Wirtschaftsmathematik

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1 Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung Klausur-Knz WI-WMT-S1 543 Datum 345 Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw Teilaufgabe sich diese bezieht Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen Unleserliches wird nicht bewertet Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet Hilfsmittel : Bearbeitungszeit: 9 Minuten HFH-Taschenrechner Anzahl Aufgaben: Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: Vorläufiges Bewertungsschema: Viel Erfolg! Punktzahl Ergebnis von bis einschl 5 1 bestanden 49,5 nicht bestanden Klausuraufgaben, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S1 543

2 Klausuraufgaben, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen Aufgabe 1 16 Punkte Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ( + 1) ( ) im Bereich der reellen Zahlen Aufgabe Punkte Bestimmen Sie eine Stammfunktion von + 1 ln 1 und fassen Sie den erhaltenen Funktionsterm so weit wie möglich zusammen Hinweis: Wenden Sie die Ihnen bekannten Logarithmengesetze in geeigneter Weise an Die ermittelte Stammfunktion sollte wenn möglich nur einen Logarithmus-Term enthalten Aufgabe 3 Punkte Gegeben ist die Funktion y + 31 Untersuchen Sie die Funktion f () auf Symmetrie 6 Pkte 3 Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die vom Graphen der Funktion f () und der -Achse im Bereich eingeschlossen wird 14 Pkte Aufgabe 4 18 Punkte Gegeben ist die Funktion y e Bestimmen Sie Nullstellen und Etremwerte dieser Funktion WI-WMT-S1 543 Seite 1/

3 Klausuraufgaben, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen Aufgabe 5 1 Punkte Gegeben ist eine Parabel mit der Funktionsgleichung Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion im Punkt P ( 1, f (1)) Aufgabe 6 14 Punkte Ein Fabrikgebäude (Anschaffungswert R 8, ) soll degressiv abgeschrieben werden Bei der degressiven Abschreibung wird der von Jahr zu Jahr abnehmenden Wertminderung dadurch Rechnung getragen, dass über die gesamte Laufzeit ein (festgelegter konstanter) Prozentsatz p von dem jeweiligen aktuellen Buchwert abgeschrieben wird Der Restbuchwert R am Ende eines Jahres n ergibt sich wie folgt: p p Rn Rn 1 Rn 1 Rn 1 1, wobei n 1,, 3, Die Größen R, R1,, R, können als Glieder einer Zahlenfolge aufgefasst werden n Um welche Art einer Zahlenfolge handelt es sich dabei? 6 Der jährliche Abschreibungssatz für das o g Fabrikgebäude betrage p % Berechnen Sie die Restbuchwerte am Ende des 3 Jahres und am Ende des 3 Jahres (jeweils gerundet auf volle Euro) n Pkte 6 Pkte Zum Vergleich soll nun lineare Abschreibung vorausgesetzt werden (vgl Formelsammlung, Abschnitt 6 Folgen und Reihen ) 63 Wie hoch ist der Restbuchwert am Ende des 3 Jahres und am Ende des 3 Jahres, wenn die Abschreibung linear bei einer Nutzungsdauer von N 5 Jahren erfolgt? 6 Pkte WI-WMT-S1 543 Seite /

4 Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 345 Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S1 543 Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste) ein Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen: Punktzahl Ergebnis von bis einschl 5 1 bestanden 49,5 nicht bestanden Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 18 Mai 5 in Ihrem Studienzentrum ein Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel 4 / bzw birgithupe@hamburger-fhde) Korrekturrichtlinie, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S1 543

5 Korrekturrichtlinie, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen Lösung 1 vgl SB 1, Kap 136 und Punkte Definitionsbereich: D R \{, } ( Pkte) 3 7 mit dem Hauptnenner ( ) multiplizieren + ( + 1) ( ) 3 + ( + 1) ( ) (7 ) zusammenfassen 3 + ( ) ausklammern von ( + 6) Daraus folgt oder ( + 6) liegt nicht im Definitionsbereich der Gleichung, daher ist keine Lösung Lösung der quadratischen Gleichung ( + 6) : (3 Pkte) 1, ± + 6 ± ± 4 4 Daraus folgt 1 und 3 ( Pkte) 1 liegt nicht im Definitionsbereich der Gleichung, daher ist 1 keine Lösung Damit ergibt sich die Lösungsmenge { 3} L Lösung vgl SB 1, Kap 138; SB 7, Kap 1 und 4 Punkte ln + 1 ln( + 1) ln( 1) ln ln( + 1) 1 Substitution z ln( + 1) ln z ln( 1) z ln z z + C (Formelsammlung 3, S 34) ( + 1) ln( + 1) ( + 1) + C (Rücksubstitution) WI-WMT-S1 543 Seite 1/5

6 Korrekturrichtlinie, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen Substitution z 1 1 ln( 1) ln z z ln z z + C (Formelsammlung 3, S 34) ( 1) ln( 1) ( 1) + C (Rücksubstitution) Zusammenfassen ergibt: + 1 ln ( + 1) ln( + 1) ( + 1) ) 1 {( 1) ln( 1) ( 1 } + C ( Pkte) ( + 1) ln( + 1) ( + 1) ( 1) ln( 1) + ( 1) + C ( + 1) ln( + 1) ( 1) ln( 1) + C ln( + 1) ln( 1) ( Pkte) ( + 1) ln ( 1) ( Pkte) Da eine Stammfunktion zu bestimmen war, wird der Einfachheit halber C angenommen Lösung 3 vgl SB 4, Kap 3; SB 7, Kap 4 und 411 Punkte 31 Es ist der Funktionswert f ( ) zu betrachten Eine Funktion ist gerade, falls f ( ) für alle aus dem Definitionsbereich (Formelsammlung 16) Eine Funktion ist ungerade, falls f ( ) für alle aus dem Definitionsbereich (Formelsammlung 16) ( ) f ( ) ( ) + + (3 Pkte) Damit ist die Funktion f () ungerade (zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung) 3 Die Funktion f () hat genau eine Nullstelle bei Damit berechnet sich die Fläche wie folgt: A + ( Pkte) WI-WMT-S1 543 Seite /5

7 Korrekturrichtlinie, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen Wegen der Punktsymmetrie kann die Fläche auch wie folgt bestimmt werden: A Bestimmung einer Stammfunktion mittels Substitution z ( Pkte) + z z 1 ln z (Formelsammlung 3) Bestimmung der Fläche: 1 ln + (Rücksubstitution) 1 A ln + ln(4 + ) ln (3 Pkte) 6 ln 6 ln ln ln 3 ( Pkte) Das gleiche Ergebnis erhält man bei getrennter Berechnung der Einzelflächen A + Lösung 4 vgl SB 5, Kap Punkte Nullstellen: Aus e folgt oder e (entfällt, da e > für alle ) ( Pkte) Damit ist Nullstelle der Funktion f () WI-WMT-S1 543 Seite 3/5

8 Korrekturrichtlinie, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen Etremwerte: Notwendige Bedingung ist f ( ), hinreichende Bedingung ist f ( ) und f ( ) Bestimmung der ersten Ableitung (Anwendung der Produktregel und Kettenregel): e g( ) g ( ) h( ) e h ( ) e f ( ) e e ( ) e ( Pkte) Bestimmung der zweiten Ableitung (Anwendung der Produktregel und Kettenregel): f ( ) ( ) e g( ) ( ) g ( ) h( ) e h ( ) e f ( ) ( ) e ( ) e ( 4 + ) e ( Pkte) Notwendige Bedingung: ( ) e ( ) ( ) ( Pkte) ( ) für 1 oder Überprüfung der hinreichenden Bedingung: ( 1 ) f f () e >, damit liegt in P (, ) ein lokales Minimum vor ( ) f f () ( 8 + 4) e e <, damit liegt im Punkt P (, 4e ) ein lokales Maimum vor Lösung 5 vgl SB 4, Kap 31; SB 5, Kap 1 1 Punkte Der Anstieg der Tangente an den Graph der Funktion f () im Punkt P (, f ( )) entspricht dem Wert der ersten Ableitung f ( ) an der Stelle (vgl Formelsammlung 181) (3 Pkte) Bestimmung der ersten Ableitung: f ( ) + 3 Mit 1 folgt f ( ) f (1) Der Anstieg der Tangente im Punkt P ( 1, f (1)) beträgt damit m 5 Die Tangente hat mit dem Graphen der Funktion f () den Berührungspunkt P( 1, f (1)) gemeinsam: ( Pkte) f (1) WI-WMT-S1 543 Seite 4/5

9 Korrekturrichtlinie, Studienleistung 4/5, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen Anwendung der Punktsteigungsform zur Bestimmung der Tangentengleichung (Formelsammlung 165): y m + ( y m ) Mit m 5, 1 und y f ( ) 5 ergibt sich y 5 + (5 5 1) 5 ( Pkte) Die gesuchte Tangentengleichung lautet damit y 5 Lösung 6 vgl SB 1; Kap 14 Punkte 61 Es handelt sich um eine geometrische Zahlenfolge, da der Quotient q zwischen zwei Gliedern der Zahlenfolge gleich ist: R R n n p (1 ) q 1 1 ( n 1,, 3, ) ( Pkte) 6 R 8, p q 1 1, R3 R q R1 q q R q q q R q 3 R Analog ergibt sich für R 3 : 3 3 R 3 R q 8, ( Pkte) 63 Für die lineare Abschreibung gilt (Formelsammlung 6): R R n R n N R 8 Mit N 5 und d 5 6 ergibt sich: N 5 R 3 R (3 d) ( Pkte) R 3 R (3 d) ( Pkte) WI-WMT-S1 543 Seite 5/5