Data Mining. Informationssysteme, Sommersemester 2017
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- Busso Weiner
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1 Data Mining Informationssysteme, Sommersemester 2017
2 Literatur zu Data-Mining Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kuma. Introduction to Data Minig. Ein paar relevante Kapitel sind frei verfügbar unter kumar/dmbook/index Mohammed J. Zaki, Wagner Meira Jr. Data Mining and Analysis. Jiawei Han, Micheline Kamber. Data Mining. Concepts and Techniques. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 2
3 Warenkorbanalyse Objekte sind: Brot, Milch, Windeln, Bier, Eier Transaktionen sind: 1:{Brot, Milch}, 2:{Brot, Windeln, Bier, Eier}, 3:{Milch, Windeln, Bier}, 4:{Brot, Milch, Windeln, Bier} und 5:{Brot, Milch, Windeln} TID Brot Milch Windeln Bier Eier Welche Objekte (Items) werden häufig zusammen gekauft? Können wir Regeln angeben der Form: Kunden die Windeln kaufen, kaufen auch meist Bier? IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 3
4 Darstellung als Binärmatrix TID Brot Milch Windeln Bier Eier Itemsets {Brot, Milch} {Brot, Windeln, Bier, Eier} {Milch, Windeln, Bier} {Brot, Milch, Windeln, Bier} {Brot, Milch, Windeln} IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 4
5 Itemsets Ein Itemset ist eine Menge von Objekten Eine Transaktion tt ist ein Itemset mit dazugehöriger Transaktions-ID, tt = (tttttt; II) wobei II das Itemset der Transaktion ist Eine Transaktion tt = (tttttt, II) enthält ein Itemset XX falls XX II Der Support von Itemset XX in einer Datenbank DD ist die Anzahl der Transaktionen in DD, die XX enthalten: ssssssss(xx, DD) = tt DD tt eeeeeeeällll XX Die relative Häufigkeit von Itemset X in Datenbank D ist der Support relativ zur Größe der Datenbank, ssssssss(xx, DD)/ DD Ein Itemset ist häufig (frequent), falls dessen relative Häufigkeit über einem bestimmten Schwellwert minfreq liegt. Alternativ kann man auch einen Schwellwert minsupp bzgl. des Supports betrachten. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 5
6 Beispiel TID Brot Milch Windeln Bier Eier Itemset {Brot, Milch} hat Support 3 und relative Häufigkeit 3/5 Itemset {Brot, Milch, Eier} hat Support und relative Häufigkeit 0. Für minfreq = 1/2 haben wir die folgenden frequent itemsets: {Brot}, {Milch}, {Windeln}, {Bier}, {Brot, Milch}, {Brot, Windeln}, {Milch, Windeln} und {Windeln, Bier}. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 6
7 Assoziationsregeln und Konfidenz Eine Assoziationsregel ist eine Regel der Form XX YY, wobei XX und YY disjunkte Itemsets sind (d.h. XX YY = ) Idee: Eine Transaktion, die Itemset XX enthält, enthält (vermutlich) auch Itemset YY Der Support einer Regel XX YY in Datenbank DD ist ssssssss XX YY, DD = ssssssss XX YY, DD Die Konfidenz der Regel XX YY in Datenbank DD ist ssssssss XX YY, DD cccccccc XX YY, DD = ssssssss XX, DD Mit anderen Worten: Die Konfidenz ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Transaktion Y enthält, wenn sie X enthält. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 7
8 Beispiel TID Brot Milch Windeln Bier Eier {BBBBBBBB, MMMMMMMMM} {WWWWWWWWWWWWWW} hat Support 2 und Konfidenz 2/3 {WWWWWWWWWWWWWW} {BBBBBBBB, MMMMMMMMM} hat Support 2 und Konfidenz 1/2 {EEEEEEEE} {BBBBBBBB, WWWWWWWWWWWWWW, BBBBBBBB} hat Support 1 und Konfidenz 1 IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 8
9 Mögliche Itemset Was sind mögliche Itemset? Hier alle Itemsets, für die Items {a,b,c,d,e} in der Darstellung als Verband (Lattice). / a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 9
10 Ein naiver Algorithms Betrachte jedes mögliche Itemset und teste ob es häufig ist. Wie berechnet man den Support? Zähle für jedes Itemset in welchen Transaktionen es enthalten ist Berechnen des Support dauert OO( II DD ) und es gibt 2 O mögliche Itemsets, also im Worstcase: OO( II DD 2 O ) IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 10
11 Das Apriori-Prinzip Falls ein Itemset häufig ist, so sind alle Teilmengen ebenfalls häufig. Beispiel: Ist {c,d,e} häufig, so sind auch {c}, {d}, {e}, {c,d}, {c,e} und {d,e} häufig. / a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 11
12 Das Apriori-Prinzip Umgekehrt: falls {a,b} nicht häufig ist (Englisch: infrequent), so sind auch alle Supermengen von {a,b} / nicht häufig. a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde abcd abce abde acde bcde abcde IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 12
13 Anti-Monotonie Sei II eine Menge von Items und sei JJ = 2 II die Potenzmenge von II. Ein Maß ff ist monoton (oder aufwärts geschlossen) falls XX, YY JJ XX YY ff XX ff YY Im Gegensatz, ff ist anti-monoton (oder abwärts geschlossen) falls XX, YY JJ XX YY ff YY ff XX Ist Support monoton oder anti-monoton? Support ist anti-monoton: Für Itemsets XX und YY mit XX YY gilt ssssssss XX ssssssss YY. D.h. wenn XX nicht häufig ist (infrequent), dann sind auch alle Obermengen von X nicht häufig. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 13
14 Beispiel Minimum Support Schwellwert = 3 Rot markierte Itemsets sind unter Schwellwert und werden eliminiert. Kandidaten 1-Itemsets Item Count Bier 3 Brot 4 Cola 2 Windeln 4 Eier 2 Milch 4 Kandidaten 2-Itemsets Itemset Count {Bier, Brot} 2 {Bier, Windeln} 3 {Bier, Milch} 2 {Brot, Windeln} 3 {Brot, Milch} 3 {Windeln, Milch} 4 Kandidaten 3-Itemsets Itemset {Brot, Windeln, Milch} Count 3 IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 14
15 Der Apriori-Algorithms Der Apriori-Algorithmus benutzt die Anti-Monotonie des Support-Maßes, um die Menge an zu betrachtenden Itemsets einzuschränken. Apriori generiert niemals ein Kandidaten-Itemset, das nicht-häufige Teilmengen besitzt. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 15
16 n n Der Apriori-Algorithmus: Pseudocode /* Notation: mit σσ bezeichnen wir den Support eines Itemsets */ 1. kk = 1 2. FF Z = {ii ii II σσ({ii}) mmmmmmmmmmmmmm} /*Häufige 1-Itemsets*/ 3. repeat 4. kk = kk CC Z = apriori-gen(ff Zhi ) /*generiere Kandidaten*/ 6. for each transaction tt TT do 7. CC k = ssssssssssss(cc Z, tt) /*Betrachte Kandidaten die in TA*/ 8. for each candidate itemset cc CC k do 9. σσ(cc) = σσ(cc) + 1 /*Erhöhe Support-Zähler*/ 10. end for 11. end for 12. FF Z = {cc cc CC Z σσ(cc) mmmmmmmmmmmmmm} /*Finde häufige Itemsets*/ 13. until FF Z = 14. Result = FF Z IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 16
17 Der Apriori-Algorithmus: Pseudocode (2) CC Z ist die Menge der kk-itemsets FF Z ist die Menge der häufigen kk-itemsets Zuerst wird ein Mal über die Daten gelaufen, um den Support jedes einzelnen Items zu finden (Schritt 2). Dann kennen wir also FF i. Danach werden iterativ neue Kandidaten-kk-Itemset berechnet, basierend auf den häufigen (kk 1)-Itemsets (Schritt 5). Die Methode dafür nennt man aaaaaaaaaaaaaa gggggg(...) Nun wird für jedes Kandidaten-Itemset der Support berechnet, indem ein Mal über die Daten (Transaktionen) gelaufen wird (Schritt 6-10). Anschließend werden nicht-häufige Itemsets entfernt (Schritt 12). Der Algorithmus terminiert sobald FF Z = (Schritt 13). IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 17
18 Generierung und Eliminierung von Kandidaten 1. Generierung von Kandidaten Generiert kk-itemsets (d.h. Itemsets der Länge kk) basierend auf den Itemsets der vorherigen Iteration(en). 2. Eliminierung von Kandidaten Finde und eliminiere unnütze Kandidaten - kk -Itemsets. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 18
19 Generierung von Kandidaten: Ziele Ziele: Vollständigkeit: Es müssen alle häufigen k-itemsets erzeugt werden. Effizienz: Es sollte vermieden werden, unnütze Itemsets zu erzeugen, d.h. solche die ein nicht-häufiges Itemset enthalten. Ebenso sollten Itemsets nicht mehrfach generiert werden. Erfüllen die nachfolgenden Ansätze diese Ziele? IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 19
20 Generierung von Kandidaten: Brute-Force Ansatz Schritt 1: Generiere alle Kandidaten. Dies sind r Z verschiedene Items. viele für dd Schritt 2: Dann entferne die nicht-häufigen Itemsets. Verbesserte Variante: Betrachte nur die Items aus FF i IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 20
21 Generierung von Kandidaten: FF Zhi FF i Verknüpfe die häufigen (kk 1)-Itemsets mit häufigen Items. Dann entferne die nicht häufigen resultierenden Itemsets. Verbesserung: Erlaube nur Ergänzung durch 1-Itemset, wenn dies lexikographisch größer als Items des (k-1)-itemsets ist. Itemset Kandidaten 2-Itemsets {Bier, Windeln} {Brot, Windeln} {Brot, Milch} {Windeln, Milch} Itemset {Bier} {Brot} {Windeln} {Milch} Häufige 1-Itemsets Generierung von Kandidaten Itemset {Bier, Windeln, Brot} {Bier, Windeln, Milch} {Brot, Windeln, Milch} {Brot, Milch, Bier} Eliminierung nicht-häufiger Kandidaten Itemset {Brot, Windeln, Milch} IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 21
22 Generierung von Kandidaten: FF Zhi FF Zhi Verknüpfe die häufigen (kk 1)-Itemsets falls diese in den ersten (k-2) Items übereinstimmen. Betrachte lexikographische Sortierung der Itemsets. D.h., AA = aa i, aa v, aa Zhi und BB = bb i, bb v, bb Zhi können kombiniert werden, falls aa x = bb x (für ii = 1, 2,, kk 2) und aa Zhi bb Zhi Itemset {Bier, Windeln} {Brot, Windeln} {Brot, Milch} {Windeln, Milch} Itemset {Bier, Windeln} {Brot, Windeln} {Brot, Milch} {Windeln, Milch} Häufige 2-Itemsets Generierung von Kandidaten Häufige 2-Itemsets Itemset {Brot, Windeln, Milch} Eliminierung nicht-häufiger Kandidaten Itemset {Brot, Windeln, Milch} IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 22
23 Assoziationsregeln (Association Rules) Basierend auf den häufigen Itemsets können wir nun Assoziationsregeln generieren. Falls ZZ ein häufiges Itemset ist und XX ZZ ist eine echte Teilmenge von ZZ, dann haben wir eine Regel XX YY, mit YY = ZZ\XX. Diese Regeln sind häufig da ssssssss(xx YY) = ssssssss(xx YY ) = ssssssss(zz) IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 23
24 Assoziationsregeln: Konfidenz Für eine Regel XX YY betrachten wir die Konfidenz, die wie folgt definiert ist ssssssss XX YY cccccccc XX YY = ssssssss XX Eine Regel XX YY mit cccccccc(xx YY) mmmmmmmmmmmmmm wird als confident bezeichnet. Ist eine Regel XX ZZ XX nicht confident, so kann keine Regel WW ZZ WW mit WW XX confident sein. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 24
25 Assoziationsregeln: Berechnung Input: Menge F von häufigen Itemsets, minconf Schwellwert. 1. foreach ZZ FF mit ZZ 2 do 2. AA = XX XX ZZ, XX } 3. while AA do 4. XX = größtes Itemset aus AA 5. AA = AA XX 6. cc = supp(zz)/supp(xx) /* Berechnung Konfidenz */ 7. if cc mmmmmmmmmmmmmm then 8. print XX YY, supp(zz), cc /* Ausgabe, wobei YY = ZZ XX */ 9. else 10. AA = AA {WW WW XX} 11. end 12. end 13. end IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 25
26 Beispiel: Daten Wir haben folgende Transaktionen 1. {Brot, Milch}, 2. {Brot, Windeln, Bier, Eier}, 3. {Milch, Windeln, Bier}, 4. {Brot, Milch, Windeln, Bier} 5. {Brot, Milch, Windeln} Mit minfreq=0.05 haben wir die folgenden häufigen Itemsets: {Brot}, {Milch}, {Windeln}, {Bier}, {Brot, Milch}, {Brot, Windeln}, {Brot, Bier}, {Milch, Windeln}, {Milch, Bier}, {Windeln, Bier}, {Brot, Milch, Windeln}, {Brot, Windeln, Bier}, {Milch, Windeln, Bier} Notation: Auf der folgenden Folie ist AA (x) die Menge AA in Iteration ii IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 26
27 Beispiel minfreq = 0.05, minconf = 0.5 und für Z={Milch, Windeln, Bier} AA (~) = {{Milch}, {Windeln}, {Bier}, {Milch, Windeln}, {Milch, Bier}, {Windeln, Bier}} XX = {Windeln, Bier} Ausgabe: {Windeln, Bier} {Milch} AA (i) = {{Milch}, {Windeln}, {Bier}, {Milch, Windeln}, {Milch, Bier}} XX = {Milch, Bier} Ausgabe: {Milch, Bier} {Windeln} AA (v) = {{Milch}, {Windeln}, {Bier}, {Milch, Windeln}} XX = {Milch, Windeln} Ausgabe: {Milch, Windeln} {Bier} AA () = {{Milch}, {Windeln}, {Bier}} XX = {Milch} Ausgabe: {Milch} {Windeln, Bier} AA (Ä) = {{Windeln}, {Bier}} XX = {Windeln} Ausgabe: {Windeln} {Milch, Bier} AA (Å) = {{Bier}} XX = {Bier} Ausgabe: {Bier} {Milch, Windeln} IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 27
28 Zusammenfassung Itemsetmining Warenkorbanalyse ist klassisches Beispiel für Data-Mining Dabei werden Transaktionen bestehend aus Items auf häufig zusammen auftretende Items sowie nach Assoziationsregeln der Form Wer Brot kauf kauft auch Bier durchsucht. Apriori-Algorithmus generiert Itemsets bottom-up basierend auf häufigen Itemsets kleinerer Länge. Dies funktioniert aufgrund der Anti-Monotonie des Supports. Assoziationsregeln werden basierend auf häufigen Itemsets berechnet. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 28
29 Clustering Gegeben eine Menge von Objekten. Ziel: Finden eines guten Clusterings (Gruppierung) der Objekte anhand ihrer Eigenschaften. Hier, anhand ihrer 3D Koordinaten. Abbildung nach Tan, Steinbach, Kumar IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 29
30 Das Clustering-Problem (2) Gegeben eine Menge UU von Objekten und eine Distanzfunktion dd: UU UU R Ö Gruppiere Objekte aus UU in Cluster (Teilmengen), so dass die Distanz zwischen den Punkten eines Clusters klein ist und die Distanz zwischen den einzelnen Clustern groß ist. Intra-cluster Distanzen minimiert Inter-cluster Distanzen maximiert Abbildung nach Tan, Steinbach, Kumar IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 30
31 n n n Partitionen und Prototypen Wir betrachten hier exklusives Clustering, d.h. ein Objekt ist genau einem Cluster zugeordnet: Die Menge UU ist partitioniert in kk Cluster CC i, CC v,, CC Z mit Ü CC x x = UU und CC x CC â = für ii jj Jedes Cluster CC x wird von einem sogenannten Prototypen μμ x repräsentiert (aka. Schwerpunkt/Centroid oder Mitte/Durchschnitt) Dieser Prototyp μμ x muss nicht notwendigerweise eines der Objekte aus CC x sein Die Qualität des Clusterings wird dann in der Regel berechnet als der quadratische Fehler zwischen den Objekten eines Clusters und dem Prototypen eines Clusters (hier für dd-dimensionale Daten): Z v é é xx â μμ x v xîi ê ë í ì Z r = é é é xx âï μμ xï v xîi ê ë í ì ïîi IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 31
32 Clustering nicht (immer) eindeutig Wie viele Cluster? Sechs Cluster Zwei Clusters Vier Cluster Abbildung nach Tan, Steinbach, Kumar IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 32
33 Ein Naiver (Brute-Force) Ansatz 1. Generiere alle möglichen Clusterings, eins nach dem anderen 2. Berechne den quadratischen Fehler 3. Wähle das Cluster mit dem kleinsten Fehler aus Dieser Ansatz ist leider unbrauchbar: Es gibt viel zu viele mögliche Clusterings, die ausprobiert werden müssen. Es gibt kk nn Möglichkeiten kk Cluster zu erzeugen bei nn Objekten. Davon können einige Cluster leer sein. Also für 50 Objekte und 3 Cluster gibt es 3 50 = Möglichkeiten. Die Anzahl der Möglichkeiten diese nn Punkte in kk nicht leere Cluster aufzuteilen ist die Stirling-Zahl der zweiten Art. SS(50, 3) = Nur zur Info, hier die Definition der Stirling-Zahl der zweiten Art: SS nn, kk = nn kk = 1 kk! é( 1)â kk jj Z âî~ (kk jj) ù IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 33
34 K-Means Clustering Jedes Cluster wird durch einen Mittelpunkt (Centroid) repräsentiert Ein Objekt wird dem Centroid mit der geringsten Distanz zugewiesen Es gibt kk Cluster. kk ist ein Parameter. Algorithmus: 1. Wähle zufällig kk Objekte als initiale Centroids aus. 2. repeat 3. Ordne Objekte dem jeweils nächstgelegenen Centroid zu 4. Berechne für jedes Cluster den neuen Centroid. 5. until die Centroide ändern sich nicht mehr IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 34
35 K-Means: Beispiel Wähle zufällig kk = 4 Centroide aus und ordne Objekte zu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 35
36 K-Means: Beispiel Berechne Centroid jedes Clusters neu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 36
37 K-Means: Beispiel Ordne Objekte neu zu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 37
38 K-Means: Beispiel Berechne Centroid jedes Clusters neu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 38
39 K-Means: Beispiel Ordne Objekte neu zu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 39
40 K-Means: Beispiel Berechne Centroid jedes Clusters neu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 40
41 K-Means: Beispiel Ordne Objekte neu zu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 41
42 K-Means: Beispiel Berechne Centroid jedes Clusters neu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 42
43 K-Means: Beispiel Ordne Objekte neu zu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 43
44 K-Means: Beispiel Berechne Centroid jedes Clusters neu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 44
45 K-Means: Beispiel Ordne Objekte neu zu IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 45
46 K-Means: Beispiel Berechne Centroid jedes Clusters neu: Hat sich nichts geändert! IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 46
47 K-Means-Clustering Die initialen Centroids werden normalerweise zufällig ausgewählt. Dadurch können verschiedene Durchläufe auf den gleichen Daten unterschiedliche Cluster erzeugen. Als Centroid benutzt man typischerweise den Mittelwert (Mean) der Objekte eines Clusters. Als Distanzmaß wird z.b. die Euklidische Distanz benutzt. Der K-Means-Algorithmus konvergiert In den ersten Iterationen sind die Änderungen des Clusterings am deutlichsten Abbruchkriterium auch: Bis nur noch sehr wenige Objekte das Cluster wechseln Komplexität ist OO(nn kk II dd). nn = Anzahl Objekte, kk =Anzahl Cluster, II=Anzahl Iterationen, dd =Dimensionalität der Daten. IS 2017 Kapitel 15 - Data Mining 47
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