Mathematisches zur Sonnenreflexionsuhr Hellmuth Stachel stachel@dmg.tuwien.ac.at http://www.geometrie.tuwien.ac.at/stachel Zur Präsentation des Buches F. Mayrhofer, G. Liechtenstein (Hrsg.): Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz, Be&Be-Verlag, am 24. Februar 2017
Inhalt 1. Allgemeines über Sonnenuhren 2. Spiegelung und Schatten 3. Pläne für die Handwerker 4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren Galileo Galilei: Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 1/21
Allgemeines über Sonnenuhren Třeboň, Tschechien Traditionelle Sonnenuhr mit Stundenund Datumslinien Endbahnhof der U2 in München Nur bei Kenntnis des Datums kann die Uhrzeit abgelesen werden. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 2/21
Allgemeines über Sonnenuhren 65.4 18.6 Während der Bewegung der Erde um die Sonne variiert der Erhebungswinkel der Sonne gegenüber der Äquatorebene um ±=23.44 (Schiefe der Ekliptik). N Erdkugel H 48 21.06. 23.4 23.4 Äquator 21.12. Das bedeutet für Heiligenkreuz (geogr. Breite48.055 ) maximale Erhebungswinkel der Sonne zwischen18.6 und65.4. Zu gleicher Tageszeit ( Sonnenzeit ) liegt die Sonne in derselben Meridianebene der Erde. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 3/21
Allgemeines über Sonnenuhren N Erdkugel 42 H 48 21.06. 23.4 23.4 Äquator 21.12. Der Schatten eines Stabes fällt genau dann zur selben Tageszeit auf dieselbe Gerade, wenn die Schattenebene parallel zur zugehörigen Meridianebene ist. = der Schattenstab muss parallel zur Erdachse sein. Eine Parallele zur Erdachse ragt in Heiligenkreuz unter42 aus einer nach Süden weisenden Hauswand. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 4/21
2. Spiegelung und Schatten S µ S Die zu gleicher Tageszeit (Sonnenzeit) gespiegelten Sonnenstrahlen liegen in derselben Ebene durch die gespiegelte Erdachsea. Flanke des Gnomons 5.0 Q Q Ψ a a n a Jede Reflexion wirkt wie ein Schatten zu der an der Ost- bzw. Westwand gespiegelten Sonne. Die bestmögliche Näherung für die gespiegelte Erdachseainnerhalb der Flanke des Gnomons ist der Normalrissa n der Erdachseain dieser Wand. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 5/21
2. Spiegelung und Schatten 17 16 15 14 13 11 9 8 7 17 16 15 14 13 11 9 8 7 17 7 17 7 16 8 16 8 15 14 13 11 9 15 14 13 11 9 21.2., 21.. 21.5., 21.7. Die Höhe der reflektierenden Streifen wurde derart gewählt, dass selbst zur Winterund Sommersonnenwende die Reflexionen auf die Rundwand fallen. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 6/21
07 08 09 11 Ein zur Erdachse annähernd paralleler Streifen auf Ost- und Westwand bewirkt helle Streifen auf der Rundwand wie bei Sonnenuhr. Das Bild zeigt den Verlauf der Reflexionen über die Monate. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 7/21
2. Spiegelung und Schatten 5 14 13 11 9 8 7 Fotomontage: Gnomon mit reflektierendem Streifen und den zugehörigen Reflexionen für den 9. September. 7 8 (Foto aus 2011) 13 11 9 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 8/21
3. Pläne für die Handwerker 486 18 45.8 41.7 42.0 440.2 700 Aufriss des Gnomons mit dem spiegelnden Streifen (Maße in cm) 9 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 9/21
3. Pläne für die Handwerker 92 182 259 326 385 399 340 275 200 112 17 16 15 14 13 11 9 8 7 26.6 22.5 17.2 11.5 5.9 5.1.7 16.3 21.8 26.1 [-22.8] 275 17 40.4 40.6 7 251 [-23.5] [-27.7] 143 16 42.8 42.8 8 114 [-28.8] 22.4 12.9 6.1 5.2 11.8 20.7 15 14 13 11 9 27 178 311 336 204 56 Plan für Stundenlinien (unter Berücksichtigung der geographischen Länge16.049 ) 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz /21
Die untere Hälften der Gnomonflanken sind herstellungs- und temperaturbedingt leicht gewölbt und stören die Zeitablesungen durch unregelmäßige Reflexionskaustiken 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 11/21
3. Pläne für die Handwerker 17 16 15 14 14 13 11 1311 9 8 7 17 16 16 15 15 14 13 11 9 09 8 08 7 07 17 7 17 7 16 8 16 8 15 14 13 11 9 15 14 13 11 9 21.1., 21.11. 21.4., 21.8. Eine Senkung der Abmattungsgrenze um 50 cm verbesserte die Situation etwas, aber behinderte die Absicht des Künstlers, der Besucher möge sich durch die Spiegelung am Gnomon inmitten der auf dem Mosaik dargestellten Menschenschar wiedererkennen. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 12/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren Stadtturm in Innsbruck Es gibt eine mittlere Zeit = Uhrzeit und eine wahre Zeit = Sonnenzeit, und diese unterscheiden sich im Laufe eines Jahres um bis zu 15 Minuten! 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 13/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren 23. 9. SONNE ε Schiefe der Ekliptik ε=23.44 Präzession und Nutation vernachlässigt (im Jahr 0: ε=23.695 ) ε 21. 3. Wir projizieren die Bahn der Erde orthogonal in eine Äquatorebene, um die Drehung der Erde um ihre Achse in wahrer Größe zu sehen. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 14/21
Ekliptik SONNE ε Von einem Sonnenhöchststand zum nächsten muss sich die Erde durch360 +ψ um ihre Achse drehen = Tage (gemäß Sonnenzeit) sind verschieden lang (bzgl. mittlerer Zeit)! ψ ψ (Bild nicht maßstabstreu) 360 später 12:00 Uhr 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 15/21
Ekliptik SONNE ε Von einem Sonnenhöchststand zum nächsten muss sich die Erde durch360 +ψ um ihre Achse drehen = Tage (gemäß Sonnenzeit) sind verschieden lang (bzgl. mittlerer Zeit)! ψ 12:00 Uhr ψ Selbst bei einer Kreisbahn ändert sich der in 24 Stunden überstrichene Zentriwinkel ψ ständig wegen der verzerrten Ansicht. 360 später 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 15/21
23.Sep Herbst Die Bahn der Erde um die Sonne ist eine Ellipse, die mit konstanter Flächengeschwindigkeit durchlaufen wird. Sommer (2 Tage Zeitintervall zwischen den 21.Dez Teilungsstrichen). 1.Jan 147 098 000 km 152 098 000 km 21.Jun Bahndaten: Winter Frühling a=149.598 6 km b=149.577 6 km e= 2.500 6 km ε=e/a=0.01671 21.Mar 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 16/21
23.Sep Das ist die Projection der elliptischen Erdbahn. Auch diese wird mit konstanter Flächengeschwindigkeit durchlaufen. 21.Jun 3 Tage Zeitintervall zwischen den Teilungsstrichen (mittlerer Zeit). Die Abweichungen der Zentriwinkel vom Durchschnittswert 360/365.2425 sind die Ursache für die Zeitgleichung. 21.Dez 1.Jan 21.Mar 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 17/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren z(t) [min] 15 5 5 t 15 1.Jan 1.Feb 1.Mar 1.Apr 1.Mai 1.Jun 1.Jul 1.Aug 1.Sep 1.Okt 1.Nov 1.Dez 31.Dez Zeitgleichung: wahre Zeit = Sonnenzeit = mittlere Zeit +z(t) 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 18/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren z(t) [min] 15 5 5 t 15 1.Jan 1.Feb 1.Mar 1.Apr 1.Mai 1.Jun 1.Jul 1.Aug 1.Sep 1.Okt 1.Nov 1.Dez 31.Dez Zeitgleichung: wahre Zeit = Sonnenzeit = mittlere Zeit +z(t) Zeitgleichung im Falle einer Kreisbahn(e=0) - - - - - - - Zeitgleichung ohne Schiefe der Ekliptik(ε = 0) 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 18/21
Stadtturm Alter Michel in München: Diese Sonnenuhr berücksichtigt die Zeitgleichung. Nicht der Schatten des Stabes, sondern nur jener des Stabendes zeigt die genaue (mittlere) Zeit. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 19/21
4. Zur Genauigkeit der Sonnenuhren 15 min Zeitgleichung: 0 min -15 min 1.Aug 16.Aug 1.Sep Ablesebeispiel, 15. August: Die Reflexion zeigt 8:05 ; es ist Sommerzeit, die Zeitgleichung ergibt z = 5 min = (Sonnenzeit mittl. Zeit) = Resultat: 9: Uhr 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 20/21
Es war mir eine besondere Ehre, bei der Realisierung dieses beeindruckenden Denkmals mitwirken zu dürfen. Danke für Ihre Aufmerksamkeit! 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 21/21
Literatur G. Glaeser: Geometry and its Applications in Arts, Nature and Technology. Springer Wien, New York, 2012. G. Glaeser G., W. Hofmann: About minute-precise sundials for mean time. IBDG (Informationsblätter der Geometrie) 23/2, 40 46 (2004). F. Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik. 3. Aufl., Springer-Verlag, Wien 1966. F. Mayrhofer, G. Liechtenstein (Hrsg.): Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz, als Denkmal für Gewissens und Religionsfreiheit. Be&Be-Verlag, Heiligenkreuz 2016. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 22/21
K. Schwarzinger: Katalog der ortsfesten Sonnenuhren in Österreich. CD, Österreichischer Astronomischer Verein, 2011. H. Stachel: Spiegelung und Brechnung im DG-Unterricht. Informationsblätter der Geometrie 2/1, 23 29 (1983). H. Stachel: The Design of the New Sun-Reflection-Dial in Heiligenkreuz/Austria. Proceedings mongeometrija 2014 (ISBN 978-86-88601-13-9), Vlasina/Serbia, pp. 285 296. S. Wetzel: Die Heiligenkreuz-Reflex-Sonnenuhr. <http://www.swetzel.ch/ sonnenuhren/heilkreu/heilkreu.html>, 2016. 24. Februar 2017: Buchpräsentation Die Sonnenreflexionsuhr im Stift Heiligenkreuz 23/21
FELIX MAYRHOFER HEILIGEN KREUZ