Relationale Datenbanken: Relationale Algebra

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1 Relationale Datenbanken: Relationale Algebra Natürlicher Verbund (Natural Join, ): Zwei Relationen werden tupelweise bezüglich Übereinstimmung der Daten in einem gleichbenannten Attribut vereinigt. Das Vereinigungsattribut g tritt nur einmal auf. Achtung: Semantik der Attribute sollte identisch sein! Angebot_1 A_Id VL DID Raum Sem Tag Zeit A1231 HM1 D2 R200 SS00 Mo A2343 DB1 D1 R020 SS00 So Dozent_ 1 DID VName NName Gebiet D1 Ernst Müller Datenbanken D2 Uwe Müller Analysis A_Id VL DID Raum Sem Tag VName NName Gebiet Zeit A1231 HM1 D2 R200 SS00 Mo Uwe Müller Analysis A2343 DB1 D1 R020 SS00 So Ernst Müller Datenbanken

2 Relationale Datenbanken: Relationale Algebra Division (/): Der Divisor ist eine Relation mit Teilschema des Dividenden. Gesucht wird die größte Teilrelation des Dividenden, die als kartesisches Produkt mit dem Divisor den Dividenden ergibt (bis auf Rest): Angebot_2 VL Doz Raum Doz Raum HM1 D2 R200 DB1 D3 R200 HM1 D1 R200 DB1 D2 R200 VL D2 R200 / HM1 = D3 R200 DB1 D1 R200 HM1 D3 R200 DB1 D1 R200 2

3 Relationale Datenbanken: Relationale Algebra Die Sprache der Relationenalgebra ist definiert durch: Die Ausdrücke, die sich aus Relationennamen, konstanten Relationen (geschrieben als Mengen von Tupeln) und den Operationen Umbenennung, Vereinigung, Differenz, Durchschnitt, h kartesisches Produkt, Projektion, Selektion, Verbund und Division zusammensetzen. Definition: Eine Datenmanipulationssprache (DML) L heißt relational vollständig gdw. jeder Ausdruck der Relationenalgebra in L simuliert werden kann. L heißt streng relational vollständig gdw. jeder Ausdruck der Relationenalgebra in L durch eine einzige Anweisung simuliert werden kann (also ohne Sprachkonstrukte wie ";", "while", ). 3

4 Relationale Datenbanken: Relationale Algebra Was kann man nicht durch relationale Ausdrücke darstellen? Zum Beispiel die transitive Hülle R+ einer binären Relation R (deren Spalten die gleiche Domäne besitzen müssen). R habe das Schema (A1: D, A2: D) R+ := {(a, b) D x D n 2; a 1,..., a n D, a 1 = a, a n = b und für i = 1,..., n 1 gilt: (a i, a i+1 ) R}. (Beweis: Aho & Ullman 1979) Aus dem Beweis folgt speziell: Ist eine Baumstruktur von grundsätzlich unbeschränkter Höhe in einer binären Relation gespeichert, so kann man die Wege von gewissen Blättern zur Wurzel nicht durch einen Ausdruck der Relationenalgebra darstellen. Praktisch: Stücklistenproblem 4

5 Relationale Datenbanken: Relationale Algebra Beispiel: Vorgesetztenrelation Angestellter Vorgesetzter R+ entspricht nun allen Paaren (,y), (x, wobei y auf dem a a Weg von x zur Wurzel a liegt (x y, aber y = a ist für x a zugelassen). b c d e f g h i j k a a b b b c c e g g Es lässt sich kein Ausdruckt der Relationenalgebra angeben, so dass für alle solche baumartigen Relationen R t(r) = R+ gilt. Speziell kann man zu beliebigem x, das in einer Spalte von R vorkommt, auch nicht ein t' mit t'(r) = {y y liegt auf dem Weg von x zur Wurzel} angeben. Für festes k kann man dagegen einen Term t k mit t k (R) = R(k) finden, wobei R(k) := {(a, b) a 0, a 1,, a k D, a 0 = a, a k = b, (a i, a i+1 ) R }. 5

6 Relationale Datenbanken: Relationale Algebra Minimale relationale Algebra? Die 6 Operatoren Umbenennung, Vereinigung, Differenz, kartesisches Produkt, Projektion, Selektion sind minimal. Argumentation (statt eines Beweises): Die Umbenennung kann nicht durch eine der anderen Operationen ersetzt werden und hat auch keinen Einfluss auf die Darstellung einer der anderen Operationen durch die jeweils noch verbleibenden 4. Das kartesische Produkt kann nicht von den anderen vier simuliert werden, da letztere ein Relationenschema nicht erweitern können. Das analoge Argument gilt für π, da keine andere Operation Relationenschemata t verkürzen kann. Die Selektion σ kann höchstens durch die Differenz simuliert werden, jedoch testet diese nur auf Gleichheit ganzer Tupel und nicht auf beliebige Vergleiche durch Formeln, die sich auf Komponenten von Tupeln beziehen. Die Selektion kann umgekehrt die Differenz nicht simulieren, da sie die Negation auf Relationen nicht darstellen kann. Es gibt keine Möglichkeit, die Vereinigung von z.b. zwei einelementigen Relationen durch die Operationen x, σ, π, darzustellen. 6

7 Vervollständigung der relationalen Algebra Relationale Zuweisung: Die relationale Zuweisung definiert im wesentlichen eine "neue" Relation fürdas Ergebnis einer relationalen Auswertung. Die zugehörige Relation hat als Schema die Attributschemata der im Ergebnis existierenden Attribute der Ausgangsrelationen. Der Primärschlüssel muss im Einzelfall definiert werden. Einfügen: Die zu einer Relation hinzuzufügenden Tupel müssen aus dem kartesischen ProduktderDomänenderRelation der der stammen (Vereinigungsverträglichkeit). Es werden zwei Fälle unterschieden: Einfügen eines Tupels: Falls schon ein Tupel mit gleichem Primärschlüssel existiert, wird es nicht überschrieben: in diesem Fall wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Einfügen eines Anfrageergebnisses: Zu der Relation R wird eine Menge von Tupeln T hinzugefügt, die das Ergebnis einer relationalen lti l Anfrage sind. Duplikate werden in diesem Fall eliminiert. 7

8 Vervollständigung der relationalen Algebra Ändern: Es werden die Attributwerte von selektierten Tupeln gemäß definierter Berechnungsvorschriften geändert. Meist können auch mehrere Attribute angegeben und gleichzeitig geändert werden. Allerdings werden nur die selektierten Tupel der Relation geändert. Die Berechnungsvorschrift kann eine einfache Zuweisung sein ("setze den Kredit aller Kunden des Verkäufers '12' auf 1000") aber auch eine Berechnung, die auf denjeweiligen Tupeln durchgeführt wird. Dabeiwird explizit aus dem alten "Zustand" des Tupels mit der Berechnungsvorschrift der neue Wert ermittelt ("setze den Kredit aller Kunden um 50% herauf"). An dieser Stelle werden keine weiteren Aussagen zur Syntax und Semantik von Berechnungsvorschriften gemacht; die beiden Beispiele sind typische Vertreter. Wird der Primärschlüssel eines Tupels geändert, müssen die Fremdschlüssel in allen "abhängigen" Tupeln ebenfalls geändert werden 8

9 Vervollständigung der relationalen Algebra Löschen: Beim Löschen von Tupeln muss auf die referentielle Integrität geachtet werden: entweder wird bei einem evtl. dadurch erfolgten Löschen von "relevanten" Werten aus Domänen eine Fehlermeldung ausgegeben oder aber das Tupel wird nicht gelöscht. Wie beim Einfügen werden hier zwei Fälle unterschieden: Löschen eines Tupels: Hier reicht naturgemäß die Angabe des Primärschlüssels des zu löschenden Tupels. Löschen eines Anfrageergebnisses: Aus der Relation R wird eine Menge von Tupeln T entfernt, die das Ergebnis einer relationalen Anfrage sind. Relationale Datendefinition: Die Operatoren zur Datendefinition bilden die DDL (Data Definition Language). Mit der DDL werden Domänen und Relationenschemata erzeugt. Attributschemata werden mit den Relationenschemata definiert. Die Summe aller Relationenschemata ergibt das Datenbankschema, wobei hier angenommen wird, dass die Operatoren alle "in einer Datenbank" ausgeführt werden. Die Daten bank wird mit dem Befehl NEW (als leere DB) erzeugt und mit DISPOSE gelöscht. 9

10 Vervollständigung der relationalen Algebra Erzeugen von Domänen Umbenennung von Domänen Ändern von Domänen: Eine durch Namen identifizierte Domäne kann prinzipiell neu definiert werden. Die betroffenen Attribute müssen natürlich bezüglich ihrer aktuellen Extension berücksichtigt werden (z.b. sind alle Werte entsprechender Attribute aus der geänderten Domäne oder stimmt die referentielle Integrität). Löschen von Domänen 10

11 Vervollständigung der relationalen Algebra Erzeugen von Relationen(schemata) Durch die Spezifikation eines solchen Relationenschemas wird gleichzeitig eine leere Relation erzeugt. Alternativ kann eine Sicht (View) erzeugt werden: Eine Sicht wird durch einen benannten relationalen Ausdruck definiert. Dadurch wird ein entsprechendes Relationenschema erzeugt mit dem jeweils aktuellen Auswertungsergebnis des relationalen AusdrucksalsExtension Extension. Beachte: es wird keine Speicherung der Sicht vorgenommen, die Extension wird bei jedem Zugriff explizit berechnet. Auf Sichten dürfen in der Regel keine Datenmanipulationsoperationen durchgeführt werden, da keine vollständigen Tupel für alle beteiligten Relationen erzeugt würden. Umbenennen von Relationen(schemata) Ändern von Relationenschemata: Anfügen eines Attributs Umbenennen eines Attributs Änderneines eines Attributschemas Löschen eines Attributs Ändern des Primärschlüssels Löschen von Relationen(schemata) 11

12 Behandlung von Null Werten NULL Werte beschreiben fehlende Information. Es gibt unterschiedliche Arten von fehlender Information, wenn man sich die beiden Fragen "Welche Information fehlt? "Warum fhld fehlt die Information?" stellt. Die erste Frage kann aus der Struktur des relationalen Modells beantwortet werden: es fhl fehlen Werte von Attributen zu existierendetupelnoder i d es fhl fehlen ganze Tupel (im Hinblick auf deren Existenz in der modellierten Miniwelt). Fehlende Relationen werden dabei nicht betrachtet (Modellierungsproblematik). Bei fehlenden Tupeln existiert eine Inkonsistenz zwischen der Extension der DB und der realen Welt, für die es nur eingeschränkte technische Lösungsmöglichkeiten (Integritätsbedingungen können i.d.r. nur Spezialfälle abdecken) gibt. Werte von Attributen können im wesentlichen aus zwei Gründen fehlen: Der Wert wurde (noch) nicht erfasst, müsste aber prinzipiell existieren oder für das durch die anderen Werte des Tupels beschriebene Objekt darf ein solcher Wert nicht existieren. Beispiel: Sei ein Relationenschema R = (Name: Name, Verheiratet: {j, n}, Gatte: Name) gegeben: Name Verheiratet Gatte Heinz Müller j Else Müller Bernd Meier Egon Schulze j n 12

13 Behandlung von Null Werten Die fehlenden Einträge bei Gatte haben unterschiedliche Gründe: während Heinz Meier verheiratet ist und damit der entsprechende Name bei Gatte fehlt, darf bei Egon Schulze kein Eintrag vorhanden sein, da er nicht verheiratet ist. Im folgenden werden diese NULL Werte nicht weiter unterschieden (eine entsprechende Ausarbeitung mit einer 4 wertigen Logik, die zwischen diesen beiden NULL Werten unterscheidet, findet sich in Codd'90). Wir speichern in beiden Fällen den Wert NULL (der nach Definition in jeder Domäne vorhanden ist). Im Beispiel sieht dies wie folgt aus: Name Verheiratet Gatte Heinz Müller j Else Müller Bernd Meier j NULL Egon Schulze n NULL Wenn bei der Modellierung das Attribut "Verheiratet" "vergessen" wird, erhalten wir: Name Heinz Müller Bernd Meier Egon Schulze Gatte Else Müller NULL NULL Diese Relation R' enthält nicht die gleiche Information wie R: die unterschiedliche Bedeutung der beiden NULL Einträge ist nicht mehr erkennbar! NULL Werte werden bei der Erfassung unvollständiger Informationen bzw. für nicht vorhandene Werte zu einem Objekt gespeichert. Um NULL Werte in Anfragen auswerten zu können, muss die klassische 2 wertige Logik zu einer 3 wertigen Logik erweitert werden. 13

14 Behandlung von Null Werten Beispiel: Wir gehen von einer Relation "Mitarbeiter" aus, die bezüglich eines Attributs NULL Werte enthält (In der Anwendungswelt kann das Geburtsdatum nur für bestimmte Mit arbeiter von Interesse sein!?). In einer zweiten Relation "Abteilung" werden Infor mationen zu den Abteilungen gehalten, wobei die Abteilung 4 noch nicht existiert (evtl. in Gründung?). Mitarbeiter Name Geb.-Dat. Abteilun g Heinz Müller A1 Bernd Meier NULL A1 Egon Schulze A4 Abteilung Abt.-Nr A1 A2 A3 Abt.-Name Einkauf Verkauf Produktion Eine Anfrage kann sein Gib mir alle Mitarbeiter, die nach dem Geburtstag haben : Sicher ist 'Heinz Müller' in der Ergebnisrelation und 'Egon Schulze' nicht. Was ist mit 'Bernd Meier'? Wie sieht das Ergebnis der Anfrage Gib mir zu allen Abteilungen alle Mitarbeiter aus? 14

15 Einführung einer dreiwertigen Logik: Behandlung von Null Werten Bei der Selektion werden NULL Werte dann im Ergebnis berücksichtigt, wenn dieses explizit durch Angabe eines weiteren, mit "oder" verknüpften Selektionskriteriums gewünscht wird. Die einzelnen Selektionsbedingungen (Vergleiche wie "Attr > X") evaluieren bei NULL Werten zu "möglich", dem dritten Wahrheitswert in der hier betrachteten Logik. Für diese Logik über {w, m, f} müssen dann die booleschen Operatoren "nicht", "und" und "oder" " wie folgt df definiert werden: "nicht e nicht e "und" a b a und b "oder" a b a oder b " w f w w w w w w m m w m m w m w f w w f f w f w m w m m w w m m m m m m m f f m f m f w f f w w f m f f m m f f f f f f 15

16 Behandlung von Null Werten Spezielle Varianten der Mengen und Verbundoperationen (outer, äußere Operationen) für die Behandlung von NULL Werten: Äußere Mengenoperatoren operieren auf nicht vereinigungsverträglichen Relationen; Ergebnis einer solchen Mengenoperation die Vereinigung der Attribute der beteiligten Relationen, wobei NULL Werte an den Stellen eingetragen sind, für die in den Ausgangsrelationen keine Information vorlag. Es soll der äußere Verbund Operator (hier nur als equi join, andere sind auchmöglich) vorgestellt werden. In dem Beispiel beziehen wir uns auf die obigen Relationen zu "Personen" und "Abteilungen". Linker Äußerer equi join (LAEJ): Ergebnis := Personen LAEJ Abteilung=Abt. Nr Abteilung Ergebnis Name Geb. Dat. Abteilung Abt. Nr Abt. Name Heinz Müller A1 A1 Einkauf Bernd Meier NULL A1 A1 Einkauf Egon Schulze A4 NULL NULL 16

17 Behandlung von Null Werten Rechter Äußerer equi join (RAEJ): Ergebnis := Personen RAEJ Abteilung=Abt. Nr Abteilung Ergebnis Name Geb.-Dat. Abteilung Abt.-Nr Abt.-Name Heinz Müller A1 A1 Einkauf Bernd Meier NULL A1 A1 Einkauf NULL NULL NULL A2 Verkauf NULL NULL NULL A3 Produktion Symmetrischer Äußerer equi join (SAEJ): Ergebnis := Personen SAEJ Abteilung=Abt. Nr Abteilung Ergebnis Name Geb. -Dat. Abteilung Abt. -Nr Abt. -Name Heinz Müller A1 A1 Einkauf Bernd Meier NULL A1 A1 Einkauf NULL NULL NULL A2 Verkauf NULL NULL NULL A3 Produktion Egon Schulze A4 NULL NULL 17

18 Relationenkalküle Algebraische Ausdrücke sind operational (insbes. Reihenfolge) Rein deskriptive Abfragesprachen bauen auf der Prädikatenlogik auf: Bereichs und Tupelkalkül (Unterscheidung hinsichtlich Variablen und Quantifizierungen) Beispiel: Sei eine Relation "Buchung" " mit dem Schema (Name, Adresse, Flug Nr, Datum) gegeben. Die Anfrage "Welche Flüge hat C. Date gebucht?" sieht wie folgt aus: als Ausdruck kder Relationenalgebra: l π Flug Nr, Datum (σ Name = 'C.Date (Buchung)) als Ausdruck kdes Bereichskalküls: {f#, d adr (Buchung('C. Date', adr, f#,d))} (f#, d, adr sind Bereichsvariablen mit dom(f#) = dom (Flug Nr.), dom(d) = dom(datum) und dom(adr) = dom(adresse) als Ausdruck des Tupelkalküls: {r(flug Nr, Datum) b (Buchung(b) b.name = 'C. Date' b.flug Nr. = r.flug Nr. b.datum = r.datum)} (r und b sind Tupelvariablen; r mit Schema (Flug Nr, Datum) und b wie bei Buchung) 18

19 Einordnung kommerzieller Sprachen ISBL S Q L QBE Relationenalgebra Bereichskalkül Tupel kalkül QUEL Mengen & Logik ISBL: Information System Based Language, 1976, IBM/Peterlee SQL: Structured Query Language, 1975 IBM/San José QUEL: Query Language, 1976, Ingres, Berkley QBE: Query by Example, 1978, IBM. Interessant ist, dass SQL Elemente des Tupelkalküls und der Relationenalgebra enthält, wobei sie "näher" an der RA liegt. 19