3. RAM als Rechnermodell

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "3. RAM als Rechnermodell"

Otto Hochberg
vor 5 Jahren
Abrufe

1 3. RAM als Rechnermodell

2 Motivation Wir möchten Berechnungsvorschriften (Algorithmen) formal beschreiben und deren Eigenschaften wie Korrektheit und Laufzeit analysieren Rechnermodell abstrahiert vom verwendeten Rechner (z.b. Desktop-PC vs. leistungsstarker Server) und dessen spezifischer Konfiguration (z.b. verfügbarer Speicher) 2

3 Inhalt 3.1 RAM als Rechnermodell 3.2 Korrektheit von Programmen 3.3 Laufzeit von Programmen 3

4 3.1 RAM als Rechnermodell Random Access Machine (RAM) kann wahlfrei auf beliebige Stellen ihres Speichers zugreifen RAM kennt nur wenige Befehle, kann aber alles berechnen, was berechenbar ist (vgl. Theoretische Informatik) Andere Rechnermodelle (z.b. Turing-Maschine) hingegen können nur sequenziell auf ihren Speicher zugreifen (vgl. Theoretische Informatik) 4

5 RAM als Rechnermodell Random Access Machine Akkumulator a Programmspeicher Datenspeicher IP p[0] s[0] i1 p[1] i2 p[n] s[1] endlich viele Speicherstellen unendlich viele Speicherstellen 5

6 s[1] Bestandteile der RAM Programmspeicher (p[0],,p[n]) ist ein endlich großer Speicher für Programmanweisungen Datenspeicher (Eingabe und Ausgabe) (s[0],s[1] ) ist ein potenziell unendlich großer Speicher für Daten (z.b. ganze Zahlen) Akkumulator (Akku) a ist eine Rechenregister (+, -, *, /, div, mod) Random Access Machine Akkumulator a IP i1 i2 p[n] Programmspeicher p[0] p[1] Datenspeicher s[0] 6

7 s[1] Bestandteile der RAM Instruction Pointer IP enthält die Nummer der Programmspeicherstelle, die als nächstes ausgeführt wird Indexregister i1 und i2 sind Hilfsregister z.b. zum Zugriff auf den Datenspeicher (z.b. s[i1]), enthalten ganze Zahlen und können nur zählen (+1 und -1) Random Access Machine Akkumulator a Programmspeicher Datenspeicher IP p[0] s[0] i1 p[1] i2 p[n] 7

8 Befehlssatz der RAM Transportbefehle z.b. a s[0] transportiert den Inhalt der Speicherstelle s[0] in den Akkumulator i1 1 weist dem Indexregister i1 den Wert 1 zu 8

9 Befehlssatz der RAM Sprungbefehle z.b. jump 2 führt als nächstes die Anweisung in p[2] aus if a >= 0 then jump 2 führt als nächstes die Anweisung in p[2] aus, wenn der Wert im Akkumulator größer gleich 0 ist, ansonsten die nächste Anweisung 9

10 Befehlssatz der RAM Arithmetikbefehle (nur für den Akkumulator a) z.b. a a*2 verdoppelt den Wert des Akkumulators a a*s[2] multipliziert den Wert des Akkumulators mit dem Wert in der Speicherstelle s[2] a a mod 2 setzt den Akkumulator auf den ganzzahligen Rest der Division seines Werts durch Zwei 10

11 Befehlssatz der RAM Indexbefehle z.b. i1 i1+1 erhöht den Wert des Indexregisters i1 i1 i1-1 vermindert den Wert des Indexregisters i1 Eingabe und Ausgabe INPUT n..m legt fest, dass die Eingabe in den Speicherstellen s[n]..s[m] steht OUTPUT n..m legt fest, dass die Ausgabe in den Speicherstellen s[n]..s[m] steht HALT markiert das Ende eines Programms 11

12 Befehlssatz der RAM Kommentare zur besseren Lesbarkeit von Programmen // erhöhe den Wert des Indexregisters 12

13 Befehlssatz und Emulator Eine Übersicht aller Befehle der RAM findet sich unter: RAMSES-Emulator 13

14 Addieren zweier Zahlen x und y Unser erstes RAM-Programm addiert zwei Zahlen x und y (in s[0] und s[1]) und legt das Ergebnis in s[2] ab INPUT 0..1 OUTPUT 2 0: a <- s[0] 1: a <- a + s[1] 2: s[2] <- a 3: HALT 14

15 Addieren zweier Zahlen x und y Ablauf eines Programms lässt sich in Tabelle darstellen jede Zeile gibt den Inhalt des Speichers und der Register nach Abarbeitung der Anweisung P[IP] an undefinierte Werte werden als undef markiert vorm Start des Programms hat der Instruction Pointer den Wert INIT wird kein Sprungbefehl abgearbeitet, so erhöht sich der Wert des Instruction Pointers um 1, d.h. es wird der nächste Befehl im Programm abgearbeitet 15

16 Addieren zweier Zahlen x und y IP a s[0] s[1] s[2] INIT undef x y undef 0 x x y undef 1 x + y x y undef 2 x + y x y x + y INPUT 0..1 OUTPUT 2 0: a <- s[0] 1: a <- a + s[1] 2: s[2] <- a 3: HALT 16

17 Addieren zweier Zahlen x und y Laufzeit eines Programms messen wir als die Zahl der abgearbeiteten Anweisungen (Zeit T) Beispielprogramm hat konstante Laufzeit T = 3, die nicht von der Eingabe x und y abhängt 17

18 Berechnen von x Wir schreiben nun ein RAM-Programm, welches die Eingabe x in s[0] erwartet, den Wert x berechnet und diesen als Ausgabe in s[1] ablegt 18

19 Berechnen von x

20 Ganzzahlige Teilbarkeit durch 2 Wir wollen feststellen, ob eine in s[0] als Eingabe gegebene Zahl n ganzzahlig durch 2 teilbar ist; ist dies der Fall soll 0 in s[1], andernfalls 1 als Ausgabe zurückgegeben werden 20

21 Ganzzahlige Teilbarkeit durch 2 21

22 Berechnen von Zweierpotenzen Wir schreiben nun ein Programm zum Berechnen von Zweierpotenzen der Form 2 n Eingabe n in s[0] Ausgabe von 2 n in s[1] Beobachte hierzu, dass gilt 2 0 =1, 2 1 =2 1, 2 2 =2 2 1,... d.h. um 2 n zu berechnen, müssen wir die Zahl 1 n-mal mit 2 multiplizieren 22

23 Berechnen von Zweierpotenzen Unser Programm geht wie folgt vor: speichere die Zahl n im Indexregister i1 speichere die Zahl 1 im Akkumulator a solange der Wert in i1 nicht 0 ist, multipliziere a mit 2 und reduziere den Wert in i1 um 1 23

24 Berechnen von Zweierpotenzen INPUT 0 OUTPUT 1 0: a <- 1 1: i1 <- s[0] 2: if i1 = 0 then jump 6 3: a <- a*2 4: i1 <- i1-1 5: jump 2 6: s[1] <- a 7: HALT 24

25 Berechnen von Zweierpotenzen Ablauf des Programms für Eingabe n = 3 Kompaktere Notation erfasst nur geänderte Werte in der Tabelle IP a i1 s[0] s[1] INIT undef undef 3 undef

26 Berechnen von Zweierpotenzen Für n = 3 beträgt die Laufzeit des Programms T(3) = 16 Offenbar wächst die Laufzeit T(n) mit dem Wert n, da die Anweisungen 2-5 immer häufiger durchlaufen werden Wir werden später sehen, wie man die Laufzeit T(n) für eine beliebige Eingabe n ermitteln kann 26

27 Ermitteln der Stellenanzahl einer Zahl Wir schreiben nun ein RAM-Programm, welches für eine in s[0] gegebene Zahl n die Anzahl ihrer Stellen in Binärdarstellung als Ausgabe in s[1]zurückgibt Beispiel: Für n = 13 soll 4 zurückgegeben werden, da (13) 10 = (1101) 2 27

28 Ermitteln der Stellenanzahl einer Zahl 28

29 Ermitteln der Stellenanzahl einer Zahl 29

30 Zusammenfassung Random Access Machine (RAM) als Rechnermodell kann wahlfrei auf ihren Speicher zugreifen Befehlssatz der RAM besteht aus u.a. Transportbefehlen, Sprungbefehlen, Arithmetikbefehlen und Indexbefehlen Ablauf eines Programms kann in einer Tabelle, welche die Änderung des Register- und Speicherinhalts erfasst, dargestellt und analysiert werden Laufzeit eines Programms für eine bestimmte Eingabe entspricht der Zahl der abgearbeiteten Befehle 30

31 Literatur [1] H.-P. Gumm und M. Sommer: Einführung in die Informatik, Oldenbourg Verlag, 2012 (Kapitel 5.2) 31

Ähnliche Dokumente

3.3 Laufzeit von Programmen

3.3 Laufzeit von Programmen Die Laufzeit eines Programmes T(n) messen wir als die Zahl der Befehle, die für die Eingabe n abgearbeitet werden Betrachten wir unser Programm zur Berechnung von Zweierpotenzen,