6. Algorithmen auf Zeichenketten

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1 6. Algorithmen auf Zeichenketten

2 Motivation Wir lernen nun Algorithmen zur Lösung verschiedener elementarer Probleme auf Zeichenketten zu lösen Zeichenketten spielen eine wichtige Rolle in diversen Gebieten der Informatik und ihrer Anwendungen z. B. Verarbeitung von Texten (z. B. natürliche Sprache, Code) in Anwendungen (z. B. IDEs, Editoren, Browser) Erkennung von Plagiaten (z. B. in Veröffentlichungen) Bioinformatik (DNA kann als Zeichenkette bestehend aus den Symbolen A, C, G und T gesehen werden) 2

3 Darstellung von Zeichenketten Zur Darstellung einer Zeichenkette s verwenden wir ein char[] und nutzen folgende Notation s bezeichnet die Länge der Zeichenkette, d. h. die Gesamtzahl der darin enthaltenen Zeichen s[i] bezeichnet das i-te Zeichen in der Zeichenketten, beginnend bei 0 s[i:j] bezeichnet die Teilzeichenkette bestehend aus allen Zeichen von s[i] bis s[j-1] 3

4 Darstellung von Zeichenketten Wir definieren Präfixe und Suffixe einer Zeichenkette s[:i] bezeichnet das Präfix der Länge i der Zeichenkette bestehend aus den Zeichen von s[0] bis s[i-1] s[i:] bezeichnet das Suffix der Länge s - i der Zeichenkette bestehend aus den Zeichen von s[i] bis s[ s -1] 4

5 Darstellung von Zeichenketten Beispiel: Wir betrachten die Zeichenkette s = i n f o r m a t i k Für diese gilt z. B.: s = 10 s[5] = m s[2:8] = f o r m a t s[:4] = i n f o s[5:] = m a t i k 5

6 Inhalt 6.1 Editierdistanz von Levenshtein 6.2 Längste gemeinsame Zeichenketten 6.3 Längste gemeinsame Zeichenfolge 6.4 Suche in Zeichenketten 6

7 6.1 Editierdistanz von Levenshtein Wir möchten nun messen wie unähnlich, d. h. wie weit voneinander entfernt, zwei Zeichenketten s und t sind Praktische Anwendungen solch einer Distanz zwischen Zeichenketten sind z. B.: Bestimmen eines Korrekturvorschlages für ein nicht bekanntes, vermutlich falsch geschriebenes, Wort? 7

8 Editierdistanz von Levenshtein Erkennen von doppelten Datensätzen z. B. in Datenbank KundenNr Name Vorname PLZ Wohnort Meier Max P Perl Meyer Max Perl Die vom russischen Mathematiker Vladimir Levenshtein vorgeschlagene Editierdistanz definiert die Distanz zwischen zwei Zeichenketten s und t als die minimale Anzahl von Editieroperationen, die notwendig ist, um die Zeichenkette s in die Zeichenkette t umzuformen 8

9 Editieroperationen Folgende Editieroperationen sind zur Umformung erlaubt Einfügen eines Zeichens in s Löschen eines Zeichens aus s Ersetzen eines Zeichens in s Beispiel: Wir betrachten die beiden Zeichenketten s = a f f e t = a p f e l Die Editierdistanz zwischen s und t beträgt 2: ersetze das erste f durch ein p füge ein l am Ende ein 9

10 Editierdistanz von Levenshtein Wir beobachten, dass es mehrere solche Folgen von Editieroperationen minimaler Länge geben kann Beispiel: Wir betrachten die beiden Zeichenketten s = a l l e t = a l e Die Editierdistanz zwischen s und t beträgt 1: lösche das erste oder das zweite l Wir sind zunächst nur an der Editierdistanz interessiert und sehen später wie sich eine korrespondierende Folge von Editieroperationen bestimmen lässt 10

11 <latexit sha1_base64="hclxp7cibayj6q1fq0ijfq3it0o=">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</latexit> <latexit sha1_base64="hclxp7cibayj6q1fq0ijfq3it0o=">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</latexit> <latexit sha1_base64="hclxp7cibayj6q1fq0ijfq3it0o=">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</latexit> <latexit sha1_base64="2pnf8pt+ebnxqnrahf/bjfidcfg=">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</latexit> Rekursive Definition der Editierdistanz Editierdistanz d(s,t) lässt sich wie folgt rekursiv definieren d(s[: 0], t[: 0]) = : 0 d(s[: i], t[: 0]) = : i d(s[: 0], t[: j]) = : j (1) (2) (3) Basisfälle (1) Leere Zeichenketten haben Editierdistanz von 0 (2) Wir können alle Zeichen aus s[:i] löschen, um eine leere Zeichenkette zu erhalten (3) Wir können alle Zeichen aus t[:j] in die leere Zeichenkette einfügen 11

12 Rekursive Definition der Editierdistanz Editierdistanz d(s,t) lässt sich wie folgt rekursiv definieren Y d(s[: i 1],t[: j 1]) + 1(s[i 1] = t[j 1]) _] d(s[: i], t[: j]) = min d(s[: i 1],t[: j]) + 1 (4) (5) _[ d(s[: i],t[: j 1]) + 1 (6) Sind beide Zeichenketten nicht leer, so betrachten wir (4) die Editierdistanz der nächstkürzeren Präfixe und überprüfen, ob das letzte Zeichen in s[:i] durch das letzte Zeichen in t[:j] ersetzt werden muss 12

13 <latexit sha1_base64="ikkslf7l/ecp1pifuj70vl++7we=">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</latexit> <latexit sha1_base64="ikkslf7l/ecp1pifuj70vl++7we=">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</latexit> <latexit sha1_base64="ikkslf7l/ecp1pifuj70vl++7we=">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</latexit> <latexit sha1_base64="iayz2c49nhocmoxcqcw33kvezg4=">aaadi3icdvllbtqwfhxcq4txfjawsbi1khlkuzcygipvysmgquhmw2ksjrznzoyje6e2awqr/8bp8dxsebsw/azrnmwgogwunojkhn9j69ykfwdkh+f3x71w8dllkxtxvwvxb9y8ndi8farelsmmqebcnqreawcljdxthe4qcarioryn+ytop34hujfrvtfnbulb5iwbmuq0paadt3fb9cjtjmp31iq9ihicl3ck9estxq/wpo45zhrsvdifossnkzi0raehjj6tsfasf7e09sk8jdcd8h7hxvhh2t9dx1bmkzsvlmy+0h78/of0maz93b1r+hgp/w0ip+xrifz1on10tjwjwhdqasqjupmorhrintwjhkx3raaincdzmjcwihxixmxbfkblsy5bwjicvgl6zfu8zzkmz4s0t6lxz57tmkrqqilsu7pluz3xovkfwqy6w7xttsperkmq1lnn8o9lpkocpzlipstnvffnbq9no8swsqo1lhr5+vnnsra4gz3omasqewmbozlzedbdeemotj+if/enjhgr+xxkkui7wpcqcaavjwzekubew4egsn1c+ra2nh3x75ng/4ojxt8k/ej1k+hbadw4dxqx3uc7kejp0qf6iq7rgfh007nnbdnb7mf3i/vv/bbc6jqrnjtordwfvwb5zf/i</latexit> Rekursive Definition der Editierdistanz Hierbei verwenden wir eine so genannte Indikatorfunktion 1(s[i 1] = t[j 1]) = ; 1 : s[i 1] = t[k 1] 0 : s[i 1] = t[k 1], die uns anzeigt, ob das letzte Zeichen ersetzt werden muss oder unverändert bleiben kann 13

14 Rekursive Definition der Editierdistanz Editierdistanz d(s,t) lässt sich wie folgt rekursiv definieren Y d(s[: i 1],t[: j 1]) + 1(s[i 1] = t[j 1]) _] d(s[: i], t[: j]) = min d(s[: i 1],t[: j]) + 1 (4) (5) _[ d(s[: i],t[: j 1]) + 1 (6) Sind beide Zeichenketten nicht leer, so betrachten wir (5) die Editierdistanz des nächstkürzeren Präfix s[:i-1] und löschen das Zeichen s[i-1] 14

15 Rekursive Definition der Editierdistanz Editierdistanz d(s,t) lässt sich wie folgt rekursiv definieren Y d(s[: i 1],t[: j 1]) + 1(s[i 1] = t[j 1]) _] d(s[: i], t[: j]) = min d(s[: i 1],t[: j]) + 1 (4) (5) _[ d(s[: i],t[: j 1]) + 1 (6) Sind beide Zeichenketten nicht leer, so betrachten wir (6) die Editierdistanz zum nächstkürzeren Präfix t[:j-1] und fügen das letzte Zeichen t[j-1] am Ende ein 15

16 Rekursive Implementierung Wir können diese rekursive Definition mittels einer rekursiven Methode implementieren 1 public class LevenshteinNaive { 2 3 private int compute(char[] s, int i, char[] t, int j) { 4 if (i == 0) { 5 return j; 6 } else if (j == 0) { 7 return i; 8 } else { 9 int d1 = compute(s, i - 1, t, j - 1) + (s[i - 1]!= t[j - 1]? 1 : 0); 10 int min = d1; int d2 = compute(s, i - 1, t, j) + 1; 13 min = (d2 < min? d2 : min); int d3 = compute(s, i, t, j - 1) + 1; 16 min = (d3 < min? d3 : min); return min; 19 } 20 } public int compute(char[] s, char[] t) { 23 return compute(s, s.length, t, t.length); 24 } 25 } 16

17 Rekursive Implementierung Überlegen wir uns, welche rekursiven Aufrufe der Methode für zwei Zeichenketten s und t der Länge 2 stattfinden c(s,2,t,2) c(s,1,t,2) c(s,0,t,2) c(s,2,t,1) c(s,2,t,0) 17

18 Rekursive Implementierung Die Methode wird also wiederholt mit den gleichen Argumenten aufgerufen, d. h. wir führen die gleiche Berechnung mehrfach durch c(s,2,t,2) c(s,1,t,2) c(s,0,t,2) c(s,2,t,1) c(s,2,t,0) 18

19 Zeit- und Platzkomplexität Überlegen wir nun, wie viele Knoten (d. h. Aufrufe der Methode) es im Aufrufbaum mindestens und höchstens geben kann c(s,2,t,2) c(s,1,t,2) c(s,0,t,2) c(s,2,t,1) 19

20 Zeit- und Platzkomplexität Blattknoten haben eine Tiefe von mindestens min( s, t ), da erst dann i oder j den Wert 0 annehmen können Jeder Knoten kleinerer Tiefe hat drei Kindknoten c(s,2,t,2) c(s,1,t,2) c(s,0,t,2) c(s,2,t,1) 20

21 <latexit sha1_base64="7vfkt9ienqeookek0btz1dursv0=">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</latexit> <latexit sha1_base64="7vfkt9ienqeookek0btz1dursv0=">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</latexit> <latexit sha1_base64="7vfkt9ienqeookek0btz1dursv0=">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</latexit> <latexit sha1_base64="tkzlvqhu6yocucdhr0hhbfgtjj0=">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</latexit> Zeit- und Platzkomplexität Es muss damit mindestens 3 min( s, t ) Æ min( s, t ) ÿ i=0 3 i Knoten (d. h. Aufrufe der Methode) im Aufrufbaum geben c(s,2,t,2) c(s,1,t,2) c(s,0,t,2) c(s,2,t,1) 21

22 Zeit- und Platzkomplexität Blattknoten haben eine Tiefe von höchstens s + t - 1, da dann entweder i oder j den Wert 0 angenommen haben muss Jeder Knoten hat höchstens drei Kindknoten c(s,2,t,2) c(s,1,t,2) c(s,0,t,2) c(s,2,t,1) 22

23 <latexit sha1_base64="nrpmywk7zlcjwfykkox/f7cyesa=">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</latexit> <latexit sha1_base64="nrpmywk7zlcjwfykkox/f7cyesa=">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</latexit> <latexit sha1_base64="nrpmywk7zlcjwfykkox/f7cyesa=">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</latexit> <latexit sha1_base64="ybhmlnjzu1q+qcatwiunarffo7k=">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</latexit> Zeit- und Platzkomplexität Es kann damit höchstens s + t 1 ÿ i=0 Knoten (d. h. Aufrufe der Methode) im Aufrufbaum geben 3 i c(s,2,t,2) c(s,1,t,2) c(s,0,t,2) c(s,2,t,1) 23

24 <latexit sha1_base64="nrpmywk7zlcjwfykkox/f7cyesa=">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</latexit> <latexit sha1_base64="nrpmywk7zlcjwfykkox/f7cyesa=">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</latexit> <latexit sha1_base64="nrpmywk7zlcjwfykkox/f7cyesa=">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</latexit> <latexit sha1_base64="ybhmlnjzu1q+qcatwiunarffo7k=">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</latexit> Zeit- und Platzkomplexität Wir wissen damit, dass die Laufzeit mindestens so schnell wächst wie 3 min( s, t ) und höchstens so schnell wächst wie s + t 1 ÿ i=0 3 i Die Zeitkomplexität der rekursiven Implementierung liegt damit in O(3 s + t ) 24

25 Zeit- und Platzkomplexität Für einen Knoten (d. h. Methodenaufruf) müssen sich die Zustände aller zu Vorgängerknoten korrespondierenden Methodenaufrufe auf dem Aufrufstapel befinden Da ein Blattknoten höchstens Tiefe s + t -1 hat, sind dies also höchstens s + t Zustände Die Platzkomplexität des Algorithmus liegt damit in O( s + t ) 25

26 Dynamische Programmierung Wir hatten die Lösungsstrategie der dynamischen Programmierung (DP) bereits beim Algorithmus von Floyd und Warshall kennen gelernt Auch bei der Editierdistanz von Levenshtein haben wir es mit einer optimalen Teilstruktur zu tun und können eine optimale Lösung aus optimalen Lösungen zu Teilproblemen bestimmen 26

27 Editierdistanz von Levenshtein Betrachten wir nochmals die rekursive Definition Y d(s[: i 1],t[: j 1]) + 1(s[i 1] = t[j 1]) _] d(s[: i], t[: j]) = min d(s[: i 1],t[: j]) + 1 _[ d(s[: i],t[: j 1]) + 1 Wenn wir die Werte d(s[:i-1], t[:j-1]), d(s[:i-1], t[:j]) und d(s[:i], t[:j-1]) bereits kennen, können wir den Wert d(s[:i], t[:j]) in konstanter Zeit bestimmen 27

28 Implementierung mittels DP Eine bessere Implementierung der Editierdistanz von Levenshtein verwendet dynamische Programmierung initialisiere eine DP-Tabelle D der Größe ( s +1) ( t + 1) (der Eintrag D[i][j] speichert hier die Editierdistanz zwischen den Präfixen s[:i] und t[:j]) fülle die erste Spalte D[:][0] und erste Zeile D[0][:] der DP-Tabelle gemäß der Basisfälle der Definition fülle die verbleibenden Zellen der DP-Tabelle zeilenweise gemäß der rekursiven Definition 28

29 Implementierung mittels DP 1 public class LevenshteinDP { 2 3 private int[][] D; 4 5 public int compute(char[] s, char[] t) { 6 7 // Initialisiere DP-Tabelle 8 D = new int[s.length + 1][t.length + 1]; 9 for ( int i = 0; i <= s.length; i++) { 10 D[i][0] = i; 11 } 12 for ( int j = 0; j <= t.length; j++) { 13 D[0][j] = j; 14 } // Fü lle DP- Tabelle 29

30 <latexit sha1_base64="di2++eawx6nmcfbsarimgw7pcdy=">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</latexit> <latexit 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<latexit 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Implementierung mittels DP // Fü lle DP- Tabelle 17 for ( int i = 1; i <= s.length; i++) { 18 for ( int j = 1; j <= t.length; j++) { // Ersetzen des letzten Zeichens? 21 int d1 = D[i - 1][j - 1] + (s[i - 1]!= t[j - 1]? 1 : 0); 22 int min = d1; // Lö schen des letzten Zeichens aus s[:j] 25 int d2 = D[i - 1][j] + 1; 26 min = (d2 < min? d2 : min); // Einfü gen des letzten Zeichens aus t[:i] 29 int d3 = D[i][j - 1] + 1; 30 min = (d3 < min? d3 : min); D[i][j] = min; 33 } 34 } return D[s.length][t.length]; 37 } 38 } 30

31 Implementierung mittels DP Beispiel: Berechnen der Editierdistanz zwischen s = a f f e t = a p f e l _ a p f e l _ a f f e 31

32 Implementierung mittels DP Beispiel: Berechnen der Editierdistanz zwischen s = a f f e t = a p f e l _ a p f e l 0 _ a 1 2 f 2 3 f 3 4 e 4 Initialisierung 32

33 Implementierung mittels DP Beispiel: Berechnen der Editierdistanz zwischen s = a f f e t = a p f e l _ a p f e l 0 _ a f f e Füllen der DP-Tabelle 33

34 Zeit- und Platzkomplexität Die Implementierung mittels dynamischer Programmierung füllt jede Zelle der DP-Tabelle einmal Hierbei wird auf drei benachbarte Zellen zugegriffen und die letzte Zeichen der aktuellen Präfixe verglichen Die Zeitkomplexität liegt damit in O( s t ) Die Platzkomplexität zum Speichern der DP-Tabelle liegt ebenfalls in O( s t ) 34

35 Backtracking Aus der gefüllten DP-Tabelle lässt sich mittels so genanntem Backtracking eine Folge von Editieroperationen minimaler Länge ablesen beginne in rechter unterer Zelle D[ s ][ t ] der DP-Tabelle wandere zur linken oberen Zelle D[0][0] der DP-Tabelle und stelle in jedem Schritt fest, wie der Wert zustande gekommen ist betrachte in der Zelle D[i][j] hierzu die drei benachbarten Zellen D[i-1][j-1], D[i-1][j] und D[i][j-1] und stelle fest, welche Editieroperation ausgeführt worden ist 35

36 Backtracking Beispiel: Berechnen einer Folge von Editieroperationen für s = a f f e t = a p f e l _ a p f e l 0 _ a f Ersetze f durch p 3 f e Füge l ein 36

37 Zusammenfassung Editierdistanz von Levenshtein bestimmt Distanz zwischen zwei Zeichenketten s und t als minimale Anzahl von Editieroperationen, die nötig ist, um s in t umzuwandeln Editierdistanz lässt sich rekursiv definieren; rekursive Implementierung hat jedoch exponentielle Laufzeit Geschicktere Implementierung mittels dynamischer Programmierung hat Zeit- und Platzkomplexität in O( s t ) 37

38 Literatur [1] G. Saake und K.-U. Sattler: Algorithmen und Datenstrukturen, dpunkt.verlag, 2013 (Kapitel 17) 38