Jennifer Defitowski. Rechenschwierigkeiten im Mathematikunterricht der Grundschule. Entwicklung des mathematischen Lernprozesses

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1 Jennifer Defitowski Rechenschwierigkeiten im Mathematikunterricht der Grundschule Entwicklung des mathematischen Lernprozesses

2 Defitowski, Jennifer: Rechenschwierigkeiten im Mathematikunterricht der Grundschule: Entwicklung des mathematischen Lernprozesses. Hamburg, Diplomica Verlag GmbH 2014 Buch-ISBN: PDF-eBook-ISBN: Druck/Herstellung: Diplomica Verlag GmbH, Hamburg, 2014 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek: Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Die Informationen in diesem Werk wurden mit Sorgfalt erarbeitet. Dennoch können Fehler nicht vollständig ausgeschlossen werden und die Diplomica Verlag GmbH, die Autoren oder Übersetzer übernehmen keine juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für evtl. verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen. Alle Rechte vorbehalten Diplomica Verlag GmbH Hermannstal 119k, Hamburg Hamburg 2014 Printed in Germany

3 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Begriffsklärung Rechenschwierigkeiten Rechenschwäche Diskrepanzdefinitionen Phänomenologische Definitionen Kommentar Zusammenfassung Entwicklungen im Grundschulalter Die Besonderheiten des mathematischen Lernprozesses Entwicklung des mathematischen Denkens Die Stufen der Verinnerlichung Stufe 1: Das konkrete Handeln mit Gegenständen Stufe 2: Die bildliche Darstellung mit graphischen Zeichen und Markierungshilfen Stufe 3: Darstellung und Umsetzung mathematischer Operationen mit Hilfe von Zahlen und Ziffern Stufe 4: Automatisierung und Anwendung Zusammenfassung Die Bedeutung der Zählfähigkeit Die Bedeutung von Abstraktion und Vorstellung Die Bedeutung von Konzentration und Gedächtnis Abschließender Kommentar Zum Auftreten von Rechenschwierigkeiten Erste Anzeichen Typische Fehler und Probleme in Kasse Basale Teilleistungsstörungen Schwierigkeiten im Klassifizieren Probleme bei den Begriffen gleich viel, mehr und weniger Zählfehler Unzureichendes Operationsverständnis Schwierigkeiten mit zwei- und mehrstelligen Zahlen

4 4.2.7 Zusammenfassende Bemerkung Typische Fehler und Probleme in Klasse Zahlendreher Schwierigkeiten bei der Zehnerüberschreitung Kippfehler Fehler im Mächtigkeitsvergleich zweistelliger Zahlen Schwierigkeiten bei der Orientierung im Zahlenraum Schwierigkeiten bei der Multiplikation Probleme bei Sachaufgaben Zunehmendes Auftreten von psychischen Folgestörungen Zusammenfassende Bemerkung Typische Fehler und Probleme in Klasse Verstärkte Orientierungslosigkeit im Zahlenraum Rechenfehler bei der Addition und Subtraktion Schwierigkeiten beim Runden Auffälligkeiten bei der schriftlichen Addition und Subtraktion Schwierigkeiten bei der schriftlichen Multiplikation Auffälligkeiten beim schriftlichen Dividieren Mangelndes Verständnis bezüglich der Maßeinheiten und der Uhr Zuspitzung der Probleme bei Sachaufgaben Verschlechterung der psychischen Lage Typische Fehler und Probleme in Klasse Keine Bewältigung der Zahlenraumerweiterung Probleme beim Kopfrechnen Defizite beim schriftlichen Dividieren mit zweistelligem Divisor Ansteigende Probleme bei Sachaufgaben Die psychische Lage Veranschaulichungsmittel und ihr Gebrauch von rechenschwachen Kindern Fallbeispiele Sven Monika Alexander Rafaela Abschließender Kommentar

5 5. Diagnostik Geeignete Tests Der Piaget- Test zum Kardinalverständnis Dosen im Kasten Fehleranalyse Förderung Inhaltsübergreifende Fördermöglichkeiten Förderung der visuellen Fähigkeiten Training des Gedächtnisses Förderung von Konzentration und Aufmerksamkeit Fördermöglichkeiten in den mathematischen Inhaltsbereichen Zahlen, Zahlraumvorstellungen, Zählen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Schriftliche Rechenverfahren Förderung bei Monika Fazit Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis

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7 1. Einleitung Im Rahmen der vorliegenden Untersuchung soll es um das Auftreten von Rechenschwierigkeiten in der Grundschule gehen. Häufiger als zuvor gedacht, haben Kinder Probleme beim Mathematiklernen, so dass einige nicht einmal in der Lage sind, einfache arithmetische Aufgaben zu lösen. Lehrer, wie Eltern sind dann oft ratlos und können die Fehler des Kindes nicht nachvollziehen. Da nach jüngsten Forschungsergebnissen etwa 6% der Grundschulkinder als rechenschwach, und 15% als förderungsbedürftig gelten (vgl. VON ASTER & LO- RENZ 2005, 7), ist eine nähere Betrachtung dieser Thematik erforderlich. Vor allem, wenn man bedenkt, dass statistisch gesehen jeder Lehrer mindestens einmal ein Kind mit Rechenschwierigkeiten im Unterricht hat. Im Gegensatz zur bekannten Lese- Rechtschreibschwäche, herrschen bezüglich einer Rechenschwäche in der Wissenschaft noch einige Unstimmigkeiten vor. Zwar sind die Schwierigkeiten, die manche Kinder mit dem Mathematiklernen haben, in das Blickfeld verschiedener Fachdisziplinen gelangt, es existieren bereits zahlreiche Institute, die sich mit Rechenschwäche beschäftigen, und es werden verschiedene Therapien angeboten, jedoch sind diese nicht immer einheitlich und widersprechen sich teilweise. In diesem Buch wird der Frage nachgegangen, wie man als Lehrer bestimmte Rechenschwierigkeiten bei Kindern in der Grundschule erkennen und geeignete Fördermaßnahmen einleiten kann. Hierbei geht die Verfasserin wie folgt vor: Zunächst werden im zweiten Kapitel die Begriffe Rechenschwierigkeiten und Rechenschwäche geklärt, woraufhin eine kurze Zusammenfassung erfolgt. Das dritte Kapitel dient der Darstellung von Entwicklungen im Grundschulalter. Ausgehend von der Besonderheit des mathematischen Lernprozesses wird die Entwicklung des mathematischen Denkens anhand der Stufen der Verinnerlichung erläutert. Auch auf die Bedeutung von Zählfähigkeit, Abstraktion und Vorstellung, sowie von Konzentration und Gedächtnis wird hier eingegangen. Anschließend erfolgt im vierten Kapitel die Darstellung der Erscheinungsformen von Rechenschwierigkeiten. Wie verhält sich ein rechenschwaches Kind im Unterricht? Welche Fehler macht es? Worauf sollte die Lehrperson achten? Diesen Fragen wird hier nachgegangen, wobei die typischen Fehler und Probleme nach den einzelnen Grundschulstufen gegliedert sind. Anschließend werden verschiedene Veranschaulichungsmittel und ihr Gebrauch von rechenschwachen Kindern 5

8 dargestellt, sowie erfolgen einige Fallbeispiele. Wie die Darstellung der typischen Fehler und Probleme, sind auch die Fallbeispiele nach den Grundschulklassen strukturiert, so dass jeweils ein Fallbeispiel aus jeder Grundschulstufe aufgeführt wird. Daran anknüpfend geht die Verfasserin im fünften Kapitel auf die Diagnostik ein, wobei einige geeignete Tests zur Ermittlung der Fähigkeiten und Schwächen des Kindes vorgestellt werden. Das anschließend sechste Kapitel soll der Förderung dienen. Hierbei wird zunächst auf inhaltsübergreifende Fördermöglichkeiten, wie der Förderung der visuellen Fähigkeiten, Training des Gedächtnisses und Förderung von Konzentration und Aufmerksamkeit, eingegangen. Dass diese inhaltsübergreifenden Fähigkeiten für die Entwicklung des mathematischen Denkens wichtig sind, erfährt der Leser bereits im dritten Kapitel. Hierauf folgt die Darstellung von Fördermöglichkeiten in ausgewählten Inhaltsbereichen, wie Zahlen, Zahlraumvorstellungen, Zählen, Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division sowie bezüglich der schriftlichen Rechenverfahren. Als Abschluss dieser Arbeit wählt die Verfasserin die Darstellung einer Förderung anhand eines Fallbeispiels, wobei auf das vierte Kapitel Bezug genommen wird, in dem die Schwierigkeiten dieses Kindes erläutert wurden. Nach Beendigung eines Kapitels erfolgt oft ein abschließender Kommentar, was den Zweck einer kurzen Zusammenfassung erfüllen soll. Um die Lesbarkeit dieser Arbeit zu erleichtern, wird auf die Nennung der weiblichen Formen des jeweiligen Personenkreises verzichtet, wobei sich diese dennoch eingeschlossen fühlen dürfen. An Stellen, an denen dennoch die weibliche Form gewählt wurde, bezieht sich die Verfasserin auf die jeweilige Literatur, in der dies dann so angewandt wurde. 6

9 2. Begriffsklärung 2.1 Rechenschwierigkeiten Allgemein kann man unter dem Begriff Rechenschwierigkeiten eine Lernschwierigkeit im mathematischen Bereich verstehen, welche sich sowohl zu Beginn des schulischen Lernprozesses, als auch erst im Prozess des Lernens bemerkbar machen kann (vgl. SCHULZ 1995, 1). Für das Kind und sein unmittelbares soziales Umfeld stellen diese Schwierigkeiten erhebliche Probleme dar, weil sie sich im ungünstigsten Fall derart verfestigen können, so dass sie zu einem negativen Selbstkonzept, Motivationsverlust oder einer negativen Schullaufbahn führen können (vgl. ebd.). Auf jeden Lernprozeß wirken fördernde und hemmende Faktoren ein, die in der Persönlichkeit selbst oder in ihrem sozialen Umfeld liegen. (a.a.o., 10) Hemmende Faktoren können zu Lernschwierigkeiten führen oder sie verstärken, welche zeitweilig oder dauerhaft auftreten (vgl. ebd.). Unter dem Begriff Lernschwierigkeiten versteht SCHULZ [...] ein Fehlen bzw. einen ungenügenden Ausprägungsgrad subjektiver Leistungsvoraussetzungen zur Bewältigung gestellter (Lern-)Anforderungen, so daß der Lernende bestimmte Lerninhalte auch mit großer Anstrengung nur teilweise oder gar nicht bewältigt. (a.a.o., 15) Als subjektive Leistungsvoraussetzungen wird hier der aktuelle Entwicklungsstand von Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse, Einstellungen, Selbststeuerung, Leistungsmotivation etc. verstanden (vgl. ebd.). Bei Rechenschwierigkeiten handelt es sich weder um eine Einschätzung der Gesamtpersönlichkeit des Kindes noch um eine Krankheit (vgl. ebd.). Vielmehr ergeben sich die Schwierigkeiten beim Rechnen aus der aktuellen Entwicklungsund Lebensphase des Kindes (vgl. ebd.). Des Weiteren spricht man bei Lern- bzw. Rechenschwierigkeiten nicht von Eigenschaften des Schülers, da sie in konkreten Situationen und unter bestimmten Bedingungen auftreten (vgl. a.a.o., 21). Es gibt Faktoren, die sowohl für Lernerfolg als auch für Lernschwierigkeiten verantwortlich sind. (ebd.) Hierbei hängen Erfolg und Misserfolg des Lernens von der Bedingungskonstellation in konkreten Situationen ab (vgl. ebd.). Eine ungünstige Bedingungskonstellation kann sich zum Teufelskreis entwickeln und damit zur Verfestigung und Generalisierung von Lernschwierigkeiten beitragen. (ebd.) 7

10 Lernschwierigkeiten können folglich bei unangemessenen Anforderungen erst durch unzureichende Berücksichtigung der Lernvoraussetzungen und des Lernumfeldes auftreten (vgl. ebd.). Mathematiklernen ist ein Entwicklungsprozess, in welchem sich jedes Kind seinen eigenen Weg zur Mathematik finden und ein eigenes Verständnis konstruieren muss, was nicht erfolgen kann, wenn Mathematik als Fertigprodukt vermittelt wird (vgl. a.a.o., 22). Schwierigkeiten beim Erwerb mathematischer Inhalte und Fähigkeiten können dann auftreten, wenn die Lernvoraussetzungen des Schülers bezüglich fachspezifischer Besonderheiten des Mathematikunterrichts und didaktische Konzepte des Lehrers nicht genügend beachtet werden (vgl. a.a.o., 39). 2.2 Rechenschwäche Das Phänomen der Rechenschwäche gilt als extreme Form von Lernschwierigkeiten im Mathematikunterricht (vgl. a.a.o., 28). Bei Schülern mit einer Rechenschwäche ist die Entwicklung mathematischer Fähigkeiten mehr oder minder stak behindert, und es gelingt kein Aufbau des Verständnisses für Mathematik (vgl. ebd.). Rechenschwäche ist gekennzeichnet durch anhaltende Schwierigkeiten im Erfassen rechnerischer Sachverhalte, im Umgang mit Zahlen und in der Bewältigung von Rechentechniken. (ORTNER & ORTNER , 385) Die Begriffe und Erklärungen für Auftreten, Erscheinungsformen und Ursachen von Rechenschwäche sind sehr vielfältig. Jens Holger Lorenz, eines der bekanntesten Didaktiker der Grundschulmathematik und Professor für Mathematik und Informatik an der PH Ludwigsburg, hat eine Liste von etwa 40 Begriffen zusammengestellt, welche die Rechenschwäche und ihre vielen Aspekte definieren. Die am häufigsten verwendeten und geläufigsten Begriffe sind neben Rechenschwäche und Rechenstörung auch Dyskalkulie und Arithmasthenie, welche zum Teil synonym verwendet, oder aber nach Schweregrad und Schwerpunkt der Störung unterschieden werden (vgl. SCHULZ 1995, 28). Der Begriff Dyskalkulie setzt sich aus der Vorsilbe dys- und dem zweiten Wortbestandteil -kalkulie zusammen. Während die Vorsilbe dys- aus dem Griechischen kommt und schwer, schwierig bedeutet, bezieht sich -kalkulie auf das 8

11 lateinische Wort calculus, was so viel heißt wie Steinchen, Spielsteinchen, Rechensteinchen. Folglich hat ein rechenschwaches Kind Probleme bei der Durchführung von Rechenoperationen (vgl. SCHWARZ 1999,18). Arithmasthenie stammt aus dem Griechischen und enthält arithmós = Zahl, Menge und asthénema = Schwäche bzw. asthénia = Körperschwäche, Armut (vgl. a.a.o., 19). Bei diesem Begriff wird deutlich gemacht, dass die Störung des Schülers im arithmetischen Bereich liegt (vgl. SCHULZ 1995, 28). Das rechenschwache Kind ist tatsächlich oft schwach, ja manchmal sogar krank, wenn es mit Zahlen konfrontiert wird: Es hat Kopfschmerzen, Bauchschmerzen, Übelkeit, Erbrechen, Schwindel. (SCHWARZ 1999, 19) Die Forschung hat, seit der Entdeckung der Tatsache, dass es Kinder gibt, die Probleme beim Mathematiklernen haben, viel Arbeit und Zeit investiert, um eine Definition für Rechenschwäche zu finden. Hierzu gab es in der Vergangenheit viele verschiedene Ansätze. Auf einige dieser Definitionsversuche geht die Verfasserin im Folgenden ein Diskrepanzdefinitionen Diskrepanzdefinitionen setzten die Rechenstörung in Bezug zur Intelligenz und/ oder zu den Leistungen in anderen Leistungsbereichen. (KAUFMANN 2003, 13) Demnach geht man davon aus, dass eine Dyskalkulie ausschließlich dann vorliegt, wenn die anderen schulischen Leistungen des Kindes normal bis überdurchschnittlich sind. Man spricht auch von einer Teilleistungsschwäche (vgl. DÜRRE , 17). Die Weltgesundheitsorganisation (WHO) verfasste eine Definition für Dyskalkulie, welche sich auch auf Diskrepanzannahmen beruht. In der Internationalen Klassifikation psychischer Störungen (ICD-10) sind im Punkt F8 Entwicklungsstörungen, unter F81 umschriebene Entwicklungsstörungen schulischer Fertigkeiten aufgeführt. (KAUFMANN 2003, 13) Die Rechenstörung wird wie folgt definiert: Diese Störung beinhaltet eine umschriebene Beeinträchtigung von Rechenfertigkeiten, die nicht allein durch eine allgemeine Intelligenzminderung oder eine eindeutig unangemessene Beschulung erklärbar ist. Das Defizit betrifft die Beherrschung grundlegender Rechenfertigkeiten wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, weniger die höheren mathematischen Fertigkeiten, die für Algebra, Trigonometrie, Geometrie und Differential- sowie Integralrechnung benötigt werden. (KAUFMANN 2003, 13) 9

12 Hierbei wird als diagnostische Leitlinie folgendes vorgegeben: Die Rechenleistung des Kindes muss eindeutig unterhalb des Niveaus liegen, welches aufgrund des Alters, der allgemeinen Intelligenz und der Schulklasse zu erwarten ist. Dies wird am besten auf der Grundlage eines standardisierten Einzeltests für Rechenschwäche beurteilt. Die Lese- und Rechtschreibfähigkeit des Kindes müssen im Normalbereich liegen, nach Möglichkeit beurteilt auf der Grundlage einzeln angewendeter, angemessener standardisierter Testverfahren. Die Rechenschwierigkeiten dürfen nicht wesentlich auf unangemessener Unterrichtung oder direkt auf Defizite im Sehen, Hören oder auf neurologische Störungen zurückzuführen sein. Ebenso dürfen sie nicht als Folge irgendeiner neurologischen, psychiatrischen oder anderen Krankheit erworben sein... (KAUFMANN 2003, 14) Des Weiteren muss die Rechenschwäche seit den frühsten Anfängen des Mathematiklernens bestehen und die Schulausbildung oder allgemeine Tätigkeiten, welche Rechenfertigkeiten erfordern, behindern. Der nonverbale IQ darf in einem standardisierten Test nicht unter 70 liegen (vgl. KAUFMANN 2003, 14). Darüber hinaus muss der Wert in diesem Test mindestens zwei Standardabweichungen unterhalb des Niveaus liegen, das aufgrund des Alters und der allgemeinen Intelligenz des Kindes zu erwarten wäre (vgl. ebd.). Als weitere Bedingung für die Diagnose einer Rechenschwäche führen die Leitlinien einen gemessenen Intelligenzquotienten von IQ > 70, ein Rechentestergebnis in den unteren 10% der Vergleichsgruppe bei zusätzlicher Abweichung des Ergebnisses des IQ- Tests um 1,5 Standardabweichungen vom Rechentestergebnis. (SIMON 2005, 223) Folglich spricht man von einer Rechenschwäche, wenn die Leistungen des Kindes in Mathematik gegenüber seinen sonstigen schulischen Leistungen stark abfallen. Zwischen der allgemeinen Intelligenz des Kindes und seiner schwachen Rechenleistungen muss eine Diskrepanz vorherrschen (vgl. GAIDOSCHIK , 10f). Bei den oben aufgeführten Diskrepanzdefinitionen ergeben sich jedoch einige Probleme. Zum Einen stellt sich die Frage nach der Höhe des nötigen Abweichungsbetrages, und zum Anderen muss der Bezug zur Intelligenz auch inhaltlich hinterfragt werden (vgl. KAUFMANN 2003, 14). Man geht davon aus, dass Intelligenztests Anforderungen enthalten, welche im engen Zusammenhang zu mathematischen Fähigkeiten stehen. Somit würde das Testergebnis, bei Vorliegen einer Rechenschwäche, negativ beeinflusst werden (vgl. ebd.). Die geforderte signifikante Diskrepanz zwischen Intelligenzquotient und Schulleistung [...] hat zur Folge, dass die Chance eine Diagnose Rechenstörung nach der ICD-10 und damit eine Förderung zu erhalten umso geringer ist, je geringer die allgemeine intellektuelle Begabung ist. (ebd.) 10