Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Transkript

1 Fortgechrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrtuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernt W. Mayr) Intitut für Informatik Techniche Univerität München Winteremeter 2010/11 H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 1 / 533

2 Übericht 1 H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 28 / 533

3 Graphtraverierung Problem: Wie kann man die Knoten eine Graphen ytematich durchlaufen? Breitenuche (breadth-firt earch, bf) chichtenweie Traverierung in aufteigendem Abtand vom Urprungknoten Tiefenuche (depth-firt earch, df) Topologiche Sortierung (bei DAG) Zweifachzuammenhangkomponenten Starke Zuammenhangkomponenten H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 29 / 533

4 Breitenuche H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 30 / 533

11 Breitenuche Anwendung: Single Source Shortet Path (SSSP) Problem in ungewichteten Graphen d(v): Ditanz von Knoten v zu (d() = 0) H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 31 / 533

12 Breitenuche parent(v): Knoten, von dem v entdeckt wurde parent wird beim erten Beuch von v geetzt ( eindeutig) H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 32 / 533

13 Breitenuche Kantentypen: Baumkanten: zum Kind Rückwärtkanten: zu einem Vorfahren Kreuzkanten: ontige H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 33 / 533

14 Breitenuche void BFS(Node ) { d[] = 0; parent[] = ; Lit<Node> q = ; while (!q.empty()) { u =q.popfront(); foreach ((u, v) E) { if (parent[v] == null) { q.puhback(v); d[v] = d[u]+1; parent[v] = u; } } } } H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 34 / 533

15 Tiefenuche H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 35 / 533

37 Tiefenuche Übergeordnete Methode (fall nicht alle Knoten erreicht werden) alle Knoten nicht markiert; init(); foreach ( V ) if ( nicht markiert) { markiere ; root(); DFS(,); } H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 36 / 533

38 Tiefenuche void DFS(Node u, Node v) { foreach ((v, w) E) if (i marked(w)) traverenontreeedge(v,w); ele { traveretreeedge(v,w); mark(w); DFS(v,w); } backtrack(u,v); } H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 37 / 533

39 Tiefenuche Variablen: int[ ] dfnum; int[ ] finihnum; int dfcount, finihcount; Methoden: // Explorationreihenfolge // Fertigtellungreihenfolge // Zähler void init() { dfcount = 1; finihcount = 1; } void root(node ) { dfnum[] = dfcount; dfcount++; } void traveretreeedge(node v, Node w) { dfnum[w] = dfcount; dfcount++; } void traverenontreeedge(node v, Node w) { } void backtrack(node u, Node v) { finihnum[v] = finihcount; finihcount++; } H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 38 / 533

40 Tiefenuche (8,10) (9,9) (11,8) (6,1) (5,3) (10,7) (1,11) (2,6) (4,4) (7,2) (3,5) H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 39 / 533

41 DFS-Nummerierung Kantentypen: Baumkanten: zum Kind Vorwärtkanten: zu einem Nachfahren Rückwärtkanten: zu einem Vorfahren Kreuzkanten: ontige (8,10) (9,9) (11,8) (6,1) (5,3) (10,7) (1,11) (2,6) (4,4) (7,2) (3,5) H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 40 / 533

42 DFS-Nummerierung Beobachtung für Kante (v, w): Kantentyp dfnum[v] < dfnum[w] finihnum[v] > finihnum[w] Baum & Vorwärt ja ja Rückwärt nein nein (umgekehrt) Kreuz nein ja H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 41 / 533

43 DFS-Nummerierung Anwendung: Erkennung von azyklichen gerichteten Graphen (engl. directed acyclic graph / DAG) (8,10) (9,9) (11,8) (6,1) (5,3) (10,7) (1,11) (2,6) (4,4) (7,2) (3,5) keine gerichteten Kreie H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 42 / 533

44 DFS-Nummerierung Lemma Folgende Auagen ind äquivalent: 1 Graph G it ein DAG. 2 DFS in G enthält keine Rückwärtkante. 3 (v, w) E : finihnum[v] > finihnum[w] Bewei. (2) (3): wenn (2), dann gibt e nur Baum-, Vorwärt- und Kreuzkanten Für alle gilt (3) (3) (2): für Rückwärtkanten gilt ogar die umgekehrte Relation finihnum[v]<finihnum[w] wenn (3), dann kann e alo keine Rückwärtkanten geben (2) H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 43 /

45 DFS-Nummerierung Lemma Folgende Auagen ind äquivalent: 1 Graph G it ein DAG. 2 DFS in G enthält keine Rückwärtkante. 3 (v, w) E : finihnum[v] > finihnum[w] Bewei. (2) (1): wenn Rückwärtkante (v, w) exitiert, gibt e einen gerichteten Krei ab Knoten w (und G it kein DAG) (1) (2): wenn e einen gerichteten Krei gibt, it mindeten eine von der DFS beuchte Kante diee Kreie eine Rückwärtkante (Kante zu einem chon beuchten Knoten, dieer mu Vorfahr ein) H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 44 / 533

46 Zuammenhang in Graphen Definition Ein ungerichteter Graph heißt zuammenhängend, wenn e von jedem Knoten einen Pfad zu jedem anderen Knoten gibt. Ein maximaler zuammenhängender induzierter Teilgraph wird al Zuammenhangkomponente bezeichnet. Die Zuammenhangkomponenten eine ungerichteten Graphen können mit DFS oder BFS in O(n + m) betimmt werden. H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 45 / 533

47 Knoten-Zweifachzuammenhang Definition Ein ungerichteter Graph G = (V, E) heißt 2-fach zuammenhängend (oder genauer geagt 2-knotenzuammenhängend), fall V > 2 und für jeden Knoten v V der Graph G {v} zuammenhängend it. H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 46 / 533

48 Artikulationknoten und Blöcke Definition Ein Knoten v eine Graphen G heißt Artikulationknoten (engl. cut-vertex), wenn ich die Anzahl der Zuammenhangkomponenten von G durch da Entfernen von v erhöht. Definition Die Zweifachzuammenhangkomponenten eine Graphen ind die maximalen Teilgraphen, die 2-fach zuammenhängend ind. Ein Block it ein maximaler zuammenhängender Teilgraph, der keinen Artikulationknoten enthält. D.h. die Menge der Blöcke beteht au den Zweifachzuammenhangkomponenten, den Brücken (engl. cut edge), owie den iolierten Knoten. H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 47 / 533

49 Blöcke und DFS Modifizierte DFS nach R. E. Tarjan: num[v]: DFS-Nummer von v low[v]: minimale Nummer num[w] eine Knoten w, der von v au über beliebig viele ( 0) Baumkanten abwärt, evt. gefolgt von einer einzigen Rückwärtkante erreicht werden kann low[v]: Minimum von num[v] low[w], wobei w ein Kind von v im DFS-Baum it (Baumkante) num[w], wobei {v, w} eine Rückwärtkante it H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 48 / 533

50 Blöcke und DFS Lemma Sei G = (V, E) ein ungerichteter, zuammenhängender Graph und T ein DFS-Baum in G. Ein Knoten a V it genau dann ein Artikulationknoten, wenn a die Wurzel von T it und mindeten 2 Kinder hat, oder a nicht die Wurzel von T it und e ein Kind b von a mit low[b] num[a] gibt. H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 49 / 533

51 Blöcke und DFS Die Kanten werden auf einem Stack geammelt und nach der Erkennung eine Artikulationknoten wird der geamte Block abgepflückt. D A B G C A B H D C E H B F H D C E G F A E G F H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 50 / 533

52 Starke Zuammenhangkomponenten Definition Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. U V heißt tark zuammenhängend genau dann, wenn für alle u, v U ein gerichteter Pfad von u nach v in G exitiert U V heißt tarke Zuammenhangkomponente (ZHK) von G, wenn U tark zuammenhängend und (inkluion-)maximal it U H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 51 / 533

53 Starke Zuammenhangkomponenten Beobachtung: Schrumpft man alle tarken Zuammenhangkomponenten zu einzelnen Knoten, ergibt ich ein DAG. U H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 52 / 533

54 Starke Zhk. und DFS / Variante 1 Modifizierte DFS nach R. E. Tarjan: num[v]: DFS-Nummer von v low[v]: minimale Nummer num[w] eine Knoten w, der von v au über beliebig viele ( 0) Baumkanten abwärt, evt. gefolgt von einer einzigen Rückwärtkante oder einer Querkante zu einer ZHK, deren Wurzel echter Vorfahre von v it, erreicht werden kann low[v]: Minimum von num[v] low[w], wobei w ein Kind von v im DFS-Baum it (Baumkante) num[w], wobei {v, w} eine Rückwärtkante it num[w], wobei {v, w} eine Querkante it und die Wurzel der tarken Zuammenhangkomponente von w it Vorfahre von v H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 53 / 533

55 Starke Zuammenhangkomponenten Knoten v it genau dann Wurzel einer tarken Zuammenhangkomponente, wenn num[v]=low[v] H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 54 / 533

56 Starke Zhk. und DFS / Variante 2 Prinzip: Untercheidung in fertige / unfertige Knoten Zuammenhangkomponente heißt gechloen, fall ie nur fertige Knoten enthält, anonten heißt ie offen Knoten in gechloenen Komponenten heißen gechloen, ont offen Repräentant einer ZHK it der Knoten mit der kleinten dfnum H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 55 / 533

57 Starke Zhk. und DFS / Variante 2 Beobachtungen (Invarianten): gechloene Knoten ind immer fertig, offene Knoten können fertig oder (noch) aktiv ein Kanten von gechloenen Knoten führen immer zu gechloenen Knoten Der Pfad vom Startknoten zum aktuellen Knoten enthält die Repräentanten aller offenen ZHK. Betrachtet man die Knoten in offenen ZHK ortiert nach DFS-Nummern, o partitionieren die Repräentanten diee Folge in die offenen ZHK. H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 56 / 533

58 Starke Zhk. und DFS / Variante 2 Prinzip: betrachte Kante e = (v, w) Kante zu chon bekanntem Knoten w in offener ZHK (Rückwärt-/Querkante): fall v und w momentan noch in unterchiedlichen ZHK liegen, müen diee zuammen mit allen ZHK dazwichen zu einer einzigen ZHK verchmolzen werden bei Vorwärtkanten it nicht zu tun Kante zu Knoten w in gechloener ZHK (Querkante): von w gibt e keinen Weg zu v, ont wäre die ZHK von w noch nicht gechloen, alo bleiben die ZHK unverändert Kante zu unbekanntem Knoten w (Baumkante): neue ZHK für w Wenn Knoten keine augehenden Kanten mehr hat: Knoten fertig wenn Knoten Repräentant einer ZHK it, dann ZHK chließen H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 57 / 533

59 Starke Zhk. und DFS / Variante 2 2. Variante: Verwaltung der unfertigen Knoten in Stack onode (in Reihenfolge teigender dfnum) Verwaltung der Repräentanten der offenen ZHK in Stack orep H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 58 / 533

60 Starke Zhk. und DFS / Variante 2 void init() { component = new int[n]; orep = ; onode = ; dfcount = 1; } void root(node w) / traveretreeedge(node v, Node w) { orep.puh(w); // Repräentant einer neuen ZHK onode.puh(w); // neuer offener Knoten dfnum[w] = dfcount; dfcount++; } H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 59 / 533

61 Starke Zhk. und DFS / Variante 2 void traverenontreeedge(node v, Node w) { if (w onode) // verchmelze ZHK while (dfnum[w] < dfnum[orep.top()]) orep.pop(); } void backtrack(node u, Node v) { if (v == orep.top()) { // v Repräentant? orep.pop(); // ja: entferne v do { // und offene Knoten bi v w = onode.pop(); component[w] = v; } while (w!=v); } } H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 60 / 533

62 Starke Zhk. und DFS / Variante 2 Zeit: O(n + m) Begründung: init, root: O(1) traveretreeedge: (n 1) O(1) backtrack, traverenontreeedge: da jeder Knoten höchten einmal in orep und onode landet, ingeamt O(n + m) DFS-Gerüt: O(n + m) geamt: O(n + m) H. Täubig (TUM) Fortg. Graph- u. Netzwerk-Algorithmen WS 10/11 61 / 533