Konzepte von Programmiersprachen

Transkript

1 Konzepte von Programmiersprachen Tutorium René Frank 4. Juli 2013

2 Polynom Listendarstellung endl. Liste : [1,2,3] == 1:2:3:[] unend. Liste : [1..] == 1:2:3:4:... Definition Polynom type Poly = [Float] Bsp: 1+2x 2 4x 3 + 3x 5 wird dargestellt: (1:0:2:(-4):0:3:repeat 0) entspricht: 1 x x x 2 +( 4) x x x x

3 scale 1 -- Testpolynom 2 bsppoly :: Poly 3 bsppoly = 1:0:2:(-4):0:3:repeat (a) Skalierung 6 scale :: Float -> Poly -> Poly Main> take 6 $ scale 4 bsppoly [4.0,0.0,8.0,-16.0,0.0,12.0] entspricht: 4+8x 2 16x x 5

4 addpoly 1 -- Testpolynom 2 bsppoly :: Poly 3 bsppoly = 1:0:2:(-4):0:3:repeat (b) Polynomaddition 6 addpoly :: Poly -> Poly -> Poly Main> take 6 $ addpoly bsppoly bsppoly [2.0,0.0,4.0,-8.0,0.0,6.0] entspricht: 2+4x 2 8x 3 + 6x 5

5 mulpoly 1 -- Testpolynom 2 bsppoly :: Poly 3 bsppoly = 1:0:2:(-4):0:3:repeat (c) Polynommultiplikation 6 mulpoly :: Poly -> Poly -> Poly Main> take 11 $ mulpoly bsppoly bsppoly [1.0,0.0,4.0,-8.0,4.0,-10.0,16.0,12.0,-24.0,0.0,9.0] entspricht: 1+4x 2 8x 3 + 4x 4 10x x x 7 24x 8 + 9x 10

6 mulpoly (2) 1 -- Testpolynom 2 bsppoly :: Poly 3 bsppoly = 1:0:2:(-4):0:3:repeat 0 mulpoly bsppoly bsppoly = 1+4x 2 8x 3 + 4x 4 10x x x 7 24x 8 + 9x 10 a i x i b i x i = a 0 b i x i + x ( a i+1 x i b i x i )

7 mulpoly (2) 1 -- Testpolynom 2 bsppoly :: Poly 3 bsppoly = 1:0:2:(-4):0:3:repeat 0 mulpoly bsppoly bsppoly = 1+4x 2 8x 3 + 4x 4 10x x x 7 24x 8 + 9x 10 a i x i b i x i = a 0 b i x i + x ( a i+1 x i b i x i ) bereits definierte Funktionen?

8 mulpoly (2) 1 -- Testpolynom 2 bsppoly :: Poly 3 bsppoly = 1:0:2:(-4):0:3:repeat 0 mulpoly bsppoly bsppoly = 1+4x 2 8x 3 + 4x 4 10x x x 7 24x 8 + 9x 10 a i x i b i x i = a 0 b i x i + x ( a i+1 x i b i x i ) mulpoly mit Restliste von bsppoly

9 mulpoly (2) 1 -- Testpolynom 2 bsppoly :: Poly 3 bsppoly = 1:0:2:(-4):0:3:repeat 0 mulpoly bsppoly bsppoly = 1+4x 2 8x 3 + 4x 4 10x x x 7 24x 8 + 9x 10 a i x i b i x i = a 0 b i x i + x ( a i+1 x i b i x i ) Also alle x i werden zu x i+1?

10 divpoly 1 -- (d) Polynomdivision 2 divpoly :: Poly -> Poly -> Poly a i x i b i x i = a 0 b 0 + x ( a i+1 a ) 0 b b i+1 x i 0 a i x i alle x i werden zu x i+1 und a 0 b 0 wird addiert. Idee?... Fragen?

11 divpoly 1 -- (d) Polynomdivision 2 divpoly :: Poly -> Poly -> Poly a i x i b i x i = a 0 b 0 + x ( a i+1 a ) 0 b b i+1 x i 0 a i x i alle x i werden zu x i+1 und a 0 b 0 wird addiert. Idee?... Fragen?

12 divpoly 1 -- (d) Polynomdivision 2 divpoly :: Poly -> Poly -> Poly a i x i b i x i = a 0 b 0 + x ( a i+1 a ) 0 b b i+1 x i 0 a i x i alle x i werden zu x i+1 und a 0 b 0 wird addiert. Idee?... Fragen?

13 Fibonacci Fibonacci 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... Berechnen Sie die Liste der Fibonacci-Zahlen durch Ausnutzung der folgenden Gleichung: 1 1 x x 2 = 1+x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 8x 5 bereits definierte Funktionen anschauen überlegen wie bspw. unser Beispiel 1+2x 2 4x 3 + 3x 5 definiert wurde

14 Prozessnetze Gegeben: ps Liste von Primzahlen [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...] vs Alle Vielfachen der Elemente in ps ist n in vs und p in ps so ist n*p in vs Bsp: für ps = [3,5,7] vs = [3,5,7,9,15,21,25,27,35,45,49,63,75,81]

15 Prozessnetze Gegeben: ps Liste von Primzahlen [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...] vs Alle Vielfachen der Elemente in ps ist n in vs und p in ps so ist n*p in vs Bsp: für ps = [3,5,7] vs = [3,5,7,9,15,21,25,27,35,45,49,63,75,81]

16 Prozessnetze Gegeben: ps Liste von Primzahlen [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...] vs Alle Vielfachen der Elemente in ps ist n in vs und p in ps so ist n*p in vs Bsp: für ps = [3,5,7] vs = [3,5,7,9,15,21,25,27,35,45,49,63,75,81]

17 Prozessnetze Gegeben: ps Liste von Primzahlen [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...] vs Alle Vielfachen der Elemente in ps ist n in vs und p in ps so ist n*p in vs Bsp: für ps = [3,5,7] vs = [3,5,7,9,15,21,25,27,35,45,49,63,75,81]

18 Prozessnetze Gegeben: ps Liste von Primzahlen [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...] vs Alle Vielfachen der Elemente in ps ist n in vs und p in ps so ist n*p in vs Bsp: für ps = [3,5,7] vs = [3,5,7,9,15,21,25,27,35,45,49,63,75,81]

19 Prozessnetze Gegeben: ps Liste von Primzahlen [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...] vs Alle Vielfachen der Elemente in ps ist n in vs und p in ps so ist n*p in vs Bsp: für ps = [3,5,7] vs = [3,5,7,9,15,21,25,27,35,45,49,63,75,81]

20 Prozessnetze Gegeben: ps Liste von Primzahlen [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...] vs Alle Vielfachen der Elemente in ps ist n in vs und p in ps so ist n*p in vs Bsp: für ps = [3,5,7] vs = [3,5,7,9,15,21,25,27,35,45,49,63,75,81]

21 Beispiel 1 Liste aller Zweierpotenzen(2 n n 0) 1 -- (a) Zweierpotenzen 2 powers = 1 : map (*2) powers

22 Beispiel 2 geschachtelte Liste aller Binomialkoeffizienten 1 -- (b) Binomialkoeffizienten 2 -- Pascalsches Dreieck wird ebenenweise 3 -- berechnet. 4 binoms = [1] : [zipwith (+) (0:q) 5 (q++[0]) q <- binoms] [1] [1] : [zipwith (+) (0:[1]) ([1]++[0])] [1] : [zipwith (+) [0,1] [1,0]] [1] : [[1,1]] [[1],[1,1]] [1] : [zipwith (+) (0:[1]) ([1]++[0]), zipwith (+) (0:[1,1]) ([1,1]++[0])] [1] : [[1,1]] ++ [[1,2,1]] [[1],[1,1],[1,2,1]] Pascalsches Dreieck

23 goldbach Liefert zu einer Zahl n alle Paare von Primzahlen, deren Summe die Zahl n ergibt. 1 goldbach :: Int -> [(Int,Int)] Main> goldbach 60 [(7,53),(13,47),(17,43),(19,41),(23,37),(29,31)]

24 Listenmonade Beispiel Beispiel: Funktion expand, welche die Zahlen einer Liste ihrem Wert entsprechend oft wiederholt expand [0,1,2,3] [1,2,2,3,3,3] 1 -- Listenabstraktion 2 expand, expandm :: [Int] -> [Int] 3 expand xs = [ x x <- xs, count <- [1..x]] Listenmonade 6 expandm xs = do x <- xs 7 count <- [1..x] 8 return x lokale Definitionen let bla = xs ++ [4] x <- bla

25 Auswertungsstrategien 1 insert x [] = [x] 2 insert x (y:ys) x <= y = x:y:ys 3 otherwise = y:insert x ys 4 5 rev [] = [] 6 rev (x:xs) = rev xs ++ [x] Auswertung folgender Funktion head (insert 3 (rev (map (*5) [8,4,2,1]))) 1 Leftmost-Innermost-Auswertung 2 Leftmost-Outermost-Auswertung 3 Wieviele Reduktionsschritte werden jeweils ausgeführt Reduktionsstrategien

26 Normalformen 1 from :: Num n => n -> [n] 2 from n = n : from (n+1) 3 4 square :: Int -> Int 5 square x = x * x 1 \x x +(3 2) 2 head (from 2) 3 filter (>0) 4 map square (from 2)