Mathematische Vermehrung von Mengen, Flächen, Volumen und Geld? Alexander Mielke

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1 Mathematische Vermehrung von Mengen, Flächen, Volumen und Geld? Alexander Mielke W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Mohrenstraße 39, 0 Berlin Institut für Mathematik HumboldtUniversität zu Berlin Rudower Chaussee BerlinAdlershof Tag der Mathematik, Mai 00 Technische Universität Berlin

2 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Abzählen geht nur bei endlichen Mengen Wie groß sind Mengen? Unendliche Mengen können aber verglichen werden A heißt kleiner oder gleich groß mächtig wie B, falls es eine Abbildung f : A B gibt, die jeden Punkt in B höchstens einmal trifft A heißt gleich groß wie B, falls A B und B A ist Beispiele: {Alex,Bärbel,Anne,Lisa,Frieder} ist echt kleiner als {Mon,Die,Mit,,Son}, denn fperson = Wochentag des Geburtstags der Person in 00 falex = Don, fbärbel = Mon, fanne = Son, flisa = Die, ffrieder = Mit N = {,, 3, } ist gleich groß wie K = { 3, 3, 3 3, 4 3, } fn = 3n 3 trifft jedes k K höchstens einmal; gk = q trifft jedes n N höchstens einmal Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 / 9

3 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Zwei unendliche Mengen können gleich groß sein, obwohl eine eine echte Teilmenge der anderen ist Wichtige Beispiele Es gibt gleich viele ganze Zahlen wie Brüche Z = {,,, 0,,, 3, } ist gleich groß wie Q = Menge der Brüche, denn fn = n trifft jedes q Q höchstens einmal Für q = ± z n mit z, n N setze gq = ±4444 } {{ }} 0000 {{ } Z z mal n mal zb g 3 = 4000, g 8 = oder g 3 = R ist echt größer als Q Es gibt echt mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen oder Brüche Beweis[8] von Georg Cantor Jede Menge ist echt kleiner als ihre Potenzmenge = alle Teilmengen viele verschiedene Unendlichkeiten Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 3 / 9

4 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Hat ein Quadrat mehr Punkte als die untere Kante? Jeder Maler sagt: Ja Satz: Das Quadrat A = { x, y R 0 x, y } hat gleich viele Punkte wie die Linie B = [0, ] Offensichtlich ist B kleiner oder gleich A: Für f : B A setze einfach fb = b, 0 A f g Umkehrungstrick: Reelle Zahlen können als unendliche Dezimalbrüche dargestellt werden: = 0, = 0,008 π = 0, Allgemein setzen wir x = 0x x x 3 Für x, y A definieren wir nun b = gx, y = 0,x y x y x 3 y 3 und erhalten jedes b = 0,b b b 3 B genau einmal g ist eine eineindeutige Abbildung, da x, y aus b zurückgewonnen werden kann Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 4 / 9

5 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Offensichtlich dürfen wir Mengen nicht beliebig zerpflücken Von nun ab ist nur noch Folgendes erlaubt: Eine Menge darf in endlich viele Stücke zerlegt werden Jedes Stück darf verschoben und verdreht werden, aber nicht verzerrt Die Stücke dürfen dann neu zusammengesetzt werden Dreieck aus Teilen: Unterseite und Höhe Fläche: 8/ = 84 Dreieck aus 5 Teilen: aber immer noch Fläche: 8/ = 84 Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 5 / 9

6 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Wo steckt der 5 Wundermann? Das dreiteiliges Puzzle Der Wundermann fehlt aus CopyrightGründen Ein Mann verschwindet wo ist er? Er erscheint wieder wo war er? Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 / 9

7 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Reduktion auf das Wesentliche Ersetze Wundermänner durch Balken Balken 5 Balken Anpassen der Abstände Balken 5 Balken Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 / 9

8 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Umsortieren erleichert die Einsicht noch mehr: 4 Balken 5 Balken Eine NICHT empfohlene Anwendung 0 0 EYPO 0 0 EYPO 0 0 EYPO 0 0 EYPO 0 0 EYPO 0 0 EYPO 0 0 EYPO 0 0 EYPO " " " " " " " " " # # # # # # 0 0 EYPO & & & & & & & & & ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 0 EYPO * ** *, EYPO / / / /, EYPO EYPO EYPO Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 8 / 9

9 W eierstraßinstitut für Angew andte Analysis und Stochastik Zurück zur exakten mathematischen Vermehrung: Satz[9] von Banach und Tarski: Eine dreidimensionale Kugel mit Radius lässt sich so in 4 Teile zerlegen, dass diese neu zusammengesetzt zwei volle Kugeln mit jeweils Radius ergeben Stefan Banach Heute geht das sogar mit nur 5 Teilen Die Mathematik stellt ein sehr scharfes Skalpell zur Verfügung: das Auswahlaxiom Es liefert Mengen schlimmer als Fraktale Alfred Tarski Alexander Mielke Tag der Mathematik TU Berlin Mai 00 9 / 9