÙØÙÒ ÚÓÒ Ö Ú Ö ÐÐ ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÙÒØ Ö Ð ÚÓÒ 10 000º Ò Àº ºµ À ÒÛ Á Ö ÒÒØ ÙÖ Ä ÙÒ Ò ÞÙÑ ½º Ù Ù Ø ¾¼½¼ Ò Ò ÒÒ Ù Ö Ø ÈÙÒ Ø ÞÙ Ö ØØ ÖÒº ÐÐ Ö Ò Ñ Ø Á Ö Ö Î ÖÛ Ò ÙÒ Ò Ò Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ ÒØ ÔÖ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ö Ò ÙÖ Ò Ò Ò Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ¹ Ø Ñ Ø Ò Þ ÔÔØ Ð ¹Å Ð¹ Ò Ò Ò ÑÓÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº µº Ä ÙÒ Ò Û Ö Ò Û Ð Ñ ÖÒ Ø Ò À Ø Ö Ò Òº Ö Ò ÞÙÖ ÓÑÔÙØ Ö¹ Ù Ù ÅÇÆÇÁ ½¼¼ Ù ÙÑÑ Ö Ò Ö ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ù Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò 1 2, 2 2, 3 2,... Ð Ò Û Ö ÓÐ Ö ËÙÑÑ Ò S 1 = 1 2 S 2 = 1 2 + 2 2 S 3 = 1 2 + 2 2 + 3 2... Ø S 1 Ó Ò ØÐ Û Ö Ò ÉÙ Ö ØÞ Ðº ÍÒØ Ö Ù Ó Ò Ö ÓÐ Ö ÉÙ Ö Ø ÙÑÑ Ò S 1 S 2 S 3... Û Ø Ö ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Øº Àº ºµ Ö Ò Å Ø Ö Ù Ø Ø Ò È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò ÇØØÓ¹À Ò¹ Ë ÙÐ À Ò Ùµ Ð ³ ÙÒ Ë Ñ ³ Ñ ÓÑ ÙØ Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò Ã ÖÓµ Â ÒÓ Ö Ï ÖÖ Ø Øµ ÓÛ ÐÓÖ Ò Ë Û ¹ Ö ÝÑÒ ÙÑ Å Ö ØÓ Ö ÓÖ µº ÐÐ Ø ÐÐ Ò Ø ÒÙÖ Ä ÙÒ Ò Ñ ØÖ Ð Ò ÖÓÛ Ø Ö Ú ½ ½ µ ÞÙÐ ØÞØ ÈÖÓ ÓÖ Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ Ã Û Ö Ø Ø Ð Ö ÙÒ Ð ÒØ ÓÖ Ò Û Ò Ø Å Ø Ñ Ø Ø ÓÖ Ø Å Ò ÀÝ Ö ÙÐ Ö Ñ Ò Ø ÑÙ µº ½¼

S 1 = 1 2 ÙÒ S 24 = 4900 = 70 2 Ø ÐÐ Ö Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ ÙÒØ Ö ¹ Ð Ð Ò Ö Ä Ù Ö Ð ³ Ñ ÓÑ Ø Ñ Ø Ö Ñ Ì ÒÖ Ò Ö n = 200 Ò Ò È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò Ñ Ø ÇÔ ÒÇ Ð º¼ n = 1000 ÐÓÖ Ò Ë Û Ö Ñ Ø Ò Ñ Î Ù Ð ¹ÈÖÓ Ö ÑÑ n = 1 500 000 ÙÒ Â ÒÓ Ö Ñ Ø Ò Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÙÒØ Ö Ä ÒÙÜ n = 300 008 473 490 ÛÓ Ö S n ÒÒ ËØ ÐÐ Ò Øº Å Ò ÒÒ Ø Ö Ø Ú ÚÓÖ Ò ÙÒ Ñ Ö Ê ÙÖ ÓÒ ÓÖÑ Ð S n = S n 1 + n 2 Ö n = 2, 3, 4,... Ò Ñ Ë Ö ØØ ÔÖ Ò Ó S n Ò ÒÞ Ð Ø Ñ Ò ÒÒ Ö Ù ÓÖÑ Ð S n = 1 6 n (n + 1) (2n + 1) ÒÙØÞ Ò Ð Ø ÙÖ ÁÒ Ù Ø ÓÒ Û Ò Û Ö Ò ÒÒ ÙÒ Ñ Ø ÖÔÖ ÙÒ ÚÓÒ Sn Ù ÒÞÞ Ð Ø ÚÓÖÒ Ñ Òº ÒÖ ÙÒ Ï ÛÖ Ñ Ø Ò Ö ÒØ ÔÖ Ò Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ö Ù ÙÑÑ Ö Ò Ö ÃÙ Þ Ð Ò 1 3, 2 3, 3 3,... Ó Ö Ù Ú ÖØ Ö Ò Ø Ö ººº ÈÓØ ÒÞ Ò Ï Ö Û Ö³ ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ð ÓÞ ÒØ Ö Å Ø Ñ Ø ÖØ Ö Ø ÖØ ØÐ Ò ÙÒ Ù ÐÐ ¹ ÙÒ Ö Ò ÐÓ Ä Ò Ò Ò Ñ ÔÖÓÚ ÒÞ ÐÐ Ò ÍÒ Ú Ö ØØ Ø Ø Ò ÛÓ Ö Ð Ò ÓÒØ Ø ÖÑ Ö ØÓØØ ÖÒ Ö ÙÒ ÙÒÚ Ö Ö Ø Ø Ö ËÓÒ ÖÐ Ò Ñ Ø ÒÙÖ Ö Ø Ò Ñ ÖÙ Ñ Ö ÓÐ ÐØ Ï Ö Û Ö Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ö Ñ Ø ¹ Ò ØÒ Ò Ä ØÙÒ Ò ÒÓ Û Ö Ö Ò ÙØ Ö Ä Ö Öº Ö Ò Û ÖÙ ØÖ Ö Ò ¹ Ò Ð Ò Ò Ï ÐØ Ö È ÒØ Ö ÌÖÙÑ ÙÒ Ö ÅÖ Ò Ø Òº Ð Ö ÒÒ Ò Ï ÐØ Ù Ø Ò Ô ÒØ ¹ ÚÓÐÐ Ò Ø Ò Ò Ö Ö ÙÒ ÙÒØ Ö Ò Ñ Ã Ò ØÐ ÖÒ Ñ Ò Ú Ö ¹ ÒØÐ Ø Ò Ò Ò Ë Ö Ø Ò Ò ÐÐ Ò Ò Ó ÖÓ Ò Ò Ð Ò Ö Ð Û Ø Ö Ö ÒÞ Ò Ò Ð Ò Ö ÑØ ÛÙÖ º Ï Ö Û Ö ÊØ Ð Ä ÙÒ Ò Ø Á Ö Ù Ë Ø º ½½

Å ÉÙ Ö Ø Ò Ð Ù Ö ÙÒ ÁÚ Ò Ö Ò Ö Ï Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ð Ò Ñ Ñ Ø ÖÙÒ Ø Ò¹ ÐÒ n n Nµ Ð Ò ÚÓÒ 1 n 2 ÒØ ÐØº Ð Ò Ò Ö ÐÐ Ö Ò Ò Ø Ð Ò ÓÖ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ò Ñ Ø ÑÑØ Ò ÅÙ Ø Ö ËÙÑÑ Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ð ËÔ ÐØ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ø ÑÑ Ö Ð º À Ö Ò Û Ö Û Ð Ò Ô Ð Ö Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ 3 Þ ÙÒ ÛÛ 4 16 3 2 13 4 9 2 5 10 11 8 3 5 7 9 6 7 12 8 1 6 4 15 14 1 Û Ñ ÉÙ Ö Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Û ÒÒ Ò Ù Ö ÙÒ ÞÛº ËÔ ÐÙÒ Ò Ö Ò ÒØ Ø Øº Ï ÒÒ Û Ö Ð Ó Ò Ñ ÉÙ Ö Ø ÙÒ¹ Ò Ò ÒÒ Ò Û Ö Ö Ù Ñ Ø Ö ÙÒ Ò ÙÒ ËÔ ÐÙÒ Ò Ò Û Ø Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÉÙ Ö Ø ÖÞ Ù Òº Ô Ð Û Ò ÓÐ Ò Ò ¹ Ò Ñ Ò ÉÙ Ö Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÛ Ø Ù Ò Ö Ö ÙÒ Ò Ð Ò µ ÙÒ Ò Ö ËÔ ÐÙÒ Ò Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò µ Ö Ø Ò ÒØ Ø Øº 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 3 8 9 5 1 2 7 6 ËÙÑÑ Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ð ËÔ ÐØ Ó Ö ÓÒ Ð Ò Ò Ñ Ñ Ò ÉÙ Ö Ø ÐÐ Ð Ò ÒÒ Ñ Ò ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ö Ò Ò ÒÞ ÐÒ Ò ÒØÖ Ò Ñ Ò ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ n Ö Ò ÖØ 1 + 2 +... n 2 = n2 (n 2 +1) 2 Ù ËÙÑÑ Ò ÓÖÑ Ðµº ËÙÑÑ Ñ Ò Û Ö ÒÙÒ ÒÓ ÙÖ n Ø Ð Ò Û Ö Ò Ø ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ò ÓÒ ÖÒ ÒÙÖ ËÙÑÑ Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ö n Ð Ò Ù Òµ ÙÒ Ö ÐØ Ò Ö Ð Ò¹ ËÔ ÐØ Ò¹ ÙÒ ÓÒ Ð ÙÑÑ Ò S n = n(n2 + 1). 2 Ï Ú Ð Ñ ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ 1 2 3 Ø n = 1 : Ø Ò Ø ÖÐ Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ 1 ÒÑÐ 1º n = 2 : Ø Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ 2º ½¾

Û Æ Ñ Ò Û Ö Ò Ò Ñ Ø a b c d ÛÓ {a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4}º ÒÒ ÛÖ ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò Ð Ð Ö ËÙÑÑ Ö Ö Ø Ò ËÔ ÐØ Ð Ó a + b = a + c = b = cº Ø Ò Ï Ö ÔÖÙ b ÙÒ c Ú Ö Ò Ò Ñ Òº n = 3 : Ø ÒÙÖ Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ 3 Ù ÕÙ Ú Ð Ò¹ Þ Òµ ÒÑÐ 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Û ØÖ Ø Ò Û Ö ÓÐ Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ 3 a b c d e f g h i Å Ø Ö ËÙÑÑ Ò ÓÖÑ Ð Ö ÐØ Ò Û Ö S 3 = 3 (32 + 1) = 15. 2 ÐØ Ð Ó d + e + f = b + e + h = a + e + i = c + e + g = 15º Ù Ö Ñ ÒÒ Ò Û Ö ËÙÑÑ ÐÐ Ö ÒØÖ a + b + c +... + i = 45º Ò Û Ö ÒÙÒ Ó Ö Ò Ð ÙÒ Ò Ò Ò Ò Ö ÚÓÒ Ö ÙÒØ Ö Ò Ð Ò Ò Ð ÙÒ Ö ÐØ Ò Û Ö 3e = 15 Ð Ó e = 5. Ù ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ò Ø ÒÙÒ a = 1 Ó Ö b = 1 ÛÖ ÞÙÑ Ô Ð i = 1 Ñ Ø Ò Û Ö ÉÙ Ö Ø Ò ÞÛ Ñ Ð Ö Ò ÙÒ ØØ Ò a = 1µº Ö ÐÐ a = 1 ÒÒ Ö Ò Ø ÒØÖ Ø Ò ÒÒ ËÙÑÑ Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ð Ö Ø Ò ËÔ ÐØ ÙÒ Ö Ø Ò ÓÒ Ð Ò Ñ Ò ÐÐ 15 Ö Ò Ø Ö ÒÙÖ ÞÛ ËÙÑÑ Ò 15 Ö Ò ÙÒ 1 ÒØ ÐØ Ò ÒÑÐ 1 + 5 + 9 ÙÒ 1 + 6 + 8 Ð Ó Ø b = 1 ÙÒ Ñ Ø h = 9º 8 Ò Ø Ò Ö Ð Ò Ð ÞÛº ËÔ ÐØ Û 9 Ø Ò ÒÒ ÓÒ Ø ÛÖ ËÙÑÑ ÓÖØ Ö Ö Ð 15µ ÐØ Ù ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ò a = 8 Ó Ö d = 8º 8 Ù Ò ÐÐ Ò Ò Ö Ð Ó Ö ËÔ ÐØ Ñ Ø Ö 1 Ø Ò ÑÙ ÒÒ 1 + 6 + 8 = 15µ ÐØ a = 8º Â ØÞØ ÒÒ Ñ Ò Ð Ø Ö Ò ÒØÖ Ò Ò Ò Ö ÓÐ ÖÒ i = 2, g = 4 d = 3 f = 7 ÙÒ c = 6º Ù ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ò Ø Ð Ó ÒÙÖ Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ 3. Ï ÒÒ Ñ Ò Ñ ÉÙ Ö Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ï Ö Ù Ò ÙÒ ÒÙÒ Ò Î Ö Ö Ò Ò Ñ Ø Ñ Ñ Ò ÞÙÒ Ø Ô Ù ÓÑ ÉÙ Ö Ø ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÒÒ Ø Ð Ò¹ ÙÒ ËÔ ÐØ Ò ÙÑÑ Ò Ø ÑÑ Ò ½

Ö Ò ÓÒ Ð ÙÑÑ Ò Ö Ò Ø ÙÒ Ò Øµº Î Ö Ö Ò ÛÙÖ ÚÓÒ Ë ÑÓÒ Ð ÄÓÙ Ö Ñ Â Ö ½ Ò Ò ÙÒ Ð ÖØ Ô Ù ÓÑ ÉÙ Ö Ø ÙÒ Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ nº Î Ö Ö Ò Ò ÐØ Ø ÓÐ Ò Ê ÐÒ Ï Ö Û Ð Ò Ò Ò Ñ n n¹éù Ö Ø n ÙÒ Ö µ Ò Ð ÈÓ Ø ÓÒ Ö 1 Ù º ÈÓ Ø ÓÒ Ö 2 Ò Ø ÒÒ Ò Ö Ð Ö ÙÒ Ò Ö ËÔ ÐØ Ö Ø ÚÓÒ Ö 1º ËÓ ÖØ Ñ Ò ÒÒ Ù ÓÖØ Ñ Ø Ö 3, 4, ÙÒ Ó Û Ø Öº ÁÑÑ Ö Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ð ÖÖ Ø ÚÓÒ n Ø ÐØ Û Ö Û Ö Ò ÓÐ Ò Ð Ò Ð ËÔ ÐØ Ò Ð Ø Ö Ö Ò ÖÖ Ø Ñ Ò Ð Ó ÞÙÑ Ô Ð 10 Ö ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò 5 5¹ ÉÙ Ö Ø Ó Û Ö 11 Ò Ð ÙÒØ Ö Ö 10 Ö Òµº Ò Ø Û Ó Ò Ö Ò Û Ø Ö Ò Ø Ð Ù ØÖ ØØ ÚÓÒ n Ø ÐØ Û Ö º Ï ÒÒ Ñ Ò Ö Ò Û ÒÒ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ Ù Ö Ð ÉÙ Ö Ø Ð Ò Ø Û Ö Û Ö Ò Ö Ò ÖÐ Ò Ò Ë Ø Ò Ò Òº Å Ø Ò Ð Ð¹ Ó ÒØÐ ÞÙÑ Ô Ð Ò (n + 1)¹Ø Ð Ö Ò Û Ö Ò Ó Ö Ò Û Ö Ø ØØ Ò Û Ö Ò Ö Ø Ð º Ð ÒÒÙÑÑ Ö Û Ö Ð Ó ÙÖ Ö Ò Ê Ø Ì ÐÙÒ ÙÖ n Ö ØÞØ Ñ Ò Ø Ù n + 1 Ø ÓÒ ÖÙ ÒØ ÞÙ 1 ÑÓ ÙÐÓ n Ë Ö Û n + 1 1 mod nº Å Ò ÒÒ ÈÓ Ø ÓÒ Ò Ö ÒÞ ÐÒ Ò Ð Ò Ù ÜÔÐ Þ Ø Ñ Ø Ò Ö ÓÖÑ Ð Ø ÑÑ Òº ÞÙ ÒÙÑÑ Ö Ö Ñ Ò Ð Ò ÉÙ Ö Ø Ù Ø Ò ÚÓÒ ÙÒØ Ò Ñ Ø Ö 1 ÒÒ Ò ÙÒ ËÔ ÐØ Ò Ù Ø Ò ÚÓÒ Ð Ò Ñ Ø Ö 1 ÒÒ Ò Û Ø Ø Ö ÒØÐ ÒÙÖ Ñ Ò Ù Ø Ò ÒÙÑÑ Ö ÖØ Ö Û Ö ÒÒ Ò Ö Ò Ø Ð Ö ÙÒØ Ò ÞÛº Ð Ò Ñ Ø Ö 1µº Ô Ð 3 2 1 1 2 3 À Ø Ñ Ò ÒÙÒ Ö 1 Ò ÈÐ ØÞ (a, b) Û ÐØ a Þ Ò Ø Ð Ò b ËÔ ÐØ ÒÒÙÑÑ Öµ ÒÒ ÐØ Ö Ò ÈÐ ØÞ (x i, y i ) Ö Ð i i 1 x i a 1 + i 2 mod n n i 1 y i b 1 + i mod n n Ö ÐÖÙÒ Ö ÓÖÑ Ð x i Ø Ð Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ð i y i Ø Ö ËÔ ÐØ Ò ÓÓÖ Ò Ø º Ï Ö Ò Ñ Ò Ò Û Ö ÒÒ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ÚÓÒ i ÙÒ ÛÓÐÐ Ò ØÞØ ÃÓÓÖ¹ Ò Ø Ò ÚÓÒ i + 1 Ö Ù Ò Òº Ï Ö Ñ Ò ÒÙÒ ØÛ ÐÐ ÙÒØ Ö Òº ½

ÁÑ Ö Ø Ò ÐÐ Û Ö i ÚÓÒ n Ò Ø Ø ÐØ Ð Ó Ú Ö Ö ÖÒ x i ÙÒ y i ÙÑ 1 Û ÒÒ Ñ Ò ÚÓÒ i Ò i + 1 Ø ÒÒ i 1 n Ø Ö i Ò Ù Ó ÖÓ Û Ö i + 1º ÁÑ ÞÛ Ø Ò ÐÐ Û Ö i ÚÓÒ n Ø ÐØº Ø i 1 n Ú Ö Ö ÖØ ÙÑ 1 Û ÒÒ Ñ Ò ÚÓÒ i Ò i + 1 Ø ÙÒ Ø Û ÖÙÑ Ð Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö i + 1 ÙÑ 1 Ð Ò Ö Ò ÑÙ Ð Ö i Ð ÑÙ Ö Ð Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò Ö ÓÖÑ Ð ÞÛ Ö Ù Ð ÑÑ Ö ÞÓ Ò Û Ö Òµ ÙÒ ËÔ ÐØ Ò ÓÓÖ Ò Ø ÙÒÚ ÖÒ ÖØ Ð Øº ÍÑ ÒÙÒ Ò Ô Ù Ó¹ ÓÒ ÖÒ Ö Ø Ñ ÉÙ Ö Ø ÞÙ ÖÞ Ù Ò Ú Ö ÐÐ¹ Ñ Ò ÖØ Ñ Ò Ó Ò ÓÖÑ ÐÒ ÞÙÒ Ø Ñ Ø Ð Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò c, d, e, f º ÙÖ Î Ö Ò ÙÒ ÛÓÐÐ Ò Û Ö ÒÙÒ Ò Ø Ñ Ö Ð Ò ÚÓÒ 1 n 2 ÓÒ ÖÒ ÚÓÒ 0 n 2 1 Ñ ÉÙ Ö Ø ÒÓÖ Ò Ò Ø i Û Ö Ò Ö Ó Ò ÓÖÑ Ð ÙÖ i 1 Ö ØÞØº Ù Ö Ñ ÛÓÐÐ Ò Û Ö Ù ÈÐ ØÞ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø ØØ ÚÓÒ 1 n ÚÓÒ 0 n 1 Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ô ÐØ ÒÙÒ Ò ÊÓÐÐ Ñ Ö Ó ÚÓÒ Ó Ò Ó Ö ÙÒØ Ò Þ ÙÒ Û Ö Ø Ó Ö Ð Ò Ù ÒÙÑÑ Ö ÖØ Û Ö µº ÁÒ ÑØ Ð ÙØ Ø Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ñ Ò i x i a + c i + e mod n n i y 1 b + d i + f mod n n Å Ø Ó Ð ÖØ ÒÙÒ Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ó Ö Ò ÓÐ µ Û ÒÒ È Ö Ñ Ø Ö c, d, e ÙÒ f Û Ò Ì Ð Ö Ò ÙÒ Ò Ò Ò ½º Ì(cf de, n) = 1 ¾º Ì(c, n) = Ì(e, n) = 1 º Ì(d, n) = Ì(f, n) = 1 º Ì(c + d, n) = Ì(e + f, n) = 1 º Ì(c d, n) = Ì(e f, n) = 1 Î Ö Ö Ò Ø Ù ÖÖ ÆÓÖÑ Ò Ä Ñ Ö ½ ¾ µ ÞÙÖ º Î Ö¹ Ö Ò ÚÓÒ Ë ÑÓÒ Ð ÄÓÙ Ö Ø Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ Ä Ñ Ö¹Î Ö Ö Ò Ñ Ø c = d = 1 e = 2 f = 1º Ö Û Î Ö Ö Ò ÚÓÒ Ä Ñ Ö ÙÒ¹ Ø Ö Ò Ò ÒÒØ Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ñ ÉÙ ØÖ Ø Ð ÖØ ÒÒ Ò Ë Àº» ÖÓÑÑ Ö º ¾¼¼ µ Ð ÒØ ÓÖ º ËÔ ØÖÙÑ Ñ Ö Î ÖÐ Ò ¹ Ð Ò Û Ö Òº Ù Ð ÑÑ Ö... ÙØ Ø Ö Ò Ù ÖÙ ÒÒ Ö Ð Ö ÃÐ Ñ¹ Ñ Ö Ù Ò Ø Ð Ò Ö ÒÞ Ð ÖÙÒ Ø Û Ö º ÓÐ ÉÙ Ö Ø Ò Ñ ÉÙ Ö Ø Ò Ò Ù À ÙÔØ¹ ÙÒ Æ Ò¹ ÓÒ Ð Ò Ð ËÙÑÑ Ö Òº ½

Å Ø Ñ Ø Ä ¹ Ä Ø ÔÔ ÞÙÖ Å Ø Ñ Ø ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØ Ð Ö Ø ÙØ Ð Ô Ö ÃÐ Ò Å Ø Ñ Ø ÙÑ Å Ø Ò Ñ Ò Ù Ø Ò Ù Ð Ö Ø ÙØ Ð Ô Ö ÃÐ Ò Å Ø Ñ Ø ÙÑ Ø Ö Ä Ø Ö Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÙÑ Û Ö Ñ Ð Ò Æ Ð Ù Ò ÃÓÔ ØÖÓ Òº Ï Ö Ø Ö ÍÒØ ÖØ Ø Ð ½¼½ Û Ø Ø Ò Ö Ò ÙÒ ÒØÛÓÖ¹ Ø Ò ÞÙÖ Å Ø Ñ Ø ÔÖÞ ÖØ Ø ÙÑ ÐÐØ Ð Ù Ø Ù Ò Ö ÖÙÑ Ò Ø Û Ò Ö Ô ÒÒ Ò Ö Ò ÖÙÒ ÙÑ Å Ø Ñ Ø º Ï Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÐÐØ Û Ë Ø Û ÒÒ Ø Å Ø Ñ Ø Á Ø Å Ø Ñ Ø Ò Æ ØÙÖ¹ Ó Ö Ò Ø Û Ò Ø Ï ÖÙÑ Ö Ñ Ò Ò Ø ÙÖ ÒÙÐÐ Ø Ð Ò Ï ÖÙÑ Ø ÒÙÖ Ò ÔÐ ØÓÒ Ã ÖÔ Ö Ï ÙØ Ø ÏÙÖ¹ Þ Ð Ï ÖÓ Ø Ò Ò Ò Ë Ö Ñ ÄÓØØÓ ÞÙ Ø ÔÔ Ò ÏÓÞÙ Ò ÄÓ Ö Ø Ñ Ò ÙØ Ã ÒÒ Ñ Ò ÐÐ Û Ò Ï ÖÙÑ Ø Ò Ò ÆÓ ÐÔÖ Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ö Ã ÒÒ Ò Ù Ö Ö ÙÒ Ö Å Ø Ñ Ø Ú Ö Ø Ò Ù ÐÐ Ö Ò Ø ÙØ Ð Ô Ö Ò ÙÖÞ ÙÒ Ù Ö Ñ Ø Ñ Ø Ä Ò Ð Ø Ú Ö ØÒ Ð ÒØÛÓÖØº Ë Ò ÛÖ Û Ò Û ÒÒ Ö ÙÖÞ Ò ÒØÛÓÖØ Ò ÙÑ Ä Ø Ö ØÙÖØ ÔÔ Ö ÒÞØ ØØ Ó Ñ Ò Ñ Ò ÒØÛÓÖØ Û Ø Ö ÁÒØ Ö Û Ø Ø Ò Ò Ò ÐØ ÔÙÒ Ø Ö Ö ÐØ Ò ØØ ÛÓ Ö Û Ø Ö Ú ÖØ Ò ÒÒØ º Ö Ù Ó Ò Ö ÒÞÙÒ Ò Ø Ñ ÙØÓÖ Ò Ò Ù ÐÙÒ Ò Ñ Ò ÑÑ Ö Û Ö ÖÒ ÞÙÖ À Ò Ò ÑÑØ ÙÒ ÚÓÖ ÐÐ Ñ Ò Ò Ö Ë ÙÐ Ð ÓØ Ð Ò ÓÐÐØ º Ö ÐÖÙÒ Ò Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ð Ð Ö Ö ÙØ Ú Ö ØÒ Ð Û Ö Ò Ö Ù ÐØ Ö Ë Ð Ö ÙÒ Ù Ä Ö Ö Ø Ù Ö ËÙ Ò Ò Ò ÙÒ Ú Ö ØÒ Ð Ò ÒØÛÓÖØ Ò Ö Ù Ë Ð Ö Ö Ò Ò Ø ÖÒº Þ Ø Ò ÐØ Û Ö ÒÑ Ð ÙÑ Ò Ù Ñ Ò ÓÑÔÐ ØØ ÚÓÒ ÚÓÖÒ ÒØ Ò ÙÖ Ð Ò Û Ö Ö ÙÑ Ò Ñ Ò ÖÒ ÑÑ Ö Û Ö ÒÑ Ð Ù Ð Ò Û Ö ÙÑ Ò Ö Ò Ò Ó Ö Ò Ö Ò ÒØÛÓÖØ ØÞÙÐ Òº ÑØ ÙÖØ ÐÙÒ Ö ÙØ Ò Ò ÞÙÑ Ù ÙØ Ð Ô Ö Ð Ö Ø Ð Ö Ø ÙØ Ð Ô Ö ÃÐ Ò Å Ø Ñ Ø ÙÑ ¾¼½¼ ÁË Æ ¹ ¼ ¹ ¼¾¼¾¹ º ½ Ë Ø Ò ½ eº ÖØ Ù Ë ÑÑÐÙÒ ÙÖÞ Ö ÒØÛÓÖØ Ò Ù Ñ Ø Ø ÐÐØ Ò Ö Ò ÞÙÖ Å Ø Ñ Ø Å Ø Ñ Ø Æ Ú Ù Ð Ø Ú Ö ØÒ Ð ÐØ Ö ÑÔ ÐÙÒ ½½ Â Ö Ò ½

Ä ÙÒ Ò Ö Å Ø Ô Ð Ö Ò Ù ÅÇÆÇÁ ½¼½ Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ï Ö Ó Ö Ð Z ÈÖÓ Ù Ø Ö Ö Ø Ò Ò ÈÖ ÑÞ Ð Òº ÒÒ Ø 1 5Z ÒÞ Ð Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò 2010 Ò ÙÒ Ñ Ò Ø Ò Ò Ö 0 Ò Ö Ö Þ Ñ Ð Ö Ø ÐÐÙÒ Òº ÌÖ Ø ÞÙ Àº ºµ Ä ÙÒ ÓÐ Ò Ð Ò ÒØ ÐØ Ò Ö 0 10,..., 90 9 Ð Ò a00, a01,..., a09, a10,..., a90 Ñ Ø a = 1, 2,...,9 9 19 Ð Ò 1000,1001,...,1099 100 Ð Ò 1a00,1a01,...,1a09,1a10,...,1a90 Ñ Ø a = 1, 2,...,9 9 19 Ð Ò 2000,2001,...,2010 11 Ð Ò ÁÒ ÑØ Ø Ñ Ò 462 = 1 5 Z Ð Òº Ò ËØÖ ÓÐÞ¹ÈÖÓ Ð Ñ Ã ÒÒ Ø Ù Ò ÙÒ ËØÖ ÐÞ Ö Ö ÙÖ Ó ÒÓÖ Ò Ò Ù Ö Î Ö Ö ÐØ Ø Ä ÙÒ ÙÒ Ò Àº ºµ Ò ÚÓÐÐ Ö Ò Ö ÐÖÙÒ Ö Ó Ö Ö ÓÖ Ö Ö Ã Ð Ø Ñ ÎÓÖÛÓÖØ Ò Ù ÅÝ Ø ÙÒ Å Ö Ð Ò Ö Ò Á Û Ò Ø Ò ÒÒ Ò ÚÓÐÐ ¹ Ã Ð Ù Ã Ð µ Ø ÑÝ Ø ÌÖ Ø ÓÒ ÂÙ ÒØÙÑ Ö Ò Ø º Ñ ½º Â Ö ÙÒ ÖØ Òº Öº ½

Ö Ò Ö ÐÖÙÒ Ö Û ÖÙÑ ÙÒ Ö Ð ÚÓÒ µ Ñ Ø Ð Ø ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ø Ø Ò Î Ð ÚÓÒ Ñ Ø ½ Ð Ê Ø Ö Øº ËØ ÑÑØ Ö Ë Ú Ö ÐØ Ö ÙÔØ ÒÒ Ð Ö ØØ Ò ÚÓÐÐ Ö Ò Ö ÐÖÙÒ Ò ÓÖÑ Ò Û Ö ÓÒ Ø Ò Ò Ô Ð Òº Å µ Ä ÙÒ Ï Ö Ö Ò Ö ÙÒ Ö Ð 2n + 1 Ñ Ø n Æº ÒÒ ÐØ (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1. ÒÙÒ ÒØÛ Ö n Ó Ö n+1 Ö Ø ÙÒ ÓÑ Ø Ù ÈÖÓ Ù Ø n (n+1) Ø 4n(n + 1) ÙÖ Ø Ð Öº Ñ Ø Ø ÙÒ Ö Ð ººº Ñ Ø Ð Ø ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ø Ø Ò Î Ð¹ ÚÓÒ Ñ Ø ½ Ð Ê Ø º Å ÙÒ Ë Ø Ò Ìº À ÒÒ Å ÙÖ µ Ø Ö Ø ÐÙ Ö Ø Ö Í Ö Ø Ò Ø Ð ÒÞ ¾ ËØÙÒ Òµº Ë Ø 2 1 2 ¹Ñ Ð Ó Ò ÐÐ Û ÓÐÐØ º Ï ÒÒ Þ Ø ÞÙÑ Ö Ø Ò Å Ð Û Ö ÓÖÖ Ø Í ÖÞ Ø Û ÒÒ ØÞØ ÙÑ ¼º¼¼ Í Ö Ü Ø Ø ÐÐØ Û Ö ÏÂ µ Ä ÙÒ ÁÒ x ËØÙÒ Ò Ø Ø Ö Í Ö 2,5 x ËØÙÒ Ò Û Ø Öº x = 2,5 x Ö x > 0 Ò Ø Ñ Ð Ø ÑÙ 2,5 x > 24 ÐØ Òº Ð ÙÒ 2,5 x = x + 24 Ø Ä ÙÒ x = 16º ÍÑ ½ Í Ö Ù Ø Ö Í Ö Ø 2,5 16 = 40 ËØÙÒ Ò Ø Ò Ò ÒÞ Ò Ì ÙÒ ½ ËØÙÒ Ò ÔØ Öº ÒÒ Ö ÒÒ Ø Ø ÚÓÖ Ñ Ë Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ù Ò ÐÙÒ º Ö ÖÐ Ø Ï ÒÒ Ù ÞÛ Ñ Ð Ù Ö Ù Ò Ù Ó Ú Ð ÙÖÓ Ö Û ÒØ Ö Ò Ù ÙÒ ÓÔÔ ÐØ Ó Ú Ð ÒØ Û ÙÖÓ Ö Ò Ù º Ï Ú Ð Ó Ø Ø Ù ÏÂ µ Ä ÙÒ Ö Ù Ø Ñ Ò Ö Ò Ù a ÙÖÓ ÙÒ b ÒØ Ð Ó 100a+ b ÒØ ÙÒ Ö ÞÛ Ü ÑÔÐ Ö b ÙÖÓ ÙÒ 2a ÒØ Ø 100b+2a ÒØ Ó ÐØ 2 (100a+b) = 100b + 2a Þ ÙÒ Û 198a = 98b Ð Ó 99a = 49bº ÒÞ ÔÓ Ø Ú ½

Ä ÙÒ Ñ Ø ÒÞÞ Ð Ò a ÙÒ b b < 100µ Ø a = 49 b = 99º Ù Ó Ø Ø Ð Ó ÙÖÓº Ð Ø Ö Ñ ÌÖ Ô Þ D C ÁÑ Ð Ò Ð Ò ÌÖ Ô Þ ABCD Ñ Ø AB DC S Ö ÓÒ Ð Ò Ò ØØÔÙÒ Ø ÖÒ Ö S BAC = 60 º ÒÒ Ò Ö ABS ÙÒ CDS Ð Ø º Ù Ø ÒÒ Ø Ù Ù Ö Ò Ò Àº ºµ 60 À ÒÛ BAC Þ Ò Ø Ö A B Ï Ò Ð BAC º Ä ÙÒ ÌÖ Ô Þ ABCD Ø Ò ÝÑÑ ØÖ ËÝÑÑ ØÖ Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÞÙ Ò Ë Ø Ò AB ÙÒ DC ÙÒ Ø ÙÖ Ò Å ØØ ÐÔÙÒ Ø ÚÓÒ AB ÙÒ Ò Å ØØ ÐÔÙÒ Ø ÚÓÒ DC º Ù ËÝÑÑ ØÖ Ö Ò Ò Ð Ø ÒÒ Ö ÈÙÒ Ø S Ù Ö ËÝÑÑ ØÖ º Ö Ù ÓÐ Ø Ö ABS ÙÒ CDS Ò Ò¹ ÝÑÑ ØÖ º Ð Ó ÐØ Ù ABS = BAC = 60 ÙÒ Û Ò Ö Ï Ò Ð¹ ÙÑÑ Ñ Ö Ø ASB = 60 º ËÓÑ Ø Ø Ö ABS Ð Ø º Ï Ð ÒÙÒ CSD ÙÒ ASB Ë Ø ÐÛ Ò Ð Ò Ò Ð ÖÓ ÙÒ Ñ Ø Ö ÒÔ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö DSC ÓÐ Ø ÙÔØÙÒ Û Ñ Ö ASBº Ï Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö Ú ÓÒ Ê ÓÒ ØÖÙ Ö Ú ÓÒ Ò Ñ Ù Ò Ö ÙÖ Ò ËØ ÖÒ ÙÖ ¹ Ò Ö Ó Ö ØÞØ Ò Ö Ø Ú ÓÒ ÒØ Ø Ø Ö Ò ¹ Ö Ò Ö Ò ÆÙÐÐ Øº Àº ºµ : = 2 2 Ä ÙÒ Å Ø Ù Ø Ò Ò Ø ÐÐ ÚÓÒ A B C D : E F = G H J K 2 D L M 2 Ù ABC JK = 2 ÓÐ Ø A = 1 ÙÒ ABC = 100, JK = 98 Ó Ö ABC = 101, JK = 99º ÐÐ ½ Ò ABC = 100 ÙÒ JK = 98º Ù JK = 98 = 2 7 7 ÓÐ Ø EF G = 2 7 7º ÞÛ Þ Ö Ò Ì Ð Ö EF ÚÓÒ 98 Ò 14 49 ÙÒ 98º Ï Ò EF H < 2D < 29 Ø EF = 14 ÙÒ Û Ò EF G = 98 Ø G = 7º Ù 2D LM = 2D H EF = 2D H 14 = 2 ÓÐ Ø H = 1 Ó Ö H = 2º ÏÖ ½

H = 1 Ó ÓÐ Ø Ù 2D 14 = 2 2D = 16 ÛÖ ÛÖ H = 2 Ó ÓÐ Ø Ù 2D 28 = 2 2D = 30 ÛÖ º Ð Ó Ø Ö ÐÐ ABC = 100 Ò Ø Ñ Ð º ÐÐ ¾ Ò ABC = 101 ÙÒ JK = 99º Ù JK = 99 = 3 3 11 ÓÐ Ø EF G = 3 3 11º ÞÛ Þ Ö Ò Ì Ð Ö EF ÚÓÒ 99 Ò 11, 33 ÙÒ 99º Ï Ò EF H < 2D < 29 Ø EF = 11 ÙÒ H = 1 Ó Ö H = 2º ÏÖ H = 1 Ó ÓÐ Ø Ù 2D H EF = 2D 11 = 2 2D = 13 ÛÖ º Ð Ó Ø H = 2 LM = 22 ÙÒ D = 4 Û Ò 2D 2 11 = 2º Ñ Ø Ð ÙØ Ø Ú ÓÒ 1014 : 11 = 92 Ê Ø 2º Ï ÖØ Ð Ò Æ Ù Å Ø Ô Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ËØ ÐÐ Ö ÚÓÖ Ù Ø Ø Ò Ò Ñ Ä Ð Ò Ö Þ ØÔ Ö Ø 10 Å ÒÙØ Ò Ò Ò Ö Ä Ð Ò Ø Ö Ò Ò Ð Ù ÆÓ ¹20¹Å ÒÙØ Ò¹Ï ÖØ Ò¹Å Ö ÖÖ Øº ÁÒ Ñ Ö 1m Ö Ø Ò Ò ÖÖ Ø Ò Ö ÖÒ¹ Ð Ù Ò Ö Ø Ú ÖØ Ò ÙÒ Ð ØÞØ Ò Ø Ö Ò¹ ÞÙ Ö Å ÒÙØ Ò Ö ÚÓÖ Ö Ù Ò Øº Ù Ö ØÖ Ö Ø Ò Ï ÓÒ Ñ Ø Û Ð Ú Ö È Ö ÓÒ Ò Û Ö Ø Ù Ò ÓÔÔ ÐØ Ò ÄÓÓÔ Ò ÞÙÖ Ò ÙÒ Ö Ø µ Ï Ú Ð Å Ò Ò Ø Ò ÒÓ Ñ Ü Ñ Ð ÚÓÖ Ö µ Ï Û Ø Ø ÒÓ Û ÒÒ Ö Ø Ò Ò Ø Ò ÖØ ÙÒ ÙÖ Ò ØØÐ Ú Ö È Ö ÓÒ Ò Ù Ò Ò ÉÙ Ö ØÑ Ø Ö ÞÙ ÑÑ Ò ÖÒ Ò º ºµ ÖÐ ÙÒ Ò Ö Å Ò Ò Å Ò M ÒØ ÐØ Ð ÙØ Ö Ú Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ð Ò ÖÙÒØ Ö Ù Ð Ò 1 2 3 4º Ã ÒÒ Ø Ù ÒÙÒ M Ó Ò ÞÛ Ì ÐÑ Ò Ò A ÙÒ B Þ ÖÐ Ò ÐØ Ï Ö Ò A ÒÓ Ò B ÒÒ Ñ Ò ÞÛ Ð Ò Ò Ò Ö Ò ËÙÑÑ Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ø Àº µ ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Þ ÖÒ Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Þ ÖÒ º ËØ ÑÑØ Àº ºµ ¾¼

Ð ÒÙÑÛ Ò ÐÙÒ Ò Ò ÉÙ Ö Ø a 2a a Ï Ò Ð Ò Ò Ø Ò ÙÖ Ò Ò Ò Ð ÉÙ Ö Ø ÙÑº ºÃºµ 2a 2a a 2a a Ð ØÒ g 01 01 A M 00 11 00 11 B Ï ÒÒ Ñ Ò ÙÖ Ò Å ØØ ÐÔÙÒ Ø M Ò Ö ËØÖ AB Ò Ð Ö g AB Ð Ø ÒÒ Ò A ÙÒ B Ò Ð Ò ¹ Ø Ò ÚÓÒ gº Ù Ø ÒÒ Ø Ù Ù Ö Ò Ò Àº ºµ Ö ÖÛÙÖÑ Å Ø Ø Ù Ñ ËÔ Ö Ò ÖÓÚ Ø Ö Ò Ö ÐØ Ú Ö Ò Ù ÚÓÒ ÙÐÐ Ú Ö Ê Ò ÒØ Øº Ö Ø ÐÐØ Ò Ò Ñ ÑÑ Ö Ò Ò ÒÙÑÑ ÖÒ ÓÖ Ò Ø Ù Ò Ê Ð ÙÒ Þ Ø Ò Ñ Ö ÙÒ Å Ø Óº Ö Ñ Ö Ø Ò ÖÛÙÖÑ ÚÓÒ Ö Ö Ø Ò Ë Ø ÚÓÒ Ò ½ ÞÙÖ Ð ØÞØ Ò Ë Ø ÚÓÒ Ò Ö Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÖ Ö Ö Ò Øº Ò Ì ÔØ Ö ÖÖ Ø Å Ø Ó Ò Ò Ö ÙÒ Ñ Ø Ö Ö Ï Ð Ò Ø ÛÓ Ð ÏÙÖÑÐÓ Å Ø ÒØÛÓÖØ Ø Ë Ð Ø Û ÒÒ Ù Û Ø Ù ÑØ Ò Ò ÐÒ 4 cm ÙÒ Ò Ù Ð 0,5 cm Ø ÒÒ Ø Ù Ò ÄÒ Ú ÖÑÙØÐ Ò Ø Ö Ò Òº Á Ö ÒÒ Ï ÖÙÑ Ø Ó Àº ºµ ÍÖ ÙÐ Í Ö Ò ÍÖ ÙÐ Ø ÞÛ Í Ö Òº Ò ÚÓÒ Ø Ò Ù Ò Ö ÔÖÓ ËØÙÒ Ò Å ÒÙØ Ò ÞÙ Ò ÐÐº ÍÑ Í Ö Ø ÐÐØ ÍÖ ÙÐ Í Ö Ò Ð Òº Ï ÒÒ Ø Ö Å ÒÙØ ÒÞ Ö Ö Ò ÐÐ Ò Í Ö ÞÙÑ ÞÛ Ø Ò Å Ð Ò Ö Ð Ò ËØ ÐÐ Û Ö ËØÙÒ ÒÞ Ö Ö Ò Ù Ò Í Ö ÏÂ µ ¾½

Å ÒÞ Ö Å Ø Ñ Ø ¹ Ñ ¾ º Ù Ù Ø ¾ º Ù Ù Ø ¾¼½¼ ÐÐ Ë Ð Ö ÒÒ Ò ÙÒ Ë Ð Ö Ö ÃÐ Ò ØÙ Ò ½¼ ½ Ò ÖÞÐ Ò Ð Ò ÞÙÖ ÅÅ ÒÞÙÑ Ð Ò ÚÓÑ ¾ º¼ ¾ º¼ Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ Ø ØØ Ò Øº Ð Ù Ö Ñ Óº ¾ º¼ º ÒÖ ½ Í Öµ ÙÒ Ã ÒÒ ÒÐ ÖÒ Ò Öº»Ë º ¾»¾ º¼ º ÃÙÖ Ò Ö Ø ÖÙÔÔ Ò Ê Ñ ÒÔÖÓ Ö ÑÑ ØÖ ÙØ ÚÓÒ ËØÙ Ö Ò Ò ÞÙÑ Ô Ð ËØ Ø ÖÙÒ µ ËÓº ¾ º¼ º ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ½ Í Öµ Ò Ò Ù Ö Ö Ì ÖÑ ÒÔÐ Ò Û Ö Ö ÒÑ Ð ÙÒ ÒÒØ Òº ÃÙÖ ÃÒÓØ Ò Ä Ø Ò Ú Ö ÓÖÑ Ò Ã ÒÒ Ñ Ò ÃÒÓØ Ò Ñ Ø Ò Ò Ö ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ËÓ Ö ÔÖ Ñ ÃÒÓØ Ò Ò Ò ÙÒ Ò ÈÖ Ñ ØÓÖÞ ÖÐ ÙÒ Ò Ò ÃÒÓØ Ò ÙÖ Ö Ò ÈÐ ØÓÒ Ã ÖÔ Ö Ñ n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ê ÙÑ Ì ØÖ Ö Ï Ö Ð Ç Ø ¹ Ö Á Ó Ö ÙÒ Ó Ö Ø Ó ØÛ Ù Ò Ö Ò ¹ Ñ Ò ÓÒ Ò ÁÒÚ Ö ÒØ Ò Ñ Ó ¹ÈÙÞÞÐ Ò 15 ËØ Ò Ò Ò Ñ ÕÙ Ö Ø Ò Ê Ñ Ò Ú Ö Ö Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ð Ø Ö º Á Ø Ö Ù Ò Ð Ñ Ð ËØ Ò Ò Ö Ø Ê Ò ÓÐ ÞÙ Ö Ò Ò Ã ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò¹ Ð Ò Ì Ò Ò Ú ÖÛ Ò Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ò ÐÒ 7 3 2 13 5 10 11 8 9 6 12 4 15 14 1 ÍÒØ Ö Ö Ò ÙÒ ÂÙ Ò Ø ÙÒ ØØØ ÓÒ Ó Ó À Ù Ñ ÓÖØ ÓÒ Ò Ñ ½¾¾ Å ÒÞ ÃÓ Ø Ò ÒØ Ø Ò Ð Ð ÃÓ Ø Ò Ö Ò ÖØ ÓÛ Ò È Ù ÐÔÖ ÚÓÒ ¼eº Ö Ò ÃÓ Ø Ò ÖÒ Ñ Ò Ö Î Ö Ò Ö Ö ÙÒ Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ ÓÛ Ì Ð ÓÑ¹ËØ ØÙÒ º ÒÑ Ð ÙÒ ØØ Ò Ò ¹Å Ð Ò Ö ÙÒ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº Ò Ö Ù Æ Ñ Ò Ò Ö Ø ¹Å Ð¹ Ö Ë ÙÐ ÙÒ ÃÐ Ò ØÙ Ò Ø ÙÒ ÙÖÞ Ð Ö Ø Û Ò Å Ø Ñ Ø ÐØº ÅÅ Û Ö Ö ÖØ ÚÓÒ ¾¾

Æ Ù Ù Ò ÃÐ Ò ½ Ù ÏÓ Ø Ø Ö Ð Ö x2 + 2x + 1 x = 5 (x + 1)2 x = 5 x + 1 x = 5 1 = 5 Ð Ó Ä = º Ö x = 3 Ø Ò Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ Û Ñ Ò ÙÖ Ò ØÞ Ò Ø Ø ÐÐ Ò ÒÒº ÏÓ Ø Ø Ö Ð Ö À ÐÑÙØ Ê Ñ Öµ Ù ¾¼½¼ ½ N = 1 + 2 + 3 + 4 +...º Ï ÒÒ Ù Ù Ö Ö Ø Ò Ë Ø Ö Ð ÙÒ ÐÐ ËÙÑÑ Ò Ò Û ØÖ Ø Ò Î Ð Ò ÚÓÒ 2010 Ò Ö ÐØ Ø Ù N = 2010 + 2 2010 + 3 2010 + 4 2010 +...º À Ö Ù Ø Ñ Ò ÞÛ ÖÐ ½º N < N ÙÒ ¾º N = 2010(1 + 2 + 3 +...) = 2010Nº Ï ÞÙ ÓÐ Ò Ñ Ë ÐÙ ÖØ 2010N < N Û Ò Ú ÓÒ ÙÖ N Ð Ð 2010 < 1 Ö Ø ÏÓ Ð Ø Ö Ð Ö Àº ºµ Ù Ï Ö Ó Ö Ð Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò Ø ÖÐ Ð Ò Ñ Ø Ò Ù ¾¼½¼ Ì Ð ÖÒº ËØ ÑÑØ Ò Àº ºµ Ù Ã ÔÐ Ö ØÞ Ó Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÖØ Ð Ö Ã ÔÐ Ö Ò ØÞ Ò ÅÓÒÓ ¹À Ø ½¼¼ Ð Òº Ë ÙÔØ Ø ÒÙÒ Ï ÒÒ ÔÐ ØÞÐ Ö Ú Ø Ø ÓÒ ÞÛ Ò Ö ËÓÒÒ ÙÒ Ò ÈÐ Ò Ø Ò Û Ñ Ø Ò Ñ Ë ÐØ Ö Ù ÐØ Ø Û Ö ÙÒ ÈÐ Ò Ø Ò Ò Ø ÐÒ Ö Ù Ò Ò Û Ò Û Ö Ò ÒÒ Û Ö ÞÛ Ø Ã ÔÐ Ö ØÞ ØÖÓØÞ Ñ ÒÓ ÐØ Òº È Ø Ö ÒØ Ò Ø ÒÒ Ó Ö Ò Ø Ò Ï Ö ÚÓÒ Ò Ø Ö Ø Ñ Ö ÙÒ Æ Ñ ÐØ Ò Ö Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÈÐ Ò Ø Ñ Ø Ö Û Ò Ø Ò Ö ØÙ ÐÐ Ò Ê ØÙÒ Ö Ñ ÅÓÑ ÒØ ÐØ Ò Ø Û Ø Öº Å µ ¾

Ù ÓÒ Ò Ø ÖÒ Ò À ÒØ Ö ÖÙÒ ÞÙ Ö Ù Ò Ø Á Ö Ñ ÖØ Ð ÓÒ Ò Ø ÖÒ Ö Ø ÐÐØ Ù Ë Ø ½º µ Ê ÙÖ ÓÒ x n+1 = x n + x n 1 Ä ÙÒ Ò Ö ÓÖÑ x n = Ar n ØÞØ ÙÒ Ø ÑÑ Ñ Ð Ò Ï ÖØ r 1, r 2 r 1 Ö Ö Ö Ï ÖØµº µ Ø ÑÑ A ÙÒ B Ó Ar n 1 + Brn 2 = F n Ñ Ø n = 0, 1, 2,... ÛÓ F n n 0 ÓÒ ¹ ÓÐ Øº µ Ë a n = F 0 + F 1 +... + F n 1 ÙÒ b n = a 0 + a 1 +... a n 1. an F n ÙÒ bn a n ÓÒÚ Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÑÑ Ö ÒÞÛ ÖØ º ÏÂ µ Ù ÖÓ Ì Ö À ÙØ Û Ö Ã Ñ Ñ Ø Ö Ö ÃÐ Ñ Æ ØÙÖ Ý Ø Ö Ò ÅÙ ÙÑ ÙÒ Ø ÓÖØ Ò ÖÙÒ Ö Ì Ö Ö ÍÖÞ Ø ÖØº Ö Ö Ö Ø ÙÒØ Ö Ò Ö Ñ Ö¹ Þ ÐØ Ì Ö Ò Ö ÃÐØ Ð Ò Ô Ð Û Û Ö Ò Ö Þ Ø Ñ Î Ö Ð ÞÙ Î ÖÛ Ò Ø Ò Ò Ö ÏÖÑ Ð Ò Ô Ð Û Û Ö Ò Ö Ï ÖÑÞ Ø Ò Ö Ö Ò Ù ÖÓ Ã ÖÔ Ö Ö Ø Ò ÙØ Ö Ë ÙØÞ ÚÓÖ Ö ÃÐØ º ÒÒ ÖÓ Ì Ö Ò Ñ Î Ö ÐØÒ ÞÙÖ Ã ÖÔ Ö Ö Ö Ð Ø Ú Û Ò Ç Ö Ð Ó À ÙØ Ò Ö ÏÖÑ Òº Ð Ò Ö Ò Ì Ö Ò Ø Î Ö ÐØÒ Ð Ø Öº ËÓ ÛÙÖ Ò Ò Ö ÐÖØº Ö ÐÖÙÒ Ö Ö Ð Ò ÔÐ Ù Ð Ó Ã Ñ Ñ Ø ÒÞ Ò Ù Û Ò ÙÒ Ö Ò Ø Ð Ø Ò º Ö Ù Ò ÒØ ÔÖ Ò Ê ÒÙÒ Ù º Ì Ö Ö Ø Ù Ð ÓÑ ØÖ Ã ÖÔ Ö Ï Ö Ð ÃÙ Ð ºººµ ÒÒ Ñ Òº Ö Ò ÎÓÐÙÑ Ò ÙÒ Ç Ö Ò Ò Ø Ö Ã ÖÔ Ö Ö ÙÒ Ú Ö Ð ÉÙÓØ ÒØ Ò Å µ Ù ½¼¼¼ ÙÑ ÂÙ ÐÙÑ Ù ÙÒ Ö Ñ ÂÙ ÐÙÑ Ö ½¼¼¼º Ù Û Ö Ù Ò Æ Ù Ò Ù ¹ Ò Ø ÐÐ Ò Ø ÓÐ Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ 998x + 999y = 1000 999x + 1000y = 1001 µ Ø ÑÑ Ä ÙÒ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ º µ Ö ÒÙÒ ÞÙÑ Ö Ø Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò Ö Ö Ø Ò Ð ÙÒ 1 1000 º ÙÖ Ò ÖØ Ä ÙÒ Ñ Ò Ð ÖØ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ø ÒÑ¹ Ð ÔÐ ØÞÐ Ò Ä ÙÒ Ñ Öº Ê Ò Ò ÙÒ Ò ÓÑ ØÖ ¹ Ö ÐÖÙÒ Å µ Ö Ù ÒØ Ð Ø Ò Ø Ò Ö ÙÐÖ ÈÙÒ ØÛ ÖØÙÒ Ñ Ø Òº Ë ÖÞÙ Ù Å ØØ ÐÙÒ Òº ¾

Ð Ø Ù Ò Ù ÅÇÆÇÁ ½¼½ ÃÐ Ò ½ Ù Ä Ð ÙÒ (x + 2009) + (x 2009) + x 2009 + x : 2009 = 2010 Àº ºµ Ä ÙÒ (x + 2009) + (x 2009) + x 2009 + x : 2009 = 2010 2011x + x 2009 = 2010 ÕÙ Öº 2011x + x 2009 = 20102 2009 4040099x + x = 2010 2 2009 4040100x = 2010 2 2009 : 4040100 x = 20102 2009 4040100 Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ Ø Ð Ó x = 2009º Ã Ñ Î ØØ Ö ÃÐ ½¼ Ð Ö ¹ ÐÔ¹Ë ÙÐ À Ö Ñµ Ù ÍÑ Ò Ò ÃÖ K 1 Ñ Ø Ñ Ê Ù r 1 Ö ÖØ Ò Ò ÞÛ Ø Ò ÃÖ K 2 Ñ Ø Ñ Ê Ù r 2 ÚÓÒ Ù¹ Òº Î Ö Ò ÙÒ ÙÖ K 1 K 2 Ö Ö Ò ÃÖ K 3 ÚÓÒ ÒÒ Òº Ø Ò Ò Ò Ð Ö ÍÑ Ò Ö ÙÖ K 1 K 2 Ð Ò Ö Ð Ö ÍÑ Ò ÃÖ K 3 º ËØ ÑÑØ Àº ºµ K 1 K 2 r 1 r 2 K 3 Ä ÙÒ Ö Ê Ù ÃÖ K 3 Ø r = 1 2 (2r 1 +2r 2 ) = r 1 +r 2 º Ö Ø Ö ÍÑ Ò ÃÖ K 3 2π(r 1 + r 2 ) Ö ÍÑ Ò Ö ÙÖ K 1 K 2 Ø 2πr 1 + 2πr 2 º Ð Ò ÍÑ Ò ÚÓÒ K 3 ÙÒ ÚÓÒ K 1 K 2 Ð ÖÓº Ù ÙÒ ÓÐ Ò Ö ÐÓ Ø ÑÑØ Ù Ò Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø Ø ½ ½¾ ¼¼µ ÐÓ Ù Ò Ö Ï Ò Ö ÖØ Ñ Å Ø ½ ¾ ¼¼¼ Ò ÞÛ Ò ÖØ 20¹Ñ¹À ÒÐ Ò Ò Ò Ò Ø Ò ÚÓÒ 6 ÑÑº Ï ÒÒ Ò Ö ØÛ Ò Ð Ö Þ Ò ÙÑ Ò Ò Ø Û Ò Ð ÞÙ ¹ Ö Ò Ò Û Ð Ë Ø Ø ÒÒ Ñ Ø Ò 6 ÑÑ Ø Ò Ø ØÖ ÙÖ Ö Û Ö ËÓÐ Å Ø Ñ Ø Ð Ö Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ö Ù Ò Ñ º ¾

½ ½¾ ½ µ Ö Ò ½ ½¾ µ ÐÓ Ï Ö ÙØ Ò Å Ø Ñ Ø ÞÙÖ Ù ÓÒ ÙÒ ÙÒ Ö Ä Ö Ö ÛÙ Ø Ò Ø Ð Ó Ø Ù Û Ø Ø Ú ÐÐ Øº ½ ½ ½ µ Ö Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ð Ö Ö ÛÙ Ø Ò Ø ÇÅ ½ ½ µ Ö Ò Ï ÒÒ Ñ Ò Ó Û Ò Ø Û Ò Ð Å Ø ¹ Ñ Ø Ð Ö Ö ½ ½ ¾¼µ ÐÓ Ö Û Ù ÓÖÑ Ð Ö ÎÓÐÙÑ Ò Ò Ö ÈÝ¹ Ö Ñ Ò Ø Ù Ñ ÃÓÔ ÓÒ ÖÒ Ù Ø Ò Ì ÐÛ Ö º ½ ½ ½µ Ö Ò ÇÅ ÌÖ ÙÖ Ù ØÒ Ö Ö ÅÇÆÇÁ ¹Ä Ö Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñº Ð ÓÐ Ò Ò Ù Ò ÙÑ ÐÓ ÙÒ Ò Ñ Ä Ö Ö ÞÙ Ð Ò µ Ö Ò Ò ËØ ÙÒ Û Ò Ð ÓÛ ËØ ÙÒ Ò ÈÖÓÞ ÒØº µ Ï Ð ËØÖ Ð Ø Ò Ï Ò Ö Ö Ù Ñ Ï Ø Ø Ð ÞÙÖ Å µ Ä ÙÒ µ Ë y Ø Ø Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ñ Ò ÒØ ÖÒÙÒ º ÒÒ Ø 1 mm 25000mm = 6 mm 6 mm 25000 mm y = y = 1 mm = 150000 mm = 150 m. Ñ Ø ÒØ ÔÖ Ø Ö ËØ ÙÒ Û Ò Ð ϕ = arctan ( ) ( 20 m 150 m = arctan 2 15) 7,6 º tan(ϕ) = 20 m 150 m = 2 15, ÛÓ ÙÖ ϕ ÞÙ ØÛ 7,6 Ö Øº Ö ËØ ÙÒ ÐØ m = À ÒÙÒØ Ö = 20 m ÀÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒØ ÖÒÙÒ 150 m 0, 13º ÈÖÓ 100 m Ø Ò À ÒÙÒØ Ö ÚÓÒ ØÛ 13 m ËØ ÙÒ ØÖ Ø Ð Ó ØÛ 13%º µ Ù Ñ Ë ØÞ ÈÝØ ÓÖ Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ï Ò ÖÛ s Ö Ò Ò Ó ÖÒ Ö Û Ö Ð Ö Ú ÖÐÙ Øµ s = 20 2 + 150 2 = 22900 151,3. Ò Ï Ò Ö Ö ÑÙ Ð Ó 151,3 m Ð Ù Òº Ù ¼ Ï Ö Ó Ö Ð Ö ½¹e¹Å ÒÞ Ò Û Ö Ò ÛÓÖ Òº Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ñ ÏÙÖ Ö Ð Ð Ö Ð Ó Ö Ñ Ð Ð Ö Ó Ö Ö Ñ Ð Ð Ó Ò Ð Ò Ò Ñ ÏÙÖ Ø Ø ÞÛ Ó Ö Ö Å ÒÞ Ò Ð Ð Þ Ò ÒØ¹ Ø Ö ØØ Å ÒÞ Ó Ö Ð Ð Ö ÞÙ Ò Ò Ó Ö Ò Øº Ö Ó Ò Ð Ò Ð Ö Ö ØØ Ò Å ÒÞ ÒÙÖ ÞÛ Å Ð Ø Ò Ø Ø Ð Ó Ï Ö ÒÐ Ø 1 2 Ö Ö Ö ØØ Ò Å ÒÞ Ð Ð Ó Ò Ð Ø Û Ò Ò Ò Ö Òº Ð Ó Å Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø 1 2 Þ Ò ÐÐ Ö Å ÒÞ Ò Ð Ð º ËØ ÑÑØ Àº ºµ ¾

Ä ÙÒ M 1, M 2, M 3 Ò Ö Å ÒÞ Ò ÙÒ A Ð Öµ ÙÒ Z Ðµ Ò Ò Ñ ÏÙÖ Ó Ò Ð Ò Ò Ð Öº ÒÒ Ò ÓÐ Ò Ø ÏÙÖ Ö Ò Ñ ¹ Ð ÙÒ Ð Û Ö ÒÐ M 1 A A A Z A Z Z Z M 2 A A Z A Z A Z Z M 3 A Z A A Z Z A Z ÞÛ ÚÓÒ Ò Ø Å Ð Ø Ò Ð Ø Ö Ñ Ð Ð Ð Ó Ò ÒÑÐ AAA ÓÛ ZZZ º Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ø 2 8 ÙÒ Ø 1 2 º ÙÔØÙÒ Ø Ð Ó Ð º Ö ÙÑ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ï Ö¹ ÒÐ Ø Ò Ö ÚÓÖ Ö Ò Å ÒÞÛ Ö Ò Ø ÙÒ ÓÑÑØ Ö ÞÙ Ò Ñ Ð Ò Ö Ò º Ù ½ Ò ÝÑÑ ØÖ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ø ÑÑ ÐÐ Ö ÐÐ Ò Ä ÙÒ Ò (x, y, z) Ð ÙÒ Ý Ø Ñ x + y + 1 z = 3 y + z + 1 x = 3 z + x + 1 y = 3 Åº Å ØØÐ Öµ Ä ÙÒ Å Ò ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Û Ð Ò Ö ÚÓÖ¹ ÓÑÑ Ò Ò Æ ÒÒ Öº Å Ò Ö ÐØ Ó ½µ ¾µ xz + yz + 1 = 3z yx + zx + 1 = 3x µ zy + xy + 1 = 3yº ËÙ ØÖ ÖØ Ñ Ò (2) ÚÓÒ (1) Ó ÓÐ Ø y(z x) = 3(z x) Ð Ó z = x Ó Ö y = 3º Ò ÐÓ ÓÐ Ø Ù (3) (2) x = y Ó Ö z = 3 ÓÛ Ù (1) (3) y = z Ó Ö x = 3º ÏÖ Ò x, y ÙÒ z Ô ÖÛ Ú Ö Ò ÒÒ ÓÐ Ø Ù x y ÙÒ y z x = 3 ÙÒ z = 3 Ñ Ï Ö ÔÖÙ ÞÙÖ ÒÒ Ñ x zº Ð Ò Ð Ó ÞÛ ÐÐ ½º ÐÐ Ò Ù ÞÛ Ö Ð Ò x, y ÙÒ z Ò Ð º Ï Ò Ö ËÝÑÑ ØÖ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò x y ÙÒ z Ö Ñ Ò ÞÙÑ Ô Ð x = y ÙÒ y z ÒÒ Ñ Òº Ù y = z Ó Ö x = 3 ÓÐ Ø ÒÒ Û Ò y z x = 3 ÙÒ Ö Ù y = 3 Øº ÒÒ Ö Ö Ø Ù (3) z = 1 3 Øº Å Ø Ñ Ñ Ð Ò Ä ÙÒ ØÖ ¹ Ô Ð ( ( 3, 3, 3) 1 ÓÐ Ø Ù Ö ËÝÑÑ ØÖ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÒÒ Ù 3, 1 3, 3) ÙÒ ( 1 3, 3, 3) Ä ÙÒ Ò Ø Ò Ò º ¾

¾º ÐÐ x = y = zº Ë ØÞØ Ñ Ò Ò Ð ÙÒ (1) x = y = z Ò Ó Ö ÐØ Ñ Ò ÞÙÑ Ô Ð ÕÙ Ö Ø Ð ÙÒ 2x 2 3x + 1 = 0 Ñ Ø Ò Ä ÙÒ Ò x = 1 ÙÒ x = 1 2 º ÓÐ Ð Ò (1, 1, 1) ÙÒ ( 1 2, 1 2, 1 2) ÞÛ Û Ø Ö Ä ÙÒ Ò Ø Òº ÈÖÓ ØØ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ò Ò Ä ÙÒ Ò Ø Ò Û Ö Ð Ä ¹ ÙÒ Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò º Ò Ó Ö ÒÞ Ò Ä ÙÒ Ò Ù ¾ Ë Ö Ò Ò Ö Ð Ò ÓÐ (S n ) Ò ÓÐ Ñ Ø S n = 1 n+1 + 1 n+2 +... + 1 3n+1, n = 1, 2, 3,... (S n ) Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò Ð Ò ÓÐ Ø Ø ÐØ S n > S n 1 Ö ÐÐ nµ Ö 1 < S n < 2 Ñ Ø n = 1, 2, 3,... ÐØº Àº ºµ Ä ÙÒ ½º Ï Ò S 1 = 1 2 + 1 3 + 1 4 = 13 12 Ø S 1 > 1º ¾º Ï Ö Þ Ò (S n ) Ò ÑÓÒÓØÓÒ Û Ò ÓÐ Ø Ð Ó S n > S n 1 ÐØ Ö n 1º S n S n 1 = 1 n+1 + 1 n+2 +... + 1 3n + 1 3n+1 1 n 1 n+1 1 n+2... 1 3n 2 = 1 3n 1 + 1 3n + 1 3n+1 1 n > 0, Û Ð 1 3n 1 + 1 3n + 1 3n+1 = 27n 2 1 3n(3n 1)(3n+1) > 27n2 3 3n(9n 2 1) = 1 n > 0. º ÐÐ ËÙÑÑ Ò Ò Ò S n Ð Ò Ö Ó Ö Ð 1 n+1 Ò ÙÒ Ö ÒÞ Ð 1 2n + 1 ØÖ Ø ÐØ S n < (2n + 1) n+1 < 2n+2 n+1 = 2º ÁÒØ Ö ÒØ ÖÛ Û Ö Ò Ð Ó ÑÑ Ö Ñ Ö Ð Ò ÖØ Ö ØÖÓØÞ Ñ Ð Ø ËÙÑÑ ÑÑ Ö Ð Ò Ö Ð ¾º Ù Ì ÙÒ ÐÓ Ó ÁÑ ÅÖÞ ¾¼½¼ Ò Ò Å Ò¹ Ò Ñ Ò Ñ Ì ÙÒ Ö ÙØ Ò Å Ø Ñ Ø Ö¹ Î Ö Ò ÙÒ ÙÒ Ö ÐÐ¹ Ø Ö Ø Ö Å ¹ Ø Ñ Ø Ø ØØº ÄÓ Ó ¹ Ö Ì ÙÒ ÒÒ Ø Ù Ù Ñ Ð Òº ÁÒ Ñ ÄÓ Ó ÒÒ Ø Ù Ò Ö ÙÒ Ò È Ö Ð Ö ÒÒ Ò Ö Ò ËÝÑÑ ØÖ Ò ÙØ Ö Æ¹ ÖÙÒ Ò Ö Ø Ø Øº µ ËØ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò f (x) Ö È Ö Ð ÙÒ g(x) Ö Ö Ò Ù ÙÒ Ø ÑÑ Ö Ù Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ö Ö Ô Òº Ï Ð ÖÞÙ Ù Ò Ò Ò Å Ø ½ Ä ½ Ñº ¾

µ Ñ Ù Û Ð Ñ ÄÓ Ó Ò ÙØ Ø Ø ØÖ Ø Ö À Ò¹ ÙÒØ Ö ÞÛ Ò ÙÒ ÌÙÖÑ Ô ØÞ ØÛ ½ Ñº Ì ÖÑ Ò Û Ð ØÛ Ñ Ó º Ï Ó ÛÖ È Ö Ð Û ÒÒ Û Ö Ð Ó Ö Ù ÙØ Û Ö µ Ù ØÞ Ö Ã ÒÒ Ø Ù Ù Ù Û Ð Ñ ÄÓ Ó Ò ÙØ Ø Ø Ä ÙÒ Å µ µ È Ö Ð Ø Ò Ë Ø ÐÔÙÒ Ø S(2,5/3,0)º Ñ Ø Ö Ø Ö Ò ØÞ y = a(x 2,5) 2 + 3º È Ö Ð ÙÖ Ò ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ò Ø Ö ËØÖ ÙÒ ØÓÖ Û Ò 0 = a(0 2,5) 2 + 3 = 6,25a + 3 ÞÙ a = 0,48 0,5º È Ö Ð Ð ÙÒ Ø Ð Ó f (x) = 0,5(x 2,5) 2 + 3º Ö Ò Ð ÙÒ Ð Ø Ð Ò Ð g(x) = 1 6 x + 1,9º Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø ÐØ 0,5(x 2,5) 2 + 3 = f (x) = g(x) = 1 6 x + 1,9 Ð Ó 1 2 x2 + 5 2 x 3,125 = 1 6 x + 1,9º ÉÙ Ö Ø Ö ÒÞÙÒ Ð ÖØ Ë Ò ØØ Ø ÐÐ Ò x 1 1,2 ÙÒ x 2 3,5º Ò ØÞ Ò Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ð ÖØ Ë Ò ØØÔÙÒ Ø S 1 (1,2/2,1) ÙÒ S 2 (3,5/2,5)º Ñ Ö ÙÒ Â Ò Ð Ò Ù Ø ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ¹ ÙÒ Ò ÒÒ Ò Ð ÒÛ ÖØ Ñ Ò Ñ Ð Û Òº µ Ö À ÒÙÒØ Ö ÚÓÒ ½ Ñ ÒØ ÔÖ Ø Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ñ ÍÒ¹ Ø Ö ÚÓÒ ½ Ñº Ö Ë Ø ÐÔÙÒ Ø Û ÖÙÑ Ø ½ ¼ Ñ Ó Ö Ð 41 m Ö ÌÙÖÑ Ô ØÞ Òº Ö È Ö Ð Ó Ò Û Ö Ð Ó 1,0 cm 1,5 cm 27,3m Ö ÌÙÖÑ Ô ØÞ Ò Ò Ù Ö Ò ÙÒ ØØ ÓÑ Ø Ò ÑØ ÚÓÒ 98,5 m + 27,3m = 125,8mº µ Ò ÙØ Ø Ù Ø Ö ÓÑ ÞÙ ÍÒ Ö Ö Ä Ò Ö Ù ÙÑ Ò ¹ ÔÖ Ð Ñ Ø Ò Ö Ù Ò Ò ÒÒØ Ò Å Ò Òº Ö Ò Ö Ø Ö È Ö Ð Ó Ò Ó Ö Ò Ø ÙØ Û Ö Ò ËØ ØÚ ÖÛ ÐØÙÒ Ñ ËØ ØÞ ÒØÖÙÑ ÒÒ Ö Ð Å ØØÐ Ö Ò Ê Ò Ò Ù Ñ Ø Ò Ö À ÚÓÒ Ö ½¼¼ Å Ø ÖÒ ÖÐ Ù Ø ÙÒ Ù Ù Ö Ð Ê Ò Ø ÆÓ¹ Ú Ñ Ö ¾¼¼ ÚÓÖÐÙ Ò Ö Ò Ù Ñ ËØ Ø Ø Ñ Ö ÙØ Û Ö Ò Ö Òº ÖÖ Ø ÞÙ À Ø ½¼½ Ù ¾ Ï ÒÒ Ö ÖÒ Ð Ò Ø 10 9 Å Ð Ø Ò Ò Ò Ö ÈÁÆ ÚÓÖ ÓÑÑ Ò Ò Ù ÞÙÛ Ð Ò ÙÒ Ú Ö Å Ð Ø Ò ÒÞÙÓÖ Ò Ò Ò ÒÒØ Ò Ö Ø Ö ÞÛ Ø Ö Ö ØØ Ö Ó Ö Ú ÖØ Ö ËØ ÐÐ Ø Ò Ñ Ø Ú Ö ËØ µº ÁÒ Ó ÖÒ Ö Ø Ð Æ ÒÒ Ö 10 9 4 Ð Ó ¼º ¾

Ù ËÔ Ö ÒÐ Ñ À Ø ½¼½ ÖÙ Ø Ä ÙÒ Ò Ø ÚÓÑ Ù Ò Ø ÐÐ Ö Ø ÑÑØ Ø Ð º ÓÖÖ Ø Ä ÙÒ Ð ÙØ Ø µ Æ Ö Î ÖÞ Ò ÙÒ Ö ¾¼¼ ØÖ Ø ÙØ Ò 0,01e 1,03 2009+81 = 0,01e 1,03 2090 6,758 10 24 e. Ò Ø ÉÙ Ö ÐÐ ÓÒ ÙÖÓ Ó Ö ÓØØ ¹ ÙÖÓµº µ ÙÑ ØÔÙÒ Ø Ö Å ÐÐ ÓÒÖ Û Ö ÐØ 0,01e 1,03 n+81 = 10 6 e Ö Ôº 10 8 = 106 e 0,01e = 1,03n+81 º Æ Ñ Ö Ò ÞÙÑ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ÓÐ Ø lg ( 10 8) = lg ( 1,03 n+81) = (n + 81) lg (1,03)º Ñ Ø Ø n = lg(108 ) lg(1,03) 81 623,2 81 = 542,2 ÙÒ Ò Ö Î ÖÞ Ò ÙÒ Ñ ½º Þ Ñ Ö ÛÖ Ö Å ÐÐ ÓÒÖº Å µ Ù Ï Ò Ö Ö À Ö ÐØ Ä ÙÒ ÞÙ Ù ÒØ Ð Ö Ö Ò Ö Ø Û Ö µ Ö ÑØ ØÖ s = AC Ò Ø Ø Ö Ù Ò Ö Ø t = s v Ö Ê Ö Ö Ó Ò ÊÙ Ô Ù T = s V = s a cot v Ñ Ø Ö Ø ÙÒ Ö ÊÙ Ô Ù R = 20 Min. Ð Ó t = T + Rº Ø Ð Ó s v = s V + R ÙÒ ÓÑ Ø s = Rva a 1 Ö ÑØ ØÖ ÙÒ t = s v = Ra a 1 Ö Ò Ø Ø Øº ÁÒ Ò Ö Ë Æ Ò Ñ Ð Ò Ò ØÖ ÙÑ Ö ÈÖ Ø Ð ØØ ÞÙÐ ØÞØ ÛÙÖ Ö ÈÖ Ö Ò Â Ö Ó Ñ Ù Ö Ï ÖÙÒ ÙÑ Ø ÐÐÙÒ Ù Ò Ò Ø Ö Ö Ò Ð ØØ Ò ÙÖÓ¹ ØÖ Ù ÖÙÒ Ø Ò Û Ö ÞÛÙÒ Ò Ò ÈÖ Ö Ò Â Ö Ó Ù 10e ÒÞÙ Òº Ð Ò Ö Ó Ò Ò ØÖ Ò Ö ÃÓ Ø Ò Ö ÖÙ ÙÒ Î Ö Ò º Ò ÐØÐ Ö Ø Ö ÓÐ Ø Ö Ò ÑØÐ È Ö ÓÒ Ð¹ Ó Ø Ò ÐÐ Ò Ö Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ö À Ø ÃÓÖÖ ØÙÖ Ò Ö Ò Ò Ø Ò Ä ÙÒ Ò ÙÒ È ÁÒØ ÖÒ Ø Ù ØÖ ØØ Òº Ø Ö ÁÒ Ø ØÙØ Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ Ð À Ö Ù Ö ÐÐ Ò ØÖ Ò Ù ÖÙÒ ÚÓÒ Å ØØ Ð Ò ÔÔ Ø Ñ Ò Û Ö Ä Ö Ö ÞÙ Ò Ø Ñ Ø Ø Ð Òº Ö Ö Ò Ù ØØ Ò Û Ö ÙÑ ËÔ Ò Ò Ö Ò ÓÖØ Ø Ò ÚÓÒ ÅÇÆÇÁ º ÒÒ Ò Ö ÓÐ Ò Ù ÃÓÒØÓ Ö Ö ÙÒ Ö Å Ø Ñ Ø º ØØ Ò Ò Ë ÖÞÙ Ò ÙÖÞ ¹Å Ð Ò Ö ÙÒ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº Û Ò Å Ö Ù Ö ÒÒ Ò Û Ö ÃÓÒØÓÚ Ö Ò ÙÒ Ö Ð Ö Ò Ø ÖÙ Òº Ë Ð ØÚ Ö ØÒ Ð Ö ÐØ Ò Ë Ò ËÔ Ò ÒÕÙ ØØÙÒ ÙÒ ÒÒ Ò Ò ØÖ Ø Ù ÖÐ ØÞ Òº Ï Ö ØØ Ò ÙÒ Ö Ä Ö ÙÑ Ö Î Ö ØÒ Ò º ¼

ÓÒ Ò Ø ÖÒ ÚÓÒ ÏÓÐ Ò Âº Ð Ö ÓÒ Ø ÙÑ ½¾¼¼ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ï ØÙÑ Ò Ö Ã Ò Ò ÒÔÓÔÙÐ ¹ Ø ÓÒ Ö Òº ÖØ ÞÙÖ ÓÐ ÚÓÒ ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ö Òµ F 0, F 1 F 2,... Ñ Ø F 0 = F 1 = 1 ÙÒ F n+1 = F n + F n 1 n = 1 2 3... ÓÐ Ø ÓÒ ¹ ÓÐ ÙÒ ÒÒØ Ñ Ø 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ÁÒÞÛ Ò ÒÒØ Ñ Ò Ú Ð Ô Ð Ò Ò Ò ÓÐ Ù ØÖ ØØº Á Ñ Ø Ö Ò Û Ø Ö Ö Ô Ð ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº ÈÓÐ Ø Ö ÙÒ ÂÓÙÖÒ Ð Ø Ò Þ Ò Ð ÒØÐ Ù Ø ÖÒ Ö ËÔÖ Ò ¹ ÔÖÓÞ ÓÒ ÙÑ Ö Ù ÒÞÙÛ Ò Ò Ë ÞÙ Þ ÖÐ Ò Ò Ò Û Ö º Ë Ö Ò ÈÖÓÞ ÓÒ ÒÒ Ó Ø Ñ Ø ÞÛ Ë Ö ØØ ÚÓÖ Ò Ö ÞÙÖ º Ï Ö Ò Ñ Ò Ð Ó Ò Ò Ì ÐÒ Ñ Ö Ò Ö ÈÖÓÞ ÓÒ Ñ Û ÐÒ Ò Ò ËÔÖÙÒ ÙÑ ÞÛ Ë Ö ØØ Ò ÚÓÖÒ ÙÒ Ò Ò ËÔÖÙÒ ÙÑ Ò Ò Ë Ö ØØ ÞÙÖ º ÒÒ P n Ò ÈÓ Ø ÓÒ Ò n ËÔÖ Ò Ò Ù Ò ÚÓÒ P 0 = 0µ ÙÒ T n ÒÞ Ð Ö ËÔÖ Ò Ö Ö Ù Ø ÙÑ ÞÙÑ Ö Ø Ò Å Ð ÈÓ Ø ÓÒ n ÞÙ ÖÖ Ò Ó Ö ÞÙ Ö ÔÖ Ò Òµº ÓÐ Ò ÒÒ Ò Û Ö Ð Ø Ò Ò ÈÓ Ø ÓÒ Ò P n 0 2 1 3 2 4 3 5 4... ËÔÖÙÒ Þ Ð Ò T n 0 1 1 3 5 7 9 11... Å Ò ÒÒ ÖÐ Ò Pn n 1 Tn 2 ÙÒ n 2º Æ Ò Ñ ÚÓÒ Ñ Ö Ö ÙÒ Ò Òµ Ö Ø ÓÐÐØ ÓÒ Ù Ã ¹ Ö Ò Ö ËÔÖ Ò ÔÖÓÞ ÓÒ Ø ÐÒ Ñ Òº Ö Ø Ö Û Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ã ÒÒØÒ Ö ÐÙÜ Ñ ÙÖ Ò ËÔÖ ÒÛ ÙÒ Ò Ò Ø Ö Ø Ú Ö Ø Ò¹ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ö Ñ ÚÓÖ Ñ ËÔÖÙÒ Ñ Ø Ï Ö ÒÐ Ø 1 2 ÒØ¹ Ò Ö ÞÛ Ë Ö ØØ ÚÓÖÛÖØ Ó Ö Ò Ò Ë Ö ØØ ÞÙÖ º Ñ Ø Û Ö P n = X 1 + X 2 +... X n ÛÓ X j j = 1, 2,... ÙÒ Ò Ù ÐÐ Ú Ö ¹ Ð Ò Ò Ñ Ø P(X j = 2) = P(X j = 1) = 2 1 Ð Ó Ñ Ø ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ EX j = 1 2 2 + 1 2 ( 1) = 1 2 EP n = n EPn 2 ÙÒ ÓÑ Ø n = 1 2. Ø Ö ¹ ØÞ Ö ÖÓ Ò Ð Ò ÙØ Ø Ó Ö Pn n 1 2 Ñ Ø Ï Ö ÒÐ Ø 1 ÐØº ËØÙ ÙÑ ÚÓÒ T n Ø Ò Ø ÒÞ Ó Ò º ÓÒ Û Ò Ø Ð ÞÙÒ Ø Ñ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ E n = ET n ÞÙº Ö Ö Ø ËÔÖÙÒ ÖØ Ñ Ø Ï Ö ÒÐ Ø 1 2 ÞÙÖ ÈÓ Ø ÓÒ +2 Û ÒÒ n > 2 Ø Ð Ó ÙÑ 2 Ò Ö Ò nº Ò Ò Ø Ø Ñ Ò Ð Ó Ñ Å ØØ Ð ÒÓ E n 2 Ä ÓÒ Ö Ó ÚÓÒ È Ò ÒÒØ ÓÒ º ½½ ¼ ½¾ ¼ Û Ö Å Ø Ñ Ø Ö Ñ ÀÓ Ã Ö Ö Ö ÁÁº Ò Ö Ð ÈÖÓÞ ÓÒ Â Ö Ñ Ò Ø Ò È Ò Ø Ò Ò Ø ÖÒ Ò ÄÙÜ Ñ ÙÖ Ø ØØ Ò Øº Ì ÐÒ Ñ Ö ÔÖ Ò Ò Ò Ê Ò ÙÖ ËØÖ Ò Ö ËØ Ø Ø ÖÒ ÞÙÑ Ö À Ð Ò Ï ÐÐ ÖÓÖ Ò Ö Ø ÖÒ Ö Ð º ½

ËÔÖ Ò º Å Ø Ö Ú Ö Ð Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø 1 2 Ö Ù Ø Ñ Ò ÚÓÒ 1 Ù µ Ñ Å ØØ Ð ÒÓ E n+1 ËÔÖ Ò º ÁÒ ÑØ ÐØ Ð Ó E n = 1 2 (1 + E n 2) + 1 2 (1 + E n+1), Ö n 3. Ö n = 1 ÙÒ n = 2 Ò Ò Û Ö Ñ Ø Ö ÒØ ÔÖ Ò Ò Ö ÙÑ Ò¹ Ø Ø ÓÒ E 1 = 1 2 1 + 1 2 (1 + E 2) ÙÒ E 2 = 1 2 1 + 1 2 (1 + E 3) Ó ÙÒ Ò ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ð ÙÒ Ò Ö Ò Û Ö ÙÑ ÞÙ E 2 =2E 1 2 E 3 =2E 2 2 E n+1 =2E n E n 2 2 Ö n 3 À Ö Ù Ð Ø E n Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ E 1 Ö Ø ÐÐ Òº Ë Ö Ø Ñ Ò E 1 = x Ó Ö ÐØ Ñ Ò Ù Þ Ú E 1 = x, E 2 = 2x 2 E 3 = 2(2x 2) 2 = 4x 6, E 4 = 2(4x 6) x 2 = 7x 14, ÙÒ Ó Û Ø Ö ÐÐ Ñ Ò E n = a n x b n, ÛÓ Ö n 3 ÐØ a n+1 x b n+1 = 2(a n x b n ) (a n 2 x b n 2 ) 2 Ø a n+1 = 2a n a n 2 ÙÒ b n+1 = 2b n b n 2 +2. Å Ø Ò Ò Ò Û ÖØ Ò a 0 = 0, a 1 = 1 a 2 = 2 b 0 = 0, b 1 = 0 b 2 = 2 ÒÒ Ò Û Ö ÓÐ Ò Ð Ó Ö ÙÖ Ú Ö Ò Òº ÙÒ Ø ÞÙÖ ÓÐ a n, n 0 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88,...º ÓÒ Ö ÓÐ ÞÙÒ Ø Ò Ø Ò Ò ÓÒÒØ Ð Ø Ö ÓÐ Ö Ö ÒÞ Ò c n = a n+1 a n ÙÒ Ò 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Ð Ó Ö Ò ÓÐ º Ë Ò Ö Ò Û Ö ÓÑ Ø a n = F 0 + F 1 +... + F n 1 º ÆÙÒ ÙØ Ö ÓÐ b n Òº ÒÒØ Ó 0, 0, 2, 6, 14, 28, 52, 92,...º Ï Ö Ö ÒÒØ Ñ Ò ÞÙÒ Ø Ò Ø Ö Û Ò Ö ÒÞ d n = b n+1 b n Ù 0, 2, 4, 8, 14, 24, 40,... Ø Ð Ó d n = 2a n ÙÒ ÓÑ Ø b n = 2 (F 0 + (F 0 + F 1 ) + (F 0 + F 1 + F 2 ) +... + (F 0 +... + F n 2 )) = 2((n 1)F 0 + (n 2)F 1 +... + F n 2 ). Ø ÐØ Ö Ò ÓÐ Ò a n, b n n 0 Ø ÓÒ Ò Ø ÖÐ Ø ÖØº Ö Û Ø Ö Ï ÖØ ÚÓÒ x ÞÙ Ö Ï ÖØ Ö Ö Ø Ò E n Ò x = E 1 > 0 2x 2 = E 2 > 0 Ø x > 1 4x 6 = E 3 > 0, Ø x > 3 2 ; 7x 14 = E 4 > 0 Ø x > 2; 12x 28 = E 5 > 0, Ø x > 7 3 º ÓÒ ÙØ Ö Ø ÐÐÙÒ Ö ÓÐ Ò a n ÙÒ b n ÒÓ ÒÑ Ð Ò ÙÒ Ñ ÞÙ Ö ÖÞ Ù ÙÒ b n Ð ËÙÑÑ ÚÓÒ n Ì ÖÑ Ò a j µ Ò ÐÐ Ö Û Ø Ð a j º Ì Ø ÛÖ ÒÒ ÒÙÖ Ñ Ö x = Ú Ö Ò Öº Å Ò Ñ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ò Ò Ö Ê Ð Ö Ð Ò Ù ÖÒ Û Ö ÈÖÓÞ ÓÒ Ñ Ð Ò ÓÑÑØº Æ Ò Ö Ê Ö Ò Ò ÖÐ Ò ÀÓ Ò Ë Þ Ð Ò Ö Ò Ø ÓÒ a n 14 28 7 = 2 12 = 7 3 10...º ÓÐ ÒØ Ò Ñ Ò Ð Ò Ö ÒÞÛ ÖØ z ÞÙÞÙ ØÖ Ò Ö Û Ø Ö Ï ÖØ ÚÓÒ bn 92 40 = 23 ÒÒ Ò Û Ö ÓÒ Ò 52 24 = 13 6 ¾

Ö Ò ÛÓ Ò Ö Æ ÚÓÒ 3, 2 Ð Øº ÒÒ ÛÖ ÙÖ Ù Ñ Ð x Ò Ð ÛÖ Ñ Ø Ò Ø ÖÐ x z ÐØ Òº Æ ÃÓÒ ÙÐØ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ò Ö ÍÒ Ú Ö Ø Å ÓÒÞ Ð Ö Ò Ò Å Ø ¹ Ñ Ø Ö ÓÚ ÒÒ ¹ ÓÖ Ó Ë ÖÔ ÙÒ Ñ Ø Ò Ö Ò ÙØ Ò Ò Ð ÖØ Ò Ö Ñ Ð Ò Ø ÖÐ Ö Ò ÖÐ Ø Ò Ñ x ÙÒ Ñ Ø ÐÐ E n Ò Ð Ò ÙÒ ÖØ ËÔÖ Ò ÔÖÓÞ ÓÒ Ù Ë Þ Ð Ò Ò ÛÓ ÙØ ÒÓ Ò Ò Û Ö º Ò ÓÐ ÚÓÒ ÉÙ Ö Ø Ò Ï Ö ÓÖ Ø Ñ Ø ÍÒØ Ö Ù Ù Ð Ú Ð Ò ÉÙ Ö Ø Ò Q 1, Q 2, Q 3,..., Q 8,... Ñ Ñ Ò ÓÐ Ò Ñ Ð Ö ÒÒ Ö Ò ÅÙ Ø Ö Ù ÙØ ÓÑ ØÖ ÙÖº ÁÒ Ö Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò ÚÓÒ Q 1 ÙÒ Q 2 Û Ð ½ ÚÓÒ Q 3 ¾ ÙÒ Ó Û Ø Öº ÖÒ Ö R 1 = Q 1, R 2 = Q 1 Q 2, R 3 = R 2 Q 3,... ÓÐ Ö Ê Ø Ò Ö ÙÖº ÁÒØ Ö ÒØ ÒÒØ Ò Ò Ð ÙÒ ØÞ Ö Ë Ø ÒÐÒ Ò Ö ÉÙ Ö Ø Q 1, Q 2, Q 3,... ÓÛ Ö Ë Ø ÒÐÒ Ò ÙÒ Ö Ð Ò Ò ÐØ Ö Ê Ø R 1, R 2, R 3,... ÓÐ Ö Î Ö Ö ÖÙÒ ØÓÖ Ò q 1, q 2, q 3,... Ö Ë Ø ÒÐÒ Ò ÚÓÒ Q 1, Q 2, Q 3,... ÓÛ Ò Ø Ò Ö ÓÐ Ò ÖÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ñ Ð ÙÒ ØÞ Ö ÉÙ Ö Ø ÓÐ Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ù ÖÙÑÐ Ö ÖØµº Àº ºµ Å Ò Ú ÖÞ Ò Ò ÖÓÒ ÑÙ Ö ÖÛ ÒØ Å Ø Ñ Ø Ö Ø Ò ÃÓÐÐ Ù Ù¹ Ø Ö Ø À Ò ¹Â Ö Ò Ë Ù ÈÖÓ ÓÖ Ò Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ Å ÒÞ ÙÒ Å Ø Ð Ö ÅÇÆÇÁ ¹Ê Ø ÓÒº Ö Ø Ò Ò Û ÙÒ Ò x Ø Ø Ð Ò Ð Øº Ö Ò Ù Ï ÖØ Ø ÙÒ ÐÐ Ö Ò Ò Ø ÒÒØº

À ÒÛ ÙÖ ÓÖ ÙÒ Ö Ò ÒÒØ Á Ö ÞÙÑ ½º Ù Ù Ø ¾¼½¼ Ò ÅÇÆÇÁ ¹ Ê Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÒÒ Ù Ö Ø ÈÙÒ Ø ÞÙ Ö ØØ ÖÒº ÙÖ Ö Ò Û Ö Ò Û Ð ÞÛ À Ø ÔØ Ö Ú Ö ÒØÐ Øº ÁÒ À Ø ½¼¼ Ø ÐÐØ Ò Û Ö Ù ÓÐ Ò Ù ÈÓØ ÒÞ¹ÉÙ Ö ÙÑÑ Ò Ö Û ÒÐ Ò ÉÙ Ö ÙÑÑ Q(n) Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð n Û Ö Ò ¹ Ö ÖÒ ÖØ Î Ö Ö Ò Ö ÓÖØ ØÞØ Ò Ï Ö ÓÐÙÒ Q(Q(n)), Q(Q(Q(n))),... Ò Ø Ð Ð Ñ Ø Ò Ö ÒÞ Ö Ò Ðº Ï Ö Ð Ò ÒÙÒ ÞÙ Ò ÒÑ Ð Ò ÖØ Î Ö Ö Ò ÞÙ ÙÒØ Ö Ù Ò Û ÒÒ ÉÙ Ö Ø ÃÙ Ò Ó Ö Ö ÈÓØ ÒÞ Ò Ö ÖÒ Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð n ÖØ Û Ö Òº Á Ø n = z 1 z 2... z t Ñ Ø Ò ÖÒ z i, 0 z i 9 Ö 1 i t Ó Q 2 (n) := z1 2 + z2 2 +... + z2 t ÐÐ Ñ Ò Q m(n) := z1 m + zm 2 +... + zm t Ö m = 2, 3, 4,...º ÍÒØ Ö Ù ÒÙÒ Î Ö ÐØ Ò ÚÓÒ Q m (... (Q m (Q m (Q m (n))))...) Ö m = 2, 3, 4,...º ºÃºµ Ö Ò Á Ö ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ö Ò Ò ÙÒ ÞÙ Ø Å Ö ÐÐ Å Ö ¹ÚÓÒ¹Ä Ò Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ ÐÛ¹ËØ ÑÑ Ñµ È Ð ÔÔ Ð¹ ÓÙ Ò ÇØØÓ¹À Ò¹Ë ÙÐ À Ò Ùµ Ð ³ Ñ ÓÑ ÙÒ Ë Ñ ³ ¹ Ñ ÓÑ ÙØ Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò Ã ÖÓµ ÓÛ ÐÓÖ Ò Ë Û Ö ÝÑÒ ÙÑ Å Ö ØÓ Ö ÓÖ µº Å Ö ÐÐ ÖÑ ØØ ÐØ Ö 1 n 50 ÙÒ m = 2, 3, 4, 5 ÒÞ Ð Ö Ë Ö ØØ ÁØ Ö Ø ÓÒ Q m (... (Q m (Q m (n)))...) Ö ØÑ Ð Ò Ò Ø ÐÐ Ð ÖÖ Øº Ö Ñ ÍÒØ Ö ÞÙÑ ÐÐ m = 1 Ò Ñ Ö ÈÖÓÞ Ñ Ø Ñ ÖÖ Ò Ò Ö Ò Ø ÐÐ Ò Ð Ö Ø Ø Ö m 2 ÒÙÖ Ñ ÖÖ Ò Ö ½ Ö ÐÐ Û Ö ËØ ÖØÞ Ð Ñ ÐÐ Q 2 Ò Ò Ë Ö ØØ Ò 7 49 97 130 10 1 Ë Ñ ³ Ñ ÓÑ ÙÒØ Ö Ù Ø Q m Ö m = 2, 3 ÙÒ Ñ Ô Ð Ö Ð 3 257 Û Ö Ò Ö Ë Û Ø Ö Ð ³ Ô Ð Ö Ý Ð Ò Ù Þ Ø Ò Û Ð Ø Ö ÖØ Ò Ð Ò ÓÐ Ò ÒÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ Q m Ð Ù Ò ÒÒ Òº ËÝ Ø Ñ Ø Ö Ò È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ ÚÓÒ Q 2 ÙÒ Q 3 Ö Ò Æ Ò Ð Ò ÓÐ Ò Ñ Ò ÖÞÝ ÐÙ ½ Ò Ò ÒØ ÐØ Ò Ò Ö Ò Q 2 ¹ Ð ÒÖ Ò Ò Ö Ð Ò Ù Ñ Ø ÖÞÝ ÐÙ 4 16 37 58 89 145 42 20 4 Û È Ð ÔÔ Ö ÐÐ n 243 ÖÔÖ Ø Øº Ï Ò Q 2 (999) = 3 81 = 243 Ð Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ï ÖØ Ò Q 2 Ö Ö Ø ÐÐ Ð Ò n Ö ÙÔØ ÖÖ Ò ÒÒ Ð Ø Ö Ù ÐØ Ø Î Ö ÐØ Ò Ö ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ð Ó Ù Ö 324 = 4 81 = Q 2 (9999) ÙÒ ÓÑ Ø Ö ÐÐ Ú Ö Ø ÐÐ Ò Ð Òº ÒØ ÔÖ Ò Ö ÙÑ ÒØ ÖØ ÐÓÖ Ò Ë Û Ö Ð ÐÐ Ñ Ò Ï ÒÒ Ñ Ò Ö ÒÙÒ Ö ÈÓØ ÒÞÕÙ Ö ÙÑÑ ÒÙÖ Ó Ø ÒÙ Ø Ö ÖØ Ó ÑÙ ÓÐ Ô ¹ Ö Ó Û Ö Òº ÈÓØ ÒÞÕÙ Ö ÙÑÑ ÈÓØ ÒÞ mµ Ò Ö k¹þ Ö Ò Ð ÒÒ ÒÑÐ Ø Ò k 9 m Òº Ö Ì ÖÑ Û Ø ÒÙÖ Ð Ò Ö Ñ Ø k Û Ö Ò

10 k ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Û Ø Ö ÑÙ Ò k Ò Ó ÈÓØ ÒÞÕÙ Ö¹ ÙÑÑ Ò Ö Ð Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò k ÖÒ Û Ò Ö ÖÒ Ø Ð Ð Ð Øº ÁÖ Ò Û ÒÒ Û Ö Ð Ó Ø Ö ÖØ ÈÓØ ÒÞÕÙ Ö ÙÑÑ Ð Ò Ö Ð 10 k ÙÒ Ë Ö Ò ÒÒ ÒÒ Ò Ñ Ö Ö Ö Ø Òº Ð ÑÙ Ö Ò ¹ Û ÒÒ Ò Ï ÖØ Û Ö ÓÐ Ò ÙÒ ÒÒ Ø ÓÐ Ô Ö Ó Ø Ð Ó ØØÖ ØÓÖ Òº ÎÓÒ Ò ÖÐ ÙÒ Ò Ù Ò Ø ÐÓÖ Ò Ñ Ø Ò Ñ Î Ù Ð¹ ¹ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö m ÞÛ Ò ½ ÙÒ ÐÐ ØØÖ ØÓÖ Ò ÞÛº Ý Ð Ò ÖÑ ØØ ÐØº ÞÙ Ø ÑÑØ ÞÙÒ Ø k ÙÒ Ö Ò Ø ÒÒ Ö ÐÐ ËØ ÖØÛ ÖØ Ð Ò Ö 10 k ÐÐ ÓÐ Ò Ð Ö Û Ö ÓÐØ Ö ÈÓØ ÒÞÕÙ Ö ÙÑÑ Ò Ö ÒÙÒ Ò Ï Ö ÓÐÙÒ Ù ØÖ ØØº Ö Ï ÖØ Ñ Ø Ø ËØ ÖØÛ ÖØ Ò ØØÖ ØÓÖÞÝ ÐÙ Ö Û Ö Ô ÖØº Ò Ð Ø Ø ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ò Ï ÖØ ÒÓ Ò ØØÖ ØÓÖ Ù º Ö m = 2 ÙÒ m = 3 ØØ Ø ÈÖÓ Ö ÑÑ Ê ÙÐØ Ø ÚÓÒ È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò Ö ÞÙ ØÞÐ Ò ÞÛ Ò ÖÙ Ò Ò Ö Ò Ö n 100 ÔÖ ÒØ ÖØº À Ö ÒÙÖ ÒÓ Ê ÙÐØ Ø ÚÓÒ ÐÓÖ Ò Ë Û Ö Ö ØØÖ ØÓÖ Ò Ý Ð Ò ½ ¾ ½ ½ ¾ ¼ ½ m = 3 ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¾½ ¾ ¾½ ½ ½½ ½ ¾½ m = 4 ½ ½ ¾¼ ½ ½ ¾ ½ º Ï Ö Û Ö³ ÊØ Ð Ä ÙÒ ÚÓÒ Ë Ø ½½ ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ö Å ÒÒ Ö Ò ÓÔÔ ÐÐ Ò ÖØ Ð Ò ÙÒ ¹ ÙØ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÙÒ ÞÙ Ð Ð Î Ö Ö Ñ Ð Û ÐØ Ö ÑØ Ö Ö ÚÓÒ Ò Ò Ò Ö Ø¹ Ð Ò Û Ö Ù ÙØ ÒÓ Ú Ð Ð Ò Û Ö Û Ö ÖÐ ÄÙØÛ Ó ÓÒ ¾ º¼½º½ ¾ ½ º¼½º½ µ Ö Ò Ð Ø Ö Ö Ò Ï Ö ÙÒØ Ö Ñ È Ù ÓÒÝÑ Ä Û ÖÖÓÐÐ Ú Ö ÒØÐ Ø º Ë Ò Ö Ø Ù Ð ³ Ú ÒØÙÖ Ò ÏÓÒ ÖÐ Ò Ð Ñ ÏÙÒ ÖÐ Ò µ Ö Ò ½ ÙÒ Û Ö ÚÓÒ Ò¹ Ò Ò Ø Ö ÓÐ Ö Ó Ö ÉÙ Ò Î ØÓÖ Ó Ò ÁÑÔ Ö ÙÑ ÞÙ Ö Ö Ò ØØ ÖØ ÞÙ Ò Ò Ø ÖØ Ò Ä Ö ÒÒ Ò Ù Ä Ö µ Ã Ò Ö Û Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ö Ø Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ö ÔØ Ö Ò Öº

ÒÞ ÙÒ Ö Ø Ö ÖÖÓÐÐ³ Ò Ï Ö Ö Ò Ø Ò Ø ÒÙÖ Ù Ô ÒØ Ø Ò ÙÒ ÑÖ Ò Ø Ò ÁÒ ÐØ Ö Ö Ø Ò ÓÒ ÖÒ Ù Ù ÙÒ Û ÒÐ ÖØ ÙÒ Ï Û ÖÞ ÐØ Ò Ò Ø Ö Ù Û Ñ Ð ÌÖ Ø ÓÒ Û Ö ÖÖÓÐÐ Ì ÜØ Û ÑÑ ÐÒ ÚÓÒ Û ÙÒ Ò ÙÒ Ò Ò Ø ÊØ¹ Ð ÄÓ Ð Ò ÙÒ Ñ Ò Ñ Ð Ó Ö Ñ Ø Ñ Ø Ù Òº Ç Ø Ù Ú ÖÛ ÖÖØ Ö Ò Ä Ö ÖØ Ò ÁÖÖ Ò Ñ Ö Ñ Ø ÙÒ Ð Ò Ì ÜØÔ Ò ÓÒ ÖÓÒØ ÖØ ÙÑ ÞÙ ÙÖ Ù Ò Ò Ó Ö Ö ÙÔØ Ò Ò Ë ÒÒ Ö Ò Ö ÔÙÖ ÆÓÒ Ò ÒÒº Ï ÒÒ ÓÐ Ò Û Ö Ò ËØ ÐÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ñ ËÔ Ð Ø Ò Ã Ò Ö ÙÒ Ù Ñ Ø Ñ Ø ÍÒ Ø Ò ÐÐ ÖØ Ñ Ø Ö Ñ ÍÖØ Ð ÏÓ Ð Û Ö Ò ÖÖÓÐÐ Ö ÆÓÒ Ò Ö ÒÒ Ð Ø Ò ÐÙÖØ Ð Ò ÖÖÓÐÐ Û Ö ÑÑ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ö ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ä ÖÒ Ú ÐÐ Ø Þ Ò ÛÓÐÐ Ò Á ÒÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÓÐ Ö ÐÐ ÒÒØ Ò Ù Ò Ö Ø Ò Ð ÙÒ ÒÒ Ò Ò Ò Ê ¹ Ò Ö Ò Ù Ñ ¾º Ã Ô Ø Ð ÚÓÒ Ð Ñ ÏÙÒ ÖÐ Ò Ò Û Ö ÙÒ Ò Ö Ò Ù Ò ÛÓÐÐ Òº Ð Ö Ò Ø ÓÖØ º º º ÓÙÖ Ø Ñ Ú ØÛ ÐÚ ÓÙÖ Ø Ñ Ü Ø ÖØ Ò ÓÙÖ Ø Ñ Ú Ò º º º Ç Ö Á ÐÐ Ò Ú Ö Ø ØÓ ØÛ ÒØÝ Ø Ø Ø Ö Ø Á Ø ÒÙÒ ÆÓÒ Ò Ó Ö Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÒØ Ö ÒÒ Ò Û Ö Ñ Ø Ö Ö Ø Ò Ð ÚÓÒ Ð Ê Ò Ö º Å Ò ÒÒ Ò Ï ÖØ Ò ÈÖÓ Ù Ø ÓÙÖ Ø Ñ Ú Ð Ó ØÛ ÒØÝ Ù Ú Ð ÖÐ ÖØ Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ò ÐØ Ò ÃÙÐØÙÖ Ò Ñ Ø Ñ Ò Ó << κ ÝÔØ ÝÐÓÒ Ö Ö Ñ Ï ÖÙÑ ÓÐÐØ Ñ Ò Ò Ï ÖØ ÚÓÒ 4 5 Ò Ø Ù Ð ½¾ Ò Ò Ö Ò ÒÒ ÛÖ ½¾ Î Ö Ð ÐÙÒ Ï ÖØ ÚÓÒ 4 5 Ö Ö ½ ÒÙÒ Ö Ò Ø Ñ Ö Û Ñ Þ Ñ Ð Ý Ø Ñ Ð Ó Ñ Ð Ò Ý Ø Ñ Ñ Ø ½¼ ÙØÙÒ 1 10 ØØ º ÖÒ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò ÚÓÒ Ð Ò Ò Ò ÖÒ Ò Ò Ö ÙØÙÒ Ð Ñ ½¼¹ËÝ Ø Ñ ØÞ Ò Ð ÖÒ Ò Û Ö Ö ÐÐ Ò Ö Ë ÙÐ ÒÒ Òº Ô Ð Ï ÒÒ Ð n Ñ ½¼ Ö¹ËÝ Ø Ñ ÖÒ Ö Ø ÐÐÙÒ ¾ Ø ÒÒ ÙØ Ø n = 4 10 1 + 2 10 0 º ÁÑ ¾ Ö¹ËÝ Ø Ñ Ø Ð Ð n ÖÒ Ö Ø ÐÐÙÒ ½¼½¼½¼ Û Ò n = 1 2 5 +0 2 4 +1 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 ÙÒ Ñ ½ Ö¹ËÝ Ø Ñ Ø ÖÒ Ö Ø ÐÐÙÒ Û Ò n = 3 13 1 +3 13 0 º º º º Ú Ö Ñ Ð Ò Ø ÞÛ Ð º º º Ó Û Ù ÖØ ÓÑÑ Ò ÞÙÖ Û ÒÞ Å Ò Ò ÖØ b 0 = 1 Ö b 0º

Ä Ø Ö Ò b Ò Ò Ó 4 5 = 12 Ò Ñ b Ö¹ËÝ Ø Ñ ÐØ ÁÒ Ò Ñ b Ö¹ËÝ Ø Ñ ÙØ Ø 4 5 = 12 4 5 = 1 b 1 + 2 b 0 Øº Û Ö Û Ò 4 5 Ò Ï ÖØ ÞÛ ÒÞ Ø ÑÙ Ð Ó b = 18 Ò 4 5 = 12 Ø ÒÙÖ Ñ ½ Ö¹ËÝ Ø Ñ Ò Ö Ø Ð ÙÒ ÖÔÖ Ò Û Ö ÖÐ ÙÒ Ò Ð ÞÛ Ø Ö Ê ÒÙÒ ÁÒ Ò Ñ b Ö¹ËÝ Ø Ñ ÙØ Ø 4 6 = 13 4 6 = 1 b 1 + 3 b 0 Øº Ï Ð ÈÖÓ Ù Ø 4 6 Ò Ï ÖØ Ú ÖÙÒ ÞÛ ÒÞ Ø Ø b = 21 ÙÒ Ñ Ø ÐØ Ð ÙÒ 4 6 = 13 Ñ ¾½ Ö¹ËÝ Ø Ñ ÆÙÒ Ø ÐÐØ Ð ÙÔØÙÒ Ù Ï ÒÒ Ù Ò Ñ Ù Ò 2 1 2 Ö Ø Ò Ð Ò Ö ÒÒ Ö Ò ÅÙ Ø Ö Û Ø ÖÖ Ò Ø Û Ö Ø Ù Ò Ñ Ð ÞÙÖ ¾¼ Ð Ò Ò ÈÖÓ Ö Ò Û Ö Ñ Ðº 4n Ð ËÙÑÑ Ð Ö ÒÙÒ Ò ÚÓÒ 4n Ò b ÈÖÓ Ù Ø 4n c b 1 + d b 0 ÖÒ Ö Ø ÐÐÙÒ Ñ b¹ëý Ø Ñ ½ 4 5 4 5 = 1 18 + 2 4 5 = 12 Ñ ½ Ö¹ËÝ Ø Ñ ¾½ 4 6 4 6 = 1 21 + 3 4 6 = 13 Ñ ¾½ Ö¹ËÝ Ø Ñ ¾ 4 7 4 7 = 1 24 + 4 4 7 = 14 Ñ ¾ Ö¹ËÝ Ø Ñ ¾ 4 8 4 8 = 1 27 + 5 4 8 = 15 Ñ ¾ Ö¹ËÝ Ø Ñ ¼ 4 9 4 9 = 1 30 + 6 4 9 = 16 Ñ ¼ Ö¹ËÝ Ø Ñ 4 10 4 10 = 1 33 + 7 4 10 = 17 Ñ Ö¹ËÝ Ø Ñ 4 11 4 11 = 1 36 + 8 4 11 = 18 Ñ Ö¹ËÝ Ø Ñ 4 12 4 12 = 1 39 + 9 4 12 = 19 Ñ Ö¹ËÝ Ø Ñ ¾ 4 13 4 13 = 1 42 + 10 4 13 = 20 Ñ ¾ Ö¹ËÝ Ø Ñ Ì Ø Ð Ò Ø Ð Ê ÒÑÙ Ø Ö Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ù Ø 4 13 ÒÒ Ñ ÞÙ ¹ Ö Ò ¾ Ö¹ËÝ Ø Ñ ÙØ Ø Ò ÖÒ Ö Ò Ð ¾¼ 20 = 2 42 1 +0 42 0 Ð Ó Ú ÖÙÒ ØÞ Û Ö Ò Ö 4 13 Ò Ï ÖØ ÞÛ ÙÒ Ò Þ Øº Ø Ð Ó ÙÖ Ù Ò Ö Ð Ò Ö ÙÒ ÒÒ Ê Ò Ö Ò Ø Ø¹ Ð ÒÓ ÒÓÒ Ò Ò Û Ð Ä Û ÖÖÓÐÐ Ò Ò Ò Ó Ò Ö Ò Ò ÖÐ ÙÒ Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø À Ö Ù ÓÖ ÖÙÒ Ò Ö Ä Ö Ñ Ì ÜØ Ú Ö¹ Ø Ø Ø Ö Ä Ö ÓÐÐ Ö Ù Ò Ò ÈÖÓ Ù Ø 4 5 4 6 º º º 4 12 Ö Ø Ö ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÚÓÒ ØÛ ÐÚ Ø ÖØ Ò º º º Ò Ò Ø Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ò º ÍÒ Ó ØØ Ä Û ÖÖÓÐÐ Ò Ö Ò Ù Ù ÒÞÛ Ò ÖÒ Ò Ò Ù Ò ÑÙ ÐØº ÆÓ Ò ÖÖÓÐÐ³ Ù ÓÐ Ò Å Ø Ô Ð Ö Ø ÖÖÓÐÐ ÛÓ Ð Ø ÐØ Ð Ö Ö Ò Ò Ö Ö Ø Ö Å Ò Ò¹ Ö ÑÑ Ò ÃÓÐÐ Ò Âº Î ÒÒ ½ ½ ¾ µ Ù Ñ Ö Ö º Ñ Ø Ö Þ Ò ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ Ò

½º ÁÒ Ñ Ò Ñ À Ù Ø Ò Ì Ö Ù Ö Ã ØÞ Òº ¾º ÆÙÖ Ì Ö ÖÒ Ò ÅÓÒ Ò Ù Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ä Ð Ò Ø Ö Òº º Ï ÒÒ Ò Ñ Ì Ö Ò Ø Ù Ñ Ï ÒÒ Ñ º º Ø Ò Ö Ò Ì Ö Ò Ø Ò Ø Øº º Â Ã ØÞ Ò Ø ÅÙ º º Ã Ò Ì Ö Ù Ö Ò Ò Ò Ñ Ò Ñ À Ù Ð Ø Ö ÙÒ Ø Ñ Ø Ñ Öº º ÃÒ ÙÖÙ ÒÒ Ò Ò Ø Ñ Ò Ä Ð Ò Ø Ö Òº º ÆÙÖ Ö Ò Ì Ö Ò Ò ÅÙ º º Á Ñ Ì Ö Ñ Ø Ñ Ö Ö ÙÒ Ø Ð Òº ½¼º Ì Ö Ò Ø Ò Ù Ò ÖÒ Ò ÅÓÒ Òº Ï Ú Ö ÐØ ÒÙÒ Ä Û ÖÖÓÐÐ Ò Ö ÃÒ ÙÖÙ Ä ÙÒ Ö Ù ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ Ò ½º ½¼º Ò ÐÒ Ó Ò ØÐ ÚÓÒ Å Ò Ò ÚÓÒ Ì Ö Ò ÙÒ ÚÓÒ Û Ð Þ ÙÒ Ò ÒØ ÐØ Ò Ò ÞÛ Ò Ò Å Ò Ò Ø ¹ Òº Ï Ö Ø ÐÐ Ò Ö ÞÙÒ Ø Ò Ä Ø ÐÐ Ö Ò ½º ½¼º Ò ÒÒØ Ò Å Ò Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ö Ñ ÎÓÖ ÓÑÑ Ò Ò ½º ½¼º ÞÙ ÑÑ Òº Þ ÒÙÒ Ö ÙÒ Ö Å Ò ÎÓÖº ALL ÐÐ Ì Ö KAT ÐÐ Ã ØÞ Ò ½º ÙÒ º HAU ÐÐ Ì Ö Ò Ñ Ò Ñ À Ù ½º ÙÒ º LIE ÐÐ Ñ Ò Ä Ð Ò Ø Ö ¾º ÙÒ º MON ÐÐ Ì Ö Ò ÅÓÒ Ò Ù Ò ¾º ÙÒ ½¼º MAG ÐÐ Ì Ö Ñ º ² º WEG ÐÐ Ì Ö Ò Ò Ò Ø Ù Ñ Ï º FLE ÐÐ Ì Ö Ð Ö Ò º ÙÒ º JAG ÐÐ Ì Ö Ò Ø Ò º ÙÒ ½¼º MAU ÐÐ Ì Ö ÅÙ Ò Ò º ÙÒ º FRE ÐÐ Ì Ö Ñ Ø Ñ Ö Ö ÙÒ Ø Ð Ò º ÙÒ º KAN ÐÐ ÃÒ ÙÖÙ º Ï Ö Ú Ö Ò ÙÐ Ò Å Ò Ò Ö Ä Ø ÙÖ Î ÒÒ¹ Ö ÑÑ Ñ Ø Ñ Ð Ö ¹ Þ ÙÒ ØÖ Ò Ô Ö ÒØ ÞÙ Ñ Òº Æ Ò Ñ ÈÖÓ Ö Ò Ø ÐÐØ Ö Ù Ñ Ð ÖÛ Ò Ø Ø Ñ Ø Ö Ö ØÞÙÒ ÚÓÒ º ÙÒ Ò Ñ Ø ½º ÞÙ ÒÒ Òº º Ø ÐÐ Ì Ö Ñ Ø Ñ Ö Ö ÙÒ Ø Ð Ò FRE µ Ò Ñ Ò Ñ À Ù Ò º Ö ÙÖ Ù Ù Ì Ö Ø Ò Ö ÙÒ Ø Ñ Ø Ñ Ö A B ÙØ Ø A Ø Ì ÐÑ Ò ÚÓÒ B Ð Ó Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ A Ø Ù Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ Bº

Ð Ò ÓÐ Ø FRE HAU Ö Å Ò Ò FRE ÙÒ HAUº Ù ½º Ö Ø Ö Å Ò Ò HAU ÙÒ KAT HAU KAT º Ð Ó ÐØ Ù FRE HAU KAT Ó Ö Ò ÙÐ º ½º º ² ½º FRE HAU ALL HAU Ù ÙÒ ÓÐ Ø º Ï ÒÒ Ñ Ò ÒÙÒ Ö Ò ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ Ò Ò ¹ Þ ÙÒ Ò ÙÖ ÓÖ Ø Ø Ð Ò Ø Ñ Ò ÞÙ Ö Ã ØØ ALL KAT FRE HAU MAG 9. FRE 6. HAU 1. KAT 5. MAU 8. FLE 4. JAG 10. MON 2. LIE ÙÒ Ù º Ö Ø ÒÓ Å Ò Ò LIE ÙÒ KAN Ò Ñ Ò Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Òº ÁÒ Ö ¹Ã ØØ ÓÑÑØ º Ò Ø ÚÓÖº Å Ò Û Ö ÙÒ Ï ÒÒ¹ ÒÒ ¹ Ù Ò Ò Ñ Ô Ð Ð Öº ÐØ Ï ÒÒ Ò ÊÓ ÖÓØ Ø ÒÒ Ù Ø Ø º Ï Ð Ö Ù Ù Ø Ò ÐÙÑ Ò Ø Ò ÖÓØ Ò ÊÓ Ò Ò Ò Û Ö {ÖÓØ ÊÓ Ò} { Ù Ø Ò ÐÙÑ Ò}º ÒØ ÔÖ Ò Ð ÙØ Ø Ö ØÞÙÒ ÚÓÒ º Ö Å Ò Ò WEG ÙÒ MAG WEG 3. MAG. Ñ Ø Ð Ø ¹Ã ØØ Ò Ð Ò Ú ÖÐÒ ÖÒº Ò Ö ØÞÙÒ Ö ÙÒ Ò Ò Þ ÙÒ Ò Ò Ò Ñ Î ÒÒ¹ Ö ÑÑ Ø Ò ÓÐ Ò ÙÖº Å Ø Ö Ð Ø ÒÙÒ Ö ÒØÛÓÖØ Ò Û Ä Û ÖÖÓÐÐ Ò Ö ÃÒ ÙÖÙ Ú Ö ÐØº ALL KAT ALL WEG MAG FRE HAU KAT MAU FLE JAG MON LIE KAN

Ã Ò ÃÒ ÙÖÙ ÖØ ÞÙ ÖÖÓÐÐ Ä Ð Ò Ø Ö Ò Û Ð KAN LIE = {} Øº Ù WEG MAG LIE ÓÐ Ø Ö ÖÖÓÐÐ Ñ Ò ÃÒ ÙÖÙ ÙÒ Ö Ø Ù Ò Ñ ÃÒ ÙÖÙ Ò Ø Ù Ñ Ï Ø Ö Ø ÃÒ ÙÖÙ Ù Ñ Ï º Å ØØ ÐÙÒ Ò Ì Ø Ð Ð ÛÙÖ Ö ÙÒ Ð ÖÛ ÚÓÒ Ì Ò Ã ÔÐ Ò Ö ÙÒ Ö Ø ÐÐØ Ò Ö È Ó Ò ÀÓ ÙÐ Ã ÖÐ ÖÙ Å Ø Ñ Ø Ö Ä Ö¹ ÑØ Ò ÖÙÒ ¹ ÙÒ À ÙÔØ ÙÐ Ò ØÙ ÖØ Ø ÙÒ ØÞØ Ò Ö Æ ÚÓÒ Ã ÖÐ ÖÙ Ð Ä Ö Ö Ò ØØ Øº ÁÒ ÙÒÖ ÐÑ Ò ØÒ Ò Û Ö Ò Ù ÒØ Ð Ó Ö ÒÞ Ù Ò Ö Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ ÒÒÞ Ò Ø Ò º Ò ÓÒ Ö Ò ÙÒ Ð Ð Ò ÓÒÙ Ù Ø ÐÐØ Ñ Ø Ö Ù Ð Ð ÓÒÙ ÔÙÒ Ø ÞÙ ÖÖ Ò Ø Ë Ø ¾º Ñ Ù ÖÙÑ Ò Ñ Ã ÖÓÐ Ò Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ Ö Ò ÒØ Ð Ò Ú Ð ÒÞµ ÐØ À Ø Ù Ø Ù Ø Ó Ö ÒÓ À Ø ÚÓÒ ½ ¼ Ñ Ø Ò Û Ö Ù Ò Ø ÖÐ Ò Ø ÚÓÖ ÒØ ÐØ Òº Ö ÒÒØ Á Ö ÞÙÑ ÈÖ ÚÓÒ ½e Ö ÞÛ À Ø Ò ÐÙ Ú ÈÓÖØÓ ÙÒ Î ÖÔ ÙÒ µ Ö ÙÒ Ö ÁÒØ ÖÒ Ø Ø ÛÛÛºÑ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº»ÑÓÒÓ Ø ÐÐ Òº ØØ Ò Ø Ö Ò Ò Ó¹ ØÖ Ò À ÚÓÒ ½¼e Ö Ë ÙÐ¹ Ö ¾¼½¼»½½ Ö ØÞ Ø Ù ÅÇÆÇÁ ¹ÃÓÒØÓ ÆÙÑÑ Ö ¼ ¼½ Ö Å ÒÞ Ö ÎÓÐ Ò Ä ½ ¼¼ ¼¼µ ÞÙ ÖÛ Ò ÊÙ Ö Ö Ä Ö ÙÒ Ä Ö ÒÒ Ò ËØ Ò Ò À Ø ½¼¼ Ð Ü Ò Ö ÙØ Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò ØÖº Ä Ö Ö ÒÒ Ò Ö Ù ÖÓ Ö Ù Ö µ ÃÐº Å Ö Ñ Ñ Å Ö ÒÒ Å Ð ½ ÒØ Ð Ê Ý ¾¼ ÃÐº Ö Ö ½ ÃÐº ½½ Æ ÅÓ Ñ Ð ØØ Ö ¾½º ÐÞ Ý Ð Ø ¹Ä Ò Ö¹ ÝÑÒ ÙÑ ØÖº Ä Ö Ö À ÖÖ ÃÖ Øµ ÃÐº Ã Ø ÓÐ Ñ Ø Ñ ÒÝ Ê Ñ Ò Ä ÙÖ Ö Ø Ò Ë Ñ Ø ÃÐº ÖÒ ÖÓ ÞÙ Ø ¾ ÃÐº Å Ö Ó Ø Ò ¾¼ Ä Ò Ö Ò Ö ¹ Ä ÙÖ Ì Ð¹ ÓÛ Ä Ö Ð ØÞ Ö Ë Ø Ò ÄÙ Û Ð Ü Ò Ö ÊÙÔ ÖØÙ ¾ ÂÙÐ Ë ÖÒ Ö ¼

ÃÐº ÖÓ ÞÙ Ø ½¾ Ò Ö È Ø ÃÐº ½¼ Ã Ú Ò Ë Ñ ØØ ¾ º ÐÞ Ý ÝÑÒ ÙÑ Ñ Ê Ñ Ö Ø ÐÐ ÒÒ Ã Ø Ö Ò Ä Ò ½ º Ò ÙÖ Ö Ö ¹ Ù Ö¹ ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº À Ù Å Û ½ º Ö Þ ÖÒ ÝÑÒ ÙÑ Ñ Ð Ö ¹ ÖÓ Ö¹Ë ÙÐÞ ÒØÖÙÑ ÃÐº ½¼ Ã Ø Ö Ò Ð ÖØ Ð Ò Å ÐÐ Ö º Æ Ù Ò Ö¹ ÖÛ Ð Ö È Ø Ö¹ÂÓ ÖÖ ¹ ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº Ö Ò Ë Ò Ð Ö º ÙÖ Ð Ò Ò Ð ÂÓ ÒÒ¹Å Ð¹ Ö¹ ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº Ö ØÓÔ Ö È ØÞ ÒÓÚ Ý ½º ÐÛ¹ËØ ÑÑ Ñ Å Ö ÚÓÒ Ä Ò Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº Å Ö ÐÐ ¾¾º Ó ÙÖ ÝÑÒ ÙÑ Ñ Ö ÒÙÑ ÃÐº Å Ö Ù ÎÓ Ð Ð ½¼º Ø Ö Ð Ä Ø Ö ÙÐ ØÖº Ä Ö Ö À ÖÖ Â Ó µ ÃÐº ÄÙ ÎÓ Ð ½½º Ö Ò Ö ÖÐ¹ Ø Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº Ï Ò Ï ØØ ½½º ÖÐ Ò Ò ÝÑÒ ÙÑ Ö Ö ÒÙÑ ÃÐº Æ ÅÓØÓÚ ¾¼º Ã ÖÓÐ Ò Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ Ö Ò ÒØ Ð ØÖº Ä Ö Ö Ò Ö Ù Ë Ò Öµ ÃÐº Ö ØÓÔ À ÑÑ Ö ½½ ÃÐº Ä Ö Ã Ð Ò Å Ö Ð Ï ØØÑ ÒÒ ½½ ÃÐº ÖØ ÙÖ Ë Ð ½ ÃÐº Â Ò ÐÐÛ Ö ½ ÃÐº À ÒÒ Ò ÐÐÛ Ö ¾º Ö Ö ÓÖ Ê Ò¹Å Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÅÓÒØ ÓÖ Ë ÓÓÐ ØÖº Ä Ö ¹ Ö Ò Ö Ù ÐÞ µ ÃÐº ÒØÓÒ ÒÒ Û ¾ ÂÙÐ À Ö ½½ Æ Ð À ½¼ Â Ð Ð Ø Ò Â Ô ÖÓÚ ½ ÂÙÐ Ù È ÒÖ ½¼ Ò Ø Ê ½¾ Ñ Ò ËÓ ÃÐº ÄÙ Ð ØÓÖ ½ º ÙÐ ÀÓ Ø Ò¹ Å Ø Ñ Ø ØÖº Ä Ö Ö À ÖÖ Æ Ø Öµ ÃÐº Ë Ö Ò ÀÙ ¾¼ ÃÐº ËÓÔ Ö Ñ Å Ð Ò Ã ØØ º Ö Ò Ö Ö ¹À ÙÔØÑ ÒÒ¹ ÖÙÒ ÙÐ ÃÐº ËÓÒ Ï ØØ ¾¼º À Ñ Ö Ö Ø¹ÂÓ ÒÒ¹ÄÙ Û ¹ ÑØ ÙÐ ØÖº Ä Ö Ö Ò Ö Ù Æ ¹ ÖÐ µ ÃÐº ÇÖ Ò Ò ÙÐ ÐÞµ Æ Ð ÈÖ Ô Ò ½¾ ÃÐº Ò Ð Ð Ö Ã Ñ Ñ Ò Ö ½ Ä ËØ Ð ½½ Ñ ÐÝ ÓÐÐÑ ÒÒ ½

ÃÐº Å Ö ÃÓ ½½ Ä Ö ÈÖ Ô Ò ¼º À Ò Ù ÇØØÓ¹À Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº Å Ð Ð ÓÙ Ò ½ ÃÐº ½½ È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò ¾ º À Ö Ñ Ð Ö ¹ ÐÔ¹Ë ÙÐ ØÖ Ù Ò Ö Ä Ö Ö À ÖÖ ÖÙÒ Öµ ÃÐº ½¼ Ã Ñ Î ØØ Ö ½¼º Ã ÖÓ ÙØ Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò ØÖº Ä Ö Ö À ÖÖ ËØÖ Ù µ ÃÐº Å Ö Ñ ÝÑ Ò Å Ö Ñ Ö ½ Å Ö Ñ Ð¹Ë ØÝ Â ÒÒ Ö Ê ÃÐº Ë Ñ ³ Ñ ÓÑ ¾ ÃÐº ½¾ Ð ³ Ñ ÓÑ ½º Ã Ð Ñ Ò ÓÖ ÙÐ ÃÐº Ä ÓÒ Ö Ê Ð ¾ ÃÐº ÊÓ ÖØ ÀÓÐÐ Æ Ø Ð Æ Ù ÖØ ½ ÖÒ ËØ Ò Û ½ ÃÐº ÐÓÖ Ò È Ô ÓÔÙÐÓ ½ Å ËØ Ò Û ¼º Ä ÖØ ÝÑÒ ÙÑ Ä ÖØ ÃÐº ÊÓ Ò Ö Ø ¼º Å ÒÞ Ö Ù ÒÐÓ ¹ ÝÑÒ ÙÑ ØÖº Ä Ö Ö À ÖÖ Å ØØ µ ÃÐº ËÓÔ Ã ÐÐ Ö ÒÖ Ó À ÔÔÐ Ö ÒÒ ÃÙÒÞ Ä ÙÖ Æ ÓÐ Ý Ð Ò È Ø Ö Ð Ò Ê ØÞ ¾ Å Ð Ò Ï Ö ÃÐº È ØÖ ÖÐ Ò ÓÑÑ Ö ÌÓ Ð ÞÒ Ö Å Ö Ð Þ Ä À ÔÔ Ð Ò À Ó Î ØÓÖ Â Ò ¾ ÂÓÒ Ø Ò Ð ÃÓÞ ÓÐ ¾ È Ð ÔÔ ÃÖ ÑÑ Ð Ð Ö Ä Ø Å Ö Ù Å ÖØ Ò Þ ËÙÒ Å ÞÐ Ñ Ä Ö ÅÖ Ì Ñ Ö Ë ÑÓÐÐ ÄÙ Ë ÖØ ¾ Å Ü Ì ÓÑ ÒÒ ÃÐº Æ Ð Ö ÙÒ ÂÙÐ Ö ÙÒ Ð ½ ÄÙ Ö Ò ÃÐº Æ Ð Ë Ð Ñ Ö ÃÐº ½¼ Ã Ö ØØÒ Ö ¾ Ð Ü Ö ÙÒ Æ Ð À Â ÒÒ Ä Ò ¾ Å ÖÓ ÊÙ ÓÐ ½¼ Å Ð Ï Ò Ö ¾ ÁÒ ØÓÒ º Å ÒÞ Ì Ö ÒÙÑ ÃÐº ÁÒ Î Ð ÒØ Ò Ö¹ Ö ÒØ ½½º Å ÒÒ Ñ È Ø Ö¹È Ø Ö Ò¹ ÝÑÒ ÙÑ ØÖº Ä Ö Ö À ÖÖ Ï ØØ Ò Øµ ÃÐº Ä Ó ÄÙØÞ ¾ ÃÐº ÊÙ Ò À Ñ ÒÒ ½ Ø Ð ÃÙÖØ Ö Ò ¾½ Ò Ø ÈÖÞÝ ÐÐ ½ Ä ÓÒ Ö Ï Ò Ö ¾ ÃÐº ½¼ Ì Ñ ÄÙØÞ ½ º Å Ò Ò Å Ü¹ÈÐ Ò ¹ ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº Ö Ø Ë Ò ÓÖ ½ º Æ Ù ÝÑÒ ÙÑ Å Ö Ò Ö ØÖº Ä Ö Ö Ò Ö Ù Ä Ò ÑÔµ ÃÐº ËÓÔ À ÓÖÒ ÁÖ Ä Ö ÇÐ Ú Å Ð ¾ ÈÖ Æ ÔÔ¹Ë Ö ÓÙÖ Æ Ö ÚÓÒ ËØÓ ÃÐº ½½ Î Ú Ò ÃÓ Ð ½ º Æ ÖÒ Ö Ï ÐÐ ØØØ Ö ÝÑÒ ÙÑ ÃÐº ËØ ÐÐ ÖÝØ Ò Ù ¾¾º ¾