Mathematik sehen und verstehen

Transkript

1 Mathematik sehen und verstehen

2 Dörte Haftendorn Mathematik sehen und verstehen Schlüssel zur Welt

3 Autorin: Prof. Dörte Haftendorn Leuphana Universität Lüneburg Für weitere Informationen zum Buch siehe: Wichtiger Hinweis für den Benutzer Der Verlag und die Autorin haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkurate Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch die juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informationen, für deren Wirtschaftlichkeit oder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag hat sich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem Verlag gegenüber dennoch der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenübliche Honorar gezahlt. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2010 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton Satz: le-tex publishing services GmbH, Leipzig Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm Titelbilder: Dörte Haftendorn ISBN

4 Vorwort Im Jahr 2007 habe ich mich auf ein Abenteuer eingelassen. An der Leuphana Universität Lüneburg, an der ich lehre, sollte sich im Rahmen eines allgemeinbildenden Konzeptes des ersten Semesters ein Baustein den Methoden der Wissenschaft widmen. Forschungsmethoden für alle, Statistik für alle das konnten sich die meisten vorstellen, aber Mathematik für alle, geht denn das? Die Herausforderung habe ich gern angenommen, hatte mich doch mein Leben in der Lehre von Mathematik mit den verschiedensten Menschen bekannt gemacht: von den Mathematikenthusiasten über Pragmatiker, Zaghafte und Gleichgültige bis zu ausgesprochenen Mathematikphobikern. Meine Erfahrungen zeigen: Eingängige Entwicklung und Visualisierung der mathematischen Gedanken ermöglichen Verstehen, auch Freude am Denken, wie es letztlich uns Menschen eigen ist. Kommt dann noch die Erfahrung der Sinnhaftigkeit hinzu, wird Lernen möglich. Gemäß dem Ziel der Universität sollte erfahrbar werden, wie Mathematik viele Wissenschaften und unser tägliches Leben mit meist unsichtbaren Fäden durchzieht. Kurz: Die Vorlesung mit 1000 Studierenden gelang, die Studierenden und die Hochschule verliehen mir einen Lehrpreis dafür und der Verlag Springer traute mir zu, ein Buch mit diesem Konzept zu schreiben. Dieses Vorhaben war nun nochmals ein Abenteuer, denn Lehre lebt eigentlich von der lebendigen Vermittlung. Insbesondere sind meine Visualsierungen fast alle dynamisch und werden bei der Bewegung erklärt. Herrn Dr. Rüdinger und dem Verlag danke ich für den schönen Farbdruck und die Möglichkeit, die Bewegung durch hinreichend viele Bilder wiederzugeben. Als Ergänzung sind unter die interaktiven Dateien zu finden. Mein besonderer Dank gilt meinem Kollegen Dieter Riebesehl, der mir schon bei dem ursprünglichen Konzept und dann auch bei dem Buch mit seinem fundierten mathematischen Rat und seiner steten Gesprächsbereitschaft geholfen hat. Meiner Kollegin Gisela Müller danke ich für die Durchsicht des Manuskriptes. Auch meinen Studierenden waren einige Ungereimtheiten aufgefallen. Mein Mann Roland Weissbach hat nicht nur geduldig ertragen, dass ich weniger Zeit für ihn hatte, sondern mich auch nach Kräften entlastet und unterstützt. Vielen Dank. Lüneburg, Oktober 2009 Dörte Haftendorn

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ZieldiesesBuches HistorischeszurLehrevonMathematik VorgehenindiesemBuch DieKapitel EinigeBemerkungen Kryptografie DiealteunddieneueKryptografie Primzahlen Restklassen modulo n Der Modul der Restklassen modulo n Allgemeines Rechnen modulo n Multiplizieren modulo n Potenzieren modulo n Inversenbestimmung modulo n Größter gemeinsamer Teiler und euklidischer Algorithmus KryptografischeVerfahren Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung RSA-Verschlüsselung DigitaleSignatur ZertifizierungderöffentlichenSchlüssel RückblickaufdiemoderneKryptografie Codierung EuropäischeArtikelnummer:EAN ISBN-13undISBN Codierungmit0und1istüberall RückblickaufdieCodierung Graphentheorie AllerleiGraphen Euler,KönigsbergundGraphen BeschreibungvonGraphen AufspannendeBäume MinimaleSpannbäume SpannbäumeinungewichtetenGraphen KürzesteWege Färbungen Graphentheorie:RückblickundAusblick... 76

6 viii Inhaltsverzeichnis 5 Fraktale, Chaos, Ordnung IdeevonRekursionundIteration SpinnwebdarstellungrekursiverFolgen Wachstumsvorgänge Feigenbaumdiagramm FraktaleundDimension Wegfraktale,Lindenmayer-Systeme SelbstähnlichkeitundDimension Iterierte-Funktionen-Systeme(IFS) Mandelbrot-undJulia-Mengen DasechteApfelmännchen Julia-Mengen MusterderNatur ZelluläreAutomaten SpiralenmitgoldenemWinkel Welt der Funktionen Funktionenfamilien ParabelnundelementareVariationen GeradenundPotenzfunktionen PolynomeinihrerVielfalt Sinus,KosinusundMusik Exponentialfunktionen Umkehrfunktionen Funktionenbauhof SummevonFunktionen ProduktvonFunktionen VerkettungvonFunktionen BlickaufdenPunkt:Ableitung Ableitungsfunktion Diee-Funktion,dasGeheimniswirdgelüftet BlickaufdasGanze:dasIntegral DefinitiondesIntegrals WeitereAnwendungendesIntegrals GroßartigerZusammenhang FunktioneninhöherenRäumen Funktionenim3D-Raum Mathematische3D-LösungenimBauwesen Nochhöherhinaus Optimierung als Ziel Extremwertaufgaben Gewinnoptimierung LineareOptimierung Minimalflächen...186

7 Inhaltsverzeichnis ix 7.5 MethodederkleinstenQuadrate Optimierungistüberall Computer und Mathematik Binärsystem ZahldarstellungimComputer NumerischarbeitendeWerkzeuge DynamischeMathematik Computer-Algebra-Systeme(CAS) Berechenbarkeit ComputerinunsererWelt Numerik NumerischeVerfahrenderAnalysis Heron-VerfahrenfürWurzeln Nullstellensuche NumerischeIntegration FüralleFälle:Polynome EinTaylorschneidertPolynomkleider,diefastpassen Zwischenwerte:InterpolationmitPolynomen Splines:damitesinderrichtigenWeisekrummwird Bézier-Splines:freigestalteteFormen Fourier-Reihen Differenzialgleichungen OhneNumerikgehtesnicht Stochastik BeschreibendeStatistik Wahrscheinlichkeitstheorie DerWahrscheinlichkeitsbegriff AxiomevonKolmogorow MehrstufigeZufallsversuche Zufallsgröße,ErwartungswertundVerteilung Kombinatorik Binomialverteilung KumulierteVerteilungsfunktionen Normalverteilung BeurteilendeStatistik Schätzen Testen StochastikimRückblick Geometrie DergoldeneSchnitt DieKegelschnitte...285

8 x Inhaltsverzeichnis 11.3 ReflexionbeiParabeln ReflexionbeiEllipsenundHyperbeln KaustikenundKatakaustiken GeometrieimRückblick Selbstverständnis der Mathematik MathematikerundMathematikerinnen AlgebraundZahlaufbau MathematischeSchönheit Beweisen DieunlösbarenProblemederAntike Fazit Lösungen 317 Literaturverzeichnis 323 Index 333