Buddha um v. Chr. Buddha nennt in einem Wettbewerb große Zahlen und kommt bis zu Folge:

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Buddha um v. Chr. Buddha nennt in einem Wettbewerb große Zahlen und kommt bis zu Folge:"

Sebastian Böhmer
vor 6 Jahren
Abrufe

4 Buddha um v. Chr. Buddha nennt in einem Wettbewerb große Zahlen und kommt bis zu Folge:

5 Buddha um v. Chr. Buddha nennt in einem Wettbewerb große Zahlen und kommt bis zu Folge: Er bekommt als Belohnung eine schöne Frau

6 Buddha um v. Chr. Buddha nennt in einem Wettbewerb große Zahlen und kommt bis zu Folge: Er bekommt als Belohnung eine schöne Frau Sein Mathematiklehrer wirft sich vor ihm in den Staub

7 Buddha um v. Chr. Kein anderes Wesen kennt diese Zählung außer mir und jemandem, der wie ich die letzte Existenz erreicht hat ( ). Dies ist das Ende aller Berechnungen. Jenseits davon liegt das Unberechenbare.

8 Archimedes v. Chr. Beeindruckt den König von Syrakus mit seiner Sandzahl (Zahl von Sandkörnern, die man braucht, um eine Kugel von der Größe des Kosmos auszufüllen) Er gibt sie mit ca an. Doch Apollonius bringt eine noch größere Zahl Archimedes kontert mit und noch mehr.

9 Archimedes v. Chr. Beeindruckt den König von Syrakus mit seiner Sandzahl (Zahl von Sandkörnern, die man braucht, um eine Kugel von der Größe des Kosmos auszufüllen) Er gibt sie mit ca an. Doch Apollonius bringt eine noch größere Zahl Archimedes kontert mit und noch mehr.

10 Archimedes v. Chr. Beeindruckt den König von Syrakus mit seiner Sandzahl (Zahl von Sandkörnern, die man braucht, um eine Kugel von der Größe des Kosmos auszufüllen) Er gibt sie mit ca an. Doch Apollonius bringt eine noch größere Zahl. Archimedes kontert mit und noch mehr.

11 Archimedes v. Chr. Beeindruckt den König von Syrakus mit seiner Sandzahl (Zahl von Sandkörnern, die man braucht, um eine Kugel von der Größe des Kosmos auszufüllen) Er gibt sie mit ca an. Doch Apollonius bringt eine noch größere Zahl. Archimedes kontert mit

12 Archimedes v. Chr. Archimedes weiß aber schon längst, dass bei diesem Wettlauf niemand gewinnen kann

13 Zur gleichen Zeit in Griechenland: Zenon aus Elea, Achilles und eine Schildkröte

14 Zenons Paradoxie Zenon: Achilles kann die Schildkröte niemals einholen, da er dazu unendlich viele Wegstücke durchlaufen müsste, was aber unmöglich ist. Alltagserfahrung: Achilles holt die Schildkröte ein.

15 Aristoteles um v. Chr. Es gibt keine größte Zahl, da man ja immer weiterzählen kann. Es gibt also so etwas wie Unendlich, aber man kommt nie dahin, weil dazu die Zeit fehlt. -> Unendlich ist kein Zustand. Auffassung vom potentiell Unendlichen

16 Aristoteles zu Zenon: Die Zeit erlaubt ja die gleiche Unterteilung wie der Weg. Das beantwortet die Frage, löst aber nicht das Problem. Das Problem ist: Wer eine endliche Zeitspanne in unendlich viele Teile zerlegen möchte, muss in endlicher Zeit bis unendlich zählen das ist aber unmöglich! Zenons Unterteilung gibt s also nicht! Eine Unterteilung existiert nur dann, wenn man ihre Teile auch vollständig erfassen= benennen kann.

17 Euklid: Die Elemente Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Beweis?

18 Bibel Schöpfungsbericht: Menschen geben den Tieren Namen. Epheserbrief: Christus steht über jeder Gewalt, Kraft, Hoheit und jedem Namen, der genannt wird. X in Menschenwelt X hat Namen ( kann genannt (gezählt), werden)

19 Galileo Galilei um 1600

20 Galileo Galilei um 1600 Für jede natürliche Zahl n gibt es genau eine Quadratzahl n2.

21 Galileo Galilei um 1600 Für jede natürliche Zahl n gibt es genau eine Quadratzahl n2. Gibt es also genauso viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen?

22 Cantor ( ) Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Es gibt unendlich viele rationale Zahlen. Es gibt unendlich viele reelle Zahlen. Aber: Gibt es von allen gleich viele? Wenn nicht, von welcher Sorte gibt es die meisten?

23 Die rationalen Zahlen lassen sich an einer Schnur auffädeln

24 Angenommen man könnte die reellen Zahlen aufreihen. Dann gäbe es sicher auch eine Aufreihung für die Teilmenge, die nur Zahlen enthält, die kleiner sind als 1 und mit den Zahlen 2 und 5 darstellbar sind, z.b.: 1.Zahl: 0, Zahl: 0, , Zahl: 0, Zahl: 0, Zahl: X ist die Zahl, bei der die n-te Nachkommastelle einen anderen Wert hat als die n-te Nachkommstelle der n-ten Zahl: Hier 0, X kann nicht in der Reihe sein, da sie nicht der erten Zahl entspricht, aber auch nicht der zweiten, dritten usw. -> Die schon diese Teilmenge der reellen Zahlen kann nicht aufgereiht werden.

25 Cantor ( ) Es gibt genau so viele natürliche Zahlen, wie rationale Zahlen und wie Quadratzahlen, nämlich abzählbar unendlich viele. Es gibt überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen.

26 Cantor ( ) -> Unendlich als Zustand Auffassung vom aktual Unendlichen

27 Cantor zu Galilei: Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Trotzdem haben beide Mengen die gleiche Mächtigkeit. Dies ist bei unendlichen Mengen völlig normal.

28 Gauß: So protestiere ich gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine facon de parler Kronecker: Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Spätere Generationen werden Cantors Ideen als Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat.

29 Russels Paradoxie Die meisten Mengen sind nicht Elemente ihrer selbst- die sind nicht der Rede wert z.b.: Die Menge aller Wahlrosse ist kein Wahlross Es gibt Mengen, die sich selbst enthaltendiese sind selbstverschluckend z.b.: Die Menge aller Dinge Die Menge aller Mengen

30 Russels Paradoxie Definiere: R ist die Menge aller nicht der Rede werten Mengen Ist diese Menge nicht der Rede wert oder selbstverschluckend?

31 Geometrische Reihe (Basis 2) i 1 =? i =1 2

32 Geometrische Reihe Wenn man eine Tasse zur Hälfte befüllt und nachher die noch übrige, leere Hälfte wieder zur Hälfte befüllt und immer so weiter, ist nach n Schritten noch (½)n der Tasse ungefüllt: Da dieser Rest für n gegen unendlich gegen 0 geht, gilt: = Analog: Befülle jeweils 2/3 von dem, was noch leer ist: (Rest (1/3)n) =

33 Geometrische Reihe Allgemein: Befülle (n-1/n) von dem, was noch leer ist: (Rest 1/n)n n 1 n 1 1 n = 1 n n n n n n n = 1 1 i = 1 n n n n n i= 0 n i 1 1 n = 1 1 i= 0 n

34 Literatur: Robert Kaplan: Die Geschichte der 0, Sehr schön zu lesen, ca. 200 Seiten, Inhalt: Geschichte und Geschichten von der Entwicklung der Stellenwertsyteme bis zum Differentialquotient Piper ISBN (ca. 10 ) Douglas R. Hofstadter: Gödel Escher Bach Sehr anspruchsvoll, ca. 800 Seiten: Inhalt: Logik, Systeme, Aristoteles, Russel, Gödels Unvollständigkeitssatz - Klett ISBN (ca. 20 ) Carl Friedrich von Weizäcker: Große Physiker Untertitel: von Aristoteles bis Heisenberg, beschreibt die Denkweisen vieler großer Persönlichkeiten, u.a.: Planton, Kopernikus, Galilei, Descartes, Newton, Kant, Goethe, Einstein, Bohr, - MarixVerlag- ISBN

Ähnliche Dokumente

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt.

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt. 1 1 Funktionen 1.1 Grundlegende Zahlenmengen Georg Cantor (1845-1918) hat den Begriff der Menge eingeführt. Man versteht darunter die Zusammenfassung einzelner Dinge, welche Elemente genannt werden, zu