1) Pythagoras. 2) Zeno. 3) Archimedes. 4) Newton/Leibniz. 5) Cantor. 6) Hilbert/Gödel. 7) Konstruktivismus

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1 ) Pythagoras 2) Zeno 3) Archimedes ) Newton/Leibniz 5) Cantor 6) Hilbert/Gödel 7) Konstruktivismus

2 Phytagoras Um 570 v.chr. auf Samos geboren? Lehrte in Croton und Metapont (Süditalien). Alles ist Zahl Number is the ruler of forms and ideas, and the cause of gods and daemons Number rules the universe ἀριθμῷ δέ τε πάντ ἐπέοικεν Geometrie, Musik, Astronomie: Verhältnisse ganzer Zahlen! Aktuell: Diskretisierung Zahl, z.b. CD, JPEG,MPEG,

3 Pentagramm

4 Betrachte das Verhältnis Diagonale : Seite = Zähler : Nenner N Z Seitenlänge 2, Diagonale ~ 3, 5, ~ 8, 3, ~ 2, 3, ~ 55 89, ~,.. z : n Z : N Gesetz: Zähler Z, Nenner N. N = z+n, Z = N+z = 2z+n Dasselbe Bildungsgesetz ergibt sich im Pentagramm:

5 d A a d A D d A Diagonalen: D,d Seitenlänge: A,a A = d+a, D = A+d = 2d +a

6 Es scheint also tatsächlich so, dass das Verhältnis Diagonale : Seite ganzzahlig sein könnte. Widerspruch: Wenn diese Zahlen exakt stimmen würden, könnte nach dem 3:2 Pentagramm kein größeres existieren, da sonst 2 = d+a, 3 = 2+d a=d=! Pentagramm Strecke Daher kann dieses Zahlenverhältnis nicht ganzzahlig sein! Auf einer Schiffsreise hat Hippasos von Metapont diesen Widerspruch herausgefunden und publik gemacht wurde von den Phytagoräern ins Meer geworfen und ertränkt!

7 Annahme: D, A, d, a rational und A = d+a, D = 2d+a Multipliziere mit Hauptnenner Dann gelten die selben Gleichungen. obda: D, A, d, a ganzzahlig und A=d+a, D = 2d+a A = d+a, D = 2d+a d = D-A (<D), a = A-d=2A-D (<a) Nimmt man also Ganzzahlichkeit, so ergeben sich Folgen für A und D, die stark montonon fallen, in IN! Dann müsste die Folge der Pentagramme irgendwann abbrechen!

8 Zeno von Elea ca v.chr., Süditalien Schüler von Parmenides, Vorsokatriker, Dialektiker Versucht durch Widerspruchsbeweise ( reductio ad absurdum ) folgende Doktrin zu beweisen: Alles ist eins, es gibt keine Vielheit und keinen Wandel, Bewegung ist Illusion. Wesentliche Paradoxa: -Achill und die Schildkröte -Bewegung eines Pfeiles

9 Achill und die Schildkröte

10 Zoom in:

11 Achill und die Schildkröte Durch willkürliches Zoom-in, bzw. Zeitdiskretisierung mit unendlich vielen (künstlichen) Haltepunkten schafft man eine Zeitskala, in der Achill die Schildkröte nie einholt! In Wirklichkeit passiert folgendes:

12 Vorsicht mit Unendlich! j= 0 ( ) = = ( ) + ( ) + = = + ( + ) + ( + ) = ( ) j = 2 0 = + = = Ähnlich wie mit Division durch Null kann man bei sorglosem Umgang mit Unendlich böse auf die Nase fallen! Man kann Unendlich nicht in die Hand nehmen!

13 Bewegung eines Pfeils Wählt man einen festen Augenblick aus (Photo), so nimmt der Pfeil in diesem Augenblick einen festen Ort ein und muss sich daher in diesem Augenblick in Ruhe befinden. Wenn sich aber der Pfeil in jedem Augenblick in Ruhe befindet, wie kann er sich dann aber überhaupt bewegen? Problem wieder die unendlich feine Unterteilung der Zeit!

14 Archimedes v.chr. in Syrakus. Hebelgesetze: Gebt mir einen festen Punkt und ich hebe.. Auftrieb: Goldene Krone, Eureka Linsen, Brennpunkt, Kriegsschiffe Schraubenpumpe Störe meine Kreise nicht! Flächenberechnung!

15 Dreieck-Parabel-Fläche P D Behauptung von Archimedes: Fläche unter der Parabel P, Fläche unter Dreieck D: P : D = : 3

16 Beweis-Baustein B D E A C Fläche der beiden kleinen Dreiecke ADB und BCE ist ¼ der Fläche des großen Dreiecks ABC!

17 Beweis-Idee Aus Dreiecken und Trapezen kann man die Flächen mittels der Höhen berechnen und vergleichen Behauptung

18 Beweis Hat das erste Dreieck also die Fläche, so haben die drei Dreiecke die Fläche + ¼ = 5/ Mit neuen Dreiecken die Fläche + ¼ + /6 = 2/6 Pn = n j= 0 j = n = (/ ) / n+ / = 3 Archimedes verwendet einen vorsichtigen Umgang mit. Die Flächensumme kommt /3 immer näher. Daher. P kann nicht größer als /3 sein, da sonst eine echte Lücke besteht. 2. P kann nicht kleiner als /3 sein, da sonst die Teilflächen größer würden als P.

19 Newton/Leibniz I. Newton 62 geb. in Woolsthorpe Philosophiae naturalis principia mathematica Differentialrechnung, Fernrohr, Farbenlehre Präsident der Royal Academy of Sciences. Gest G. Leibniz 66 geb. in Leipzig. Formalismus dx/dy Binärsystem, mechanische Rechen- Maschine. Monadenlehre. Gest. 76. Prioritätenstreit!

20 Newton/Leibniz Gradlinige Bewegung + Fallen Immere feinere Einteilungkleinere DreieckeKreisbahn

21 Newton/Leibniz

22 Differentialrechnung Infinitesimalrechnung y x Δy y y x 2 2 Δy 2 y x y x 3 3 dy dx Δy 3 Δy dy dx Δx Δx 3 Δx 2 Δx x

23 Folge der Steigungsdreicke konvergiert gegen Punkt! Letztes Dreieck existiert nicht! Δx? dx Folge der Steigungen konvergiert. Definition der Konvergenz unter Vermeidung von : a n a falls a 0 a n Zu beliebigem ε>0 gibt es N ε mit: n > Nε an a < ε Aktual unendlich versus potentiell unendlich

24 Cantor Geb. 85 in St. Petersburg. Professor in Halle. -Mengenlehre -Abzählbarkeit -Cardinalzahlen Widersprüche in mathematischer Theorie und fehlende Anerkennung. Gest. 98 in Sanatorium in Halle. Ein Friseur rasiert in einem Dorf jeden, der sich nicht selbst rasiert. Wer rasiert ihn selbst? Sei A die Menge aller Mengen. Enthält sich A dann selbst?

25 Dezimalzahlen Was ist 2=.2? Was ist eine unendliche Dezimalzahl? Vor Cantor: Die Ziffernfolge in 2 wird der Reihe nach geschaffen. Seit Cantor: Diese Ziffernfolge existiert und wird lediglich entdeckt. Die unendlich vielen Ziffern in 2 existieren bereits. Potentiell Unendlich versus aktual Unendlich!

26 Klassifizierung von. Abzählbar endliche Mengen, n Elemente. 2. Abzählbare unendlich Mengen, z.b. IN. Q ist gleich abzählbar wir IN! Bijektion!

27 Klassifizierung von 3. Überabzählbar unendliche Mengen, z.b. IR. IR 2 ist gleichmächtig wie IR! Bijektion! [ 0. xx2 x3xx5..., 0. y y2 y3y y5...] 0. x yx2 y2x3 y3x y... Beweis, dass IR nicht abzählbar mittels Diagonalisierungs- Verfahren.

28 Diagonalisierungsverfahren Sei r, r 2, Abzählung aller reellen Zahlen in [0,]. Definiere neue reelle Zahl s: r r r r s 2 3 = 0. r = 0. r = 0. r 3 = 0. r = 0. s 2 r s 2 r r r r 3 r r r s r 3 33 r r r s r r r 35 r s mit s r, i =,2,... ii ii Dann kann s nicht in obiger Aufzählung enthalten sein!

29 Hierarchie der Mächtigkeiten Endliche Menge M: M = n Abzählbar unendliche Menge: IN Überabzählbare unendliche Menge, z.b. IR Frage: Gibt es eine Menge zwischen IN und IR mit echt unterschiedlicher Mächtigkeit? Kontinuumshypothese. Konstruktion mächtigerer Mengen durch Potenzmenge. Es gilt:ir=p(in): Beweis: Jede reelle Zahl entspricht einer Abbildung IN {0,}. r=0.x x 2 x 3 binär Abb.: x, 2 x 2, 3 x 3, Die Menge all dieser Abbildungen ist die Potenzmenge von IN. Denn an jeder Stelle kann 0 oder stehen..

30 Klassifizierung von Allgemeines Schema zur Erzeugung größerer Mengen: Zu M ist die Potenzmenge P(M) nicht bijektiv abbildbar. Folge von Mengen wachsender Kardinalität=Mächtigkeit. N 0 < N < mit Kardinalität n 0 < n < Arithmetik für Kardinalzahlen: card(n 0 )=card(iq)=n 0 : n 0 +n 0 =n 0, Card(IR) > card(n 0 )=n 0. card(p(m)) > card(m).

31 Satz: Es gibt keine Bijektion von M P(M) Beweis: Annahme,es gibt Bijektion f, a f(a) Sei C die Menge der Elemente x aus M, die selbst nicht in f(x) liegen. Wegen f Bijektion gibt es ein c mit f (c) = C c ϵ C=f(c) c ϵ C c ϵ C=f(c) c ϵ C Widerspruch, Annahme falsch! M

32 Hilbert/Gödel Geb. 862 in Königsberg. 900: Hilbert-Probleme Göttingen als Zentrum der Mathematik (Physik) Gest. 93 in Göttingen Geb. 906 in Brünn. IAS in Princeton Freundschaft mit Einstein Gest. 978 in Princeton Unvollständigkeit von Axiomensystemen. Hilbert Hotel als Beispiel für Umgang mit

33 Hilbert Axiomatisierung der Mathematik Hilbert Programm Mathematik als abstraktes Spiel mit Objekten und Regeln (Axiomen). Vollständige Axiomatisierung der euklidschen Geometrie. Problem: Regelsystem vollständig, widerspruchsfrei? Welches Axiomensystem garantiert, dass alle möglichen Behauptungen bewiesen oder widerlegt werden können?

34 Gödel s Unvollständigkeitssatz Wenn ein formales mathematisches widerspruchsfreies Axiomensystem in der Lage ist, die Arithmetik der natürlichen Zahlen zu beschreiben, so ist es unvollständig, d.h. Es gibt Sätze, die weder bewiesen noch widerlegt werden können! Beweis durch Gödelisierung:

35 Gödelisierung Nummeriere alle möglichen Sätze. Erstelle Liste aller Codenummern von beweisbaren Sätzen L b. Erstelle Tabelle A aller Sätze über Variable x (egal ob wahr oder falsch): A ( x) A A A 2 3 ( x) ( x) ( x) : : : : A A A A 2 3 () () () () A A A A 2 3 (2) (2) (2) (2) A A A A 2 3 (3) (3) (3) (3) A A A A 2 3 () () () ()

36 Erstelle neue Liste L, aufbauend auf der Liste beweisbarer Aussagen L b : A() Die Nummer der ersten Aussage auf der Diagonalen erscheint nicht in der Liste beweisbarer Sätze. A(2) Die Nummer der zweiten Aussage auf der Diagonalen erscheint nicht in der Liste beweisbarer Sätze. A(3) Die Nummer der dritten Aussage auf der Diagonalen erscheint nicht in der Liste beweisbarer Sätze. Ergibt Aussage A(x).

37 Diese Listen ermöglichen folgende neue Aussage A(x): Die Nummer des x-ten Satzes auf der Diagonalen ist nicht auf der Liste beweisbarer Sätze: A(x) ist nicht beweisbar. Dieser Satz ist eine Aussage über x, muss daher auf unserer Tabelle erscheinen als A n (x) für ein n (Gödelnummer). Ist Satz Nummer n beweisbar, so ist die Aussage Satz Nummer n ist nicht beweisbar falsch! Ist Satz Nummer n nicht beweisbar, so ist seine Behauptung wahr, und er ist doch beweisbar! Ich bin nicht beweisbar

38 Konstruktivismus Gegenströmung gegen Cantor und Hilbert: Mathematik kann nur mit Objekten hantieren, die vorstellbar (konstruierbar) sind. Rettung der Mengenlehre: Betrachte nur Mengen, die konstruierbar sind 2 =.2 sagt, man kann potentiell beliebig weitere Stellen berechnen sagt, es existieren unendlich viele eindeutige Stellen

39 Existenz unendlich vieler Primzahlen. Version (Widerspruchsbeweis): Annahme: Es existieren nur endlich viele Primzahlen. Schreibe diese in Liste p,p 2,,p n, und bilde z=p p 2 p n +. Dann ist kein p i ein Teiler von z. Also ist z entweder Primzahl oder es muss eine Primzahl p als Teiler haben, die noch nicht in der Liste auftaucht. Widerspruch zu obiger Annahme. Annahme ist also falsch und es existieren unendlich viele Primzahlen.

40 Konstruktiver Beweis Es sei p,p 2,,p m eine endliche Liste von Primzahlen. z=p p 2 p m + ist entweder selbst Primzahl, oder es existiert eine weitere, neue Primzahl p als Teiler von z. In beiden Fällen können wir die Liste der Primzahlen verlängern. D.h.: Jede List von Primzahlen kann verlängert werden, also gibt es unendlich viele Primzahlen.

41 Unendlich große Teilmengen Sei M eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Zerlege M in zwei beliebige disjunkte Teilmengen M und M 2. Offensichtliche Aussage: Eine der beiden Mengen muss unendliche viele Elemente enthalten. Beweis durch Widerspruch einfach. Konstruktiv aber nicht beweisbar, da potentiell unendlich viele Elemente durchgezählt werden müssten. Vgl. Zeno! Einschränkungen des Beweisbaren durch Konstruktivismus!

42 Auswahlaxiom Sei A eine Menge nichtleerer Mengen X. Ein Auswahlfunktion F ist definiert durch F( X ) = x X. F wählt also zu jeder Teilmenge ein Element aus. Das Auswahlaxiom besagt: Zu jeder Menge A von nichtleeren Mengen X gibt es eine Auswahlfunktion, d.h. man kann stets ein Element aus einer Menge herausgreifen. F muss nicht konstruktiv gegeben sein!

43 Beispiel Sei M die Menge aller Dezimalzahlen, die für Dezimalstellen i> an mindestens 0 3 Stellen mit π übereinstimmen. M ist auf jeden Fall unendlich, aber nicht konstruierbar. Kann man annehmen, dass man ein Element aus M herausgreifen kann? Unkonstruierbare Zahl: x habe als i-te Ziffer, falls π als i-te Ziffer eine 7 hat. π = ? x = ? Unkonstruierbare Menge: Menge aller x mit dieser Eigenschaft. Konstruktive Beweise nur ohne Verwendung des Auswahlaxioms. Besser aus Taschner

44 Escher

45 Ende