Éx Éy Éz 1 É É 1 É É. arctg y x. arctg Ä Å 2 2 Å. PC-II-05 & 06 Seite 1 von 12 WiSe 09/10. Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

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1 PC-II-5 & 6 Seite von WiSe 9/ Lapace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen Hufig verwendete Koordinatensysteme in der Quantenmechanik Basisgren,, x, y, r,, Ç Transformationen x y r x y arctg y x arctg y x Ç arctg x y RÇcktransformationen x y cos sin x y r sinç cos r sinç sin r cosç Der Lapace-Operator = in verschiedenen Koordinatensystemen: Kartesische Koord.: Zyinderkoordinaten: Kugekoordinaten: Ç Ç Ç É É É Éx Éy É É É É É r Ér r Ér r É É É É É É Ç É Ér r Ér r sin Ç É r ÉÇ r ctg ÉÇ

2 PC-II-5 & 6 Seite von WiSe 9/ A) D-Rotation - semikassische LÇsung As erstes betrachten wir die Rotation in wei Dimensionen. J y v m Auf das Teichen wirkt ein Zentrapotenia. Eine stabie Bahn sett voraus, dass Zentrifuga- und Zentrakraft geich gro sind. x Der Impus des Teichens u einem beiebigen Moment ist p mér Das der Impus ein Vektor ist, Éndert er sich sténdig in seiner Richtung, jedoch nicht in seinem Betrag. Der Drehimpus steht senkrecht auf Orts- und Geschwindigkeitsvektor (Rechte-Hand- Rege). Da dies eine Rotation in der Ebene ist, hat der Drehimpusvektor nur eine -Komponente. p E m Die Energie ist. J ( r Ñ p) Nach Substitution des Impuses durch den Drehimpus fogt: E m J r Wenden wir die de Brogie - Beiehung fçr den Impus eines Teichens in Weendarsteung an, d.h. p h, so fogt: m Ñ Ör Ñ É Der Umfang des Kreises so ein ganahiges Viefaches der WeenÉnge Ñ sein.

3 PC-II-5 & 6 Seite 3 von WiSe 9/ (Zykische Randbedingung Quantenah m ) FÇr die mgichen Impuseigenwerte des Teichens fogt dann: p m h É Ö r Die mgichen Eigenwerte des Drehimpuses sind: J p É r m É (Der Drehimpus hat nur eine -Komponente) Damit fogt, mit dem TrÉgheitsmoment I mr, fçr die Energieeigenwerte: E mit J m mr I m, Ö, Ö, Ö 3, Ç Wir konnten hier die Energieeigenwerte sogar ohne Kenntnis der Weenfunktionen ausrechnen. Beachte! Die Rotation besitt keine Nupunktsenergie! Die angewandte ykische Randbedingung Éhnet dem Teichen-im-Kasten-Probem. Der Kasten wird gebogen bis sich die Enden berçhren. Nur stehende Ween knnen stationére Lsungen darsteen. Ae anderen Frequenen schen sich durch Interferen aus.

4 PC-II-5 & 6 Seite 4 von WiSe 9/ Abb. Enge/Reid, Kap. 8

5 PC-II-5 & 6 Seite 5 von WiSe 9/ B) D-Rotation - Mathematische LÇsung Zu sen ist die Schrdingergeichung: H Ü EÜ Wir verwenden ein der Symmetrie des Probems angepasstes Koordinatensystem, némich Zyinderkoordinaten. É Ç ã r r r É É É É Ér r É É Wir haben keinen -Antei und r = konst.; Es kommt aso nur eine Funktion in Frage, die ausschieich as Variabe enthét. Damit reduiert sich die Aufgabensteung fogendermaen: ä à E m r à Ü Ü à EI ä à Ü Ü Wir testen ob Ü Ö á ei eine Lsung dieser Differentiageichung ist. à å è à á á à à Ö Ö à á i iá iá é e ë i e É ä á É e ä á Ü ç ê Ö Dies git fçr: á EI EI Ü á Ö Die ykische Randbedingung ergibt: Ü ( Ö ) Ü ( ) Das bedeutet: á à e e e e iá iá Ö iá iá Ö â e iá Ö Mit e iö ä fogt:

6 PC-II-5 & 6 Seite 6 von WiSe 9/ Ü ( Ö ) ( ä ) á Ü ( ) â á gerade â á ganahig Wir geben den Namen m fçr das git m, Ö, Ö, Ö 3, Ç EI und weiter git m. Wir mçssen noch prçfen, ob die Weenfunktionen normiert sind: Ö Ö Ö í äim im Ü Üd e e d d Ö Ö ì ì ì Schauen wir uns an, wie die ersten Weenfunktionen der Rotation aussehen: Aus: Enge/Reid, Kap. 8

7 PC-II-5 & 6 Seite 7 von WiSe 9/ C) Teichen im Zentrapotenia (3-D Rotation) Radius = konstant, Freiheitsgrade Quantenahen; Y,m = Kugeweenfunktionen Zur Lsung der Schrdingergeichung verwenden wir den Lapace-Operator in Kugekoordinaten. É É É É Ç Ç É ctg Ér r Ér r sin Ç É r ÉÇ r ÉÇ Der Radius sei konstant. Ü Y N É î É e, m. m, m im,,, 3,...; m ä, ä,...,,..., ä, E ( ) ; I ( ) ä fach Entartungder Energie ÇE ( ) ; I L ( ) É m OrthogonaitÉt der Kugeweenfunktionen ì ä Y ÉY dv, m, m ñ ó ò fr ï fr ô ö õ

8 PC-II-5 & 6 Seite 8 von WiSe 9/ Die Bewegung eines Eektrons im Couomb-Potentia V ( r) ä Ze 4Öâ r um einen Kern mit der Kernadung Z Ésst sich in eine Bewegung des Schwerpunktes des Systems aus Kern (k) und Eektron (e) und eine Bewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt (s) darsteen. Dies entspricht einer Transformation in das Schwerpunktkoordinatensystem. Ze ä ã eü ä ã kü ä Ü EÜ m m 4Öâ r e k Ze ä ã sü ä ã rü ä Ü EÜ m ä 4Öâ r Zu sen ist die Schrdinger-Geichung fçr das Couomb-Potentia. å e è HÜ é ä ã ëü ( r, Ç, ) E ÉÜ ( r, Ç, ) ç m 4Öâ r ê Die Weenfunktion fér die Bewegung des Eektrons um den Kern (bw. Schwerpunkt) sett sich aus einem Radiaantei R(r) und einem Kugefunktionsantei Y(, Ç) usammen. Ü ( r, Ç, ) R( r) ÉY( Ç, ) Rn, Y, m As Lsungen fçr den Radiaantei findet man ä Z R N L e mit na r und a 4Öâ n, n, n, ( ) m e e a ist der BohrÑsche Radius (5.9 pm Ç,5 Ö) L n, sind die Laguerre-Poynome. Die KugefÉchenfunktionen Y m, haben wir bereits abgeeitet.

9 PC-II-5 & 6 Seite 9 von WiSe 9/ Wendet man den Lapace-Operator in Kugekoordinaten an, so erhét man: å è ä ä é ë m Y à r r r à r R m r R à ç ê Y e sinç à à à à sinç àç àç sin Ç à 4Öâ r R Y, m n n, m n, m ä ä É m Y à r r r à r R m r R Y e ( ) à à 4Öâ r R Y E R Y, m n n m n, m n, m Die Geichung kann durch Y m geteit werden, d. h. der Winkeantei geht nicht in die Energie ein. à m r r r à r R å ( ) ä ä é à à ç m r e è ä ë rê R E É 4Öâ R n n n Aus: Enge/Reid Kap. Die Quantenahen der Weenfunktion Ü n,, m sind Hauptquantenah n mit n =,, 3... Drehimpusquantenah mit =,,,..., n- Magnetische Quantenah m mit m =, Ü, Ü,..., Ü Um den Zustand des Eektrons vosténdig u beschreiben, mçssen wir auch noch seinen Spin berçcksichtigen. Der Spin ist s = /, die Orientierung des Eektronenspins wird durch die Spinquantenah m s festgeegt. Diese kann nur die Werte +/ und -/ annehmen.

10 PC-II-5 & 6 Seite von WiSe 9/ As Eigenwerte fér die Energie ergeben sich: 4 Z äe En ähcrh mit hcrh Rydbergkonst n 3Ö â (.) Die einenen Quantenahen definieren á n Energie des Eektrons Schae á Bahndrehimpus Symmetrie der Orbitae á m Orientierung Bahndrehimpus á s Spindrehimpus (konstant, wird nicht aufgeistet) á m s O r i e n t i e r u n g d e s Spindrehimpuses Orbita n m s m s É s à Üà s à Üà p à Üà 4 Ü à Üà 3 s 3 à Üà 3 p 3 à Üà 3 Ü à Üà 3 d 3 à Üà 9 3 Ü à Üà 3 Ü à Üà Es gibt eine Vieah von Visuaisierungen der Wasserstoffatomorbitae im Internet: siehe.b. (sehr anschauich und informativ, ink. spektr. âbergénge) (hçbsche Bider)

11 PC-II-5 & 6 Seite von WiSe 9/ Einen spektroskopisch beobachtbaren Ñbergang (Absorption bw. Emission eines Photons) kann man beobachten, wenn geicheitig. Die Energie des absorbierten bw. emittierten Photons geich dem energetischen Abstand weier eraubter Energieniveaus des Eektrons im Wasserstoffatom ist, Energieerhatung: E ÇE hã Photon Photon Photon Eektron c å è h En ä En ähcrh é ä ë Ñ ç n n ê å è Ü ärh é ä ë Ñ ç n n ê und. die änderung des Drehimpuses des Eektrons im Wasserstoffatom geich ist, + bei der Absorption eines Photons und - bei der Emission. Drehimpuserhatung: L Ç L Ü Ç Ö Eektron Photon Eektron Das fçhrt u der Auswahrege: Ç Ö, Çn beiebig

12 PC-II-5 & 6 Seite von WiSe 9/ Weenfunktionen Teichen im Kasten n Teichen im Parabepotentia (Harmonischer Osiator) n É L Ç L x Ñ sin Ü Ö Ç Ç Ç N H ( y) áe x mit y Ö ; Ö mk H (y) = Hermitesche Poynome Teichen im Zentrapotentia (Kugeoberfche) y à m m m. N P É e,, (cos ) P,m = Legendre Poynome ã fr â x â L Potentia V å V kx V c á ç ä fr auerhab r Orthonormiert ja ja ja Energieeigenwerte E E ( n é) á E ( é ) á Ç Ü E ( é) ml I =,,,... Quantenahen n =,,, 3,... =,,, 3,... m =,,,... Nupunktsenergie E ml E Ü keine h bergnge E èe ( n é ) á è E Ü 8 èe ( é ) ml L Erwartungswert Ort x n.a. Impuseigenwerte nein nein - L ( é) á Drehimpuseigenwerte - - m ( é ) à fach entartet ê I imñ ë