Praktikum Mikrosystemtechnik. FEM-Simulation mit Comsol Multiphysics

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1 Praktikum Mikrosystemtechnik FEM-Simulation mit Comsol Multiphysics

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3 I Vorwort zum Mikrosystemtechnik-Praktikum: FEM-Simulationen in der Mikrosystemtechnik Warum ist die Finite Elemente Methode (F E M) für Ingenieure aller Fachrichtungen (auch der Mikrosystemtechnik) wichtig? Die Finite-Element-Methode (FEM) hat sich als das rechnerische Simulationsverfahren der Praxis durchgesetzt und wird in allen Branchen bei Konstruktions- und Entwicklungsaufgaben angewandt. Sie trägt zur Erhöhung der Sicherheit, zur Konstruktionsoptimierung, zur Qualitätsverbesserung und zur Verkürzung von Entwicklungszeiten bei. Mit der FEM werden Festigkeits- und Temperaturfeldprobleme analysiert, elektromagnetische und gekoppelte Feldprobleme gelöst sowie akustische Untersuchungen und Strömungssimulationen durchgeführt. Dieses Praktikum vermittelt praxisnah erste Grundkenntnisse für den Einsatz der FEM und für die Bewertung von Lösungen, die mit der FEM erzielt werden können. Auf der Basis des von der Firma COMSOL erfolgreich eingeführten Programm FEMLAB 3.2 wird gezeigt, wie und welche Daten für eine FEM-Berechnung aufbereitet werden müssen und wie die Ergebnisse der FEM-Berechnung auszuwerten sind. Beispiele aus der Strukturmechanik werden ausführlich erläutert und auf ein Beispiel der Mikrosystemtechnik angewendet: Simulation verschiedener mikromechanischer Membrananordnungen für Druck- oder Beschleunigungssensoren. Der durch den Herstellungsprozess entstehende, intrinsische Zug- oder Druckstress (mechanische Spannungen) soll dabei wahlweise berücksichtigt werden. Die Idealisierung, die Berechnung und die Auswertung werden dabei im Detail verfolgt. Das Praktikum basiert auf der uneingeschränkten Version von FEMLAB 3.2, das es erlaubt, Multiphysics-Simulations unter einer Windows (XP)- oder LINUX -Umgebung durchzuführen. Es können ebenso Probleme aus jeder Technikbranche (Maschinenbau, Elektrotechnik, Bauwesen, Anlagenbau usw.) oder jeder Fachdisziplin (Strukturmechanik, Temperaturfeld, elektromagnetische Felder, Fluiddynamik usw.) selbsttätig durchgeführt werden. Hauptziel in der Mikrosystemtechnik ist: Design, Simulation und Test, d.h. die Entwicklung und Erprobung virtueller Mikrosysteme Die Komplexität von Mikrosystemen erfordert, dass das bottom up -Konzept durch das top down -Konzept ersetzt wird. Nur so lassen sich Systeme im wirtschaftlich vertretbaren Rahmen als Produkte realisieren. Daraus resultiert die zwingende Notwendigkeit in Systemen zu denken. Entscheidendes Werkzeug für den Entwickler ist eine geeignete und anwenderfreundliche CAE-Umgebung, die fachübergreifendes Wissen beinhaltet: d.h. es muß eine geschlossene Durchgängigkeit vom Design über die

4 II Komponentensimulation bis hin zur vollständigen Systemsimulation erreicht werden. Diese Durchgängigkeit ist bisher noch nicht ganz gegeben. Nach aktuellen Einschätzungen von mir und meinen Kollegen wie z.b. den Experten Prof. Wachutka, ETH Zürich TU- München oder Dr. Lahrmann TU-Berlin oder Dr. Lefrath Mechatronik Laboratorium der Univ. Paderborn ist diese vollständige Durchgängigkeit in einigen Unternehmen bereits verfügbar. Das Ziel der virtuellen Herstellung von Mikrosystemen, die auch als MEMS bezeichnet werden (Micro Electro Mechanical Systems bzw. MEchatronische MikroSysteme ), ist von besonderer Bedeutung für die Zukunft: Aufgrund der hohen Anzahl von kombinatorischen Verknüpfungen wird der Mikrosystemmarkt in Zukunft nicht von Großserienproduktionen dominiert werden, sondern von einer Vielzahl von hoch spezialisierten Produkten im kleinen bis mittleren Stückzahlenbereich bestimmt sein. Gleichzeitig werden auch in der Zukunft nur wenige Firmen über die sehr kostenintensiven Technologien verfügen, die zur Herstellung von Mikrosystemen MS nötig sind. Dagegen ist zu erwarten, dass eine Vielzahl von kleineren Unternehmen MS und auf MS basierende Produkte entwickeln werden und die Fertigung von Dienstleistungszentren im Unterauftrag durchführen lassen: Die Trennung zwischen Herstellern und Entwicklern erhöht somit den Bedarf an Mechatronik- oder MS-Ingenieuren, die Prototypen auf der Rechnerebene entwerfen, simulieren und in Applikationslaboren testen können. In diesem Sinne ist das Praktikum erst der erste Schritt zum Erfolg! Praktikumsziel: Das Praktikum soll die Studenten im späteren Berufsleben als Fach- und Führungskräfte in Konstruktions-, Entwicklungs- und Forschungsabteilungen aller Branchen (Automobilbau, Luft- und Raumfahrttechnik, Maschinenbau, Konsumgüterindustrie, Medizintechnik, Elektrotechnik) motivieren, die FEM als leistungsfähiges Entwicklungswerkzeug zu begreifen und entsprechend zu nutzen., den ( )

5 III Inhaltsverzeichnis About FEMLAB... 1 The FEMLAB Environment... 4 Overview of the FEMLAB Application Modes... 7 A Quick Tour of FEMLAB Basic Procedures Modeling in FEMLAB Examples of Structural Mechanics Models D-Balkonplatte D-Aufgabenstellung D-Idealisierung Start des FEMLAB-Programms Das Preprozessing D-Geometriemodellierung Das Quadrat Der Kreis Die Boole'sche Operation Der Elementtyp Die 2D-Materialdaten Die 2D-Randbedingungen Das Vernetzen Die Berechnung des 2D-Lastfalles Das 2D-Postprozessing Die 2D-Verschiebungen Die 2D-Spannungsverteilung Die Spannungen entlang von Schnitten Abschluß Varianten zum Selbststudium Vernetzung D-Balkonplatte D-Aufgabenstellung D-Idealisierung Modellerstellung D-Geometriemodellierung D-Geometrie Das Extrudieren Der Anwendungsmodus Die 3D-Materialdaten Die 3D-Randbedingungen Die Berechnung des 3D-Lastfalles Das 3D-Postprozessing... 58

6 IV Die 3D-Verschiebungen Die 3D-Spannungsverteilung Maßeinheiten Aufgaben zum MMS-Praktikum... TEIL I: Analytische Berechnungen... I Aufgabe 1: Gleichungen... I Aufgabe 2: Nullstellen... I Aufgabe 3: Membranpfad... TEIL II: FEM-Simulationen... II Aufgabe 1: 2D-Membran... II Aufgabe 2: 3D-Quadratmembran... II Aufgabe 3: 3D-Kreismembranen... II Aufgabe 4 : 2D-Axialsymmetrie... II Aufgabe 5: Bruchspannung... II Aufgabe 6: E-Feldsimulation (Zusatzaufgabe)... II Aufgabe 7: Protokoll

7 About FEMLAB 1. 1 About FEMLAB FEMLAB is a powerful, interactive environment for modeling and solving all kinds of scientific and engineering problems based on partial differential equations (PDEs). With FEMLAB you can easily extend conventional models for one type of physics into multiphysics models that solve coupled physics phenomena and do so simultaneously. Accessing this power does not require an in-depth knowledge of mathematics or numerical analysis. By using the built-in physics modes it is possible to build models by defining the relevant physical quantities such as material properties, loads, constraints, sources, and fluxes, rather than by defining the underlying equations. FEMLAB then internally compiles a set of PDEs representing the entire model. You access the power of FEMLAB as a standalone product through a flexible graphical user interface, or by script programming in the MATLAB language. As noted, the underlying mathematical structure in FEMLAB is a system of partial differential equations. We provide three ways of describing PDEs through the following mathematical application modes: Coefficient form, suitable for linear or nearly linear models General form, suitable for nonlinear models Weak form, for models with PDEs on boundaries, edges, or points, or for models using terms with mixed space and time derivatives. (The weak form provides many additional benefits, and we review them in the context of specific models in other books in this documentation set) Using these application modes, you can perform various types of analysis including: Eigenfrequency and modal analysis Stationary and time-dependent analysis Linear and nonlinear analysis When solving the PDEs, FEMLAB uses the proven finite element method (FEM). The software runs the finite element analysis together with adaptive meshing and error control using a variety of numerical solvers. A more detailed description of this mathematical and numerical foundation appears in the User s Guide and in the Modeling Guide.

8 About FEMLAB 2 PDEs form the basis for the laws of science and provide the foundation for modeling a wide range of scientific and engineering phenomena. Therefore you can use FEMLAB in many application areas, just a few examples being: Acoustics Bioscience Chemical reactions Diffusion Electromagnetics Fluid dynamics Fuel cells and electrochemistry Geophysics Heat transfer Microelectromechanical systems (MEMS) Microwave engineering Optics Photonics Porous media flow Quantum mechanics Radio-frequency components Semiconductor devices Structural mechanics Transport phenomena Wave propagation Many real-world applications involve simultaneous couplings in a system of PDEs multiphysics. For instance, the electrical resistance of a conductor often varies with temperature, and a model of a conductor carrying current should include resistiveheating effects. This book provides an introduction to multiphysics modeling in the section Free Convection Model A Guided Tour on page 32. In addition, the FEMLAB Modeling Guide covers multiphysics modeling techniques in the section Creating Multiphysics Models on page 276. The Multiphysics chapter in the FEMLAB Model Library also contains several examples.

9 About FEMLAB 3 Along these lines, one unique feature in FEMLAB is something we refer to as extended multiphysics: the use of coupling variables to connect PDE models in different geometries. This represents a first step toward system-level modeling. Another unique feature is FEMLAB s ability to mix domains of different space dimensions in the same problem, thereby simplifying modeling and decreasing execution time. You can even use different types of mesh elements in the geometry parts and thereby reduce the model size by, for example, meshing a thin block using brick elements. In its base configuration, FEMLAB offers modeling and analysis power for many application areas. For some of the most important we have created optional applicationspecific modules that simplify creating and analyzing models by using terminology and solution methods specific to the corresponding discipline. The FEMLAB 3.1 product family includes the Chemical Engineering Module, the Earth Science Module, the Electromagnetics Module, the Heat Transfer Module, the MEMS Module, and the Structural Mechanics Module. For ultimate flexibility, FEMLAB provides a seamless interface with MATLAB. With this integration, you can save and run FEMLAB models as MATLAB M-files. This gives you the freedom to combine PDE-based modeling, simulation, and analysis with other modeling techniques. For instance, it is possible to create a model in FEMLAB and then export it to Simulink as part of a control-system design. We are glad that you have chosen FEMLAB for your modeling needs and hope that FEMLAB will exceed your expectations. Thanks for choosing FEMLAB!

10 The FEMLAB Environment 4 2. The FEMLAB Environment This section describes the major components in the FEMLAB environment. When starting FEMLAB, you are greeted by the Model Navigator. Here you begin the modeling process and control all program settings. It lets you select space dimension and application modes to begin working on a new model, open an existing model you have already created, or open an entry in the Model Library. Abbildung 1: Modell-Navigator FEMLAB provides an integrated graphical user interface where you can build and solve models by using predefined physics modes, PDE modes, or a combination of them multiphysics modeling. These application modes, which we describe in more detail in the next section, are analogous to templates in that you define material properties, boundary conditions, and other quantities; FEMLAB then creates the PDEs. Application modes supply models for performing studies in areas such as: Acoustics Diffusion Electromagnetics

11 The FEMLAB Environment Fluid mechanics Heat transfer Structural mechanics PDEs 5 Axisymmetric variants are also available for most application modes. More details about the application modes appear in the following section of this book, and you can find extensive information about them in the Modeling Guide. To illustrate the uses of these application modes and other ways to put FEMLAB to work, we include prewritten ready-to-run models of familiar and interesting problems in the Model Library. This consists of both model files installed with FEMLAB as well as an accompanying text. Simply load one of them into the Model Navigator and hit the Solve button to watch it run. As noted earlier, each model includes extensive documentation including technical background, a discussion of the results, and step-bystep descriptions of how to set up the model. In a short time, though, you will want to start doing your own modeling, and an important part of the process is creating the geometry. The FEMLAB user interface contains a set of CAD tools for geometry modeling in 1D, 2D, and 3D. The package also provides a direct interface to the SolidWorks CAD software, and you can import DXF and IGES files. In combination with the programming tools, you can even use images and magnetic resonance imaging (MRI) data to create a geometry. In creating models you also have great flexibility in setting up various constants and variables. For instance, in the FEMLAB programming environment you can use MATLAB, C, C++, and Fortran programs to define material properties, loads, sources, and boundary conditions. For information on how to call C, C++, and Fortran programs from FEMLAB and MATLAB, see the MATLAB documentation on External Interfaces and API. When the geometry is complete and various parameters defined, FEMLAB automatically meshes a geometry, but you take charge of the mesh-generation process by accessing a set of control parameters. Next comes the solution stage. Here FEMLAB comes with a suite of solvers, all developed by leading experts, for stationary, eigenvalue, and time-dependent problems. For solving linear systems, FEMLAB features both direct and iterative solvers. A range of preconditioners are available for the iterative solvers. FEMLAB sets up application mode-dependent solver defaults.

12 The FEMLAB Environment 6 For postprocessing, FEMLAB provides tools for plotting and postprocessing any model quantity or parameter: Surface plots Slice plots Isosurfaces Contour plots Deformed shape plots Streamline plots Cross-section plots Animations Integration on boundaries and subdomains In some cases you might need functionality that extends beyond what we offer in FEMLAB today. For those occasions, you can turn to MATLAB. Within that programming environment you can work with FEMLAB data structures and functions using script programming. This makes FEMLAB a powerful tool for nonstandard or multidisciplinary modeling.

13 Overview of the FEMLAB Application Modes 3. 7 Overview of the FEMLAB Application Modes Solving PDEs generally means you must take the time to set up the underlying equations, material properties, and boundary conditions for a given problem. FEMLAB, however, relieves you of much of this work. The package provides a number of application modes that consist of predefined templates and user interfaces already set up with equations and variables for specific areas of physics. Special properties allow the selection of, for instance, analysis type and model formulations. The application mode interfaces consist of customized dialog boxes for the physics in subdomains and on boundaries, edges, and points along with predefined PDEs. A set of application-dependent variables makes it easy to visualize and postprocess the important physical quantities using conventional terminology and notation. Adding even more flexibility, the equation system view allows you to easily examine and modify the underlying PDEs in the case where a predefined mode does not exactly match the application you wish to model. Note: Suites of application modes that contain a large number of models optimized for specific disciplines are available in a group of optional products: the Chemical Engineering Module the Earth Science Module the Electromagnetics Module the Heat Transfer Module the MEMS Module, and the Structural Mechanics Module.

14 Overview of the FEMLAB Application Modes 8 Application Modes in FEMLAB The following table lists FEMLAB s application modes and their availability for 1D, 2D, and 3D geometries as well as the default application mode name (suffix for application mode variables) and dependent variable names:

15 Overview of the FEMLAB Application Modes 9 Tabelle 1: FEMLAB's application modes Note: You can change both the application mode name (suffix) and the names of the dependent variables when starting a new model. If you have more than one application mode of the same type in a model geometry, they get unique names by appending 2, 3, 4, etc. to the end of the application mode name. As the table indicates, these application modes fall into three broad categories: THE PHYSICS MODES Use the physics modes to instantly access convenient templates for specific application areas. Here you can specify physical properties for models in fields such as acoustics, diffusion, or electromagnetics. Details on how to use the physics modes appear in the section Using the Physics Modes on page 7 in the Modeling Guide. THE PDE MODES Turn to these modes to model directly with PDEs when you cannot find a suitable physics mode. With these modes you define the problem in terms of mathematical expressions and coefficients.

16 Overview of the FEMLAB Application Modes 10 FEMLAB includes three PDE modes: The Coefficient form allows you to solve linear or almost linear problems using PDEs and coefficients that often correspond directly to various physical properties. The General form provides a computational framework specialized for highly nonlinear problems. Consider using a weak form for these problems, too. The Weak form make it possible to model a wider class of problems, for example models with mixed time and space derivatives, or models with phenomena on boundaries, edges, or points as described with PDEs. In terms of convergence rate, these modes also set a computational framework suited for all types of nonlinear problems. For details on how to apply the PDE modes, please refer to two sections in the FEMLAB Modeling Guide, specifically PDE Modes for Equation-Based Modeling on page 211 and The Weak Form on page 243. CLASSICAL PDE The Classical PDEs describe a suite of well-known PDEs. They are not meant to serve as templates; we include them just for fun. Selecting an Application Mode MODELING USING A SINGLE APPLICATION MODE Most of the physics application modes contain stationary, eigenvalue, and dynamic (time-dependent) analysis types. As already mentioned, these modes provide a modeling interface that lets you perform modeling using material properties, boundary conditions, and initial conditions. Each of these modes comes with a template that automatically supplies the appropriate underlying PDE. If you cannot find a physics mode that matches a given problem, try one of the PDE modes, which allow you to define a custom model in general mathematical terms. Indeed, FEMLAB can model virtually any scientific phenomena or engineering problem that originates from the laws of science. MODELING MULTIPHYSICS OR SYSTEMS WITH SEVERAL DEPENDENT VARIABLES When modeling a real-world system, you often need to include the interaction between different kinds of physics. For instance, the properties of an electronic component such as an inductor vary with temperature.

17 Overview of the FEMLAB Application Modes 11 To solve such a problem, combine two or several application modes into a single model by using FEMLAB s multiphysics feature. For the example just mentioned, combine the Conductive Media DC and Heat Transfer by Conduction modes. In this way you create a system of two PDEs with two dependent variables: V for the electric potential and T for temperature. Combining physics modes and PDE modes also works well. Assume, for instance, that you want to model the fluid-structure interactions due to the vibrations of yoghurt in a cardboard container as it rides on a conveyor belt. You could start with the Plane-Stress mode in the Structural Mechanics Module to model the container walls, then add a PDE to model the irrotational flow of the Quid. This approach also creates a system of two PDEs but requires that you define one of them from scratch, in this case using the general PDE formulation. To summarize the proposed strategy for modeling processes that involve several types of physics: Look for application modes suitable for the phenomena of interest. If you find them among the physics modes, use them: if not, add one or more PDE modes. The approach to couple multiple application modes is to use dependent variables or their derivatives, or use expressions containing the dependent variables. The coupling can occur in subdomains and on boundaries. In the example above, use the dependent variable T for the temperature of the conductivity a in the Conductive Media DC application mode: = 1 [ 0 1 T T 0 ] This model is described in the section Example: Resistive Heating on page 283 in the Modeling Guide.

18 A Quick Tour of FEMLAB A Quick Tour of FEMLAB This chapter provides a quick tour of FEMLAB through an overview of the basic procedures and an example model. The discussion covers the entire modeling process using a step-by-step approach that includes many important aspects of the FEMLAB software: The use of predefined physics application modes The definition of a multiphysics problem The possibility to model using physical properties that depend on the solution itself The extraction of design parameters using postprocessing tools In addition to these FEMLAB features, this first example covers general modeling methods: Reduction of the dimension of parts of the problem from three to two space dimensions Checking simulation results to validate the solution When creating a model in FEMLAB, the typical modeling steps include: 1 Creating or importing the geometry 2 Meshing the geometry 3 Defining the physics on the domains and at the boundaries 4 Solving the model 5 Postprocessing the solution 6 Performing parametric studies The following section describes the main components and procedures in FEMLAB and its operating modes.

19 Basic Procedures Basic Procedures FEMLAB supplies a number of easy-to-use tools and commands to help with modeling and analysis. After mastering the basic procedure in this chapter, you will want to learn the details about of the various functions and features. Starting FEMLAB The very first step is to install FEMLAB on your computer according to the instructions in the FEMLAB lnstallation Guide. STARTING FEMLAB IN WINDOWS The easiest way to start FEMLAB is to double-click the FEMLAB 3.2 icon. Abbildung 2: The FEMLAB 3.2 icon on the Windows desktop You can also start FEMLAB from the Windows Start menu. See the Installation Guide for information about starting FEMLAB with a server connection and using the MATLAB interface. STARTING FEMLAB IN LINUX AND UNIX To start FEMLAB, run the command femlab at the system command prompt. STARTING FEMLAB IN MAC OS X Double-click the FEMLAB icon in the FEMLAB32 folder to launch FEMLAB. Abbildung 3: The FEMLAB icon in Mac OS X

20 Basic Procedures 14 Creating and Opening Models When FEMLAB starts, the first window that appears is the Model Navigator. This is a starting point where you create new models and open your own models or those from the model libraries. From the Model Navigator you enter the main FEMLAB application window to start building a model or continue working with an existing model. STARTING A NEW FEMLAB MODEL Abbildung 4: New FEMLAB Model 1 In the Model Navigator, select the space dimension from the Space dimension list. Choose from 1D, 2D and 3D geometries using Cartesian coordinates and, for most application modes, 1D and 2D axisymmetric geometries using cylindrical coordinates. 2 Select an application mode from the list of application modes to the left. Opening a folder at the top level shows all application modes within that application area. For some application modes you can select from different analysis types or solver types by clicking the plus sign at the application mode node. 3 Click OK. To open a FEMLAB model anywhere on the file system, click OK in the Model Navigator and choose Open from the File menu in FEMLAB. To open a FEMLAB Model file (.f1) directly in Windows, double-dick its icon from for example, Windows Explorer. That opens FEMLAB and loads the model.

21 Basic Procedures 15 CREATING A MULTIPHYSICS MODEL Abbildung 5: Multiphysics Model Use the following steps to create a multiphysics model with several types of physics and equations: 1 Click the Multiphysics button. 2 Make an appropriate selection from the list of application modes. 3 Click Add to add it to the current model. 4 Continue adding application modes by selecting them and then clicking the Add button. 5 For extended multiphysics modeling using more than one geometry, click the Add Geometry button to specify a new geometry. Then proceed to add application modes to the new geometry. 6 Click OK. It is also possible to open the Model Navigator from the Multiphysics menu to add and remove application modes in the model. See the Multiphysics Modeling chapter in the Modeling Guide for more information about multiphysics modeling.

22 Basic Procedures 16 STARTING A MODEL WITH A GEOMETRY ONLY It is also possible to start FEMLAB without any physics or equations. That way you can create a model geometry and later add physics, equations and additional geometries by opening the Model Navigator from the Multiphysics menu. To open a model with a geometry only, use these steps: 1 Click the New tab in the Model Navigator. 2 Select the space dimension of the geometry from the Space dimension list. 3 Click OK without making a selection in the list of application modes. If you already have selected an application mode, you can clear the selection by Ctrlclicking on the selected application mode in the list. Using Commands and Dialog Boxes In the FEMLAB graphical user interface you use commands, toolbars and dialog boxes for every task. UNDO AND REDO COMMANDS To undo and redo many commands, choose Undo and Redo from the Edit menu or press Ctrl+Z or Ctrl+Y. In many cases, you can undo and redo several modeling steps. TO CHOOSE A COMMAND FROM A MENU Choose commands from the menus in the main menu bar. For many commands shortcut keys appear on the menu to the right of the command. Learning to use these shortcut keys can help you work faster. TO USE A DIALOG BOX For most inputs, FEMLAB provides dialog boxes that stay open while you work on your model. They typically contain three buttons for using or discarding your input: Click Apply to apply all inputs to the current model without closing the dialog box. Click OK or press Enter to apply all inputs to the current model and close the dialog box. Click Cancel or press Esc to discard all inputs and close the dialog box.

23 Basic Procedures 17 Extended Edit Fields In the dialog boxes where you specify the physics, equations and variables, an extended edit field appears if the entry that you type does not fit inside the regular edit field. It is possible to edit both the extended edit field and the regular edit field. If you do not want to use the extended edit fields, you can turn them off: 1 From the Options menu, open the Preferences dialog box. 2 On the General tab, clear the Show extended edit fields check box. 3 Click OK. Modeling in FEMLAB The FEMLAB application window provides a graphical user interface (GUI) that handles all aspects of the modeling process: Preprocessing and CAD Specification of the physics through equations, material data, boundary conditions, couplings and other properties Meshing, assembly and solution of the finite element model Postprocessing and visualization of the solution and other quantities

24 Basic Procedures 18 THE 1D AND 2D GRAPHICAL USER INTERFACE The figure below shows the 2D graphical user interface with annotations that highlight some of its most important elements. The GUI looks similar when working with 1D geometries but with fewer options in the Draw toolbar. Axis scroll bars Menu bar Draw toolbar Message log Abbildung 6: 2D graphical user interface Status bar Drawing area

25 Basic Procedures 19 THE 3D GRAPHICAL USER INTERFACE The main differences between the 3D and the 1D and 2D user interfaces appear in geometry modeling, visualization possibilities of a 3D geometry and methods for selecting objects. The following plot shows the 3D graphical user interface together with annotations pointing out its most important parts: Axis scroll bars Menu bar Draw toolbar Visualization / Selection toolbar Camera toolbar Coordinate system Message log Abbildung 7: 3D graphical user interface Status bar Drawing area

26 Basic Procedures 20 THE MAIN GUI COMPONENT The following are the most important GUI components used during the modeling process: The main menu contains commands for all modeling tools. The Main toolbar provides quick access to the most important modeling features. The Draw toolbar contains CAD tools for drawing and editing geometry objects. The Plot toolbar provides quick access to the most common visualization methods. The Visualization/Selection toolbar is available for preprocessing 3D models. It provides tools for rendering and selection of domains. The Camera toolbar is available for 3D models and during the postprocessing of 2D models. It contains tools for changing the view and adding light sources. The main axes area displays the model during various modeling stages. You can point-and-click to select parts of the model for specification of input data. You can also click-and-drag to draw and edit 1D and 2D geometry objects. The color scales map colors in the plots to the numerical values of the plotted properties. The coordinate system is available for 3D models and during the postprocessing of 2D models. The small coordinate system adapts to the current 3D view and helps you keep track of the axis directions. The message log displays messages about changed model parameters, geometry modeling commands, progress and convergence of the solvers and much more. When postprocessing 1D and 2D models, you can point-and-click to get numerical values of the plotted property. The values appear in the message log. Simply scroll the message log to look at old messages. The status bar, located just below the message log, provides details about the status of settings such as grid lines and axes. Here you can also see the current cursor coordinates. Toggle the state status bar items by double-clicking them.

27 Basic Procedures 21 Tooltips for the Toolbar Buttons All the toolbar buttons have tooltips, which are small labels that contain a description of the command that you activate by clicking the toolbar button. The tooltips appear when you move the cursor over the toolbar button. To turn off the display of tooltips: 1 From the Options menu, open the Preferences dialog box. 2 On the General tab, clear the Show tooltips check box. 3 Click OK. NAVIGATING THE SELECTION AND DISPLAY MODES FEMLAB contains various selection and display modes. They provide selection and display of the relevant part of the model. The following modes are available: Draw mode Point selection mode Edge selection mode (3D only) Boundary selection mode Subdomain selection mode Mesh mode Postprocessing mode Abbildung 8: Mode navigation buttons Select the modes using the mode navigation buttons on the main toolbar or from a menu. To access the selection modes for points, edges, boundaries and subdomains, point to Selection Mode in the Physics menu and then click the desired selection mode. Select draw mode, mesh mode and postprocessing mode from the corresponding menus. The mode navigation buttons provide quick mode selection and a visual indication of the current mode. In 3D, the Point mode button has the symbol 3Ω and the Edge mode button uses the same symbol 2Ω as the Point mode in 2D.

28 Basic Procedures 22 Getting Help To open the FEMLAB online documentation, use any of these methods: From the Help menu, choose FEMLAB Help. Press Fl. Click the Help button. The FEMLAB Help Desk contains the entire FEMLAB documentation set. Search tools make it easy to find the desired information. The documentation set is also available as PDF files. If you are connected to the Internet, access our online support resources: From the Help menu, choose Online Support or point to Online Resources and then click Support Knowledge Base to access the online FEMLAB support resources. See Internet Resources on page 18 for more information about the FEMLAB Internet resources. Saving Models You can save models in different formats: FEMLAB Model File, using extension.fl. This is the standard FEMLAB model data format, which contains both text and binary data. Model M-file, using the extension.m (requires the MATLAB interface). This created a MATLAB M-file that can run in the MATLAB environment and that you can extend using the FEMLAB programming language and MATLAB commands. You can also load Model M-files in FEMLAB without access to MATLAB. To save a model, choose Save from the File menu or press Ctrl+S. If it is the first time that you save a model, FEMLAB displays the Save Model dialog box. Select the file format, enter a new name for the model, and click Save.

29 Modeling in FEMLAB Modeling in FEMLAB The model discussed later in this chapter, as well as the models in the Modeling Guide and the Model Library, all use a common format for their descriptions. Style Conventions for the Model Descriptions The basic flow of actions is indicated by the order of the toolbar buttons and the menus. You work from left to right when defining, solving and postprocessing a model. Considering this, a certain style convention, or format, is used throughout the documentation for describing models. The format includes headlines corresponding to each major step in the modeling process. These headlines also roughly correspond to the different modes and menus in FEMLAB. MODEL NAVIGATOR This section explains how to start a new model by selecting application modes and specifying variable names and other model properties in the Model Navigator. OPTIONS AND SETTINGS This section covers basic settings, for example, the axis or grid spacing settings. These can usually be made with commands from the Options menu or by double-clicking on the status bar. Use the Constants dialog box to enter model parameters. GEOMETRY MODELING Here you create the model geometry using the CAD tools on the draw menu and the draw toolbar. PHYSICS MODELING In this step you enter all the descriptions and settings for the physics and equations in the model. This part contains one or more of the following sections: Subdomain Settings In this section you specify subdomain settings. They describe material properties, sources and PDE coefficients on the subdomains. On the subdomains it is also possible to specify initial condition and element types. Boundary Conditions Here you specify boundary and interface conditions.

30 Modeling in FEMLAB 24 Edge Settings Here you specify edge settings. They describe material properties and PDE coefficients on edges (3D models only). Point Settings Here you specify point settings. They describe properties and values for point sources and other values that apply to geometry vertices. Application Scalar Variables Some application modes use scalar variables that are independent of the geometry, for example, frequency. Application Mode Properties Depending on the application mode, you can change a number of its properties such as analysis type and equation formulations. Coupling Variables In extended multiphysics models and for certain applications, you can assign coupling variables that connect variables and expressions in various domains. In this section, you define these coupling variables. MESH GENERATION Here you create the finite element mesh for the model geometry. Normally you simply click the mesh buttons on the main toolbar. In some cases you must use other commands on the Mesh menu to customize the mesh. COMPUTING THE SOLUTION Often it suffices to click the Solve button on the main toolbar. Sometimes you might want to change some solver properties or analysis settings in the Solver Parameters dialog box. POSTPROCESSING AND VISUALIZATION Here you make the visualization settings as well as perform various postprocessing of the analysis results. You work with the Plot Parameters dialog box and other visualization and postprocessing tools.

31 Examples of Structural Mechanics Models Examples of Structural Mechanics Models Two structural mechanics benchmark models show how to perform a linear static stress analysis using: A uniformly distributed horizontal load along an outer edge An gravity loading The examples are taken from a NAFEMS benchmark collection [1]. Tapered Membrane End Load The first example shows a 2D plane stress model of a membrane with a thickness of 0.1 m. The load is a uniformly distributed horizontal load of 10 MN/m (that is, a pressure of 100 MPa) along the right end. At the left end, there is no displacement in the x direction. Also, at a midpoint location, the left end is fixed also in the y direction. The model uses the following material properties: The material is isotropic. The Young s modulus (elasticity modulus) is MPa. The Poisson ration is 0.3.

32 Examples of Structural Mechanics Models 26 Abbildung 9: 2D plane stress model of a membrane Modeling in FEMLAB Using a Plane Stress application modes and a static analysis, it is straightforward to perform this stress analysis in FEMLAB. The finite element model uses second-order triangular Lagrange elements. To show convergence toward the benchmark value, refine the mesh and recompute the solution twice. Results The solution shows an x-direction stress at the point (0, 2) that is in good agreement with the benchmark target value of 61.3 MPa. Using the initial mesh, the FEMLAB solution gives a value of MPa. Two successive mesh refinements provide stress values of and MPa.

33 Examples of Structural Mechanics Models 27 Abbildung 10: x-direction stress distribution with a uniform edge load Model Library path: FEMLAB/Structural Mechanics/edge load 2d Modeling Using the Graphical User Interface MODEL NAVIGATOR 1 Select 2D in the Space dimension list. 2 In the list of application modes, open the Structural Mechanics folder and the Plane Stress. Select Static analysis. 3 Click OK. GEOMETRY MODELING 1 On the Draw menu, point to Specify Objects and then click Line. 2 In the Line dialog box, type in the x edit field and in the y edit field. 3 Click OK. 4 Click the Zoom Extents button in the Main toolbar.

34 Examples of Structural Mechanics Models 28 5 Click the Coerce to Solid button in the Draw toolbar. 6 On the Draw menu, point to Specify Objects and then click Point. 7 In the Point dialog box, type 0 in the x edit field and 2 in the y edit field. 8 Click OK. The point is the location for the point constraint and also the benchmark value for the stress. PHYSICS SETTINGS Boundary and Point Conditions Loads and Constraints 1 From the Physics menu, choose Boundary Settings. 2 Select boundaries 1 and 3 in the Boundary selection list. 3 Select the Rx check box. 4 Click the Load tab. 5 Select boundary 5 in the Boundary selection list. 6 Type 10e6 in the Fx edit field. Abbildung 11: Randbedingungen Last (Boundary Conditions - Loads) 7 Click OK. 8 From the Physics menu, choose Point Settings. 9 Select point 2 in the Point selection list. 10 Select the Rx and Ry check boxes. 11 Click OK.

35 Examples of Structural Mechanics Models 29 Subdomain Settings Material Properties 1 From the Physics menu, choose Subdomain Settings. 2 Select subdomain 1 in the Subdomain selection list. 3 Type 210e9 in the E edit field for the Young s modulus. 4 Type 0. 3 in the υ edit field for the Poisson s modulus. 5 Type 0.1 in the thickness edit field. Abbildung 12: Gebietseigenschaften Material (Subdomain Settings - Material properties) 6 Click OK. The other material properties are not used in this model. MESH GENERATION Click the Initialize Mesh button. COMPUTING THE SOLUTION Click the Solve button. POSTPROCESSING AND VISUALIZATION The default plot shows the von Mises stress. To plot the x-direction stress, use the following steps: 1 From the Postprocessing menu, select Plot Parameters. 2 In the Plot Parameters dialog box, click the Surface tab. 3 Under Surface data, select sx normal stress global sys. in the Predefined quantities list. 4 Click OK.

36 Examples of Structural Mechanics Models 30 To get a better look at the value of the x-direction stress at the point (0,2), use the Cross-Section Plot Parameters dialog box: 1 From the Postprocessing menu, select Cross-Section Plot Parameters. 2 Click the Point tab. 3 Select sx normal stress global sys. in the Predefined quantities list. 4 Type 0 in the x edit field and 2 in the y edit field. 5 Click OK. This plot shows a straight line representing the value of the x-direction stress at the point (0,2). You can also click at that point in the results plot. That prints the numeric value in the Message log. Tapered Cantilever Gravity Loud The second example shows another 2D plane stress model of a membrane with a thickness of 0.1 m. The load is a gravity load that acts in the negative y direction with an acceleration of 9.81 m/s2. The left end boundary is fully fixed (no displacements). The model uses the following material properties: The material is isotropic. The Young s modulus (elasticity modulus) is MPa. The Poisson ration is 0.3. The density is 7000 kg/m3. Modeling in FEMLAB Using a Plane Stress application modes and a static analysis, it is straightforward to perform this stress analysis in FEMLAB. You enter the gravity load as force/volume. FEMLAB then computes the load using the thickness of the material. The finite element model uses second-order triangular Lagrange elements. For postprocessing, use a crosssection plot to show the value of the shear stress at the location (0,2). Results The solution shows a shear stress (sxy) at the point (0,2) that is in good agreement with the benchmark target value of MPa. Using the initial mesh, the FEMLAB solution gives a value of MPa.

37 Examples of Structural Mechanics Models 31 Abbildung 13: shear stress and the displacement (exaggerated) from u gravity load Model Library path: FEMLAB/Structural Mechanics/gravity load 2d Modeling Using the Graphical User Interface MODEL NAVIGATOR 1 Select 2D in the Space dimension list. 2 In the list of application modes, open the Structural Mechanics folder and the Plane Stress. Select Static analysis. 3 Click OK.

38 Examples of Structural Mechanics Models 32 GEOMETRY MODELING 1 On the Draw menu, point to Specify Objects and then click Line. 2 In the Line dialog box, type in the x edit field and in the y edit field. 3 Click OK. 4 Click the Zoom Extents button in the Main toolbar. 5 Click the Coerce to Solid button in the Draw toolbar. PHYSICS SETTINGS Boundary Conditions Constrains 1 From the Physics menu, choose Boundary Settings. 2 Select boundary 1 in the Boundary selection list. 3 Select the Rx and Ry check boxes. Abbildung 14: Randbedingungen Nebenbedingungen (Boundary Conditions - Constrains) 4 Click OK. Subdomain Settings Material Properties and Loads 1 From the Physics menu, choose Subdomain Settings. 2 Select subdomain 1 in the Subdomain selection list. 3 Type 210e9 in the E edit field for the Young s modulus. 4 Type 0. 3 in the υ edit field for the Poisson s ratio. 5 Type 0.1 in the thickness edit field. You can also type 7000 in the ρ edit field for the density, but the density value from this edit field is not used in the static analysis. The gravity appears in the specification of the gravity load below.

39 Examples of Structural Mechanics Models 33 Abbildung 15: Gebietseigenschaften Material (Subdomain Settings - Material properties) 6 Click the Load tab. 7 Type *7000 in the Fy edit field for the y-direction body load. 8 Click the Body load is defined as force/volume using the thickness button. Abbildung 16: Gebietseigenschaften Last (Boundary Conditions - Loads) 9 Click OK. MESH GENERATION Click the Initialize Mesh button. COMPUTING THE SOLUTION Click the Solve button.

40 Examples of Structural Mechanics Models 34 POSTPROCESSING AND VISUALIZATION The default plot shows the von Mises stress. To plot the shear stress and also the deformed shape (displacements), use the following steps: 1 From the Postprocessing menu, select Plot Parameters. 2 In the Plot Parameters dialog box, click the Surface tab. 3 Under Surface data, select sxy shear stress global sys. in the Predefined quantities list. 4 Click the Deform tab. 5 Select the Deformed shape plot check box. The deformation data is the x and y displacement by default. 6 Click OK. The deformed shape plot uses a scaling factor to clearly show the deformation. The actual displacements are small compared to the model geometry. Click the Deform tab too see the scale factor or to enter a different scale factor. To get a better look at the value of the shear stress at the point (0,2), use the CrossSection Plot Parameters dialog box: 1 From the Postprocessing menu, select Cross-Section Plot Parameters. 2 Click the Point tab. 3 Select sxy shear stress global sys. in the Predefined quantities list. 4 Type 0 in the x edit field and 2 in the y edit field. 5 Click OK. The plot shows a straight line at the value of the shear stress at (0,2). You can also click at that point in the results plot. That prints the numeric value in the Message 1og. Reference [1] D. Hitchings, A. Kamoulakos, G. A. O. Davies: Linear Statics Benchmarks Vol. 1, NAFEMS Ltd., Glasgow, 1987

41 2D-Balkonplatte D-Balkonplatte D-Aufgabenstellung Die zu berechnende Struktur stellt eine etwa 2 m breite Platte dar, die einem Balkon vergleichbar ist. Die Platte ist an einer Seite (an der Hauswand) fest eingespannt und ragt 1 m nach außen. Die Plattendicke beträgt am freien Außenrand 0.2 m. Die untere Seite ist gerundet, sie wird von der Außenkante zur Einspannung hin dicker. Der Radius dieser Rundung beträgt 1.8 m. Die Platte ist an der Oberseite durch eine Verkehrslast beaufschlagt, die als Flächenlast (Druck) einzugeben ist. Abbildung 17: 2D Balkonplatte - Skizze der Aufgabenstellung D-Idealisierung Die Aufgabe wird mit einer statischen strukturmechanischen Berechnung gelöst. Die Struktur wird durch ein 2-dimensionales Modell abgebildet. Dazu wird ein Elementtyp verwendet, der in einer Ebene definiert ist. Für diesen Elementtyp wird ein ebener Dehnungszustand festgelegt. Dies entspricht einem in der Mitte herausgeschnittenen Streifen der Platte, die Einwirkungen der Plattenränder werden vernachlässigt.

42 2D-Balkonplatte Start des FEMLAB-Programms Beim Start des FEMLAB-Programms öffnet sich das Modell-Navigator Fenster. Hier wählen Sie als erstes die Raumdimension 2D aus. Anschließend legen Sie fest, dass es sich bei der Simulation um eine statische Analyse eines strukturmechanischen Modells im ebenen Dehnungszustand handelt. Abbildung 18: Modellnavigator - 2D Strukturmechanik Die Auswahl bestätigen Sie mit OK.

43 2D-Balkonplatte Das Preprozessing Dieser Abschnitt geht davon aus, dass die Aufgabenstellung bekannt ist und durch die Überlegungen der Idealisierung soweit aufbereitet ist, dass die numerische Arbeit beginnen kann. Das FEMLAB-Programm ist gestartet und das Anwendungsfenster hat sich geöffnet. Die komplette Finite-Element-Berechnung umfasst folgende Schritte: Zeichnen oder importieren der Geometrie Definition der Gebietseigenschaften sowie der Rand- und Punktbedingungen Vernetzung der Geometrie Lösen des Modells Postprozessing der Lösung Im Preprozessing-Schritt werden die Modelldaten aufbereitet. Diese Modelldaten beinhalten die Knoten und Elemente den Elementtyp die Materialdaten in einigen Fällen zusätzlich Querschnittsdaten Im Preprozessing werden die Knoten und Elemente vielfach automatisch vom Programm erzeugt, der Anwender gibt nur ein Geometriemodell als Umriss vor. Alle Knoten, Elemente, Materialdaten und gegebenenfalls Querschnittsdaten werden benötigt, um anschließend im Lösungs-Schritt des FEMLAB-Programms die Steifigkeitsmatrix erstellen zu lassen. Das Preprozessing kann beendet werden, wenn Knoten, Elemente, Elementtyp, Materialdaten und gegebenenfalls Querschnittsdaten festgelegt sind und damit das Finite-Element-Berechnungsmodell das numerische Abbild unserer Struktur darstellt D-Geometriemodellierung Das FEMLAB-Programm bietet umfassende Möglichkeiten zur Festlegung der Knoten und Elemente des Finite-Element-Modells, die es ermöglichen, das FE-Modell einer Konstruktion in einfacher Weise zu erstellen. Es sind zwei Arbeitsweisen verfügbar die Geometriemodellierung (Solid Modeling) und anschließende automatische

44 2D-Balkonplatte 38 Vernetzung oder die direkte Eingabe einzelner Knoten und Elemente. Beide Arbeitsweisen haben ihre Vorteile, der Anwender kann zwischen beiden wählen und sie beliebig kombinieren. Bei der Geometriemodellierung (Solid Modeling) erfolgt die Definition der Geometrie und auch später der Randbedingungen von der Erzeugung des Finite-Element-Netzes (der Knoten und Elemente) weitgehend unabhängig. Zuerst gibt der Benutzer die Geometrie des Körpers (im allgemeinen die Umrisse) ein. Die Eingaben können sofort und interaktiv überprüft werden. Dieses Modell wird dann vom Programm vernetzt, d. h. das Programm legt die Lage der Knoten und die Zuordnung der Knoten zu den Elementen fest. Bei einer Änderung des Geometriemodells kann eine angemessene Elementeinteilung vom FEMLAB-Programm in kurzer Zeit mit wenig Aufwand neu festgelegt werden. Es gibt zwei Möglichkeiten der Geometriemodellierung: Die sogenannte,,top-down- und die,,bottom-up- Vorgehensweise. Bei der ersten Vorgehensweise,,top-down" wird von einfachen geometrischen Körpern wie Quader, Kegel, Zylinder oder Kugeln sogenannte,,primitives - ausgegangen, die mit einem einzigen Befehl erstellt werden. Definiert der Anwender ein Volumen, werden vom Programm automatisch die dazugehörigen Flächen, Linien und Punkte erzeugt. Bei der zweiten Vorgehensweise,,bottom-up" geht der Benutzer von Punkten aus, verbindet diese mit Linien, spannt mit diesen dann Flächen auf, die wiederum Volumen erzeugen können. Beide Vorgehensweisen haben ihre Vorteile. Das FEMLAB-Programm ist auf die topdown -Methode beschränkt. Bei beiden Vorgehensweisen stehen dem Anwender Boole'sche Operationen wie Verschneidungen, Subtraktion und Addition zur Verfügung. Diese sind auf Linien, Flächen und Volumen anwendbar, so dass in kurzer Zeit komplexe Modelle erstellt werden können. Wenn das Geometriemodell einmal erstellt ist, kann das Finite-Element-Modell (Knoten und Elemente) mit einem einzigen Befehl generiert werden. Das FEMLAB-Programm bietet zwei Arten der Vernetzung:,,mapped meshing und,,free meshing. Unter,,mapped meshing" versteht man das regelmäßige Vernetzen mit Vierecken bzw. Hexaedern. Im,,free meshing" bestehen hinsichtlich der Vernetzung keine festen Vorgaben. Der FEMLAB-Netzgenerator erzeugt automatisch ein angepaßtes Muster von Knoten und Elementen. In unserem Beispiel wird zunächst mit den angebotenen Standardgeometrien (primitives) ein Quadrat erzeugt, anschließend ein Kreis und dann der Kreis vom Quadrat durch eine Boole'sche Operation subtrahiert, so dass die Rechteckfläche mit einem Bogenausschnitt übrigbleibt. Diese Fläche wird automatisch vernetzt.

45 2D-Balkonplatte Das Quadrat Zur Festlegung des Quadrates wählen wir Zeichnen> Object spezifizieren> Qudrat Das neu geöffnete Fenster mit der Titelzeile Quadrat lädt zur Eingabe der Breite sowie zur Definition des Drehwinkels und der Basis mit den entsprechenden Koordinaten ein. Unter Stil wird festgelegt ob es sich um einen Festkörper oder eine Kurve handelt. Im Feld Name ist die Benennung der Geometrie möglich. Unser Quadrat soll eine Kantenlänge von 1 erhalten. Dazu geben wir mit der Tastatur den Wert 1 in das Feld Breite ein. Alle weiteren Voreinstellungen können unverändert mit OK übernommen werden. Die grafische Darstellung wird nun an die Abmessungen unseres Quadrats angepasst, indem Optionen> Zoom> Auf alle Objekte zoomem angewählt wird. Das Quadrat ist im Zeichenbereich dargestellt und automatisch so skaliert, dass der quadratische Bildbereich gut ausgenutzt wird. Bevorzugen Sie die grafische Erstellung der Geometrie aktivieren Sie aus der Zeichnenleiste am linken Bildrand einen der beiden Rechteck/Quadrat-Buttons. Platzieren Sie das Fadenkreuz auf die Koordinaten 0,0 und betätigen Sie die linke Maustaste. Bei gedrückter Steuerungstaste ziehen Sie nun ein Quadrat mit der Kantenlänge 1 auf indem Sie das Fadenkreuz auf die Koordinaten 1,1 verschieben und die Erstellung durch Drücken der linken Maustaste abschließen. Die grafische Anpassung an den Zeichenbereich erreichen Sie durch die Betätigung des Auf alle Objekte zoomen -Button in der Hauptwerkzeugleiste. Abbildung 19: 2D Strukturmechanik - Quadrat erzeugen

46 2D-Balkonplatte Der Kreis Zur Festlegung des Kreises ist dieses Bild allerdings ungünstig ausgeführt. Daher wird an dieser Stelle gezeigt, mit welchen Möglichkeiten der Anwender die Grafikausführung beeinflussen kann. Im vorliegenden Fall klicken Sie 2-mal den Verkleinern-Button in der Hauptwerkzeugleiste. Als Ergebnis wird das Quadrat im Bild jeweils verkleinert. Dann klicken Sie Optionen> Achse/Gitter-Formatierung In dem sich öffnenden Fenster wechseln Sie zum Reiter Gitter, deaktivieren die Checkbox Auto und geben in den Feldern x- und y-abstand jeweils den Wert 0.2 ein. Beenden Sie die Aktion mit OK. Für die Festlegung des Kreises, der die Grundlage für den Ausschnitt darstellen soll, verwenden wir Zeichnen> Object spezifizieren> Kreis Durch diese Auswahl wird ein Fenster mit der Titelzeile Kreis geöffnet. Hier wird der Radius von 1.8 eingegeben und der Kreismittelpunkt an den Koordinaten x: 1 und y: -1 festgelegt. Bestätigen Sie mit OK. Die grafische Darstellung wird nun an die Abmessungen unserer Geometrie durch Anklicken des Auf alle Objekte zoomen -Button angepaßt. Abbildung 20: 2D Strukturmechanik - Kreis erzeugen

47 2D-Balkonplatte Die Boole'sche Operation Die von uns gewünschte Fläche ist diejenige des Quadrates, jedoch abzüglich des Teils der Kreisfläche, der in das Quadrat hineinragt. Wir werden dieses Abziehen der Flächen als eine Boole'sche Operation ausführen. Dabei wird von der Quadratfläche der Kreis subtrahiert. Das, was vom Quadrat anschließend übrig bleibt, ist die von uns gewünschte Fläche. Diese Operation wird durch Anwählen von Zeichnen> Kombiniertes Objekt erstellen eingeleitet. Es erscheint ein neues Fenster mit der Titelzeile Kombiniertes Objekt erstellen. Geben Sie in dem Feld Formel setzen SQ1-C1 ein. Bestätigen Sie diese Eingabe durch Anklicken von OK. Abbildung 21: 2D Strukturmechanik - Flächen subtrahieren Nun wird die Boole'sche Subtraktion ausgeführt. Es erscheint im Grafikfenster der gewünschte Umriß des Quadrates mit dem ausgeschnittenen Bogen an der Unterseite. Passen Sie danach die grafische Darstellung der Geometrie an.

48 2D-Balkonplatte Der Elementtyp Nachdem das Geometriemodell fertiggestellt ist und die Fläche, die das rechnerische Modell der Struktur repräsentiert, auf dem Bildschirm dargestellt ist, kann nun in diese Fläche ein Netz von Elementen und Knoten einbeschrieben werden. Dies soll automatisch erfolgen. Diese Automatik erfordert jedoch vorher noch eine Angabe über den Elementtyp. Denn wenn auch durch unser Modell bereits klargestellt ist, daß es sich um ein flaches, ebenes Gebilde handelt, bleiben noch viele Entscheidungen offen, zum Beispiel Soll eine strukturmechanische Berechnung (mit Verschiebungen und Spannungen) oder eine Temperaturfeldberechnung (mit Temperaturen und Wärmeströmen) oder eine fluiddynamische Berechnung (mit Drücken und Strömungsgeschwindigkeiten) durchgeführt werden? Soll das Modell ein 2-dimensionaler Schnitt durch eine 3-dimensional ausgedehnte Platte sein (wie in diesem Beispiel), bei der aber in der Tiefenrichtung (bei uns senkrecht zum Bildschirm) keine Änderungen auftreten und wir uns daher auf die dargestellte Ebene beschränken können? Oder liegt ein flaches, dünnes Blech vor, das sich in die z-richtung hinein verbiegen kann (3-dimensionales Schalenmodell)? Dies sind zwar nicht viele, aber wichtige Fragen, die wir bereits zu Beginn des Beispiels durch die Auswahl des entsprechenden Anwendungsmodus beantwortet haben Die 2D-Materialdaten Zur Eingabe der Materialdaten wird Physik> Gebietseigenschaften angeklickt. Diese Auswahl öffnet ein Fenster mit der Titelzeile Gebietseigenschaften Ebene Dehnung (pn). Wir markieren das Gebiet Nummer 1 und können jetzt die Kennwerte des Materials in den entsprechenden Feldern eingeben. Für unser Beispiel ist es ausreichend, in das Feld Youngscher Modul E den Zahlenwert von 200e9 einzutragen. Die Querkontraktion wird im Feld Poissonsches Verhältnis ν mit 0.3 eingetragen. Im nächsten Schritt werden die äußeren Einflüsse auf unsere Struktur (die Randbedingungen und Kräfte bzw. Momente) festgelegt.

49 2D-Balkonplatte Die 2D-Randbedingungen Die Festhaltung am linken Rand des Modells wird mit der Auswahl von Physik> Randbedingungen vorbereitet. Dadurch wird wieder ein Fenster mit der Titelzeile Randbedingungen Ebene Dehnung (pn) geöffnet. In dem Reiter Nebenbedingungen markieren Sie bei der Randauswahl den Rand 1. Anschließend aktivieren Sie die Checkbox StandardNotation und wählen Rx und Ry aus. Im Grafikfenster wird der festgehaltene Rand blau gekennzeichnet. Zum Aufbringen der Drucklast am oberen Rand des Modells wechseln Sie zum Reiter Last und markieren den Rand 2. Danach geben Sie bei den Last-Bedingungen in das Feld Fy den Wert ein. Abschließend wählen Sie noch den Punkt Kantenlast ist definiert als Kraft/Fläche unter Verwendung der Dicke aus und bestätigen die Eingaben mit OK. Im Grafikfenster wird der druckbelastete Rand grün gekennzeichnet. Zu dieser Vorgehensweise eine verteilte Last aufzubringen, werden hier noch zusätzliche Hinweise gegeben. Diese Hinweise betreffen gleichermaßen ein 2dimensionales Modell wie im vorliegenden Fall oder ein 3-dimensionales Modell, wie es in anderen Beispielen verwendet werden wird. Die Hinweise werden für beide Fälle hier aufgeführt, wobei die in Klammern aufgeführten Begriffe für das 3-dimensionale Modell zutreffen. Eine verteilte Last, wie die Drucklast in diesem Beispiel, ist grundsätzlich auf eine Elementkante (im 3-dimensionalen Modell eine Elementrandfläche) aufzubringen. Der Zahlenwert der Last wird als Drucklast bzw. als Kraft pro Fläche erwartet, wobei bei unserem 2-dimensionalen Modell in der Tiefenrichtung eine Längeneinheit zugrundeliegt. Je nach Modellerstellung kann die Festlegung der gewünschten Elementkanten (Elementflächen) auf verschiedene Weise erfolgen. a) Es können die Elemente und jeweils die zutreffende Kante (Fläche) herausgesucht werden. Vorteil dieser Vorgehensweise: die Lastaufbringung ist sehr gezielt möglich und diese Vorgehensweise ist auch bei direkter Modellgenerierung verwendbar. Nachteil dieser Vorgehensweise: bei vielen Elementen oder freier Vernetzung ist es illusorisch, per Anklicken oder Nummerneingabe alle Elemente und die zutreffenden Kanten (Flächen) festzulegen, und bei einer Änderung der Vernetzung ergeben sich andere Elemente, die herausgesucht werden müssen. Fazit: diese Vorgehensweise ist nur für akademische Modelle empfehlenswert. b) Es können diejenigen Knoten herausgesucht werden, die die Elementkanten (Elementflächen) aufspannen, die belastet werden sollen. Damit werden Knoten

50 2D-Balkonplatte 44 vom Anwender ausgesucht, vom FEMLAB-Programm die entsprechenden Elementkanten (Elementflächen) herausgesucht und der gegebene Wert als Drucklast auf die Kante (Fläche) aufgebracht. Vorteil: die Knoten, die den Rand (die Oberfläche) darstellen, sind einfach zu selektieren, und diese Vorgehensweise ist auch bei direkter Modellgenerierung verwendbar. Nachteil: bei einer Änderung der Vernetzung ergeben sich andere Knoten, die herausgesucht werden müssen. Fazit: diese Vorgehensweise ist nur für solche Modelle empfehlenswert, die nicht später eventuell neu vernetzt werden. c) Wenn die Geometriemodellierung verwendet wurde, können diejenigen Linien, also,,lines" (Flächen, also,,areas") festgelegt werden, die durch den Druck belastet sind. Dann werden vom FEMLAB-Programm später die entsprechenden Elementkanten (Elementflächen) herausgesucht, die zu diesen Linien (Flächen) gehören und der gegebene Wert als Drucklast auf die Kante (Fläche) jedes zugehörigen Elementes aufgebracht. Vorteil: die Linien (Flächen), die den Rand (die Oberfläche) darstellen, sind einfach zu selektieren, und bei einer Änderung des automatisch erzeugten Netzes verbleiben die Lasten an der gewünschten Kante (Oberfläche). Nachteil: die Übertragung der Lasten auf die Kanten (Flächen) der zugehörigen Elemente wird automatisch direkt vor der Lösung durchgeführt. Fazit: diese Vorgehensweise ist für solche Modelle empfehlenswert, die mit der Geometriemodellierung erstellt wurden und auch später eventuell neu vernetzt werden. Im vorliegenden Fall wurde die Vorgehensweise c) gewählt und damit diejenigen Linien festgelegt, die mit der Drucklast zu beaufschlagen sind Das Vernetzen Das Geometriemodell wird nun automatisch mit einem Netz von Knoten und Elementen versehen. In diesem Beispiel soll festgelegt werden, daß ausschließlich ViereckElemente zu bilden sind, und ein Netz von 10 mal 10 Elementen erstellt werden soll (mapped meshing). Dazu wählen wir Netz> Netz abbilden Es zeigt sich ein Fenster mit dem Titel Netz abbilden. Wechseln Sie zu dem Reiter Rand. Mit Hilfe der Steuerungstaste markieren Sie bei der Randauwahl die Ränder 1 und 2. Danach aktivieren Sie die Checkbox Eingeschränkte KantenelementVerteilung und tragen in dem Feld Anzahl der Kantenelemente den Wert 10 ein. Die regelmäßige Vernetzung der Geometrie wird durch Netz generieren gestartet und die erzeugten Elemente automatisch dargestellt.

51 2D-Balkonplatte 45 Abbildung 22: 2D Strukturmechanik - Vernetztes Modell Alle Schritte des Preprocessing sind nun durchgeführt Die Berechnung des 2D-Lastfalles Für die Berechnung dieses Lastfalles wird Lösen> Modell lösen ausgewählt. Es erscheint ein Hinweis-Fenster mit der Titelzeile Fortschritt Modell lösen. Nach Abschluss der Berechnung wird automatisch eine Lösung im Zeichenfenster dargestellt. Hierbei handelt es sich um die Darstellung der von-misesvergleichsspannung auf der Oberfäche der Geometrie. Dies ist bereits ein Teil des Postprozessing.

52 2D-Balkonplatte Das 2D-Postprozessing Das Postprozessing folgt dem Preprocessing und der Lösung. Mit diesem Teil des Programms kann der Anwender leicht und effizient die in der Lösungsphase berechneten Resultate untersuchen und auswerten. Diese Resultate können z. B. Verschiebungen, Temperaturen, Spannungen, Geschwindigkeiten, Wärmeströme und andere Größen beinhalten. Die Ausgabe der Auswertungsphase des Programms erfolgt als grafische Darstellung auf dem Bildschirm und/oder in Form von Tabellen, die ausgedruckt und in Berichte eingefügt werden können. Bildschirmdarstellungen können während einer interaktiven Auswertung auf einem Grafikbildschirm online erzeugt oder offline auf einem Plotter gezeichnet werden. Nachdem die darzustellenden Daten durch Selektieren ausgewählt wurden, können diese in verschiedenen grafischen Formen dargestellt werden. Konturdarstellungen in Form von Isolinien, Farbschattierungen oder Isoflächen zeigen beispielsweise die Verteilung der Spannungen im Bauteil Die 2D-Verschiebungen Im vorliegenden Beispiel wird zunächst eine Darstellung der Verschiebungen erzeugt. Dazu wird Postprozessing> Parameterdarstellung aufgerufen. Es öffnet sich ein Fenster mit dem Titel Parameterdarstellung. Dieses Fenster mit seinen zahlreichen Reitern dient zur Steuerung der grafischen Darstellung der Lösung. Zur Darstellung der Verformung wählen Sie zunächst aus dem Listenfeld Vordefinierte Größen den Eintrag y-verschiebung aus. Dann wechseln Sie zum Reiter Deformieren und aktivieren die Checkbox Darstellung in deformierter Gestalt und schließen das Fenster mit OK. Dadurch wird eine grafische Darstellung der Durchbiegung des Modells erzeugt. Die Verschiebungen wurden dabei automatisch so skaliert, dass die Verformung erkennbar wird.

53 2D-Balkonplatte 47 Abbildung 23: 2D Strukturmechanik - Darstellung der y-verschiebung Die 2D-Spannungsverteilung Nun wird eine Farbkontur-Darstellung der Spannungen erzeugt. Dazu wird Postprozessing> Parameterdarstellung aufgerufen. In dem anschließend geöffneten Fenster deaktivieren Sie zunächst wieder die Checkbox Darstellung in deformierter Gestalt. Dann wechseln Sie zu Oberfäche und wählen aus dem Listenfeld Vordefinierte Größen den Eintrag von-misesspannung aus und bestätigen mit OK. Dadurch wird eine grafische Darstellung der Verteilung dieses Spannungswertes im Modell erzeugt. Eine Farbskala zeigt den kleinsten und größten Wert der Spannung im Modell mit den zugehörigen Zahlenwerten an. Durch die Farbverteilung ist deutlich die hochbeanspruchte Zone von den Zonen geringerer Beanspruchung zu unterscheiden.

54 2D-Balkonplatte 48 Abbildung 24: 2D Strukturmechanik - Darstellung der von-mises-spannung Eine Darstellung der Biegespannungen in Querrichtung (entlang der x-achse) ergibt sich durch die Auswahl von sx Normale Spannung globales Sys. aus dem Feld der Vordefinierten Größen. Abbildung 25: 2D Strukturmechanik - Darstellung der Spannung entlang der x-achse

55 2D-Balkonplatte Die Spannungen entlang von Schnitten Mit x-y-diagrammen lassen sich Größen entlang eines beliebigen Schnittes bzw. Pfades durch die Struktur über dem Weg darstellen. Die auf den Schnitt bzw. Pfad durch das Modell interpolierten Größen können dann als Grafiken oder Tabellen ausgegeben werden. Im vorliegenden Beispiel soll in einem senkrechten Schnitt im mittleren Bereich die xkomponente der Spannungen als Diagramm aufgetragen werden. Dazu ist zunächst der Schnitt durch das Modell festzulegen. Wählen Sie in der Werkzeugleiste am linken Bilschirmrand den Button Linie zeichnen für Liniendarstellung im Querschnitt. Bevor Sie mit der Auswahl des Anfangs- und Endpunktes des Pfades beginnen, sollten Sie zunächst unter Optionen> Achsen/Gitter-Formatierung einen Gitterabstand für die x- und y-achse auf 0.1 einstellen. Jetzt positionieren Sie das Fadenkreuz auf der Koordinate 0.5, 1. Durch Betätigung der linken Maustaste legen Sie an dieser Stelle den Anfangspunkt des Pfades fest. Anschließend verschieben Sie das Fadenkreuz senkrecht nach unten bis Sie den Rand der Geometrie überschritten haben und bestätigen diesen Endpunkt wiederum mit der linken Maustaste. Es öffnet sich direkt ein Abbildungsfenster in dem eine Kurve dargestellt ist. Bei genauerer Betrachtung stellen Sie jedoch fest, dass hier die von Mises-Spannung über der Bogenlänge aufgetragen ist. Öffnen Sie jetzt den Dialog Postprozessing> Parameterdarstellung in Schnitten Im Fenster mit dem Namen Parameterdarstellung in Schnitten wechseln Sie zum Reiter Linie/Extrusion und wählen im Bereich Daten y-achse aus dem Listenfeld Vordefinierten Größen sx Normale Spannung globales Sys. aus. Anschließend ändern Sie im Bereich Daten x-achse den Listeneintrag auf y und beenden mit OK. Im Abbildungsfenster wird nun der Verlauf der Spannungskomponente über dem Schnitt als Diagramm grafisch dargestellt.

56 2D-Balkonplatte 50 Abbildung 26: 2D Strukturmechanik - Darstellung einer Spannung entlang eines Schnittes Möchten Sie dem Diagramm einen weiteren Verlauf hinzufügen, betätigen Sie im Abbildungsfenster den Button Darstellung bearbeiten und markieren im linken Bereich den Eintrag Linie (0). Daraufhin erscheinen rechts die Linieneigenschaften der gewählten Linie. Aktivieren Sie jetzt die Checkbox Darstellung behalten und beenden den Dialog mit OK. Anschließend öffnen Sie noch einmal Postprozessing> Parameterdarstellung in Schnitten und wählen im Bereich Daten y-achse aus dem Listenfeld Vordefinierten Größen von Mises-Spannung aus. Im Abbildungsfenster werden nun der Verlauf der Spannungskomponente und die von Mises-Spannung über dem Schnitt als Diagramm grafisch dargestellt.

57 2D-Balkonplatte 51 Abbildung 27: 2D Strukturmechanik - Darstellung zweier Spannungen entlang eines Schnittes Zur Ausgabe einer Tabelle öffnen Sie im Abbildungsfenster über den Button ASCII den Dialog Aktuelle Darstellung in ASCII-Datei speichern. Hier geben Sie den Speicherort und einen Dateinamen an und beenden mit Speichern. Stellen Sie vorher sicher, dass im Dialog Darstellung bearbeiten bei der zu exportierenden Linie die Checkbox Darstellung behalten deaktiviert ist! Bei der Weiterverabeitung der Daten mit Hilfe einer Tabellenkalkulation kann es ratsam sein, vor dem Öffnen die Dateiendung.txt in.csv zu ändern Abschluß Sie können nun nach der Durchführung dieses Beispiels diese Anwendung abschließen oder die Arbeit mit anderen Beispielen fortsetzen. Zum Abschluß der Arbeit mit dem FEMLAB-Programm wählen Sie Datei> Beeenden

58 2D-Balkonplatte 52 Vor der Fortsetzung der Arbeit mit anderen Beispielen sollten Sie zunächst die Daten dieses Beispiels sichern. Die Sicherung der Daten erfolgt über Datei> Speichern unter Anschließend rufen Sie Datei> Neu auf. Es öffnet sich wieder das Modell-Navigator Fenster und Sie können jetzt mit einem anderen Beispiel beginnen Varianten zum Selbststudium Vernetzung Als Variante zum Selbststudium verwenden Sie bei diesem Beispiel die gleiche Geometrie, jedoch eine Vernetzung mit nur 5 mal 5 Elementen. Mit einer solchen Vernetzung kann ein direkter Vergleich zu der 3D Balkonplatte durchgeführt werden. Vergleichen Sie zum Beispiel die Spannung in x-richtung. Hinweise: Die Vernetzungsfeinheit wurde mit der Auswahl von Netz> Netz abbilden und dem Eintrag im Feld Anzahl an Kantenelemente festgelegt. Vergleichen Sie die Rechenzeiten der 2D Balkonplatte (mit 5 mal 5 Elementen) mit der 3D Balkonplatte mit 5 mal 5 mal 10 Elementen). Sie können damit das 2DBeispiel (ungenau, da keine Randeinflüsse, aber schnell gerechnet) mit dem 3DBeispiel (genau, da Randeinflüsse, aber langsamer beim Rechnen) vergleichen. Im Message log-fenster wird bei verschiedenen Operationen die Rechenzeit notiert, die bis dahin verbraucht wurde.

59 3D-Balkonplatte D-Balkonplatte D-Aufgabenstellung Die Aufgabenstellung entspricht weitgehend derjenigen von Beispiel 1. Die zu berechnende Struktur stellt eine etwa 2 m breite Platte dar, die einem Balkon vergleichbar ist. Die Platte ist an einer Seite (an der Hauswand) fest eingespannt und ragt 1 m nach außen. Die Plattendicke beträgt am freien Außenrand 0.2 m. Die untere Seite ist gerundet, sie wird von der Außenkante zur Einspannung hin dicker. Der Radius dieser Rundung beträgt 1.8 m. Die Platte ist an der Oberseite durch eine Verkehrslast beaufschlagt, die als Flächenlast (Druck) einzugeben ist. Abbildung 28: 3D Balkonplatte - Skizze der Aufgabenstellung D-Idealisierung Die Aufgabe wird mit einer statischen strukturmechanischen Berechnung gelöst. Die Struktur wird durch ein 3-dimensionales Modell abgebildet. Dazu wird ein Elementtyp verwendet, der als Volumen definiert ist. Damit wird die gesamte Platte unter Berücksichtigung der Einwirkungen der Plattenränder abgebildet. Bei der Modellerstellung wird zunächst die seitliche Fläche festgelegt, die in Beispiel 1 das Modell darstellte, und diese Fläche wird vernetzt. Anschließend wird diese Geometrie mit dem Netz in die dritte Richtung,,herausgezogen" (extrudiert) und damit ein Volumen gebildet.

60 3D-Balkonplatte Modellerstellung D-Geometriemodellierung In diesem Beispiel wird zunächst mit den angebotenen Standardgeometrien (primitives) ein Quadrat erzeugt, anschließend ein Kreis und dann der Kreis vom Quadrat durch eine Boole'sche Operation subtrahiert, so dass die Rechteckfläche mit einem Bogenausschnitt übrigbleibt. Diese Fläche wird strukturiert vernetzt (mapped mesh). Anschließend wird die vernetzte Fäche zu einem 3D-Modell extrudiert. Erst nach der Erzeugung der vermaschten 3D-Geometrie wird dieser ein Anwendungsmodus zugewiesen. Nach Eingabe der Materialeigenschaften und der Randbedingungen kann das Modell gelöst und das Postprozessing durchgeführt werden D-Geometrie Nach dem Aufruf des FEMLAB-Programms öffnet sich das Modell-Navigator Fenster. Im ersten Schritt betätigen Sie jetzt den Button Multiphysik. Daraufhin erscheint im rechten Teil des Fensters ein Bereich mit Namen Multiphysik. Als nächstes drücken Sie in diesem Bereich den Button Geometrie hinzufügen. In dem neuen Fenster erstellen Sie nun eine 2D-Geometrie, welche die Grundlage der Extrudierung bildet und standardmäßig den Namen Geom1 erhält. Durch Bestätigen mit OK übernehmen Sie die Standardeinstellungen und kehren zum Modell-Navigator Fenster zurück. Dieses schließen Sie ebenfalls mit OK. Es öffnet sich das Ihnen schon bekannte FEMLAB-Hauptfenster mit den 2DZeichnungswerkzeugen am linken Bildschirmrand. Konstruieren Sie zunächst das 2DGeometriemodell wie es ab Seite 43 ff erklärt wurde. Im nächsten Schritt erzeugen Sie eine strukturierte Vermaschung mit 5 x 5 Elementen (vgl. Seite 48 ff).

61 3D-Balkonplatte 55 Abbildung 29: Modellnavigator - 2D Geometrie erstellen Das Extrudieren Zum Extrudieren der vermaschten 2D-Geometrie wird Netz> Netz extrudieren angeklickt. Diese Auswahl öffnet ein Fenster mit gleichem Namen. Bei Geometrie im Bereich Extrusionsparameter geben Sie im Feld Entfernung den Wert 2 (Breite der Balkonplatte) ein. Wechseln Sie zum Reiter Netz und tragen Sie im Bereich Elementlagen für die Anzahl an Elementlagen die Zahl 10 ein. Durch Bestätigung mit OK kehren Sie zum Hauptfenster zurück. Die Extrudierung wurde ausgeführt und das Ergebnis in dem neuen Reiter Geom2 dargestellt. Da es sich hierbei um eine 3DGeometrie handelt, befinden sich nun am linken Bildschirmrand weitere Werkzeuge, speziell zur dredimensionalen Geometriedarstellung. Damit ist die Geometriemodellieung abgeschlossen Der Anwendungsmodus Jetzt muss festgelegt werden um welchen Anwendungsmodus es sich handelt. Dazu klicken Sie

62 3D-Balkonplatte 56 Multiphysik> Modell-Navigator an. Im Multiphysik-Bereich des Fensters sehen Sie die von Ihnen erstellten 2D- und 3DGeometrien. Markieren Sie die 3D-Geometrie, wählen Sie aus der Baumstruktur der Anwendungsmodi den Modus Strukturmechanik, Spannung-Dehnung aus und betätigen Sie anschließend den Button Einfügen. Abbildung 30: Modellnavigator - Anwendungsmodus der 3D Geometrie festlegen Schließen Sie das Modell-Navigator Fenster mit OK Die 3D-Materialdaten Zur Eingabe der Materialdaten wird Physik> Gebietseigenschaften angeklickt. Diese Auswahl öffnet ein Fenster mit der Titelzeile Gebietseigenschaften Festkörper, Spannung-Dehnung (sld). Wir markieren das Gebiet Nummer 1 und können jetzt die Kennwerte des Materials in den entsprechenden Feldern eingeben. Für unser Beispiel ist es ausreichend, in das Feld Youngscher Modul E den Zahlenwert von 200e9 einzutragen. Die Querkontraktion wird im Feld Poissonsches Verhältnis ν mit 0.3 eingetragen. Im nächsten Schritt werden die äußeren Einflüsse auf unsere Struktur (die Randbedingungen und Kräfte bzw. Momente) festgelegt.

63 3D-Balkonplatte Die 3D-Randbedingungen Die Festhaltung am linken Rand des Modells wird mit der Auswahl von Physik> Randbedingungen vorbereitet. Dadurch wird wieder ein Fenster mit der Titelzeile Randbedingungen Festkörper, Spannung-Dehnung (sld) geöffnet. Markieren Sie im Bereich Randauswahl den Rand 1. In dem Reiter Nebenbedingungen aktivieren anschließend Sie die Checkbox Standard-Notation und wählen Rx, Ry und Rz aus. Zum Aufbringen der Drucklast am oberen Rand des Modells wechseln Sie zum Reiter Last und markieren den Rand 5. Danach geben Sie bei den Last-Bedingungen in das Feld Fy den Wert ein und bestätigen die Eingaben mit OK. Alle Schritte des Preprocessing sind nun durchgeführt. Hinweis: Die direkte strukturierte Vermaschung (mapped mesh) eines 3D-Geometriemodells (z. B. eines Quaders) ist mit dieser Programmversion noch nicht möglich! Volumenmodelle können zur Zeit nur mit einem unstrukturierten Netz (free mesh) versehen werden Die Berechnung des 3D-Lastfalles Für die Berechnung dieses Lastfalles wird Lösen> Modell lösen ausgewählt. Es erscheint ein Hinweis-Fenster mit der Titelzeile Fortschritt Modell lösen. Nach Abschluss der Berechnung wird automatisch eine Lösung im Zeichenfenster dargestellt. Hierbei handelt es sich um die Darstellung der von-misesvergleichsspannung auf der Oberfäche der Geometrie. Dies ist bereits ein Teil des Postprozessing.

64 3D-Balkonplatte Das 3D-Postprozessing Die 3D-Verschiebungen Im vorliegenden Beispiel wird zunächst eine Darstellung der Verschiebungen erzeugt. Dazu wird Postprozessing> Parameterdarstellung aufgerufen. Es öffnet sich ein Fenster mit dem Titel Parameterdarstellung. Dieses Fenster mit seinen zahlreichen Reitern dient zur Steuerung der grafischen Darstellung der Lösung. Wechseln Sie zunächst zum Reiter Gebiet und aktivieren dort die Checkbox Gebietsdarstellung. Zur Darstellung der Verformung wählen Sie dann aus dem Listenfeld Vordefinierte Größen den Eintrag y-verschiebung aus. Anschließend wechseln Sie zum Reiter Deformieren und aktivieren die Checkbox Darstellung in deformierter Gestalt und schließen das Fenster mit OK. Dadurch wird eine grafische Darstellung der Durchbiegung des Modells erzeugt. Die Verschiebungen wurden dabei automatisch so skaliert, dass die Verformung erkennbar wird. Abbildung 31: 3D Strukturmechanik - Darstellung der y-verschiebung

65 3D-Balkonplatte Die 3D-Spannungsverteilung Nun wird eine Farbkontur-Darstellung der Spannungen erzeugt. Dazu wird Postprozessing> Parameterdarstellung aufgerufen. Wechseln Sie zu Gebiet und wählen aus dem Listenfeld Vordefinierte Größen den Eintrag von-mises-spannung aus und bestätigen mit OK. Dadurch wird eine grafische Darstellung der Verteilung dieses Spannungswertes im Modell erzeugt. Eine Farbskala zeigt den kleinsten und größten Wert der Spannung im Modell mit den zugehörigen Zahlenwerten an. Durch die Farbverteilung ist deutlich die hochbeanspruchte Zone von den Zonen geringerer Beanspruchung zu unterscheiden. Abbildung 32: 3D Strukturmechanik - Darstellung der von-mises-spannung

66 3D-Balkonplatte 60 Eine Darstellung der Biegespannungen in Querrichtung (entlang der x-achse) ergibt sich durch die Auswahl von sx Normale Spannung globales Sys. aus dem Feld der Vordefinierten Größen. Abbildung 33: 3D Strukturmechanik - Darstellung der Spannung entlang der x-achse

67 Maßeinheiten Maßeinheiten Konsistente Einheitensysteme Bei der Anwendung des FEMLAB-Programms besteht keine Festlegung auf ein bestimmtes physikalisches Maß- oder Einheitensystem. Das FEMLAB-Programm hält durch die Analyse hindurch konsistente Einheiten ein. Damit sind die Einheiten, die vom Anwender für die Eingabe verwendet werden, auch in der Ausgabe durchgängig eingehalten. Diese Vorgehensweise wurde gewählt, weil das FEMLAB-Programm in zahlreichen Bereichen der Technik und der Physik verwendet wird und entsprechend zahlreiche mögliche und sinnvolle Kombinationen von Einheiten vom Anwender gewünscht sind. Der Anwender des FEMLAB-Programms hat grundlegende Festlegungen für drei Einheiten zu treffen. Die anderen Einheiten, die hiermit einen konsistenten Satz von Einheiten bilden, können daraus abgeleitet werden. Die grundlegenden Festlegungen werden im allgemeinen für die physikalischen Größen Kraft Länge Zeit Masse und Arbeit getroffen. Der Zusammenhang für die Größen, angeführt in SI-Einheiten, ist durch folgende Beziehungen dargestellt Mit diesen Beziehungen kann der FEMLAB-Anwender jeden für die aktuelle Anwendung geeigneten Satz von Einheiten ableiten. Übliche oder im technischen Alltag angemessene und häufiger eingesetzte Einheitenkombinationen sind in Tabelle 2 aufgeführt.

68 Maßeinheiten 62 Tabelle 2: Konsistentes Einheitensystem Zusätzlich zu den Einheiten für die physikalischen Größen, die oben aufgelistet sind, werden hier als abgeleitete Größe die Einheiten für Druck oder entsprechend für mechanische Spannungen angegeben. Ebenso wird der Zahlenwert angegeben, der sich in dem jeweiligen System für die Dichte von Wasser bei Raumtemperatur ergibt. Unter der Bezeichnung,,SI" sind die standardisierten SI-Einheiten aufgeführt. Bei cgs" sind die in physikalischen Anwendungen üblichen Einheiten aufgelistet. Die mit,,fps (US)" bezeichneten Einheiten zeigen die im angelsächsischen Bereich noch üblichen Werte. Hierbei ist die Kraft in,,poundal" (pdl) angegeben, die Länge in,,foot" (ft), die Zeit in s, Massen in,,pound" (lb) und Arbeit in der zusammengesetzten Einheit aus Kraft*Länge, hier,,pound*foot" (lbf*ft). Mit der Bezeichnung,,Var. 1" ist eine Variante einer Kombination von Einheiten gezeigt, die für Berechnungen im Maschinenbau angemessen ist. Damit sind z.b. die Abmessungen der Bauteile in mm, der Elastizitätsmodul und mechanische Spannungen in N/mm2 und Eigenfrequenzen in Hz bzw. s-1 einzugeben oder abzulesen. Besondere Aufmerksamkeit ist hierbei jedoch bei der Eingabe von Masse- bzw. Dichtewerten erforderlich, die in l03kg (also in Tonnen) bzw. in l03kg/mm3 (also in Tonnen pro mm3) vorzugeben sind. Damit ergibt sich also der Zahlenwert, der als Dichte von Stahl in einer Berechnung mit dieser Kombination von Einheiten einzugeben ist, zu etwa DENS = 7.8e-9. Die Masseneinheit ist hierbei nicht mehr frei wählbar, da es den oben genannten Zusammenhang zwischen den Einheiten gibt. Wenn also die Entscheidung für die Längen- (mm), Kraft- (N) und Zeiteinheit (s) gefallen ist, ist die Masseneinheit nicht mehr frei wählbar, sondern es muß gezwungenermaßen l03kg verwendet werden. Die Konsistenz der Einheiten ergibt sich beim Ablauf des FEMLAB-Programms dadurch, daß der Anwender an der Position, an der eine Kraft gefragt ist, eine Zahl einsetzt, die die Kraft in der dazugehörenden Einheit ausdrückt, hier im Beispiel des,,cgs -Systems also in (erg). Die Längen der Modelldefinition werden mit den (cm)zahlen ausgedrückt. Das FEMLAB-Programm verwendet diese Zahlenwerte, ohne die Einheiten kennen zu müssen, und liefert konsistent die Ergebnisse in diesen Einheiten,

69 Maßeinheiten 63 z.b. wird dort, wo eine Arbeit als Ergebnis ausgegeben wird, der Zahlenwert geliefert, der diese Arbeit in (erg) darstellt. Für das in den USA und im angelsächsischen Bereich noch vielfach verwendete System,,fps" ergibt sich mit 1 pdl = 1N = 1 poundal pdl = lbf = N 1 lb = kg 1 kg = Ib 1 ft = m 1 m = ft

70 Aufgaben zum MMS-Praktikum Aufgaben zum MMS-Praktikum TEIL I: Analytische Berechnungen I Aufgabe 1: Gleichungen In der MMS-Vorlesung haben Sie die Kirchhoff sche Plattengleichung für die Auslenkung w(x,y) einer Drucksensormembran behandelt: 4w 4w 4w q = x4 x y y4 D a) Benutzen Sie diese partielle Differenzialgleichung 4-ter Ordnung, um eine Gleichung für die Auslenkung w(x,y) einer quadratischen Membran zu ermitteln, indem Sie folgende Näherung einführen: es wird nur der Querschnitt der Platte in der Mittenposition der Plattenlänge bzw. Plattenbreite bei y = a/2 = konstant betrachtet, so dass das Problem auf den 1D-Fall reduziert wird (w(x,y) w(x)) und dadurch sehr leicht lösen lässt! Die Platte habe die Dicke h und die Breite a. Ferner sei sie am Rand fest eingespannt. Auf der linken Seite der Einspannung befinde sich der Ursprung des Koordinatensystems. b) Bestimmen sie die maximale Auslenkung wmax der Platte (also w(x=a/2)). c) Welche Lösung w(r) würde sich für eine runde Membran mit dem Durchmesser d=a ergeben, wenn Sie das gleiche Näherungsverfahren, d.h. nur die Querschnittsfläche durch das Membranzentrum betrachten? Verwenden Sie diese Lösung und ermitteln wmax als Funktion von R. Vergleichen Sie diese genäherte Lösung mit der in der Vorlesung ermittelten exakten Lösung und geben den Unterschied für in Prozent an. E h3 Plattensteifigkeit: D = 12 1 ν ( 2 ) Exakte Lösung für Kreismembranen aus der Vorlesung: wmax 3 q (1 ν = 16 E 2 ) R 4 h3

71 Aufgaben zum MMS-Praktikum 65 Aus der exakten Lösung für die Kreismembran folgen die nachfolgenden Gleichungen für die tangentiale und radiale mechanische Spannungskomponente:

72 Aufgaben zum MMS-Praktikum 66 I Aufgabe 2: Nullstellen Ermitteln Sie für Kreismembranen einen analytischen Ausdruck für die Nullstellen der radialen und tangentialen Spannungskomponenten und berechnen jeweils die absolute wie relative Lage der Nullstellen für die unten angegebenen Membranen. Es herrsche dabei jeweils ein Druckunterschied von Membranoberseite zur Membranunterseite von 0,1 bar. Membranmaterial Si - (100) Si - (111) Si - (111) Si3N4 Membrandicke h 4 µm 1 µm 2,5 µm 1 µm Membranradius R 1000 µm 100 µm 100 µm 150 µm 0,26 0,14 0,14 0, GPa 152 GPa 152 GPa 320 GPa Querkontraktionszahl ν E-Modul Tabelle 3: Vorgegebene Membranen I Aufgabe 3: Membranpfad Zeichnen Sie Freihand den Verlauf der mechanischen Spannung σr einer Kreismembran als Funktion von r für den folgenden Pfad: (Hinweis: Es wird eine symmetrische Pfadlage durch die Membranmitte vorausgesetzt (Draufsicht-Position) und das der Druck auf der Membranoberseite größer sei als auf der Membranunterseite! Die Querkontraktionszahl beträgt ν = 0,26) Pfad-Koordinaten : durch die Querschnittsfläche von (r = -R, z = h/2) nach (r = -3R/4, z= -h/2) dann zu (r = -R/2, z = h/2) von da aus nach (r = 0, z = - h/2) zu (r = R/2, z = h/2) weiter nach (r = R, z = - h/2). Bevor Sie das Diagramm mit dem Verlauf von σr entlang des angegebenen Pfades zeichnen, sollen sie auch den Verlauf von σr für z = konst.=h/2 und z =konst.= - h/2 in das gleiche Diagramm eintragen und die Lage der Nullstellen von σr berechnen und für das Diagramm berücksichtigen!

73 Aufgaben zum MMS-Praktikum 67 TEIL II: FEM-Simulationen II Aufgabe 1: 2D-Membran Gegeben sei folgende quadratische Membran: Membranfläche a2 beträgt 2 mm x 2 mm Membrandicke = 4 µm Querkontraktionszahl ν = 0.26 E-modul = 160 GPa Druckunterschied dp = 0,1 bar a) Erzeugen Sie Diagramme, die die Auslenkung w(z), die mechanische Spannungen σmax und σvonmises sowie die Nullstellen als Funktion der Elementzahl n in x-richtung darstellt. Welcher Wert (w(z) oder σ) konvergiert früher (also bei kleineren n-werten)? Erstellen Sie dazu ein einfaches 2D-Modell der Membran (d.h. ebene Dehnung und nur komplette Membranbreite in x- Richtung und die Dicke in z-richtung) und ermitteln die Werte: w(z)max; σmax; σvonmises sowie die Lage der Nullstellen für σx(x=?)=0. Variieren Sie dabei die Art der Vermaschung (Map Mash; Free Mash) und die Anzahl der Elemente in x-richtung (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 60, 100, 400, 2000). Dabei soll in z-richtung (Membrandicke) nur ein Element gewählt werden. b) Modifizieren Sie das Modell aus a), indem sie die Elementzahl in x-richtung konstant auf n=200 setzen. Variieren Sie nun die Elementzahl in z-richtung (1, 2, 3, 4, 8, 10) und erzeugen Diagramme wie unter b)! c) Legen Sie jeweils einen senkrechten Schnitt durch die Membranmitte und am Membranrand und werten die Ergebnisse für σ als Funktion der Dickenkoordinate aus. d) Vergleichen Sie die analytischen Lösungen aus Aufgabenteil I mit Ihren FEM Ergebnissen und erörtern die Unterschiede! e) Untersuchen Sie mittels FEM die Abhängigkeit von w(z)max und σmax als Funktion der Membrandicke (d-variation: 4 µm, 12 µm, 36 µm) und der Membrankantenlänge a (a-variation: 2000 µm, 1000 µm, 500 µm, 100 µm) und tragen die Werte in zwei geeignete Diagramme auf.

74 Aufgaben zum MMS-Praktikum 68 Abbildung 34.: 2D-Modell mit Chip f) Erstellen Sie ein 2D-Modell entsprechend der Abbildung 34 und simulieren damit einen Siliziumchip, der in bzw. mittels der Bulk Micromachining Technology gefertigt wurde. Chipabmaße: Chip 4 mm x 4 mm; Chipdicke 0,5 mm, Membran 2 mm x 2 mm x 4 µm, Druck N/m2. Beachten Sie, dass die Membran selbst nun nicht fest eingespannt ist, sondern nur der Chip, d.h. das Volumenmaterial links und rechts von der Membran wird ebenfalls gedehnt und gestaucht. Abbildung 35.: Membran-Chip-Übergang im 2D-Modell

75 Aufgaben zum MMS-Praktikum 69 II Aufgabe 2: 3D-Quadratmembran Gegeben sei folgende quadratische Membran: Membranfläche a2 beträgt 2 mm x 2 mm Membrandicke = 4 µm Querkontraktionszahl ν = 0.26 E-modul = 160 GPa Druckunterschied dp = 0,1 bar a) Erstellen Sie nun ein einfaches 3D-Modell der Membran (d.h. komplette Membran in x-, y-, z-richtung) und ermitteln die Werte: w(z)max; σmax; σvonmises sowie die Lage der Nullstellen für σx/y(x=?)=0. Variieren Sie dabei die Art der Vermaschung (Map Mash + Extrudieren; Free Mash) und variieren die Anzahl der Elemente. b) Legen Sie jeweils einen senkrechten Schnitt durch die Membranmitte und einen mittig an dem Membranrand und werten die Ergebnisse für σ als Funktion der Dickenkoordinate aus. c) Vergleichen Sie die analytischen Lösungen aus Aufgabenteil I mit Ihren FEMErgebnissen und erörtern die Unterschiede! d) Ermitteln und vergleichen Sie die σx- und σy-werte! e) Untersuchen Sie mittels FEM die Abhängigkeit von w(z)max und σmax als Funktion der Membrandicke (d-variation: 4 µm, 12 µm, 36 µm) und der Membrankantenlänge a (a-variation: 2000 µm, 1000 µm, 500 µm, 100 µm) und tragen die Werte in zwei geeignete Diagramme auf. II Aufgabe 3: 3D-Kreismembranen Gegeben seien folgende 2 Kreismembranen: Membranradius R= 1000 µm und R=1128 µm (Flächengleich mit a2 = 4 mm2) Membrandicke = 4 µm Querkontraktionszahl ν = 0.26 E-modul = 160 GPa Druckunterschied dp = 0,1 bar a) Erstellen Sie nun ein einfaches 3D-Modell der Membran (d.h. komplette Membran in x- y-, z-richtung) und ermitteln die Werte: w(z)max; σmax; σvonmises sowie die Lage der Nullstellen für σx/y(r=?)=0. Variieren Sie dabei die Art der Vermaschung (Map Mash + Extrudieren; Free Mash) und variieren die Anzahl der Elemente!

76 Aufgaben zum MMS-Praktikum 70 b) Vergleichen Sie die analytischen Lösungen für die Kreismembran aus Aufgabenteil I mit Ihren FEM-Ergebnissen! c) Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Ergebnissen für die quadratische Membran und erörtern die Unterschiede! Welche Membran hat die höhere Druckempfindlichkeit? d) Ermitteln und vergleichen Sie die σx- und σy-werte! e) Untersuchen Sie auch hier mittels FEM die Abhängigkeit von w(z)max und σmax als Funktion der Membrandicke (d-variation: 4 µm, 12 µm, 36 µm) und des Membranradius R (R-Variation: 1000 µm, 500 µm, 100 µm) und tragen die Werte in zwei geeignete Diagramme auf! Decken sich die Resultate mit den analytischen Werten? II Aufgabe 4 : 2D-Axialsymmetrie Verwenden Sie die Möglichkeit der 2D-Axialsymmetrie, um mit diesem 2D-Modell die Kreis-Membranen aus der Aufgabe 3 zu berechnen! Vergleichen Sie diese 2DResultate mit den 3D-Resultaten! II Aufgabe 5: Bruchspannung Die Bruchspannung von Silizium (100) beträgt: σbruch = 6,9 GPa. Überprüfen Sie alle Ihre FEM-Ergebnisse hinsichtlich zu hoher mechanischer Spannungswerte! Ermitteln Sie jeweils die Druckwerte, bei denen die Bruchspannung überschritten wird. II Aufgabe 6: E-Feldsimulation (Zusatzaufgabe) Aufgaben zur E-Feldsimulationen in Kondensatoren. Im Downloadbereich: II Aufgabe 7: Protokoll Fertigen Sie ein Protokoll zu ihren Simulationen und Auswertungen an. Bitte beachten Sie die Protokoll-Vorgaben auf den Laborseiten im Internet:

77 Aufgaben zum MMS-Praktikum 71 Hinweis (Ausblick) für weitere Berechnungsmöglichkeiten nach dem Praktikum: Ziel sollte sein, dass ein 3 dimensionales Modell eines in Bulk Micromachining gefertigten Drucksensors erstellt wird. Die Kanntenabmaße des Chips betragen 4 mm x 4 mm, die Membranfläche a2 beträgt 2 mm x 2 mm, die Membrandicke beträgt 4 µm. Die Querkontraktionszahl ν = 0,26. Das E-modul beträgt 160 GPa. Die Chipdicke beträgt 400 µm. Die Si-Membranoberfläche sei die (100)-Ebene. Der Winkel zwischen der 100-Ebene und der 111-Ebene beträgt 54,7. Der Druckunterschied betrage dp = 100 mbar. Abbildung 36: 3D-Membranmodell mit Chip

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