Informatik II (D-ITET) Übungsstunde 2,

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1 Informatik II (D-ITET) Übungsstunde 2, Hossein Shafagh, Distributed Systems Group, ETH Zürich

2 Ablauf Besprechung von Übung 1 Hinweise für Übung 2

3 Lösung U1.A1 f(a,b) = a x b = a) Induktionsbeweis über a möglich? Induktion über a ist nicht möglich. Der Induktionsanfang schlägt bereits für b > 1 fehl! a ist eine stetig wachsende Grösse à kein Rückschluss auf bereits bewiesene Fälle möglich und keine Induktionsannahme formulierbar b) Terminiert der Algorithmus? Ja, wenn man b auf 1 zurückführen kann Ist das der Fall? Ja! Weil b immer halbiert wird gilt: à Nach log 2 (b) Schritten wird b=1 sein

4 Lösung U1.A1 c) Wie ändert sich der Beweis, wenn der kleinste Fall b=0 ist? Die Definition der Funktion sieht wie folgt aus: f(a,b) = a x b = Die Induktionsannahme lautet dann: Der Induktionsschritt ist ähnlich wie im Original, da Die Ganzzahldivision von 1 durch 2 ergibt 0. In 1b) haben wir gezeigt, dass es immer zu b=1 kommt, also es kommt auch immer zu b=0. Wir müssen den Beweis also im Wesentlichen nicht ändern.

5 Lösung U1.A2a Methodenaufrufe selbst gerade(int x) public static boolean gerade( int x ){ if( x == 0 ) return true; return!gerade( x-1 ); } verdopple(int x) public static int verdopple( int x ){ if( x == 0 ) return 0; return 2 + verdopple( x-1 ); } halbiere(int x) public static int halbiere( int x ){ if( x == 0 ) return 0; if( x == 1 ) return 0; return halbiere( x-2 ) + 1; } x (oder x+1) x (oder x+1) x/2 (oder x/2 +1)

6 Lösung U1.A2b Aufrufe der drei Methoden insgesamt in Abhängigkeit von a und b bei einem Aufruf von f. private static int f(int a, int b) { if (b == 0) return 0; if (gerade(b)) return f(verdopple(a), halbiere(b)); else return a + f(verdopple(a), halbiere(b)); } In jedem Fall wird gerade(b), verdopple(a) und halbiere(b) gerufen. Der Anzahl der Aufrufe (mit Ergebnissen aus Teil A2a) ist also höchstens b+1 + a+1 + b/2 +1 a + 3b/2 + 3

7 Lösung U1.A2c Gesamtanzahl der Methodenaufrufe: Es ist nicht (# Aufrufe von f) * (# Aufrufe einer einzigen Instanz von f) Mit dem Ergebnis aus 2b) ergibt sich: Die Rekursion endet, wenn b=0 ist. Das ist der Fall nach k = log 2 b + 1 Aufrufen, da b in jedem Schritt halbiert wird. Am Ende kriegt man 2ab - a + 3b

8 Lösung U1.A3 /** * This function implements the ancient Egyptian multiplication. * a must be a positive integer b must be a positive integer the product of a and b IllegalArgumentException */ - Angabe in Methodenkopf ermöglicht das Weiterleiten an den Aufrufer! - mehrere Exceptions mit Komma trennen public static int mult(int a, int b) throws IllegalArgumentException { if (a < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter a must be a positive integer but is " + a); if (b < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter b must be a positive integer but is " + b); return f(a, b); }

9 Lösung U1.A3 Exception Handling with try catch public static int mult(int a, int b) (- finally) { try { // Programmcode, der eine Ausnahme ausführen kann if (a <= 0) throw new IllegalArgumentException("A negativ!"); } catch(illegalargumentexception e) { // Programmcode zum Behandeln der Ausnahme } finally { // Abschlussbehandlung } // Es geht ganz normal weiter, denn die Ausnahme wurde behandelt }

10 Ablauf Besprechung von Übung 1 Hinweise für Übung 2

11 Übung 2 Aufgaben 1 und 3 Bäume in der Informatik... vs. Images:

12 Hinweise U2 1. Wurzelbäume Trennung von Struktur und Darstellung Klammerdarstellung Darstellung in eingerückter Form 2. Rekursives Sortieren Ausgabe von Objekten mittels tostring() Rekursiver Sortieralgorithmus 3. Binärbäume als Arrays Wichtig: checktree()

13 U2.A1 Darstellung Übersicht: Verschiedene Arten von Bäumen o to t t e te A A i i n in Allgemeiner Baum: Jeder Knoten hat x Kinder Binärbaum: Jeder Knoten hat maximal 2 Kinder a tea d ted n ten n inn Binärer/Triärer Suchbaum: Geordnetes Speichern von Knoten Trie (von «Retrieval»): Nicht Knoteninhalt, sondern Knotenposition ist wichtig, d.h.: Kanten enthalten Information! (z.b. Suffixbaum, text autocomplete) Aufgabe: Umgang mit verschiedenen Darstellungen

14 U2.A1 Darstellung Übersicht: Verschiedene Arten von Bäumen o to t t e te A A i i n in Allgemeiner Baum: Jeder Knoten hat x Kinder Binärbaum: Jeder Knoten hat maximal 2 Kinder A a tea d ted n ten n inn Binärer/Triärer Suchbaum: A Geordnetes Speichern von Knoten B F 8 Trie (von «Retrieval»): Nicht Knoteninhalt, sondern Knotenposition ist B wichtig, d.h.: E C D E Kanten enthalten Information! (z.b. Suffixbaum, text autocomplete) 3 9 C D 1 6 Aufgabe: Umgang mit verschiedenen Darstellungen

15 Durchlaufen von Bäumen... preorder(node) { print(node) if left!= null then preorder(left) if right!= null then preorder(right) } Pre-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «links» vorbeilaufen drucken «root, left, right» 8, 3, 1, 6, 4, 7, 10, 14, 13 In-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «unten» vorbeilaufen drucken «left, root, right» Post-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «rechts» vorbeilaufen drucken «left, right, root» Informatik II 15

16 Durchlaufen von Bäumen... inorder(node) { if left!= null then inorder(left) print(node) if right!= null then inorder(right) } Pre-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «links» vorbeilaufen drucken «root, left, right» 8, 3, 1, 6, 4, 7, 10, 14, 13 In-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «unten» vorbeilaufen drucken «left, root, right» 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 13, 14 Post-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «rechts» vorbeilaufen drucken «left, right, root» Informatik II 16

17 Durchlaufen von Bäumen... postorder(node) { if left!= null then postorder(left) if right!= null then postorder(right) print(node) } Pre-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «links» vorbeilaufen drucken «root, left, right» 8, 3, 1, 6, 4, 7, 10, 14, 13 In-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «unten» vorbeilaufen drucken «left, root, right» 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 13, 14 Post-Order «Aussen» rumlaufen, Knoten beim «rechts» vorbeilaufen drucken «left, right, root» 1, 4, 7, 6, 3, 13, 14, 10, 8

18 Hinweise U2.A2 Sortieren Gerüst auf der Webseite u2a2.randomarray Konstruktor Array von zufällig generierten Zahlen erzeugen Random Klasse verwenden (package: import java.util.random) //RandomGenerator erzeugen: Random r = new Random(); //Array erzeugen... //r random number generieren: r.nextint(1000); tostring() (Format in Javadoc vorgegeben) String s = ""; for ( int i=0; i<array.length, i++ ) return s;

19 Hinweise U2.A2 Sortieren recursivesort(int until) Zuerst nachdenken, dann programmieren.. Aufruf aus sort() mit array.length Kernidee der Rekursion: Reduzieren einer Probleminstanz auf eine kleinere Probleminstanz. Gegeben: Liste mit i Elementen Rekursionsannahme: recursivesort(until-1) sortiert die until-1 größten Zahlen in die ersten until-1 Positionen Rekursionsschritt: Die größte Zahl aus dem Rest des Arrays wird mit Zahl an Stelle until-1 vertauscht à Die ersten until Zahlen sind sortiert. Rekursionsabbruch: Das leere Array ist absteigend sortiert Rekursionsanfang: recursivesort(length) sortiert das ganze Array absteigend

20 Hinweise U2.A2 Sortieren recursivesort(int until) Zuerst nachdenken, dann programmieren.. Aufruf aus sort() mit array.length Kernidee der Rekursion: Reduzieren einer Probleminstanz auf eine kleinere Probleminstanz. Gegeben: Liste mit i Elementen Rekursionsannahme: recursivesort(until-1) sortiert die until-1 größten Zahlen in Um eine die ersten Teilliste until-1 Positionen mit i Elementen absteigend zu sortieren, brauche Rekursionsschritt: ich nur... Die größte Zahl aus dem Rest des Arrays wird mit Zahl an Stelle until-1... die ersten (i 1) Elemente absteigend sortieren vertauscht à Die ersten until Zahlen sind sortiert.... das grösste Element im Rest der Liste suchen Rekursionsabbruch:... und an die Das leere erste Array Stelle ist absteigend des sortiert Restes der Liste setzen Rekursionsanfang: recursivesort(length) sortiert das ganze Array absteigend

21 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] recursivesort(4) recursivesort(3) recursivesort(2) recursivesort(1) recursivesort(0) Ist sortiert! 2 <- findlargest(0,3) swap(0,2) 2 <- findlargest(1,3) swap(1,2) 3 <- findlargest(2,3) swap(2,3) Kein swap mehr nötig... à Liste absteigend sortiert!

22 Hinweise U2.A3 Binärbaum als Array Binärbäume kann man leicht in einem Array speichern, wenn dieses geeignet interpretiert wird. Die Idee besteht darin: Die Wurzel an Index 0 des Arrays zu setzen und Die beiden direkten Nachfolger von i an den Positionen 2i + 1 und 2i + 2 zu speichern Wie gross ist das Array, welches den Binärbaum speichert? 2 Höhe-1 array.length < 2 Höhe

23 Hinweise U2.A3 Binärbaum als Array char[] tree = new char[7]; D B A F C E tree[0] = A ; tree[1] = B ; tree[2] = C ; tree[3] = D ; tree[4] = ; tree[5] = F ; tree[6] = E ;

24 Hinweise U2.A3 Binärbaum als Array tostring() Idee: Liefert den Baum in eingerückte From tostring() ruft tostring(int node, String identation)auf z.b. tostring(0, ); Helper-Funktion hilfreich (Framework nicht ändern!) checktree() Idee: Wurzel an Index 0 Direkte Nachfolger von i an 2i + 1 und 2i Höhe-1 array.length < 2 Höhe Prüfen ob das für das übergebene Array erfüllt ist Jedes Element braucht einen Vater: "The root is its own father. [ A, B, ] -> gültig [ A, B] -> IllegalArgumentException

25 Eclipse tricks Keyboard shortcuts: Control + Shift + L Auto-formatting: Control + Shift + F Auto-completion: Control + Space Reminder for Javadoc: /** * This function implements the ancient Egyptian multiplication. * a must be a positive integer b must be a positive integer * the product of a and b IllegalArgumentException */ public static int mult(int a, int b) throws IllegalArgumentException

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