2 Zeitdiskrete Signale

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1 9 2 Zeitdiskrete Signale Inhalt 2 Zeitdiskrete Signale Elementare zeitdiskrete Signale Grundlagen Vorbereitende Aufgaben Versuchsdurchführung Audiosignale Töne, Klänge und Geräusche Beispiel: Synthese eines Audiosignals ADSR-Profil Harmonische Vorbereitende Aufgaben Versuchsdurchführung Zusammenfassung Quiz Lösungshinweise Literatur und Quellen Sachverzeichnis Schlüsselbegriffe Abtastung, ADSR-Hüllkurve, Audiosignal, Impulsfolge, MATLAB, Signal, Sprungfolge, Stabdiagramm, Harmonische, Zeit-Frequenz-Darstellung Lernziele Nach Bearbeiten des Versuches können Sie die Impulsfolge, die Sinus- und die Kosinusfolge analytisch und grafisch darstellen; einfache MATLAB -Befehle zur Erzeugung von Signalen und ihre bildliche Darstellung anwenden; mit MATLAB Audiosignale generieren und hörbar machen; die Bedeutung der Abtastfrequenz für Audiosignale erklären; einfache MATLAB -Programme verstehend lesen und erklären. MATLAB ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma The MathWorks, Inc., U.S.A. Martin Werner SigSys_P

2 2 2 Zeitdiskrete Signale Dieser Versuch macht Sie einführend mit einfachen zeitdiskreten Signalen vertraut. Dazu gehören in der Vorbereitung die Angabe von zeitdiskreten Signalen als mathematische Funktionen und ihre grafischen Darstellungen. In der Versuchsdurchführung überprüfen Sie Ihre Ergebnisse aus der Vorbereitung mit MATLAB. Sie erzeugen die Signale am PC und stellen sie grafisch dar. Der zweite Teil des Versuchs stellt Ihnen bereits eine anspruchsvolle Aufgabe, bei der Sie mit MATLAB beispielhaft Audiosignale, kurze Musikstücke, generieren und am PC hörbar machen. Eine übliche Sound Card (Audiokarte) am PC wird vorausgesetzt. 2. Elementare zeitdiskrete Signale 2.. Grundlagen Zeitdiskretes Signal Ein Signal ist eine mathematische Funktion von mindestens einer unabhängigen Variablen x(t), wobei im folgenden falls nicht anders erwähnt t als die Zeit interpretiert wird. Ist die Variable t kontinuierlich, so liegt ein zeitkontinuierliches Signal vor. Ist t nur für diskrete Werte definiert, so spricht man von einem zeitdiskreten Signal oder einer Folge x[n]. Der Laufindex n heißt dementsprechend Zeitindex oder normierte Zeitvariable. Kurze zeitdiskrete Signale werden einfach durch Angabe ihrer Werte charakterisiert, wie beispielsweise x[n] = {,,, 4} mit n {,, 2, 3} oder x[n] = {, /2, /3, /4, /5,...} mit n =,, 2,... Der erste Signalwert gehört in der Regel zum Index n =, der zweite zu n =, usw. Falls nötig werden Folgen endlicher Länge durch führende bzw. nachfolgende Nullen ergänzt. Man spricht von einer rechtsseitigen Folge, wenn xn [ ] = für n <. Standardsignale Im Folgenden werden einige für die digitale Signalverarbeitung typische Signale betrachtet. In den vorbereitenden Aufgaben sollen Sie diese von Hand skizzieren, um die Ergebnisse dann in der Versuchsdurchführung mit MATLAB zu kontrollieren. Zunächst werden die mathematischen Definitionen vorgestellt: Impulsfolge und Sprungfolge δ [ n] für n = = (2.) sonst für n un [ ] = (2.2) sonst Sinus- und Kosinusfolge mit der normierten Kreisfrequenz Ω und der eulerschen Zahl e = j Ω n [ ] cos( ) j sin ( ) xn= e = Ω n+ Ω n (2.3) Martin Werner SigSys_P

3 2. Elementare zeitdiskrete Signale 2 δ[n] u[n] 5 5 n 5 5 n Abbildung 2. Impulsfolge δ[n] und Sprungfolge u[n] im Stabdiagramm Abtastung Häufig entsteht die Folge x[n] durch eine gleichförmige zeitliche Diskretisierung eines Signals x(t). Man spricht von der (idealen) Abtastung und der Abtastfolge mit dem Abtastintervall T s. xn [ ] = xt ( = nt s ) (2.4) Der Index s erinnert an die englische Bezeichnung Sampling Operation für die Abtastung. Ideale Abtastung bedeutet, dass die Funktionswerte nicht verändert werden. Die reale Abtastung durch Analog-Digital-Umsetzer (ADU) liefert hingegen zeit- und wertdiskrete Folgen. Man spricht dann von der Digitalisierung und einem digitalen Signal. Die Digitalisierung wird in dem späteren Kapitel Analog-Digital-Umsetzung noch ausführlich behandelt. Wegen der großen Wortlänge der Zahlendarstellung in MATLAB wird im Weiteren, falls nicht ausdrücklich anders erwähnt, der diskrete Charakter der Maschinenzahlen in MATLAB vernachlässigt, siehe auch das Programmbeispiel. und die MATLAB- Konstante eps. Beispiel 2- Sinusfunktion und Sinusfolge Zur Beschreibung periodischer Phänomene in der Natur werden oft sinusförmige Funktionen verwendet. Wir wählen deshalb als einführendes Beispiel die Sinusfunktion ( ) ˆ sin ( 2π ) xt = x f t (2.5) mit der Amplitude ˆx und der (Signal-)Frequenz f und der Zeit t. Häufig handelt es sich in der digitalen Signalverarbeitung bei den Parametern um physikalische, also dimensionsbehaftete Größen, wie die elektrische Spannung in Volt (V), die Frequenz in Hertz (Hz) und die Zeit in Sekunden (s). In der digitalen Signalverarbeitung werden die physikalischen Größen meist dimensionslos dargestellt. Dies geschieht nach Normierung mit entsprechenden Bezugsgrößen. Im Beispiel bietet es sich an die Größen auf V, Hz bzw. s zu beziehen, sodass bei Bedarf die Verbindung zu den physikalischen Größen hergestellt werden kann. Die zugehörige Abtastfolge ist [ ] ˆ sin ( 2π ) xn= x f T n. (2.6) s Mit dem Abtastintervall T s und der normierten Zeitvariablen n. Für eine kompakte Beschreibung ist es günstig, die konstanten Anteile im Argument der Sinusfunktion zur normierten Kreisfrequenz Ω zusammenzufassen. Martin Werner SigSys_P

4 22 2 Zeitdiskrete Signale mit [ ] ˆ sin ( ) xn= x Ω n (2.7) Ω = 2π f T. (2.8) s Wählen wir beispielsweise das Abtastintervall so erhalten wir die normierte Kreisfrequenz T = s 8 f (2.9) 2π Ω = 2π f =. (2.) 8 f 8 Ein MATLAB-Programm zur grafischen Darstellung der beiden Signale ist im Programm 2. angegeben. Die erzeugten Grafiken finden sich in Abbildung 2.2. Im unteren Teil ist die Sinusfolge in einem Stabdiagramm dargestellt. Durch den Befehl stem wird der zeitdiskrete Charakter hervorgehoben. Auch das obere Bild in Abbildung 2.2 beruht genau genommen auf einer Auswertung der Funktion an diskreten Stützstellen. Weil die Anzahl der Stützstellen relativ groß ist, wird dies nicht sichtbar. Diese Darstellung wird der besseren Verständlichkeit oft gewählt, wenn das Anwendungsproblem einen kontinuierlichen Verlauf zugrunde legt. Programm 2- Sinusfunktion und Sinusfolge % Sine function and sine sequence % dsplab2_.m * mw * x = ; % amplitude in Volt (V) f = 8; % fundamental frequency in Hertz (Hz) t = :.:2; % time variable in seconds (s),time span...2 s x_t = x*sin(2*pi*f*t); % sine function fs = 8*f; % sampling frequency Ts = /fs; % sampling interval n = :2; % normalized time w = 2*pi*f*Ts; % normalized radian frequency x_n = x*sin(w*n); % sine sequence % Graphics FIG = figure('name','dsplab2_','numbertitle','off'); subplot(2,,), plot(t,x_t,'linewidth',2), grid xlabel('time {\itt} in s \rightarrow') ylabel('{\itx}({\itt}) / {\itx}_ \rightarrow') subplot(2,,2), stem(n,x_n,'filled'), grid xlabel('time index {\itn} \rightarrow') ylabel('{\itx}[{\itn}] / {\itx}_ \rightarrow') Martin Werner SigSys_P

5 2. Elementare zeitdiskrete Signale 23 x[n] / x x(t) / x Time t/t A in s Time index n Abbildung 2.2 Sinusfunktion x(t) und Sinusfolge x[n] (dsplab2_) Ebenso wird zur einfacheren Interpretierbarkeit die Zeitvariable t in Sekunden angegeben. Dann kann die Periodendauer direkt abgelesen werden, T = 8 s. Meist ist es günstig die dargestellte Funktion durch ihren Maximalwert zu normieren, wie hier x = xˆ. Manchmal sieht man zeitdiskrete Signale kontinuierlich dargestellt, beispielsweise, weil die Grafikfunktion zwischen den Folgeelementen linear interpoliert. Derartige Darstellungen sollten vermieden werden. Unter Umständen sind jedoch so viele Folgenelemente in einem Bild unterzubringen, dass sich der Eindruck eines zeitkontinuierlichen Signals nicht vermeiden lässt. Bei der Achsenbeschriftung kann, wie in der Fachliteratur heute öfters anzutreffen, auf die Richtungspfeile verzichtet werden, wenn die Achsenbezifferung eindeutig ist. Die Formelzeichen für die Signale und die Variablen werden kursiv dargestellt Vorbereitende Aufgaben Fertigen Sie jeweils Handskizzen an ohne Taschenrechner und Lineal; siehe auch Stabdiagramm in Abbildung 2.2. A2. Skizzieren Sie die Impulsfolgen x [n] = δ[n 3] und x 2 [n] = δ[n+2] für n = 5:5. A2.2 Skizzieren Sie die Sinus- und Kosinusfolgen x 3 [n] = sin(2π n/7) und x 4 [n] = cos(n/2) für n = :. A2.3 Sind die Folgen x 3 [n] und x 4 [n] periodisch? Geben Sie gegebenenfalls die Perioden an. A2.4 Machen Sie sich mit dem Programm 2. vertraut Versuchsdurchführung M2. Erzeugen Sie mit MATLAB die Signale aus der Vorbereitung A2. und 2 und vergleichen Sie die Bildschirmdarstellungen mit Ihren Skizzen. Martin Werner SigSys_P

6 24 2 Zeitdiskrete Signale Hinweise: Sie können den Befehl subplot benutzen, um mehrere Signale in einem Grafikfenster darzustellen. Das Überschreiben von Bildinhalten vermeiden Sie durch Öffnen eines neuen Fensters mit dem Befehl figure, wie im Programm 2. gezeigt. Beachten Sie auch, dass in MATLAB die Elemente eines Vektors mit dem Index beginnend adressiert werden. 2.2 Audiosignale In diesem Versuchsteil stellen Sie die Verbindung zwischen den digitalen Signalen am PC und der sinnlich-realen Welt her, indem Sie die digitalen Signale als Audiosignale hörbar machen. Dabei lernen Sie auch ein Beispiel für ein umfangreicheres MATLAB- Programm kennen. Für die Experimente ist ein PC mit üblicher Sound Card erforderlich. ADU Analoge Signale, also wert- und zeitkontinuierliche (elektrische) Signale, können mit einem Analog-Digital-Umsetzer (ADU) durch Abtastung und Quantisierung in ein wert- und zeitdiskretes Signal, ein digitales Signal, überführt werden. Umgekehrt lassen sich aus digitalen Signalen mit einem Digital-Analog-Umsetzer (ADU) analoge Signale erzeugen. Wichtige Parameter dabei sind die Abtastfrequenz f s, d. h. die Häufigkeit der Abtastungen pro Sekunde, und die Wortlänge w, also die Zahlendarstellung der Amplituden des digitalen Signals. Dies wird im Kapitel Analog-Digital-Umsetzung noch genauer erläutert. Ein moderner PC besitzt ADU und DAU mit einer typischerweise von 5 bis 44, khz einstellbaren Abtastfrequenz und einer Wortlänge von 8 oder 6 Bit. Es lassen sich damit theoretisch Hörqualitäten erreichen, die vergleichbar zur bekannten CD-DA (Compact Disc Digital Audio) sind. Am PC liegen Audiosignale oft als Dateien im Wave-Format wav vor. MATLAB kann derartige Dateien lesen und schreiben, sowie digitale Signale direkt an die Sound Card ausgeben. Die MATLAB Befehle hierzu sind wavread, wavwrite, sound und soundsc Töne, Klänge und Geräusche Leben ohne Informationen aus der Umwelt ist nicht vorstellbar. Der Mensch besitzt hierfür seine Sinnessysteme, darunter das Gehör. Mit seinen Ohren empfängt er Schallwellen aus seiner Umgebung. Physikalisch können die Schallwellen, die Druckschwankungen an einem Ort, mit Sinusfunktionen wie in (2.5) beschrieben werden. Dabei definiert die Amplitude die Differenz zwischen dem Maximal- und dem Minimaldruck. Die Lautstärke bestimmt die Tonstärke und die Frequenz, die Zahl der Schwingungsperioden pro Sekunde, gibt die Tonhöhe an. Ton Man spricht von einem Eintonsignal, oder kurz Ton, wenn das Audiosignal nur eine Frequenzkomponente aufweist. Das menschliche Gehör kann Töne im Bereich von circa 2 Hz bis (6) 2 khz aufnehmen, besonders gut gelingt dies im Bereich von etwa 3 Hz bis 5 khz. So führten Untersuchungen zur Hörverständlichkeit in den Anfängen der Telefonie auf die Übertragung des Frequenzbands von 3 Hz bis 3,4 khz. Martin Werner SigSys_P

7 2.2 Audiosignale 25 Klang Wird Schall durch den menschlichen Sprechapparat oder durch Musikinstrumente erzeugt, entsteht in der Regel ein komplexes Tongemisch. Stehen die Frequenzen der Töne in einem ganzzahligen Verhältnis, spricht von einem Klang. Geräusch Davon unterschieden wird das Geräusch, das aus der Überlagerung vieler Töne mit unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen entsteht, und meist als Rauschen eines Wasserfalls wahrgenommen wird Beispiel: Synthese eines Audiosignals Unter einem digitalen Audiosignal, im Weiteren kurz Audiosignal genannt, verstehen wir ein digitales Signal, dass nach DAU mittels einem Lautsprecher für Menschen hörbar gemacht werden kann. Zunächst wird an die grundsätzlichen Zusammenhänge erinnert. Beispielhaft soll ein Ton mit der Frequenz von 22 Hz und der (Ton-)Dauer von einer Sekunde zugrunde gelegt werden. Die Abtastfrequenz sei 8 khz. Wie wird das Tonsignal mit MATLAB erzeugt und hörbar gemacht? Die Aufgabe wird durch ein sinusförmiges Signal mit entsprechender Frequenz und Dauer gelöst. Hierfür benötigt wird die Frequenz f in Hertz und der Vektor der Abtastzeitpunkte t in Sekunden. Die Abtastfrequenz fs in Hertz beträgt 8, sodass in einer Sekunde 8 Abtastwerte anfallen. Wird mit Zeitindex angefangen und mit 8 aufgehört, sind es tatsächlich 8 Abtastwerte des sinusförmigen Signals. Die Ausgabe durch die Sound Card erfolgt mit dem Befehl soundsc. Zusammengefasst werden die folgenden Programmzeilen benötigt: fs = 8; f = 44; t = :/fs:; s = sin(2*pi*f*t); soundsc(s,fs) % sampling frequency in Hertz % pitch % sampling instances (normalized time) % sound % play sound Zeit-Frequenz-Darstellung Im Versuch soll ein Musikstück vertont werden. Grundlage ist die Zeit-Frequenz-Darstellung, die Notenschrift in Abbildung 2.3. Dort wird horizontal der zeitliche Verlauf und vertikal die Frequenzlage angegeben. Die daraus resultierende Abfolge der Töne ist in Tabelle 2. zusammengestellt. Die zugeordneten Zeitdauern beziehen sich auf ein wählbares Grundintervall. Abbildung 2.3 Prélude von Marc-Antoine Charpentier (634 74) Martin Werner SigSys_P

8 26 2 Zeitdiskrete Signale Tabelle 2. Töne (Noten) und Tondauern (normierte Zeitintervalle) zum Musikstück Prélude Note d g g a h g d 2 h h c 2 Dauer /4 /4 /8 /8 /4 /4 /2 3/8 /8 /4 Note d 2 c 2 h c 2 d 2 a g a h a Dauer /8 /8 /8 /8 /4 /8 /8 /8 /8 /4 Der Zusammenhang zwischen den Noten und dem Audiosignal erschließt sich aus den in der Musik bekannten Beziehungen: der Kammerton (Normalton, Stimmton) a entspricht einem Sinuston mit 44 Hz; eine Oktave, z. B. der Übergang von a zu a 2, umfasst eine Frequenzverdopplung, d. h. a 2 entspricht 88 Hz; in einer Oktave gibt es genau 2 gleichförmige Halbtonschritte. Daraus folgt die Frequenzzuordnung der C-Dur-Tonleiter in Tabelle 2.2. Tabelle 2.2 Frequenzen der C-Dur-Tonleiter bezogen auf 44 Hz für a Note c d e f g a h c 2 Frequenzfaktor 2 9/2 2 7/2 2 5/2 2 4/2 2 2/2 2 +2/2 2 +3/2 Beispielsweise ergibt sich die Frequenz für den Ton d 2 aus Tabelle 2.2 zu /2 Hz. Man beachte auch, im Englischen wird für die deutsche Note h der Buchstabe b verwendet und die Tonhöhe wird pitch genannt. Durch das Vorzeichen # auf der 5. Linie von unten wird in Abbildung 2.3 der Ton f um einen Halbton zum fis erhöht. Mit den obigen Festlegungen kann nun jeder Note genau ein Sinuston mit entsprechender Frequenz und entsprechender Dauer zugeordnet werden, siehe Programm ADSR-Profil Das im Programm 2-2 erzeugte Audiosignal klingt unnatürlich, da es nur aus jeweils ein- und ausgeschalteten Sinustönen besteht, wobei das Knacken durch das Schalten sich besonders störend bemerkbar macht. Hüllkurvenbewertung Ein angenehmerer Höreindruck lässt sich mit einer Hüllkurvenbewertung erzielen. In der Audiotechnik wird hierfür oft das ADSR-Profil in Abbildung 2.4 verwendet. Es besteht aus vier Geradenstücken, die vier Phasen repräsentieren: Anstieg (Attack), Abfall (Decay), Halten (Sustain) und Freigeben (Release). Das Programm 2-3 stellt eine mögliche Realisierung der ADSR-Hüllkurve (envelope) für jeweils einen Ton dar. Die Parameter der ADSR-Hüllkurve sind in einer MATLAB- Struktur (struct) zusammengefasst. Martin Werner SigSys_P

9 2.2 Audiosignale 27 Programm 2-2 Audiosignal Prélude % Audio signal prelude by Marc-Antoine Charpentier (634-74) % dsplab2_3.m * mw * 4Apr24 A = 44; % pitch in Hz Dh = A*2^(5/2); % high C = A*2^(3/2); B = A*2^(2/2); G = A*2^(-2/2); Fis = A*2^(-3/2); E = A*2^(-5/2); D = A*2^(-7/2); pitch = [D G G A B G Dh B B C Dh C B C Dh A G A B A]; duration = [ ]; Sc = /4; % time scaling fs = 8; % sampling frequency audiosig = []; % define variable for audio signal for k = :length(pitch) % for loop L = Sc*fs*duration(k); % number of samples per tone n = :L-; % normalized time w = (2*pi/fs)*pitch(k); % normalized radian frequency s = sin(w*n); % sinusoidal tone audiosig = [audiosig s]; % concatenate audio signal end soundsc(audiosig,fs,6); % sound card output Hüllkurve E A E D E S A D S R t A t D Zeit t R Abbildung 2.4 ADSR-Profil Harmonische In der Musik treten in der Regel nicht reine Töne auf, sondern Musiksignale stellen eher einem Gemisch von Harmonischen dar. Das heißt, es treten in gewissen Abschnitten eine Grundschwingung (Grundwelle) mit einer Grundfrequenz f und viele Oberschwingungen (Oberwellen) bei ganzzahlig Vielfachem der Grundfrequenz k f auf, siehe Beispiel zur Fourier-Reihe in Kapitel. Harmonische Der Höreindruck kann deshalb weiter verbessert werden, wenn die Oberschwingungen geeignet hinzugefügt werden. Der Einfachheit halber wählen wir dazu in der Versuchsdurchführung den Ansatz einer abgebrochenen Fourier-Reihe mit exponentiell fallenden Koeffizienten K k (2.) k = [ ] = sin ( Ω ) sn b k n Martin Werner SigSys_P

10 28 2 Zeitdiskrete Signale Programm 2-3 ADSR-Profil function s_adsr = adsr_profile(s,p_adsr) % dsp laboratory - assignment 2 % computation of envelope signal with ADSR profile for shaping pure tones % s_adsr = adsr_profile(s,p_adsr) % s : audio signal % P_adsr : structure with parameters for adsr envelope % P_adsr.tA : end of attack phase % P_adsr.EA : amplitude of profile at time ta (=) % P_adsr.tD : end of delay phase % P_adsr.ED : amplitude of profile at time td % P_adsr.tS : end of sustain phase % P_adsr.ES : amplitude of profile at time ts % s_adsr : signal with ADSR profile % adsr_profile.m * mw * 4Apr24 N = length(s); % number of signal samples env = zeros(,n); % allocate memory for envelope signal % attack phase NA = floor(n*p_adsr.ta); env(:na) = linspace(,p_adsr.ea,na); % delay phase ND = floor(p_adsr.td*n)-na; env(na:na+nd) = linspace(p_adsr.ea,p_adsr.ed,nd+); % sustain phase NS = floor(p_adsr.ts*n)-(na+nd); env(na+nd:na+nd+ns) = linspace(p_adsr.ed,p_adsr.es,ns+); % release phase NR = N - (NA+ND+NS); env(na+nd+ns:n) = linspace(p_adsr.es,,nr+); s_adsr = s.*env; % adsr shaped signal return bk ( k ) e α =. (2.2) Der Parameter α steuert die Dämpfung der Amplituden bzgl. der Reihenfolge der Harmonischen. Für die Simulation beachte man auch, dass die höchste auftretende Frequenz die halbe Abtastfrequenz nicht überschreiten darf, weil sonst das Abtasttheorem verletzt wird und der Spiegelfrequenzeffekt auftritt Vorbereitende Aufgaben A2.5 Machen Sie sich mit Programm 2-2 und Programm 2-3 vertraut Versuchsdurchführung M2.2 Starten Sie das Programm 2-2 dsplab2_3. Martin Werner SigSys_P

11 2.3 Zusammenfassung 29 M2.3 Um das harte Ein- und Austasten der Töne zu vermeiden können diese mit einer ADSR-Hüllkurve bewertet werden, siehe Programm 2-3. Überprüfen Sie die Klangqualität des so modifizierten Audiosignals. Dazu können Sie auch die Parameter des ADSR-Profils ändern, z. B. mit % define parameters for adsr profile P_adsr = struct('ta',.5,'ea',,'td',.2,'ed',.8,'ts',.9,'es',.6); und s_adsr = adsr_profile(s,p_adsr); % ADSR profile audio = [audio s_adsr]; % concatenate audio signal Sie können nun auch verschiedene Einstellungen für die Abtastfrequenz f s und die Zeitskalierung Sc und weiterer Parameter des ADSR-Profils ausprobieren. M2.4 Der Höreindruck kann durch Hinzunahme höherer Harmonischer verändert werden. Erweitern Sie dazu das Programm entsprechend dem Ansatz in (2.). Wie viele Oberschwingungen können maximal hinzugefügt werden, ohne dass die halbe Abtastfrequenz überschritten wird? Wie ändert sich der Höreindruck, wenn nur ungeradzahligen Harmonische verwendet werden? (b 2 = b 4 = = ) Vergleichen Sie den Höreindruck für verschiedene Werte von α. M2.5 Der Spiegelfrequenzeffekt spielt im Zusammenhang mit dem später noch vorgestellten Abtasttheorem eine wichtige Rolle und kann mit relativ einfachen Mitteln mit Programm 2.4 demonstriert werden. Der Bezeichnung Spiegelfrequenz bezieht sich auf die Lage eines Frequenzpaares spiegelbildlich zu halben Abtastfrequenz. Bei der Abtastfrequenz von 8 khz beispielsweise auf das Tonpaar bei 3 und 5 khz. Hören Sie sich die Signale in Programm 2-4 an. Wie viele unterschiedliche Töne können Sie erkennen, wenn Sie von den Störungen (Klirren) bei der halben und ganzen Abtastfrequenz absehen. Ändern Sie die Abtastfrequenz auf 6 khz. Was verändert sich? 2.3 Zusammenfassung Im Versuch Zeitdiskrete Signalen lernten Sie zunächst elementare Signale, ihre analytischen Beschreibungen und grafischen Darstellung am Rechner kennen. Mit den Versuchsbeispielen zu den Audiosignalen beschritten Sie die Brücke zwischen den Daten am Rechner und den hörbaren Signalen. Daten am Rechner meint hier geordnete Folgen von Zahlenwerten, die als Abtastwerte eines analogen Signals gedeutet werden können. Wesentlicher Parameter dabei ist die Abtastfrequenz bzw. ihr Kehrwert, das Abtastintervall, das den Zeitbezug herstellt. Mit der Notenschrift begegnete Ihnen eine Signalcharakterisierung durch eine Zeit- Frequenz-Darstellung, ähnlich der in Technik und Physik wichtigen Spektralanalyse. Martin Werner SigSys_P

12 3 2 Zeitdiskrete Signale Programm 2-4 Spiegelungseffekt % Mirror frequency effect % dsplab2_6.m * mw * 4Apr24 fs = 8; % sampling frequency in Hz n = :fs; % time interval % define parameters for adsr profile P_adsr = struct('ta',.5,'ea',,'td',.2,'ed',.8,'ts',.9,'es',.4); f = e3; % signal frequency in Hz for k=:8 fk = f*k; audio = sin(2*pi*(fk/fs)*n); audio = adsr_profile(audio,p_adsr); % ADSR profile fprintf('frequency %g Hz\n',fk) soundsc(audio,fs,6); % sound card output pause() end 2.4 Quiz Kreuzen Sie alle richtigen Aussagen in den Ja-Nein-Fragen ( ) an bzw. ergänzen Sie die Lückentexte (_) sinngemäß. Mit w=2*pi/8; n=:2; x=cos(w*n); ist x(7) gleich Bei Grafiken mit dem Befehl stem werden die Signalwerte durch Geradenstücke so verbunden, dass die bekannten Treppenkurven entstehen. Neben der Wortlänge ist für die Digital-Analog-Umsetzung die wichtig. Wegen der beschränkten Empfindlichkeit des menschliche Gehörs werden in der Telefonie nur Töne im Bereich von circa 3 Hz bis 3,4 khz übertragen. 5 Eine Oktave entspricht einer Frequenzverdopplung. 6 Die Notenschrift ist eine besondere Form der. 7 ADSR steht für Attack, Delay, Sound und Relax. 8 9 Ein Ton wird durch drei Werte beschrieben: die Amplitude, die Frequenz und die Dauer. Mit dem Befehl soundsc(y,6,6) können Töne bis zur Frequenz ausgegeben werden. Die Harmonischen werden auch Oberwellen genannt. Martin Werner SigSys_P

13 2.5 Lösungshinweise Lösungshinweise In Tabelle 2.3 werden für den Versuch einige nützliche Befehle und Funktionen aufgelistet, zu denen Sie sich in MATLAB Erläuterungen und Beispiele anzeigen lassen können. Tabelle 2.3 MATLAB-Befehle benutzte Programme und Dateien Befehle zur Programmablaufsteuerung Operatoren und spezielle Zeichen Elementare Matrizen und Matrixmanipulationen Datenstruktur Elementare mathematische Funktionen Mathematische Konstanten 2-dim. Grafikbefehle Befehle für Audiosignale Onlineressourcen end, for, function, while +, -, *, /, ^, :, [ ],.* length, ones, zeros, linspace struct cos, exp, floor, sin pi axis, figure, grid, plot, stem, subplot, title, xlabel, ylabel audioinfo, audioread, audiowrite, sound, soundsc, wavread, wavwrite adsr_profile.m, dsplab2_.m dsplab2_6.m Zu A2. u. 2 Siehe Abbildung 2.5 und Programm dsplab2_2. Hinweis: Sinus- und Kosinusfolgen lassen sich als Stabdiagramme meist schnell skizzieren, wenn mit den zugrunde liegenden zeitkontinuierlichen Funktionen als Hilfslinien begonnen wird. A2.3 Das Signal 3 hat die Periode 7. Das Signal 4 ist aperiodisch. M2. Mit dem Programm dsplab2_2 wurden die Bilder der Signale x [n] bis x 4 [n] in Abbildung 2.5 erzeugt. M2.2 bis 4 Ausgehend vom Programm 2-3 wurden folgende Programme generiert: Audiosignal mit ADSR-Bewertung dsplab2_4 Audiosignal mit ADSR-Bewertung und höheren Harmonischen dsplab2_5 Die höchste Signal(grund)frequenz leitet sich aus dem Ton d 2 mit ungefähr 587 Hz ab. Damit ist die Zahl der möglichen Oberschwingungen auf 5 beschränkt, da bereits 6 f = 3524 Hz. M2.5 Spiegelfrequenzeffekt dsplab2_6 Martin Werner SigSys_P

14 32 2 Zeitdiskrete Signale x [n].5 x 2 [n] n -5 5 n.5.5 x 3 [n] -.5 x 4 [n] n n Abbildung 2.5 Signalbeispiele (dsplab2_2) 2.6 Literatur und Quellen Stonick V., Bradley K. (996) Labs for Signal and Systems. Using MATLAB. Boston: PWS Publishing Company Werner M. (2) Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB. Grundkurs mit 6 ausführlichen Versuchen. (5. Aufl.). Wiesbaden: Vieweg+Teubner 2.7 Sachverzeichnis Abtastfolge 2 Abtastfrequenz 24 Abtastintervall 2 ADSR-Profil 26 Analoge Signale 24 Digitales Signal 24 Exponentielle 2 Folge 2 Geräusch 25 Impulsfolge 2 Klang 25 Komplexen Kreisfrequenz 2 Kosinusfolge 2 Normierte Zeitvariable 2 Rechtsseitigen Folge 2 Signal 2 Sinusfolge 2 Spiegelfrequenzeffekt 29 Sprungfolge 2 Ton 24 Wortlänge 24 Zeit-Frequenz-Darstellung 25 Martin Werner SigSys_P