LR-Zerlegung. N = size(a,1); for n=1:n-1 A(n+1:N,n) = A(n+1:N,n)/A(n,n); A(n+1:N,n+1:N) = A(n+1:N,n+1:N) - A(n+1:N,n) * A(n,n+1:N); end;

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Calvin Waldfogel
vor 6 Jahren
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1 LR-Zerlegung N = size(a,1); for n=1:n-1 A(n+1:N,n) = A(n+1:N,n)/A(n,n); A(n+1:N,n+1:N) = A(n+1:N,n+1:N) - A(n+1:N,n) * A(n,n+1:N); x = b; for n=2:n x(n) = x(n) - A(n,1:n-1) * x(1:n-1); for n=n:-1:1 x(n) = (x(n) - A(n,n+1:N)*x(n+1:N))/A(n,n); 32

2 LR-Zerlegung (ohne Vektorisierung) N = size(a,1); for n=1:n-1 % Berechnung der n-ten Spalte von L for m=n+1:n A(m,n) = A(m,n)/A(n,n); % keine Berechnung der n-ten Zeile von R erforderlich % Berechnung der Restmatrix for m=n+1:n for k=n+1:n A(m,k) = A(m,k) - A(m,n) * A(n,k); 33

3 LR-Zerlegung mit Pivotsuche N = size(a,1); p = (1:N) ; for n = 1:N-1 [r,m] = max(abs(a(n:n,n))); m = m+n-1; if abs(a(m,n))<eps error( *** ERROR *** LR-Zerlegung existiert nicht ); if (m ~= n) A([n m],:) = A([m n],:); p([n m]) = p([m n]); A(n+1:N,n) = A(n+1:N,n)/A(n,n); A(n+1:N,n+1:N) = A(n+1:N,n+1:N) - A(n+1:N,n)*A(n,n+1:N); x = b(p); for n=2:n x(n) = x(n) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1); for n=n:-1:1 x(n) = (x(n) - A(n,n+1:N)*x(n+1:N))/A(n,n); 34

4 Cholesky-Zerlegung N = size(a,1); for n=1:n A(n:N,n) = A(n:N,n) - A(n:N,1:n-1) * A(n,1:n-1) ; A(n:N,n) = A(n:N,n) / sqrt(a(n,n)); x = b; for n=1:n x(n) = (x(n) - A(n,1:n-1) * x(1:n-1))/ A(n,n); for n=n:-1:1 x(n) = (x(n) - A(n+1:N,n) * x(n+1:n))/ A(n,n); 35

5 LDL-Zerlegung (Cholesky-Variante ohne Wurzeln) N = size(a,1); for n=1:n v = A(n,1:n-1) ; for m=1:n-1 v(m) = v(m) * A(m,m); A(n,n) = A(n,n) - A(n,1:n-1) * v; A(n+1:N,n) = (A(n+1:N,n) - A(n+1:N,1:n-1) * v) / A(n,n); x = b; for n=1:n x(n) = x(n) - A(n,1:n-1) * x(1:n-1); for n=1:n x(n) = x(n) / A(n,n); for n=n:-1:1 x(n) = x(n) - A(n+1:N,n) * x(n+1:n); 36

6 Cholesky-Zerlegung (ohne Vektorisierung) N = size(a,1); for n = 1:N for k = 1:n-1 A(n,n) = A(n,n) - A(n,k)^2; A(n,n) = sqrt(a(n,n)); for m = n+1:n for k = 1:n-1 A(m,n) = A(m,n) - A(m,k) * A(n,k); A(m,n) = A(m,n) / A(n,n); 37

7 Berechnung der Householder-Vektoren function [v,beta] = householder(y) N = length(y); s = y(2:n) * y(2:n); if N == 1 s = 0; v = [1;y(2:N)]; if s == 0 beta = 0; else mu = sqrt(y(1)^2 + s); if y(1) <= 0 v(1) = y(1) - mu; else v(1) = -s/(y(1) + mu); beta = 2*v(1)^2/(s + v(1)^2); v = v / v(1); return; 38

8 QR-Zerlegung [M,N] = size(a); for m = 1:min(N,M-1) [v,beta] = householder(a(m:m,m)); if beta ~= 0 w = beta * v * A(m:M,m:N); A(m:M,m:N) = A(m:M,m:N) - v * w; A(m+1:M,m) = v(2:m-m+1); for m = 1:min(N,M-1) v = [1;A(m+1:M,m)]; beta = 2 / (v * v); if beta ~= 2 b(m:m) = b(m:m) - beta*(v *b(m:m)) * v; for n=min(n,m):-1:1 x(n) = (b(n) - A(n,n+1:N) * x(n+1:n)) / A(n,n); 39

9 Hessenberg-Transformation N = size(a,1); for n = 1:N-2 [v,beta] = householder(a(n+1:n,n)); if beta ~= 0 w = beta * A(:,n+1:N) * v; A(:,n+1:N) = A(:,n+1:N) - w * v ; w = beta * v * A(n+1:N,n:N); A(n+1:N,n:N) = A(n+1:N,n:N) - v * w; A(n+2:N,n) = v(2:n-n); Q = eye(n); for n = 1:N-2 v = [1;A(n+2:N,n)]; beta = 2 / (v * v); if beta ~= 2 w = beta * v * Q(n+1:N,:); Q(n+1:N,:) = Q(n+1:N,:) - v * w; 40

10 Berechnung der Givens-Parameter function [c,s] = givens_param (a,b) if b == 0.0 c = 1.0; s = 0.0; else if abs(b) > abs(a) t = -a/b; s = 1/sqrt(1+t^2); c = s*t; else t = -b/a; c = 1/sqrt(1+t^2); s = c*t; return; 41

11 Berechnung der Transformation mit einer Givensrotation function A = givens_trafo (A,G,k) N = size(a,1); if k>1 && k<n-1 && N>=3 ind = k-1:k+2; elseif k==n-1 && N>=3 ind = N-2:N; elseif k==1 && N>=3 ind = 1:3; elseif N == 2 ind = 1:2; A([k k+1],ind) = G *A([k k+1],ind); A(ind,[k k+1]) = A(ind,[k k+1])*g; return; 42

12 Symmetrischer impliziter QR-Algorithmus mit Shift N = size(a,1); H = hessenberg(a); while 1 h00 = H(N-1,N-1); h10 = H(N,N-1); h11 = H(N,N); % Reduktions- und Abbruchkriterium if (abs(h10) < tol*abs(h11+h00)), N = N-1; if N < 2, break; % Bestimmung des Wilkinson-Shifts d = (h00 - h11)/2; if d ~= 0, mu = h11 + d - sign(d)*sqrt(d^2+h10^2); else, mu = h11 - h10; a = H(1,1) - mu; b = H(2,1); % Impliziter QR-Schritt for k = 1:N-1 [c,s] = givens_param(a,b); H = givens_trafo(h,[c,s;-s,c],k); if k<n-1, a = H(k+1,k); b = H(k+2,k); lambda = diag(h); 43

13 Das Neville-Schema Berechnung der Koeffizienten function f = coeff(t,f) N = length(t); for k=1:n-1 for n=n:(-1):k+1 if t(n) ~= t(n-k) f(n) = (f(n) - f(n-1)) / (t(n) - t(n-k)); return function y = eval_newton(t,b,x) N = length(t); y = b(1); p = 1; for n=2:n p = p * (x - t(n-1)); y = y + b(n) * p; return 44

14 Das Neville-Schema Auswertung des Interpolationspolynoms function y = eval_neville(t,f,x) N = length(t); for k=1:n-1 for n=n:(-1):k+1 if t(n) ~= t(n-k) f(n) = ((x-t(n-k))*f(n)+(t(n)-x)*f(n-1)) / (t(n)-t(n-k)); y = f(n); return 45

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