Schriftliche Abiturprüfung 2015

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Vincent Waldemar Ritter
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1 MA-E 2015 HT Schriftliche Abiturprüfung 2015 E-Kurs Datum: 21. April 2015 Bearbeitungszeit: 5 Zeitstunden Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner (nicht grafikfähig, nicht programmierbar, ohne Computeralgebrasystem), zugelassene Formelsammlung Seitenzahl: Die Prüfungsaufgabe umfasst mit Deckblatt xx Seiten. Trierer Straße Saarbrücken

Dauer: 5 Stunden Seite 2 von xx Aufgabe 1 Eine Bande von Trickdieben stiehlt bei einem spektakulären Coup einen berühmten Diamanten aus dem Safe des Hotels Adler.

2 Dauer: 5 Stunden Seite 2 von xx Aufgabe 1 Eine Bande von Trickdieben stiehlt bei einem spektakulären Coup einen berühmten Diamanten aus dem Safe des Hotels Adler. Die Flucht der Gauner findet in drei Schritten statt. Phase A : Errichten eines Sprungtuchs Phase B : Sprung vom 40 m hohen Dach des Hotels Adler auf das Sprungtuch Phase C : Ausschalten einer Sirene auf dem 35 m hohen Dach des Hotels Beluga Die einzelnen Phasen werden hier vereinfacht mathematisch dargestellt. Dabei wird als Längeneinheit 1 Meter verwendet. Die Abbildung stellt die beiden Hotels sowie das Sprungtuch dar. Beide Hotels besitzen eine Grundfläche in der xy-ebene. Abbildung 1: Dreidimensionale Ansicht der Hotels und des Sprungtuchs 1 Phase A Vier Mitglieder der Bande spannen von gemieteten Hotelzimmern ein Sprungtuch zwischen den beiden Hotels auf. Die Ecken des Tuchs liegen in den Punkten A(40/15/20), B(22/42/20), C(4/30/26) sowie D(14/15/26). 1.1 Zeigen Sie, dass die vier Ecken in einer Ebene liegen und geben Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform an. ( Zur Kontrolle : 3 x+2 y +13 z=410 ) 1.2 Weisen Sie nach, dass das Tuch trapezförmig ist und gleichzeitig bei C ein rechter Winkel vorliegt. 1.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Tuchs.

3 Dauer: 5 Stunden Seite 3 von xx 2 Phase B Der erfolreiche Dieb springt mit dem Diamanten vom Dach des Hotels Adler auf das Sprungtuch. ( 2.1 Der letzte Teil seiner Flugkurve lässt sich mit der Geraden x= ) +s ( 1 1 be- 3) schreiben. Berechnen Sie die Koordinaten des Auftreffpunkts L auf dem Tuch! 2.2 Die dem Dieb nächstgelegene Außenwand des Hotels Beluga ist Teil der Ebene mit der Gleichung E Wand : 2 x +3 y=82. Wie weit ist der Landepunkt L von dieser Wand entfernt? 3 Phase C Auf dem Dach des Hotels Beluga befindet sich im Punkt S(18/43/35+h) eine in der Höhe verstellbare Sirene. Dabei ist h die Höhe der Sirene über dem 35 m hohen Dach des Hotels. Der Dieb versucht von seinem Landepunkt L(19/27/23) aus die Sirene mit einem gezielten, geradlinigen Schuss auszuschalten. 3.1 Geben Sie eine Gleichung der Geraden LS in Abhängigkeit von h an. 3.2 Die dem Dieb nächstgelegene Außenwand des Beluga ist Teil der Ebene mit der Gleichung E Wand : 2 x +3 y=82 (vgl. 2.2 ). Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden LS mit dieser Ebene. Bestimmen Sie anschließend mit Hilfe des Schnittpunkts, wie hoch die Sirene mindestens über dem Dach stehen muss, damit dem Dieb der Schuss gelingen kann. F Das gestohlene Objekt ist bekannt als schiefes Prisma von Singapur, da seine äußere Form einem schiefem, dreieckigem Prisma entspricht. Die Ecken des Prismas lassen sich in einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 5 mm darstellen. A D C B E 4 Die Punkte A(3-2 0), B(9 2 4), C(4 2 3) bilden die Grundfläche des Prismas. Der Punkt D(4 0 5) stellt eine weitere Ecke des Prismas dar. 4.1 Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte E und F. 4.2 Das Dreieck ABC liegt in der Ebene mit der Gleichung 2 x +7 y 10 z+8=0. Vom Punkt D aus wird die Höhe des Prismas senkrecht zur Grundfläche ergänzt. Berechnen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes des Punktes D. 4.3 Üblicherweise gibt man die Masse eines Diamanten in der Einheit Karat an. (1 Karat = 0,2 g). Der vorliegende Diamant hat eine Dichte von 3,5 g/cm³. Wie viel Karat besitzt das schiefe Prisma von Singapur? (Zum Vergleich : Der leicht größere Diamant Koh-i-Noor in der Krone der englischen Königin besitzt 105 Karat.)

4 Dauer: 5 Stunden Seite 4 von xx Aufgabe 2 Die Abbildung zeigt eine Möglichkeit eines Sehtests, mit dessen Hilfe überprüft werden kann, ob ein Mensch eine gewisse, durchschnittliche Sehschärfe erreicht. Bei dem hier betrachteten Test sind sechs geschlitzte Kreisringe waagerecht nebeneinander angeordnet (im Folgenden Sechserreihe genannt). Die Öffnung im Ring kann dabei nach oben, unten, links oder rechts zeigen und wird bei jedem Kreisring zufällig festgelegt. Nach unten hin wiederholen sich solche Sechserreihen, wobei Abbildung 2: Sehtest mit Reihen aus Ringen aber die Größe der Kreise innerhalb einer Reihe immer mehr abnimmt. Beim Test betrachtet eine Person die Anordnung der Ringe aus einem festen Abstand ( 5 m ) und äußert sich dann zu den Öffnungsrichtungen der Ringe. 1.1 Wie viele Möglichkeiten für die Anordnung einer Sechserreihe gibt es? 1.2 Wie viele Sechserreihen gibt es, wenn benachbarte Ringe nicht in die gleiche Richtung zeigen? 1.3 Wie viele Sechserreihen gibt es, wenn zwei der Ringe nach unten und die restlichen vier nach links zeigen? Ein Arzt führt den Sehtest so durch, dass er von oben nach unten in jeder Sechserreihe einen Ring zufällig auswählt und die Testpersonen nach der Richtung befragt. Insgesamt besteht man den Test, wenn bei sieben abgefragten Ringen maximal ein Fehler erreicht wurde. 2.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass man diesen Test durch willkürliches Raten nur mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,13 % besteht. 2.2 Jemand kann die ersten vier Sechserreihen mit seinen Augen noch sicher erkennen und beginnt erst ab der 5. Reihe wahllos zu raten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er den Sehtest? Neben der Sehschärfe kommt es bei beim Autofahren auch darauf an, ob ein Fahrer die in Verkehrszeichen und Ampeln auftretenden Farben eindeutig erkennen kann. Eine in diesem Zusammenhang bekannte Sehschwäche ist die Rot-Grün-Blindheit, bei der Betroffene die Farben Rot und Grün nur schwer voneinander unterscheiden können. In einer großen Studie wurden 600 Männer und 700 Frauen auf diese Art von Sehschwäche untersucht. Die große Mehrheit von 693 Frauen zeigte keinerlei Befund. Bei den Männern waren 91,5 % ohne Anzeichen der Rot-Grün-Blindheit. Für die Aufgabe verwenden wir die Abkürzungen : R = Eine Person besitzt eine Rot-Grün-Blindheit, M = Eine Person ist männlich. 3.1 Stellen Sie die absoluten Häufigkeiten der Untersuchung in einer Vierfeldertafel dar.

5 Dauer: 5 Stunden Seite 5 von xx 3.2 Eine Person wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die folgenden drei Wahrscheinlichkeiten : P(R), P(M υ R) und P R ( M ). 3.3 Einer der Ärzte hat auf einem Schmierblatt angefangen, die Daten der Erhebung in einem Baumdiagramm darzustellen. Übertragen und vervollständigen Sie das Diagramm mitsamt allen Wahrscheinlichkeiten. M M 3.4 Im Online-Lexikon Wikipedia findet sich unter dem Stichwort Rot-Grün-Sehschwäche der folgende Textabschnitt : Rot-Grün-Sehschwäche oder -Blindheit ist immer angeboren und verstärkt oder vermindert sich nicht im Laufe der Zeit. Von ihr sind etwa 9 % aller Männer und etwa 0,8 % der Frauen betroffen... Zeigen Sie, dass die hier betrachtete Untersuchung die angegebenen Zahlen des Wikipedia-Artikels näherungsweise bestätigt. Die Aufgabe 3.4 hat gezeigt, dass man bei willkürlicher Wahl einer Person ( beide Geschlechter zusammengefasst ) mit einer Wahrscheinlichkeit von p 10 % eine Rot-Grün-Sehschwäche findet. In einer zweiten Studie werden 250 Personen daraufhin untersucht, ob sie eine derartige Sehschwäche aufweisen. Dabei sei X die Anzahl der Personen mit einer solchen Sehkrankheit. 4.1 Berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Standardabweichung von X. 4.2 Zeigen Sie : P( X=µ ) 8,4 % ( Benutzen Sie dabei : , ) Obwohl hier der Mittelwert µ die größte Wahrscheinlichkeit besitzt, beträgt diese nur 8,4 %. Erläutern Sie diesen scheinbaren Widerspruch.

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