Der relationale Tupel-Kalkül

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1 Der relationale Tupel-Kalkül Udo Kelter Zusammenfassung dieses Lehrmoduls Die relationalen Kalküle sind neben der relationalen Algebra ein alternativer Formalismus, mit dem sich die grundlegenden Möglichkeiten zur Abfrage von Daten in relationalen Datenbanken definieren lassen. Dieses Lehrmodul stellt den relationalen Tupel-Kalkül an Beispielen vor. In der Grundform des Tupel-Kalküls sind Abfragen möglich, die zu unendlich großen Ergebnissen führen. Daher erlaubt man nur sogenannte sichere Abfragen. Wir diskutieren abschließend die relationale Vollständigkeit der Kalküle. Vorausgesetzte Lehrmodule: obligatorisch: Datenverwaltungssysteme Das relationale Datenbankmodell Stoffumfang in Vorlesungsdoppelstunden: 0.5 1

2 Der relationale Tupel-Kalkül 2 Inhaltsverzeichnis 1 Die relationalen Kalküle 3 2 Der relationale Tupel-Kalkül Beispiel 1 (Selektion) Beispiel 2 (Projektion) Beispiel 3 (Mengenoperationen) Beispiel 4 (natürlicher Verbund) Beispiel 5 (Division) Syntax von Ausdrücken im RTK 7 4 Sichere RTK-Ausdrücke 8 Literatur Glossar Index Dieser Text darf für nichtkommerzielle Nutzungen als Ganzes und unverändert in elektronischer oder gedruckter Form beliebig weitergegeben werden und in WWW-Seiten, CDs und Datenbanken aufgenommen werden. Jede andere Nutzung, insb. die Veränderung und Überführung in andere Formate, bedarf der expliziten Genehmigung. Die jeweils aktuellste Version ist über erreichbar.

3 Der relationale Tupel-Kalkül 3 1 Die relationalen Kalküle Wenn ein Benutzer bestimmte Daten aus einer relationalen Datenbank extrahieren will, muß er, wenn er die relationale Algebra (s. [RDBM]) verwendet, einen Ausdruck finden, der die gesuchte Menge konstruiert. Der Benutzer muß also zu seinem Suchproblem eine konstruktive, prozedurale Lösung finden. Schöner wäre es, wenn man dem DBMS nur die gesuchten Daten beschreiben müßte und wenn dann das DBMS selbst einen Weg fände, das Suchergebnis zu konstruieren. Dies ist gerade die Grundidee der relationalen Kalküle. Die Frage ist nun, wie der Benutzer dem DBMS die gesuchten Daten beschreibt. Der grundlegende Ansatz besteht darin, hierbei elementare Vergleichsbedingungen zu verwenden - wie wir sie schon bei der relationalen Algebra kennengelernt haben -, und auf dieser Basis aussagenlogische Ausdrücke zu bilden. Man verwendet hier den Prädikatenkalkül 1. Ordnung mit Quantoren. Letztlich bildet man also ein Prädikat, das die gesuchten Daten beschreibt. Es gibt nun zwei grundlegende Alternativen, wie man die Parameter für das Prädikat gestaltet: Tupelvariablen: Eine Abfrage hat hier folgende Grundform: { t P (t) } Das Prädikat P(t) entscheidet für ein Tupel t, ob es zu den gesuchten Daten gehört. Man spricht hier vom relationalen Tupel-Kalkül (RTK). Bereichsvariablen: Eine Abfrage hat hier folgende Grundform: { < x 1, x 2,..., x n > P (x 1, x 2,..., x n ) } Jedes der x i stellt einen Attributwert dar. Das Prädikat P (x 1, x 2,..., x n ) entscheidet für eine Kombination von Attributwerten, ob sie ein Tupel bilden, das zu den gesuchten Daten gehört. Man spricht hier vom relationalen Bereichskalkül. Die beiden Varianten sind für unsere Zwecke gleichwertig; wir werden i.f. nur den relationalen Tupel-Kalkül vorstellen.

4 Der relationale Tupel-Kalkül 4 2 Der relationale Tupel-Kalkül Wir illustrieren den relationalen Tupel-Kalkül an den gleichen Beispiel- Relationen wie in [RDBM], s. Bild 1. Tabelle: kunden Kundennummer Kundenname Wohnort Kreditlimit Meier, Anne Weidenau Büdenbender, Christa Siegen Stötzel, Gyula Siegen Schneider, Peter Netphen Litt, Michael Siegen 0.00 Tabelle: lieferungen Datum Wert Kundennummer Lager Lieferadresse Mitte Bahnhofstr Nord Luisenstr West Bergstr. 33 Abbildung 1: Beispieltabellen Wir werden i.f. folgende Schreibweise benutzen: Wenn A ein Attribut ist und t ein Tupel, dann ist t[a] der Wert des Attributs A in t (auch als die Projektion des Tupels t auf A bezeichnet). Hierbei unterstellen wir natürlich A R, wobei R der Relationentyp von t ist. 2.1 Beispiel 1 (Selektion) Wir suchen hier Kundennummer, Kundenname, Wohnort und Kreditlimit derjenigen Kunden, deren Kreditlimit über DM liegt. Dies liefert uns die folgendermaßen definierte Menge: { t t kunden t[kreditlimit] > } Die Bedingung t[kreditlimit] > stellt hier eine Selektionsbedingung dar. Statt der hier vorliegenden elementaren Bedingung

5 Der relationale Tupel-Kalkül 5 sind i.a. natürlich auch komplexe Ausdrücke möglich. Das Beispiel zeigt, daß Selektionen in den relationalen Kalkülen sehr einfach formulierbar sind. In der relationalen Algebra sieht die Selektion wie folgt aus: σ Kreditlimit>10000 (Kunden) Im folgenden gehen wir die wichtigsten Operatoren der relationalen Algebra durch und zeigen beispielhaft, daß auch sie durch entsprechende aussagenlogische Konstrukte nachbildbar sind. 2.2 Beispiel 2 (Projektion) Wir ändern unser voriges Beispiel dahingehend ab, daß wir nur noch die Namen der Kunden haben wollen. In der relationalen Algebra würden wir auf dieses Attribut projizieren: π Kundenname (σ Kreditlimit>10000 (Kunden)) Die Projektion können wir in den aussagenlogischen Ausdrücken nicht direkt nachbilden. Wir müssen hier die Definition der Projektion direkt einsetzen. Die Projektion einer Relation r auf eine Attributmenge A ist wie folgt definiert: t π A (r) s r s[a] = t[a] Die vorstehende Definition einer Projektion integrieren wir nun in den Ausdruck, der unsere gesuchte Menge definiert: { t s kunden s[kreditlimit] > s[kundenname] = t[kundenname] } Der Typ des Ergebnisses ist in diesem Beispiel nur implizit definiert. (In Beispiel 1 war er durch die Bedingung t Kunden explizit definiert.) Dadurch, daß der aussagenlogische Ausdruck den Term t[kundenname] enthält, ist implizit festgelegt, daß die Ergebnistupel ein Attribut namens Kundenname haben. Der Ergebnistyp enthält genau alle so vorgegebenen Attribute.

6 Der relationale Tupel-Kalkül Beispiel 3 (Mengenoperationen) Gesucht sind nun die Nummern aller Kunden, deren Kreditlimit über DM liegt und die eine Lieferung im Wert von über 1000 DM bekommen haben. Den hier auftretenden Mengendurchschnitt bilden wir direkt auf die und-verknüpfung ab: { t ( s kunden s[kreditlimit] > s[kundennummer] = t[kundennummer] ) ( u lieferungen u[wert] > 1000 u[kundennummer] = t[kundennummer] ) } Analog können wir die Mengenvereinigung durch die oder-verknüpfung nachbilden und die Mengendifferenz durch eine und-nicht - Verknüpfung. 2.4 Beispiel 4 (natürlicher Verbund) Gesucht sind nun die Lieferungen im Wert von über 1000 DM, anzugeben ist der Wert und der Name des Kunden. Bei Verwendung der relationale Algebra würden wir hier einen Verbund bilden: π Kundenname,Wert (σ Wert>1000 (lieferungen) kunden) Den Verbund simulieren wir, indem wir in einem aussagenlogischen Ausdruck die Gleichheit der Werte der Verbundattribute verlangen: { t u lieferungen u[wert] > 1000 t[wert] = u[wert] ( s kunden s[kundennummer] = u[kundennummer] t[kundenname] = s[kundenname] ) } Der eigentliche Test auf Gleichheit der Verbundattribute ist in dem Teilausdruck s[kundennummer] = u[kundennummer] enthalten.

7 Der relationale Tupel-Kalkül Beispiel 5 (Division) Wir suchen jetzt die Kundennummern derjenigen Kunden, die schon von allen Lagern Lieferungen bekommen haben. In der relationalen Algebra sieht die Lösung wie folgt aus: π Kundennummer,Lager (lieferungen) π Lager (lieferungen) In den relationalen Kalkülen können wir den all-quantor direkt einsetzen, ein Umweg über eine Operation wie die Division ist nicht mehr nötig. Informell ausgedrückt hat die gesuchte Menge folgende Spezifikation: { t Lager l gilt : Lieferung für Kunde t von Lager l aus } Konkret ist die Lösung wie folgt: { t l ( l lieferungen lf ( lf lieferungen l[lager] = lf[lager] t[kundennummer] = lf[kundennummer] ) ) } Die Ergebnistupel haben den Typ {Kundennummer}. Die allquantifizierte Variable l durchläuft die ganze Relation lieferungen und projiziert diese, da wir im Rest des Ausdrucks nur l[lager] benutzen, praktisch auf das Attribut Lager. Eine Kundennummer t ist nur dann im Ergebnis, wenn für alle Lager ein Lieferungstupel lf vorhanden ist, das die Kundennummer t und das Lager l aufweist. 3 Syntax von Ausdrücken im RTK Wie schon erwähnt ist { t P (t) } die Grundform einer Abfrage im RTK. Für das darin enthaltene Prädikat gelten die folgenden syntaktischen Regeln: Erlaubte atomare Ausdrücke sind: 1. s r falls s eine Tupelvariable und r eine Relation ist

8 Der relationale Tupel-Kalkül 8 2. s[a] Θ u[b] falls s und u Tupelvariable sind A und B Attribute gleichen Typs, die bei s bzw. u definiert sind Θ ein Vergleichsoperator ist 3. s[a] Θ c falls s eine Tupelvariable ist A ein Attribut, das bei s definiert ist Θ ein Vergleichsoperator ist c eine Konstante aus dem Wertebereich von A ist RTK-Ausdrücke sind generell wie folgt aufgebaut: 1. Atomare Ausdrücke sind RTK-Ausdrücke. 2. Ist P ein RTK-Ausdruck, so sind auch P und (P ) RTK-Ausdrücke. 3. Sind P und Q RTK-Ausdrücke, so sind auch P Q und P Q RTK-Ausdrücke. 4. Ist P (s) ein RTK-Ausdruck mit der freien Tupelvariablen s, so sind auch s (P (s)) und s (P (s)) RTK-Ausdrücke. Eine Variable v in einem Ausdruck P heißt frei, wenn P keinen Quantor über v enthält. 4 Sichere RTK-Ausdrücke Wir hatten bisher noch völlig offengelassen, wie ein DBMS zu einem gegebenen RTK-Ausdruck die Lösung dieser Suchaufgabe findet. Ein einfaches Auswertungsverfahren besteht darin, alle involvierten Relationen zu durchlaufen und das Prädikat auszuwerten. Dummerweise sind auch RTK-Ausdrücke folgender Form möglich: { t (t kunden)} Wir verstehen diese Abfrage so, daß die enthaltenen Tupel den Typ Kunden haben. Verlangt wären hier alle denkbaren Tupel außer denen, die sich gerade in der Datenbank befinden. Die Anzahl dieser

9 Der relationale Tupel-Kalkül 9 Tupel ist extrem groß, das Ergebnis kann in der Praxis nicht konstruiert werden. Derartige unendliche Mengen 1 sind auch innerhalb von verschachtelten RTK-Ausdrücken möglich. Generell können RTK-Ausdrücke, die unendliche Zwischen- oder Endergebnisse enthalten, nicht ausgewertet werden. RTK-Ausdrücke, bei denen dieses Problem nicht auftritt, bei denen also beim Arbeiten auf beliebigen Datenbankinhalten nur endliche Resultate auftreten, bezeichnen wir als sicher. Ein DBMS würde also dann, wenn der Benutzer einen unsicheren Ausdruck auswerten lassen will, dies ablehnen. Dazu muß vor Auswertung des Ausdrucks entschieden werden, ob er nun sicher ist oder nicht. Diese Entscheidung ist nicht immer einfach, weshalb man zwei Arten von Sicherheit unterscheidet: semantische Sicherheit: Dies ist die Sicherheit im allgemeinen Sinn. Leider ist sie i.a. nicht entscheidbar, d.h. dieser Begriff nützt uns in der Praxis nichts. syntaktische Sicherheit: Hier werden syntaktische Restriktionen definiert, die hinreichend, aber nicht unbedingt notwendig für die semantische Sicherheit sind. Die Grundidee besteht hier darin zu verlangen, daß jede freie Variable t überall durch Teilausdrücke wie t[a] = c oder t r an endliche Wertebereiche gebunden wird, die dann gefahrlos durchlaufen werden können. Auf Details wollen wir hier nicht eingehen. In der Praxis kann man nur mit der syntaktischen Sicherheit arbeiten, d.h. das DBMS wird bestimmte Ausdrücke als unsicher ablehnen, obwohl sie es inhaltlich nicht sind. Die Menge der sicheren RTK-Ausdrücke bezeichnen wir mit SRTK. Relationale Vollständigkeit. Wir hatten oben bereits beispielhaft gezeigt, daß man alle Operationen der relationalen Algebra durch 1 Wegen der Endlichkeit der Wertebereiche der Attribute ist natürlich auch die Zahl der damit konstruierbaren Tupel endlich; praktisch sind die Mengen dennoch viel zu groß, um mit Rechnern verarbeitet werden zu können.

10 Der relationale Tupel-Kalkül 10 RTK-Ausdrücke nachbilden kann. Die Frage ist, ob auch die Umkehrung gilt. Für die allgemeinen RTK-Ausdrücke gilt sie nicht. Dies macht man sich leicht klar, weil es in der relationalen Algebra kein Äquivalent zu den unsicheren Ausdrücken gibt: Eine Menge wie {t (t kunden)} kann in der relationalen Algebra nicht konstruiert werden; hierzu bräuchte man einen Konstruktor, der alle Tupel zu einem Relationentyp liefert; von dieser unendlichen Menge wäre dann die vorhandene Relation abzuziehen. Anders verhält es sich beim sicheren RTK: Man kann zeigen, daß man zu jedem SRTK-Ausdruck einen Ausdruck in der relationalen Algebra finden kann, der das gleiche Ergebnis berechnet. Die relationale Algebra und der SRTK sind daher gleichmächtig; insb. ist somit auch der SRTK relational vollständig. Vergleich von (S)RTK und relationaler Algebra. Nachdem sich der SRTK und die relationale Algebra bzgl. ihrer Ausdrucksfähigkeit nicht unterscheiden, liegt die Frage nahe, für welche der beiden Denkwelten man sich entscheiden sollte. Wie die obigen Beispiele zeigen, sind viele einfache Beispiele mit dem RTK umständlicher zu formulieren als mit der relationalen Algebra. Denk- und Schreibweisen mit Quantoren sind für mathematisch ungeübte Benutzer nicht geeignet. Der RTK ist leichter als die relationale Algebra um Ausgabeanweisungen und Standardfunktionen (Summe, Maximalwert etc.) erweiterbar. In der Praxis benutzte Sprachen enthalten stets eine Mischung aus beiden Denkwelten, also sowohl prozedurale als auch deskriptive Sprachelemente.

11 Der relationale Tupel-Kalkül 11 Literatur [RDBM] Kelter, U.: Lehrmodul Das relationale Datenbankmodell ; 2002 Glossar relationaler Bereichskalkül: auf Prädikaten basierende Abfragesprache für relationale Datenbanken, in der einzelne Attribute als Variable benutzt werden relationaler Tupel-Kalkül (RTK): auf Prädikaten basierende Abfragesprache für relationale Datenbanken, in der ganze Tupel als Variable benutzt werden Sicherheit (von RTK-Ausdrücken): ein RTK-Ausdruck ist sicher, wenn er ausgewertet werden kann, ohne daß dabei unbeschränkt große Zwischen- oder Endergebnisse auftreten

12 Index Bereichskalkül, 3, 11 Division, 7 Mengenoperationen, 6 Projektion, 5 relationale Algebra, 10 relationale Kalküle, 3 relationale Vollständigkeit, 9 RTK, 3 Selektion, 4 Sicherheit, 11 RTK-Ausdrücke, 8 SRTK, 9 Tupel-Kalkül, 3, 4, 11 sichere Ausdrücke, 8 Syntax von Ausdrücken, 7 Verbund, 6 12