Präsentation BDDs Binary Decision Diagrams

Transkript

1 Präsentation Binary Decision Diagrams Günther Eder Andreas Weichhart / 19

2 Überblick 1/2 Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Boolean Expressions 3. Nachteil KNF/DNF 4. Shannon Expansion 5. INF 6. Definition 2 / 19

3 Überblick 2/2 Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF 7. O & RO 8. Konstruktion 9. Vorteile 10. Komplexität 11. Implementierung 12. Anwendung 13. Zusammenfassung 3 / 19

4 Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Was sind? Datenstruktur zur Repräsentation von Boolschen Funktionen Shannon Expansion 4 / 19

5 Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Was sind? Datenstruktur zur Repräsentation von Boolschen Funktionen Shannon Expansion Wann entstanden sie? C.Y. Lee (1959) Shaldon B. Akers (1978) Randal Bryant (1986) 4 / 19

6 Boolean Expressions Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Kurze Wiederholung Variable 1, 0 Operatoren,,,, Boolean Expression t := x 0 1 t t t t t t t t t 5 / 19

7 Boolean Expressions Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Kurze Wiederholung Variable 1, 0 Operatoren,,,, Boolean Expression t := x 0 1 t t t t t t t t t / 19

8 Boolean Expressions Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Kurze Wiederholung Variable 1, 0 Operatoren,,,, Boolean Expression t := x 0 1 t t t t t t t t t Beispiel x 1 x 2 x 3 x 4 = ((( x 1 ) x 2 ) x 3 ) x 4 5 / 19

9 Nachteil KNF / DNF Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF 6 / 19

10 Nachteil KNF / DNF Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF KNF (x 1 0 x 1 1 ) (x 2 0 x 2 1 )... (x n 0 x n 1 ) 6 / 19

11 Nachteil KNF / DNF Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF KNF (x 1 0 x 1 1 ) (x 2 0 x 2 1 )... (x n 0 x n 1 ) Umformung in DNF (x0 1 x 0 2 n 1... x0 x0 n) (x0 1 x 0 2 n 1... x0 x1 n). (x1 1 x 1 2 n 1... x1 x0 n) (x1 1 x 1 2 n 1... x1 x1 n) KNF proportional zu n DNF jedoch n2 n 6 / 19

12 Shannon Expansion Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Idee Zerlegung Boolscher Funktionen in Summe zweier Teilfunktionen. F = x F x + x F x 7 / 19

13 Shannon Expansion Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Idee Zerlegung Boolscher Funktionen in Summe zweier Teilfunktionen. F = x F x + x F x Beispiel: f = xyz + xy z + x y z + x yz + x y z umschreiben: f = x g x + x g x expandieren: f = x (y z + yz + y z ) + x(yz + y z) 7 / 19

14 INF - If then else normal form Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Definition x y 0, y 1 = (x y 0 ) ( x y 1 ) 8 / 19

15 INF - If then else normal form Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Definition x y 0, y 1 = (x y 0 ) ( x y 1 ) Beispiel x = (x 0, 1) x y = x (y 1, 0), (y 0, 1) 8 / 19

16 INF - If then else normal form Überblick Boolean Expressions Nachteil KNF/DNF Shannon Expansion INF Definition x y 0, y 1 = (x y 0 ) ( x y 1 ) Beispiel x = (x 0, 1) x y = x (y 1, 0), (y 0, 1) Jede Boolean Expression hat äquivalente INF oder ITE If Then Else: ITE(F, G, H) = F G + F H 8 / 19

17 Definition Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung BDD ist Graph mit den Eigenschaften Wurzelgraph gerichtet azyklisch 9 / 19

18 Definition Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung BDD ist Graph mit den Eigenschaften Wurzelgraph gerichtet azyklisch Definition BDD Ein oder zwei Terminal Nodes mit Ausgangsgrad 0. Eine Menge von Nodes mit Ausgangsgrad 2. Die Ausgangskanten sind gegeben durch zwei Funktionen low(u) und high(u). Eine Variable var(u) verknüpft mit jedem Knoten. 9 / 19

19 O & RO Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung OBDD - Ordered BDD alle Variablen respektieren Ordnungsrelation. x 1 < x 2 <... < x n 10 / 19

20 O & RO Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung OBDD - Ordered BDD alle Variablen respektieren Ordnungsrelation. x 1 < x 2 <... < x n ROBDD - Reduced Ordered BDD Eindeutigkeit var(u) = var(v), low(u) = low(v), high(u) = high(v) u = v ohne Redundanz low(u) high(u) 10 / 19

21 Konstruktion v. Wahrheitstabelle Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung 1. Boolsche Funktion umwandeln Boolsche Funktion Wahrheitstabelle a (a b) a (a b) / 19

22 Konstruktion v. Wahrheitstabelle Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung 1. Boolsche Funktion umwandeln Boolsche Funktion Wahrheitstabelle a (a b) a (a b) Isomorphe Teilbäume umformen u. redundante Knoten entfernen decision tree isomorph BDD 11 / 19

23 Konstruktion v. Wahrheitstabelle Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung 1. Boolsche Funktion umwandeln Boolsche Funktion Wahrheitstabelle a (a b) a (a b) Isomorphe Teilbäume umformen u. redundante Knoten entfernen decision tree isomorph BDD 11 / 19

24 Konstruktion v. Wahrheitstabelle Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung 1. Boolsche Funktion umwandeln Boolsche Funktion Wahrheitstabelle a (a b) a (a b) Isomorphe Teilbäume umformen u. redundante Knoten entfernen decision tree isomorph BDD 11 / 19

25 Vorteile von Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung einfache Evaluierung lexikographisch kleinsten/größten Wert der die Gleichung erfüllt Lösungen zählen Liste aller Lösungen in O(nN) Wahrscheinlichkeit für Lösung 12 / 19

26 Komplexität Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung Implementierungen Zeitkomplexität Reduce O( G log G ) G, G 1, G 2...Graphen Apply O( G 1 G 2 ) G...Anzahl d. Knoten Restrict O( G log G ) S f...anzahl der Compose O( G 1 2 G 2 ) Erfüllbaren Fkt. Satisfy-one O(n) Satisfy-all O(n S f ) Satisfy-count O( G ) 13 / 19

27 Komplexität Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung Implementierungen Zeitkomplexität Reduce O( G log G ) G, G 1, G 2...Graphen Apply O( G 1 G 2 ) G...Anzahl d. Knoten Restrict O( G log G ) S f...anzahl der Compose O( G 1 2 G 2 ) Erfüllbaren Fkt. Satisfy-one O(n) Satisfy-all O(n S f ) Satisfy-count O( G ) Worst Case Maximal Komplexität (Wahrheitstabelle) O(2 2n ) z.b. integer Multiplizierer Im Schnitt lineare Komplexität 13 / 19

28 Implementierung Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung Grundlegendes Design Node Pointers Node Indices 14 / 19

29 Implementierung Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung Grundlegendes Design Node Pointers Node Indices BF vs. DF 14 / 19

30 Implementierung Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung Grundlegendes Design Node Pointers Node Indices BF vs. DF unique Tables Abbildung von Node auf Tripel F = (v, G, H) hash Tabelle garantiert Eindeutigkeit exakte Performance Benchmarks 14 / 19

31 Anwendung Definition O & RO Konstruktion Vorteile Komplexität Implementierung Anwendung Anwendungsgebiete Formelüberprüfung auf Äquivalenz Modellüberprüfung pipelined microprocessors werden geprüft automatische Testfallgeneration routen/optimieren von FPGAs konkrete Anwendung MS SLAM Project. entwickelt ca / 19

32 Zusammenfassung Quellenangaben Fragen? Zusammenfassung DNF, KNF und INF/ITE if-then-else Normal Form effiziente Datenstruktur für Boolsche Funktionen Implementierung z.b. unique Table Anwendung z.b. Formelüberprüfung auf Äquivalenz 16 / 19

33 Zusammenfassung Quellenangaben Fragen? Quellenangaben Rudolf Mühlbauer Binary Decision Diagrams Implementation Details Institute for Formal Models and Verification, Linz, Mai Sheldon B. Akers Binary Decision Diagrams IEEE Transactions on Computers, 27(6): , Randal E. Bryant Graph-Based Algorithms for Boolean Function Manipulation IEEE Transactions on Computers, 35: , Henrik Reif Andersen An Introduction to Binary Decision Diagrams Course Notes on the WWW, Diese Präsentation ist auf zu finden. 17 / 19

34 Zusammenfassung Quellenangaben Fragen? Fragen? Fragen zum Thema können sie jetzt stellen! 18 / 19

35 Zusammenfassung Quellenangaben Fragen? Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 19 / 19