Einführung in die Diskrete Mathematik

Transkript

1 Einführung in die Diskrete Mathematik Sommersemester 2014 PD Dr. Nils Rosehr Inhaltsverzeichnis I Einleitung 5 II Kombinatorik 5 1 Grundlagen der Kombinatorik Standardbezeichnungen Endliche Mengen VI Übungsaufgaben 7 Index 8

2 Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik I Einleitung Die diskrete Mathematik ist keine Geheimwissenschaft, sondern vielmehr ist diskret hier als Abgrenzung zu kontinuierlich zu verstehen. Dabei wird der Begriff unterschiedlich allgemein gefasst. Häufig geht es um mathematische Probleme oder Theorien die mit endlichen oder abzählbaren Strukturen zu tun haben. Am besten wird dies vielleicht an einigen Beispielen deutlich. Beispiel 1. Nehmen wir an, wir wollen eine Treppe mit 11 Stufen besteigen und können mit einem Schritt entweder eine oder zwei Stufen nehmen. Für die ersten drei Stufen haben wir drei Möglichkeiten: 3 = = = Für die gesamte Treppe von 11 Stufen gibt es 144 Möglichkeiten. Natürlich ist man in der diskreten Mathematik nicht an der Lösung dieses speziellen Problems interessiert, sondern fragt sich: Gibt es eine Formel für die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit der Anzahl der Stufen? Kann man auch ähnliche Probleme lösen, etwa, wenn man es schafft 3 Stufen (oder alle) auf einmal zu nehmen? Gibt es ein allgemeines Verfahren, zu solchen Lösungsformeln zu kommen? Beispiel 2. Wir wollen ein Schachbrett aus 8 mal 8 Feldern mit 8 Farben so einfärben, dass in keiner Horizontalen oder Vertikalen eine Farbe doppelt auftritt. Dies ist auf vielerlei Weisen möglich und hängt auch gar nicht von der Zahl 8 ab. Solche Einfärbungen werden lateinische Quadrate genannt. Nun stellen wir die Frage, ob es zwei solche Einfärbungen gibt (sogenannte orthogonale lateinische Quadrate), so dass die von entsprechenden Feldern gebildeten Farbpaare alle 8 8 = 64 Farbkombinationen durchlaufen. Eine einfache (bejahende) Antwort lässt sich mit der algebraischen Struktur des endlichen Körpers mit 8 Elementen geben. Schon 1780 hat Euler die Frage gestellt, ob es auch orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 gibt. Er konnte diese Frage nicht beantworten und vermutete, dass dies für alle Ordnungen der Form 4k+2 nicht möglich sei. Heute weiß man, dass Euler nur für k = 1 Recht hatte. Beispiel 3. Viele kennen seit den Kindertagen das Haus vom Nikolaus. Dabei geht es darum in einem bestimmten Graphen einen Weg zu finden, der alle Kanten genau einmal durchläuft: oder. Solch ein Weg heißt übrigens Euler-Tour, nach Euler, der sich mit dem ähnlichen Königsberger Brückenproblem beschäftigt hat. Diese Touren haben durchaus eine praktische Relevanz, denn z.b. für die Müllabfuhr stellt solch eine Tour einen günstigen Weg dar. Hier ergeben sich viele Fragen: Ist eine solche Tour auch für andere Graphen möglich? Wenn nicht, gibt es ein Kriterium? Kann man die Touren auch mit gleichem Anfangs- und Endpunkt wählen?

3 Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik II Kombinatorik 1 Grundlagen der Kombinatorik 1.1 Standardbezeichnungen. Für die natürlichen Zahlen (ohne Null) schreiben wir N = {1, 2, 3,... }, N 0 = {0} N und {1,..., n} = {k N : k n} für n N 0. Weiter benutzen wir Z Q R C. Für die Potenzmenge einer Menge X (also die Menge aller Teilmengen von X) schreiben wir P(X) oder 2 X. Wir benutzen die Gaußklammern zum Auf- und Abrunden: x := max{z Z : z x} und x := min{z Z : z x} für x R. 1.2 Endliche Mengen. Eine Menge A ist endlich, wenn es ein n N 0 und eine Abzählung, d.h. eine Bijektion f : {1,..., n} A gibt. Die Zahl n ist eindeutig bestimmt (siehe Übungsaufgabe 1.1) und heißt die Größe, Länge oder Mächtigkeit von A; wir schreiben A für die Mächtigkeit von A und nennen A eine n-menge. Falls A nicht endlich ist, setzen wir A := (siehe Bemerkung nach Satz??) und benutzen ± x = ±x + = + = sowie x < für x R. 1.3 Lemma. Seien A und B Mengen. (a) Es gilt A = 0 nur wenn A =. (b) Es ist A B genau dann endlich, wenn A und B endlich sind. (c) Es gilt A B + A B = A + B. (d) Aus B A folgt B < A, falls A (oder B) endlich ist. (e) Für eine Abbildung f : A B gilt f(a) A. Beweis. (a) Die leere Abbildung A ist nur surjektiv, wenn A leer ist. ( ) Seien nun zunächst A und B endlich und disjunkt. Wir zeigen A B = A + B per Induktion über A : Den Induktionsanfang liefert (a). Für A > 0 können wir ein a A wählen. Es folgt A \ {a} = A 1, denn ist f : {1,..., A } A ein Abzählung, so ist g : {1,..., A 1} A \ {a} mit g(x) = f(x) für x f 1 (a) und g(f 1 (a)) = f( A ), falls f 1 (a) A, eine Abzählung [vertausche a und f( A )]. Es folgt (A \ {a}) B = (A B) \ {a} = A B 1 ebenso, da A und B disjunkt sind, und Induktion liefert die Behauptung. (d) In obigem Induktionsbeweis haben wir A\{a} = A 1 gezeigt für a A; daraus folgt die Behauptung per Induktion, wenn wir a A \ B wählen. [( ) lässt sich nicht anwenden, da wir (noch nicht) wissen, dass B und A\B endlich sind.]...

4 Vorlesung Einführung in die Diskrete Mathematik VI Übungsaufgaben 1.1 Aufgabe. Beweisen Sie die folgende Aussage: Für n, m N 0 existiert genau dann eine Bijektion f : {1,..., n} {1,..., m}, wenn n = m gilt. 1.2 Aufgabe. Die folgende Figur ist aus zwei Quadraten und vier gleichseiten Dreiecken mit gleicher Seitenlänge zusammengesetzt. Finden Sie eine Zerlegung in 7 kongruente Teile (das sind bis auf Verschiebungen, Drehungen oder Spiegelungen gleiche Teile). 1.3 Aufgabe. Zwei Spieler spielen folgendes Spiel. Als Vorbereitung werden sechs Punkte auf ein Blatt Papier gezeichnet, so dass keine drei auf einer Geraden liegen. Jeder Spieler hat eine Farbe, und die Spieler zeichnen abwechselnd eine Strecke mit ihrer Farbe zwischen zwei noch nicht verbundene Punkte. Verloren hat, wer zuerst ein Dreieck komplett in seiner Farbe fertig stellen muss. Zeigen Sie, dass ein Unentschieden nicht möglich ist. 1.4 Aufgabe. Zeigen Sie, dass eine Menge M genau dann endlich ist, wenn es eine Abbildung f : M M gibt, so dass für jede Teilmenge X M die Inklusion f(x) X nur für die offensichtlichen Fälle X = oder X = M gilt.

5 8 Index Abzählung, 6 endlich, 6 Größe, 6 Länge, 6 Mächtigkeit, 6 n-menge, 6 Potenzmenge, 6