Lernen in Bayes'schen Netzen. Übersicht. Beispiel: Restaurant-Daten. Lernen von Wahrscheinlichkeitstabellen. Vorteile versteckter Variablen

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1 Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen III Wissen und Schlussfolgern IV Logisch Handeln V Unsicheres Wissen und Schließen VI Lernen 18. Lernen aus Beobachtungen 19. Wissen beim Lernen 20. Statistische Lernmethoden 21. Verstärkungslernen VII Kommunizieren, Wahrnehmen und Handeln Lernen in Bayes'schen Netzen Lernen der Netzstruktur bzw. der Wahrscheinlichkeitstabellen: Bekannte Netzstruktur, beobachtbare Variablen: Update der Wahrscheinlichkeitstabellen Bekannte Netzstruktur, teilweise versteckte Variablen: EM-Algorithmus Unbekannte Netzstruktur, beobachtbare Variablen: Suchproblem durch mögliche Netzstrukturen Unbekannte Netzstruktur, teilweise versteckte Variablen: Offenes Forschungsproblem (z.b. strukturierter EM-Algo) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 1 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 2 Lernen von Wahrscheinlichkeitstabellen Beispiel: Restaurant-Daten Gegeben ist die Netztopologie und N Fälle: Apriori-Wahrscheinlichkeiten P(D): D / N bedingte Wahrscheinlichkeiten P(S D): S D / D Problem: Unbeobachtete Variablen (Null-Wahrscheinlichkeiten) Vereinfachung Bayesscher Netze zu naiven Bayes Modellen Unabhängigkeitsannahme in naiven Bayes Modellen Formel (Wdh): P (C x 1, x n ) = α P(C) Π i P(x i C) Verbesserung durch Boosting: Neue Hypothesen werden dadurch erzeugt, das falsch bewertete Fälle stärker gewichtet werden (äquivalent zur Vervielfachung dieser Fälle) Sehr effizientes Lernverfahren (keine Suche erforderlich) Eines der effektivsten allgemeinen Lernverfahren Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 3 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 4 Vorteile versteckter Variablen Wenn jede Variable 3 mögliche Werte hat, geben die Zahlen bei den Knoten die Größe der Wahrscheinlichkeitstabellen an. Man beobachtet eine starke Zunahme von (a) mit versteckter Variable nach (b) ohne versteckte Variable Expectation-Maximization (EM) Algorithmus Der EM-Algorithmus ist eine Familie von Algorithmen zur iterativen Approximation in Systemen mit versteckten Größen. Anwendbar u.a. für: für Gaussche Dichteverteilungen für Bayessche Netze für Hidden Markov Modelle EM berechnet Erwartungswerte für die versteckten Größen basierend auf den beobachteten Größen und der gemeinsamen Verteilung. EM konvergiert gegen ein lokales Maximum, die Qualität der Lösung ist nicht zwingend gut (abhängig vom Startwert). Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 5 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 6

2 Beispiel für Dichteverteilungen: Clustering Gegeben: Menge von Punkten Gesucht: k Cluster für Punkte Lösungsidee EM-Algorithmus: Initialisierung: Gib eine Gaussverteilung mit den Parametern Gewicht, Mittelwert und Covarianz (oder bei K-Means-Clustering vereinfacht einen Mittelpunkt) für jedes Cluster vor. E-Schritt (Expectation): Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden Punkt, dass er zu einem Cluster gehört M-Schritt (Maximation): Aktualisiere aus der berechneten Zugehörigkeit der Punkte für alle Cluster seine Parameter Terminierung: Wiederhole, bis nur noch geringe Änderungen Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 7 Beispiel für Bayessches Netz Aufgabe: Es gibt 2 Beutel (bags) mit Bonbons. Die Bonbons haben 3 Attribute: Geschmack: Kirsche, limone (flavor: cherry, lime); Verpackung: rot, grün (wrapper: red, green) & Löcher: mit, ohne (holes: yes, no). Die beiden Beutel haben jeweils verschiedene Wahrscheinlichkeiten für Bonbontypen. Aus beiden Beuteln sind unbekannt viele Bonbons entnommen (s. Tabelle mit 1000 Bonbons). Kann man daraus auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beutel schließen? Geschätzt werden soll: θ: P(Bag=1) θ F1 : P(F=cherry Bag1) θ F2 : P(F=cherry Bag2) θ W1 : P(W=red Bag1) Wenn wir wüssten, welche Bonbontypen aus welchen Beuteln kommen, bräuchten wir nur Häufigkeiten verrechnen (s.o.). Wir wissen es aber nicht! Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 8 EM Lösung für Bayes-Beispiel (1. Schritt) Ziel: Werte für die Apriori-Wahrscheinlichkeit der Beutel, d.h. θ = P(Bag1) und der bedingten Wahrscheinlichkeiten: θ F1 = P(Flavor = Cherry Bag1) θ W1 = P(Wrapper = Red Bag1) θ H1 = P(Hole = Yes Bag1) θ F2 = P(Flavor = Cherry Bag2) θ W2 = P(Wrapper = Red Bag2) θ H2 = P(Hole = Yes Bag2) Vorgehen (1. Iteration): Rate alle Parameter, z.b. θ = 0,5; θ F1 =θ W1 =θ H1 =0,8; θ F2 =θ W2 =θ H2 =0,3 Berechne für verborgene Variablen (z.b. Bag1) die erwartete Häufigkeit = = erwartete Häufigkeit von rotverpackten Kirsch-Bonbons mit Loch aus Beutel1 = 273 * = 228, analog für Rest: erwartete Häufigkeit von Bonbons aus Beutel1: = 612. Berechne daraus θ = P(Bag1) = / N = 612 / 1000 = 0,612 Das gleiche für übrige Häufigkeiten bzw. bedingte Wahrscheinlichkeiten Ergebnis: θ=0,61; θ F1 =0,67 θ W1 =0,65 θ H1 =0,66; θ F2 =0,39 θ W2 =0,38 θ H2 =0,38 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 9 EM Lösung für Bayes-Beispiel (Iteration) Die neuen Parameter θ, θ F1, θ W1, θ H1, θ F2, θ W2, θ H2 nach der ersten Iteration erhöhen die Passgenauigkeit von Modell und Daten (Logorithmus der Likelihood) beträchtlich (Faktor e 23 ) Iteriere solange, bis sich die "Loglikelihood" nicht mehr stark erhöht (lokales Maximum) durchgezogene Kurve zeigt Verbesserung nach Anzahl von Iterationen ab 10 Iterationen besser als Originaldaten, (gestrichelte Linie) danach kaum nach Anstieg Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 10 Beispiel für Hidden Markov-Modell HMM entsprechen Bayes-Netzen mit nur einer diskreten Zustandsvariablen Gegeben: endliche Beobachtungssequenzen (z.b. Schirme), Initialmodell Gesucht: Modell mit Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten, Zustands- Beobachtungswahrscheinlichkeiten und Zustandsanfangswahrscheinlichk. Aktualisierungsfunktion für Zustandsübergangswahrscheinlichkeit (zeitunabhängig): wie oft wurde von einem bestimmten Zustand i Zustand j erreicht? Dabei werden Erwartungswerte mit HMM-Inferenz- Algorithmus berechnet. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 11 Allgemeine Form des EM Algorithmus Gegeben: Beobachtbare Variablen x, Anfangsmodell θ Expectation-Schritt: Berechnung der versteckten Variablen Z = z Maximization-Schritt: Berechnung der neuen Modellparameter θ Bei Gaussverteilungen: Mittelwert, Varianz, (Gewichte), usw. Bei Bayesschen Netzen: Wahrscheinlichkeitstabellen Bei HMM: Wahrscheinlichkeiten von einem Zustand zum nächsten und zu Beobachtungen (Zeitinvariant!), Anfangswahrscheinlichkeit für Zustand. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 12

3 Andere Darstellung für EM (Sem-Vortrag) Sequenz von Observablen X= x 1... x n Gesucht ist Modell Θ um X zu beschreiben Problem: versteckte Parameter Y = y 1...y m führen zu unvollständigen Daten - systematische Unvollständigkeit Y ist grundsätzlich nicht beobachtbar - zufällige Unvollständigkeit Y wird von dem verwendeten Sensor nicht erfasst Definition: Z = (X,Y) ist der vollständige Datensatz EM (andere Darstellung 2) Wahrscheinlichkeitsverteilung der vollständigen Daten: p(z Θ) = p(x,y Θ) = p(y X, Θ) * p(x Θ) Likelihood-Funktion der vollständigen Daten: L(Θ Z) = L(Θ X,Y) = P(X,Y Θ) EM-Prinzip: 1. Berechne Erwartungswert für die versteckten Variablen basierend auf Θ und X ( E-Schritt) 2. Maxmiere Erwartungswert bezüglich neuen Parametern Θ (M-Schritt) ( Wiederhole 1. und 2. ) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 13 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 14 EM (andere Darstellung 3) Spezifikation der Zielfunktion Q(Θ, Θ i-1 ) = E [ log p(x,y Θ) X, Θ i-1 ] Y ist Zufallsvariable mit Verteilung f( y X, Θ i-1 ), dann gilt E [ log P(X,Y Θ) X, Θ i-1 ] = log p( X,Y Θ) f( y X, Θ i-1 ) => Q(Θ, Θ i-1 ) ist nun eine analytisch berechenbare Funktion EM-Prinzip II: yy E-Schritt: Berechne Q(Θ, Θ i-1 ) M-Schritt: Berechne Θ = argmax Q(Θ, Θ i-1 ) Θ ( Iteration bis zur Konvergenz ) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 15 EM-Übersicht (andere Darstellung 4) Wahl des Anfangsparametersatzes hat hat Einfluß auf die Güte der Lösung. Auswertung von Q(Θ i+1, Θ i ) Auswertung von: Θ = argmax Q(Θ, Θ) Θ Abbruch der Iteration durch geeignetes Konvergenzkriterium Θ i+1 - Θ i < ε Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 16 Lernen unbekannter Bayesscher Netzstrukturen Untypische Situation, da die Struktur von Netzen, d.h. von Kausalitäten im allgemeinen gut Experten geschätzt werden kann. Strukturelle Lernalgorithmen noch nicht ausgereift Basisidee: Suche von Netzstrukturen Starte mit leerem Netz und füge schrittweise Variablen hinzu Starte mit fertigem Netz und modifiziere es Kernproblem: Qualitätsfunktion zur Bewertung von Netzen Test auf Unabhängigkeiten (Problem: Schwellwerte) Test auf Erklärungsfähigkeit der Daten (Problem: Overfitting) Bestrafung von Komplexität erforderlich Instanzen-basiertes Lernen Bisher: parametrisches Lernen: Aus den Beispielen werden die Parameter eines vorgegebenen Modells gelernt Komplexität der Hypothese vorgegeben Nicht-parametrisches Lernen: Komplexität der Hypothese kann mit Daten wachsen; Instanzen-basierte Lernmethoden: Nearest-Neighbor Modelle Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 17 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 18

4 Nearest-Neighbor Modelle (Fallbasiertes Schließen) Aufbau natürlicher & künstlicher Neurone Annahme: Ähnliche Fälle haben ähnliche Lösungen Problem: Wie definiert man Ähnlichkeit bzw. Distanz? kontinuierliche Werte: Euklidische Distanz: (Wurzel aus Summe der Quadrate der Einzeldifferenzen pro Attribut) Wenn Normalisierung erforderlich: Abstand zweier Werte in Vielfachen der Standardabweichung Differenz der Werte / Max-Differenz diskrete Werte Hamming-Distanz: Anzahl unterschiedlicher Attribute / alle Attribute gewichtete Hamming-Distanz mit partiellen Ähnlichkeiten Datenabstraktion nützlich Eigenschaften: keine Lernzeit aber bei großer Fallzahl langsam schnelles Fallretrieval notwendig (erfordert passende Datenstrukturen, die gelernt werden müssen) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 19 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 20 Verschiedene Aktivierungsfunktionen Simulation logischer Gatter (a) Stufenfunktion (nicht differentierbar) (b) Sigmoidfunktion (differentierbar) exakte bzw. ungefähre Schwelle (Defaultmäßig bei in i = 0) kann durch "Bias-Weight" W 0 verschoben werden Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 21 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 22 Beispiel für einfaches neuronales Netz vorwärtsgerichtetes, mehrschichtiges Netz Input: (x 1, x 2 ) = (a 1, a 2 ) Output a 5 ist Funktion des Inputs (g = Aktivierungsfunktion): Generische Lernprozedur in Neuronalen Netzen a 5 = g(w 3,5 * a 3 + W 4,5 * a 4 ) = g(w 3,5 * g(w 1,3 * a 1 + W 2,3 * a 2 ) + W 4,5 * g(w 1,4 * a 1 + W 2,4 * a 2 )) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 23 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 24

5 Typen von Neuronalen Netzstrukturen Perceptrons: Struktur vorwärtsgerichtete (feedforward) Netze - Perzeptrons: ohne versteckte Knoten - Mehrebenen-Netze: mit versteckten Knoten zirkuläre (recurrent) Netze (output input): schwierig zu verstehen, z.b.: - Hopfield-Netze: mit bidirektionalen Kanten und symmetrischen Gewichten, alle Knoten sind sowohl Ein- als auch Ausgabeknoten - Boltzmann Maschinen: mit bidirektionalen Kanten und symmetrischen Gewichten, mit inneren Knoten, stochastische Aktivierungsfunktion Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 25 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 26 Basis-Perzeptron-Lernalgorithmus (nach Rojas) Beispiele (Punkte): x 1 -x n, die positiv (P) oder negativ (N) bewertet sind. Zusammengefasst als Vektor x. Gewichte w 0 w n werden zum Anfang zufällig generiert und dann in jeder Iteration t für jedes Beispiel modifiziert. Zusammengefasst als Vektor w mit Index t: w t Perceptron-Lernformel (einfache Form) Aktivierung eines Output-Neurons O (g = Stufenfunktion) : O = g ( i w i x i ) Der Fehler eines Output-Neurons pro Beispiel ist der korrekte Output T minus dem tatsächlichen Output O: Fehler = T O = T - g ( i w i x i ) Er muss auf alle Inputs entsprechend ihrem Beitrag zu O verteilt werden. Der Beitrag des Inputsneurons j ist w j x j. Falls x j positiv, führt eine Erhöhung von w j zu einer Erhöhung des Gesamtoutputs, sonst zu einer Erniedrigung. Daraus folgt Aktualisierungsregel für jedes w j : w j w j + α * x j * Fehler Konstante α heißt Lernrate. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 27 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 28 Verbesserung der Perceptron-Lernformel Die einfache Aktualisierung der Gewichte konvergiert immer mit den korrekten Werten, wenn die zu lernende Funktion linear separierbar ist (s. nächste Folie). Allerdings kann es exponentiell lange dauern! Effizienzverbesserungen: Normierung aller Eingabedaten Delta-Regel: Die Gewichte werden nicht um das Produkt (Eingabewert * Fehler) sondern um den minimalen Betrag geändert, der erforderlich ist, um das Beispiel richtig zu klassifizieren Lineare Trennbarkeit in Perceptrons Während die "und" und die oder-funktion linear trennbar sind (a und b), ist die XOR-Funktion (c) nicht linear trennbar und kann daher von einem Perceptron nicht gelernt werden! Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 29 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 30

6 Lernkurven bei Percpetrons Mehrebenen - Netz (a): Mehrheitsfunktion mit 11 Inputs (b) Restaurant-Beispiel Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 31 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 32 Backpropagation-Lernen Unterschiede zu Perceptrons: - Es gibt mehrere Outputs, daher ist der Output ein Vektor h w (x), der mit dem Beispiel-Output-Vektor y verglichen wird: Fehler = y h w - Auch für hidden layers muss ein Fehler berechnet werden, deswegen muss Aktivierungsfunktion differenzierbar sein (Sigmoid- statt Stufen- Funktion) Gewichtsänderung der Output-Neuronen - W j,i W j,i + α * a j * i mit i = Fehler i * g'(in i ) Gewichtsänderung der versteckten Neuronen - Wir brauchen Äquivalent für Fehler der Output-Neuronen - Idee: der versteckte Knoten j ist für einen Teil des Fehlers bei i verantwortlich. Die i Werte werden entsprechen der Stärke ihrer Verbindungen zwischen versteckten Knoten und Output-Knoten aufgeteilt und rückwärts propagiert, um die j -Werte der versteckten Ebene zu liefern - j = g'(in j ) ( i W j,i i ) - Gewichtsänderungsregel: W k,j W k,j + α * a k * j Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 33 Restaurant-Beispiel: Lernkurve (a) langsame Reduktion der Fehler über verschiedene Epochen beim Backpropagation Lernen (b) Vergleich der Lernkurven beim Backpropagation und Entscheidungsbaumlernen Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 34 Optimale Netzwerkstrukturen Diskussion des Backpropagation-Lernen Bei Netzwerkstrukturen mit zu vielen Knoten kommt es zur Überanpassung bis zum Auswendiglernen, bei zu wenig Knoten kann das Netz unfähig sein, die gewünschte Funktion zu repräsentieren. Bisher gibt es keine guten Heuristiken, um die optimale Netzwerkgröße für ein gegebenen Problem abzuschätzen. Eine Idee besteht darin, daß man mit einem kleinen Netz startet und nach Bedarf Knoten hinzufügt. Ausdrucksstärke: Abhängig von Netztopologie Berechnungseffizienz: Langsame Lernrate, Lokale Minima Generalisierungsfähigkeit: Gut, wenn Output sich kontinuierlich mit dem Input verändert Sensitivität für Rauschen: Sehr tolerant Transparenz: Black Box Integrierbarkeit von Vorwissen: Schwierig Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 35 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 36

7 Kernel Machines (Support Vector Machines) Kernel machines kombinieren Vorteile von Perceptrons (einfacher und effizienter Lernalgorithmus) und Mehrebenennetze (Ausdrucksstärke) Zentrale Idee: Benutze lineare Separatoren, aber in einem veränderten (höherdimensionierten) Zustandsraum Neues Problem: Gefahr der Überanpassung, da in einem d- dimensionalen Raum d Parameter für linearen Separator erforderlich sind, wenn N (Anzahl der Datenpunkte) d. Lösung: Suche nach optimalen linearen Separatoren (mit größtem Abstand zwischen positiven auf der einen und negativen Beispielen auf der anderen Seite): Finde Parameter α i, die folgenden Ausdruck maximieren (Beispiele x i mit Klassifikation y i = ±1): i α i ½ i,j α i α j y i y j (x i * x j ) mit α i > 0 und i α i y i = 0 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 37 Beispiel für lineare Trennbarkeit nach Transformation (a) 2-dimensionale Daten (positive Beispiele im Kreis) (b) gleichen Daten nach Abbildung in 3-dimensionalen Raum (x 12,x 22, 2x 1 x 2 ) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 38 Beispiel für optimalen Separator Der optimale Separator aus der letzten Folie (nur 2 der 3 Dimensionen gezeigt) ist die dicke Linie, die den abstand zu den nächsten Punkten, den Stützvektoren (support vectors, markiert mit Kreisen) maximiert. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 39 Transformation in höherdimensionierten Raum i α i ½ i,j α i α j y i y j (x i * x j ) mit α i > 0 und i α i y i = 0 Eigenschaften: Der Ausdruck hat ein einziges globales Maximum, das effizient gefunden werden kann! Die Daten gehen nur als Punkt-Produkte benachbarter Punkte in die Gleichung ein! Die α i sind nur für die Stützvektoren 0, daher ist die effektive Anzahl von Parametern relativ klein (<< N)! Transformation Suche Separator in hochdimensionalen Merkmalsraum F(x) Ersetze dazu x i * x j durch F(x i )* F(x j ), wobei das Punktprodukt oft ausgerechnet werden kann, ohne F für jeden Punkt zu berechnen, z.b. F(x i )* F(x j ) = (x i * x j ) 2 (x i * x j ) 2 hießt Kernfunktion (kernel function): K (x i,x j ) allgemein: (x i * x j ) wird durch eine Kernfunktion K (x i,x j ) ersetzt viele Kernfunktionen (auch sehr hochdimensionale) möglich Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 40 Umgang mit verrauschen Daten Kernel machines eignen sich auch für Daten, die sich nicht fehlerfrei trennen lassen. Dazu muss ein Parameter vorgegeben werden, der die erwartete Fehlerspanne charakterisiert. Der Basisalgorithmus ändert sich nicht. Diskussion Kernel / Support Vector Machines Sehr mächtiges Lernverfahren Ähnlich wie, aber mit Vorteilen gegenüber Neuronalen Netzen Erfreut sich in letzter Zeit zunehmender Beliebtheit Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 41 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 42

8 Beispiel: Erkennen handgeschriebener Ziffern Standard-Benchmark-Problem mit Datenbank von markierten Ziffern in 20*20=400 Pixeln mit 8 Graustufen (oben leicht, unten schwer identifizierbare Beispiele) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 43 Getestete Lernverfahren Nearest Neighbor (ohne Anpassungen und Parametereinstellungen) Neuronales Netz mit einer versteckten Ebene: 400 Input Knoten (pro Pixel) 10 Output Knoten (pro Ziffer) 300 versteckte Knoten (mit Kreuzvalidierung optimiert) Gewichte Spezialisierte Neuronale Netze (LeNet): optimiert bezüglich der Struktur des Problems Neuronales Netz (LeNet) mit Boosting von 3 Hypothesen Support Vector Machine ohne Anpassungen und Parametereinstellungen Virtuelle Support Vector Machine Startet mit Ergebnis der Support Vector Machine Nachträgliche Optimierung mit Ausnutzen der Struktur des Problems Gestaltvergleich (shape match): Technik vom Computersehen mit Abgleich korrepondierender Punkte zwischen 2 Bildern Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 44 Testergebnisse Die Fehlerraten bewegen sich zwischen 2,4% (Nearest Neighbor) und 0,56% (Virtual Support Vector Machine). Neuronale Netze liegen dazwischen. Menschen haben angeblich eine Fehlerquote von 0,2% für dieses Problem (nach anderen Quellen aber 2,5%). Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden Frank Puppe 45