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1 Inhaltsverzeichnis Einführung... 2 Die Geschichte des Papierfaltens... 4 Ursprung und Verbreitung im Laufe der Jahrtausenden... 4 Weg zum modernen Origami... 5 Einführung in die Theorie des Origamis: Erläuterung unterschiedlicher Werkzeuge 6 Allgemeine Grundprinzipien... 6 Mittel des Origamis: die Falten... 6 Die Grundformen Einige Grundprinzipien des Origamis nach Robert J. Lang Teilungsprinzip Kreisverpackung Praktisches Beispiel Kristallisation Spaltung einer Spitze Grafting Verfeinerung Einführung zu den Origami Tessellationen nach Eric Gjerde Zick-Zack-Faltungen, Formen und Rückseite; die Basis Entwicklung einzelner Formen Entwicklung von Tessellationen Anwendung dieser abstrakten Kunst für ein konkretes Beispiel Texturen Das Material: das Papier Seine Haupteigenschaften Seine Herstellung Verschiedene Formen einer gemeinsamen Idee Origami als Darstellung einer Realität Origami als abstrakte Kunst Wissenschaftliche Verwendungen Einflüsse in anderen Bereichen Fazit Linken Seite 1

2 Einführung In der Epoche der s, des Internets und des I-pads hat ein altes Blatt Papier immer mehr Schwierigkeiten, sich durchzusetzen... Heute spricht man eher von Waldzerstörung und von elektronischen Büchern. Vielleicht lesen Sie sogar diese Zeilen auf einem Komputer. In einer Welt, die immer mehr auf das Praktische, das Schnellste, kurz das Rationalste ausgerichtet ist - wer nimmt sich die Zeit, ein Blatt Papier in seinen Händen spielen zu lassen? Wer schätzt das noch? Ich glaube eigentlich, dass viele schon einmal mit der Eisenbahnkarte vom Vortag, die noch in der Tasche geblieben ist, in seinen Händen gespielt hat und im Laufe des zufälligen Faltens so gefaltet hat, dass er dann zu seinem sich auch langweilenden Nachbarn sagen kann: Du, guck mal her, siehst du da keinen Delphin?. Ah?, würde der Angesprochene vielleicht antworten, Ich würde eher... Warte mal... Ja, genau: wenn du es so hältst sieht man ganz klar einen Vogel. Ja, da ist der Kopf, und da sind die Flügel. Vielleicht solltest du ihm übrigens einen größeren Kopf machen?. Und schon entsteht Kunst... Wir sind davon ausgegangen, dass unsere beiden Menschen offen und einfallsreich waren. Sonst hätte der Nachbar vermutlich geantwortet: Na, und? Das ist doch nur ein Ticket. Und es ist sogar nicht mehr gültig!. Kunst ist natürlich nicht Sache des Rationalismus, also nicht der Sachlichkeit (ein Ticket bleibt ein Ticket), sondern Sache der Sensibilität und der Verwunderung. Diese beide Qualitäten hatten unsere künstlerischen Protagonisten. Sie haben schon essentielle Eigenschaften, um gute Faltende zu werden. Eine andere notwendige Eigenschaft, um weit in dieser Kunst zu gehen, ist die Hartnäckigkeit, in Verbindung mit Geduld. Ein Ticket falten dauert üblicherweise nicht mehr als fünf Minuten, aber ein Elch verlangt eher vier Stunden. Ohne diese Qualitäten wäre es nie entstanden. Um Ihnen eine Vorstellung zu geben, wird dieser Elch hier gezeigt. Entwicklung:R.J.Lang;Faltung und Dann muss der Faltende mit seinen Fingern geschickt sein, sonst könnte er einige schwierige Faltungen nicht bilden. Diese Genauigkeit kommt übrigens hauptsächlich aus den gesammelten Erfahrungen. Was mich persönlich besonders bei dieser Kunst weit getrieben hat, war die ständige Herausforderung, die nächste und daher etwas kompliziertere Faltung auch hinzubekommen, auch wenn es nicht gerade schnell geht. Das Gefühl, das man bekommt, wenn man nach einer Stunde eine sehr schwierige Faltensequenz geschafft hat, ist es noch schöner, wenn man es verdient hat. Die ganze verbrachte Zeit ist nichts, im Vergleich zu dem Glück, das schöne und bisher noch nie geschaffte Modell zu bewundern. Was mich an dieser Kunst immer fasziniert hat, ist die Art, mit welcher das Papier sich langsam entwickelt. Zwischen den Händen entsteht eine Form, die langsam eine Ausdeutung gewinnt, oder deren Rhythmus immer schöner wird. Und zwar geschieht diese Metamorphose (weil es irgendwie für mich etwas Magisches behalten hat) ohne Hinzufügung oder Abnehmen von Stoff, im Gegensatz zum Maler, der Pigmente hinzufügt, oder zum Steinbildhauer, der die Form durch Abnehmen von Materie bildet. Das Blatt Papier ist am Anfang wie am Ende des künstlerischen Vorganges ein Blatt Papier; Es hat nur eine andere Form gewonnen. Seite 2

3 Es gefällt mir auch besonders gut, dass man einem einfachen Blatt Papier, das eigentlich nur ein Blatt ist, durch diese Metamorphose einen neuen Wert geben kann. Danach ist es nicht mehr ein weisses Blatt wie man tausende davon jeden Tag druckt und wegwirft, sondern ein einziges Kunstwerk. Das Blatt wurde belebt, es hat einen Atem bekommen. Diese Idee finde ich schön, weil sie nicht nur für das Papier gilt... Das geschieht natürlich nur, wenn das Modell gut geschaffen wurde; genauso wie der Photograph die Stimmung, die Essenz eines Augenblickes fassen soll, muss der Origamist, der Entwickler einer Faltung, arbeiten, wenn er ein Modell selbst herstellt. Hat er die Eleganz des Vogels, die Kraft des Stieres, den Schwung eines Geigers mit seinem Modell erfasst? Die Antwort ist jedem frei gelassen, sie behält aber die Essenz des künstlerisches Schaffen für den Origamisten. Auch wenn er mit abstrakten Formen arbeitet; er hat hier natürlich eine andere Schönheit als Ziel, aber er muss auch eine Harmonie, einen Einklang erfassen. Damit der Künstler diese Essenz fassen kann, muss er aber auch bestimmte Regeln kennen; die Tatsache, dass gefaltete Flächen zusammenpassen, ist physikalisch sehr eng bestimmt; daher muss der Künstler, wenn er selbst ein Modell entwickeln will, diese Regeln kennen und beachten, damit er sich dann davon befreien kann, anders gesagt, damit sein künstlerisches Ziel in der Praxis ohne Hindernisse gesetzt werden kann. Es handelt sich hier also eher um Forschung als um Kunst. Die beiden gehen aber gleichzeitig fort; als die erste Fortschritt gemacht hat, hat die zweite neue Möglichkeiten gewonnen. Und zwar wird diese Forschung Hauptthema meiner Arbeit sein. Ich werde mit Ihnen Arbeiten von Robert J. Lang untersuchen, ein genialer amerikanischer Künstler, und dann werden als Gegenüberstellung abstrakte Werke von Eric Gjerde untersucht. Damit werde ich Sie in die Origami-Theorie einführen, und zwar soweit, dass wir auch praktische Modelle aus dem Nichts (außer einem Blatt Papier und mit Hilfe unserer Kenntnisse) entwickeln werden. Diese sind die Ziele, und dafür muss zwangsweise eine relativ ausführliche theoretische Erläuterung verstanden werden. Vor dieser technischen Untersuchungen steht eine kurze Geschichte dieser Kunst, um zu klären, woher diese Kunst stammt, und in welchen Formen sie in der Geschichte praktiziert wurde. Die Leitfrage meiner Arbeit wird sein: Wie kann man aus einem Blatt Papier ein Origami entwickeln?, deswegen wird die Einführung in die Theorie des Origami das Hauptkapitel meiner Arbeit sein. Dann werden das Papier und seine unterschiedlichen Eigenschaften besprochen. Origami ist eine sehr vielfältige Kunst; daher werde ich mich in dem letzten Kapitel damit beschäftigen, welche unterschiedlichen Formen das Origami als Kunst hat... oder auch nicht. Also ist Origami nicht nur eine angenehme Beschäftigung, ein kleines Spiel für Kinder. In meiner Arbeit werde ich alles Mögliche tun, um dieses Vorurteil zu widerlegen... Ich wünsche Ihnen viel Spaß und Verständnis beim Lesen. Deshalb ist es immer günstig, meine Arbeit unter Verwendung eines Blattes Papier zu lesen, d. h. Experimente, die ich zeige, möglicherweise auch selbst durchzuführen. Vielleicht wird der Faltende, der in Ihnen steckt, wach werden? Seite 3

4 Die Geschichte des Papierfaltens Ursprung und Verbreitung im Laufe der Jahrtausenden Die Entstehung dieser Kunst ist mit der Entwicklung des Papiers, das damals der einzig faltbare Stoff war, eng verbunden. Origami ist bekannt als eine uralte chinesische Kunst. Das Papier wurde in der Tat zunächst in China entwickelt; wann genau, darüber streiten noch die Historiker, aber seine Entstehung datiert aus den ersten Jahrhunderten. Das älteste gefundene Blatt Papier datiert aus einigen Jahren vor Christus. In dieser Zeit besaßen die Chinesen das Geheimnis seiner Herstellung. In China entstand eine Papierkunst, indem die Darstellung von Tieren für religiöse Zeremonien aus Papier geschnitten und gefaltet wurden. Man spricht aber noch nicht von Origami, weil das Schneiden nicht dazu gehören soll. Als das Papier den Japanern durch chinesische buddhistische Mönche beigebracht wurde, haben sie angefangen, wie ihre chinesischen Nachbarn für zeremonielle Ziele dekorative Faltungen zu schaffen; sie bestanden aber hauptsächlich aus Falten, daher entstand das erste strikte Origami. Die Japaner haben ihm im neunzehnten Jahrhundert seinen Namen gegeben: Oru bedeutet Papier und Kami falten. Das Papier blieb ein sehr teurer Stoff, der hauptsächlich für Schriften verwendet wurde und dafür ursprünglich gedacht war. Die Darstellung von Tieren, Personen und abstrakte Formen setzten sich trotzdem durch. Unter ihnen ist der japanische Vogel vielleicht der bekannteste. Der Vogel war ein heiliges Tier, und eine uralte japanische Legende lautet, dass jeder, der tausend von ihnen faltet, einen Wunsch erfüllt bekommt. Vielleicht sollten wir das einmal versuchen? Origami stand also mit dem kulturellen-mythis- chen-religiösen Bereich in enger Verbindung. Weil das Origami in der zweite Hälfte der zweiten Jahrtausend immer populärer wird, wird Japan immer eine avant-gardistische Rolle spielen. Ich zeige dazu eines der ersten Bilder über Origami, und zwar einen Holzschnitt aus 1819; er heisst A magician turns Sheets of Birds, auf Deutsch ein Zauberer verwandelt Blätter in Vögel. In einer Schlacht, während der die Araber die Chinesen besiegt hatten, wurden chinesische Soldaten gefangen. So hat sich die Gewohnheit, Papier Herzustellen, in der arabischen Gesellschaft verbreitet. Die Nützlichkeit eines solchen Stoffes wurde schnell erkannt, um den Koran zu verbreiten. In Samarkand wurde es in Mengen hergestellt. Der Methode, Papier zu herstellen, wurde von ihnen verbessert. Unabhängig davon hat sich diese Kunst auch in Nord-Afrika entwickelt. Seitdem das Papier dort schon bekannt war, ist das Papierfalten ziemlich schnell entstanden. So beobachtet man sämtliche Erfindungen von Falten in unterschiedlichen Landstrichen, die überhaupt nicht miteinander verbunden waren. Dieser Vorgang, dass ein bisschen überall, wo das Papier bekannt war, die Menschen begonnen haben, das Papier zu falten, ist teilweise erklärbar, indem das Prinzip, ein Blatt zu falten, am Anfang extrem einfach ist und keine Kenntnisse verlangt. Haben nicht alle Kinder einmal, in der Schule, ein Flugzeug, ein Boot oder einen Vogel gefaltet? Später ( ) wurde das Papier nach Europa gebracht, zunächst durch den arabischen Einfall in Spanien und dann in den Rest des Kontinentes. Mit der Entdeckung des amerikanischen Kontinentes war das Papier fast weltweit bekannt. Grundsätzlich hat jedes Volk, das das Papier kennengelernt hat, nach entsprechend seiner kulturellen Umwelt eine unterschiedliche Papierkunst entwickelt, die mehr oder weniger auf das Falten begrenzt war. Die Araber kannten das Papier, aber durften wegen des Islams keine Figuren falten; qu à cela ne tienne, die Kunst von schönen abstrakten Formen, von Kisten, Sternen und andere geometrische Motiven, entstand bei ihnen. Seite 4

5 Weg zum modernen Origami Die ersten Faltungen der Japaner wurden vom Vater zum Sohn überliefert. Das war möglich, weil solche Modelle nur aus einigen Falten bestanden. Aber, damit komplizierte Modelle veröffentlicht und weitergegeben werden können, wurde der Gebrauch von Büchern eine Notwendigkeit. Im Jahre 1797 entstand die erste bekannte Origami-Anleitung; Hiden Senbazuru Orikata, das Geheimnis des 1000 Kranich Origami, das ich abbilde. Wie Sie es vermuten können, braucht man schon viel Vorkenntnisse, um zu so einem Ergebnis zu gelangen. Entwickler:A. Yoshisawa;unbekannter Falter Entwickler:Yoshisawa; unbekannter Falter Entwickler:A.Yoshisawa; unbekannter Falter Um diese Entwicklung abzubilden, zeige ich Werke von Akira Yoshizawa; Sie zeigen einen schönen Übergang zwischen der alten japanischen einheimischen Kultur (der Pfau mit etwas Dekorative) und einer neuen, moderneren Origami (die Krabbe, Darstellung von Menschen oder kulturell unbedeutenden Tieren). Es wurde bald klar, das ein System von Symbolen, eine «Sprache» für die wirksame Verbreitung dieser Kunst notwendig war. Bei immer komplizierteren und längeren Modellen reichte es nicht mehr, zu zeigen, wie das Modell aussehen sollte. Die Entstehung eines solche Systems hat auch eine weltliche Vereinigung erlaubt, indem seine Sprache von allen Faltenden in der Welt verständlich war. Viele japanischen Falttechniken gingen verloren, weil die Adelsfamilien, die sie immer bewahrt hat, verschwanden. Durch die klare Veröffentlichung der Techniken war es leichter vermeidbar, Falttechniken zu verlieren. Akira Yoshizawa hat diese Sprache entwickelt, die noch heutzutage fast gleich verwendet wird. Durch unterschiedliche Linien werden unterschiedliche Falten gedeutet. Dieser genialer Künstler hat in den 1930-Jahren die weltliche Vereinigung der Forschung extrem gefördert, und zwar teilweise durch dieses neue System; langsam erschienen begeisterte Künstler(innen) rund um den Globus, die in dieser neuen Bewegung eine Leidenschaft gefunden haben. In dieser Kunst arbeitet natürlich jeder auch für sich selbst, aber jede Entdeckung wird durch eine gut vernetzte internationale Gemeinschaft veröffentlicht. Bisher hatte jedes Land, jedes Volk und jede Kultur, das Origami praktiziert hat, allein geforscht. Die Tatsache aber, dass sie plötzlich angefangen haben, alle zusammen zu forschen, hat dem Origami in den fünfziger Jahren einen unglaublichen Schwung gegeben: die Komplexität der Modellen wurde immer größer, und dadurch wurden die neue Möglichkeiten immer zahlreicher. Seite 5 Entwickler:A.Yoshisawa;unbekannter Falter Entwickler:A.Yoshisawa;unbekannter Falter

6 Einführung in die Theorie des Origamis: Erläuterung unterschiedlicher Werkzeuge Allgemeine Grundprinzipien Mittel des Origamis: die Falten In diesem Kapitel werde ich mich mit den Falten beschäftigen, diese Mechanismen, die erlauben, aus einem Blatt Papier beispielsweise einen Pianisten, einen Hirschen oder ein Muster zu falten. Diese Untersuchung gilt als Einführung in die Welt der Origamitheorie. Ich werde hier einige Regeln erwähnen, die dann erlauben, zu verstehen, wie die Falten sich miteinander verhalten, was mir einfach notwendig für die Entwicklung eines Modells scheint. Es gibt grundsätzlich nur zwei Falten: die Talfalte, die linke Abbildung, und die Bergfalte, die rechte Abbildung. Um eine Bergfalte zu bilden, kann man einfach das Blatt umdrehen, und dann eine Talfalte bilden. Dieser praktische Vorteil steht aber nicht immer zur Verfügung. Man geht auch davon aus, dass eine Falte immer eine Falte von 180 Grad ist, was in den zwei dimensionalen Modellen der Fall ist, was ich in diesen Abbildungen aber absichtlich nicht respektiert habe. Wenn eine Falte gefaltet und dann geglättet wird, behält das Papier noch eine Spur davon, es zeigt nach wie vor eine markierte Falte. Daher ist es gern bereit, dieselbe Falte nochmals zu übernehmen. Je komplexer die Modelle werden, umso mehr muss man das Papier so vorbereiten, damit es dann eine komplexere Sequenz gut übernimmt. Es gibt auch zusammengesetzte Falten, die aus mehrere Grundfalten bestehen. Ich gehe davon aus, das man unter «Falte» die Sequenz bezeichnet, bei der am Anfang und am Ende das Papier flach ist, jedoch in der Zwischenzeit eine Transformation des Modells erfolgt. Wir behandeln hier immer zweidimensionale Faltungen. Diese komplexeren Falten, die aus hunderten von Grundfalten bestehen können, nennen wir auch Falten. Wir nehmen gleich zwei Beispiele, bei denen die hinzugefügte Falte aus zwei Falten besteht. Als Basis nehmen wir also ein gleichschenkliches rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkelhalbierende als Talfalte. Eine kleine Bemerkung dazu: nach solchen Faltungen zeige ich das CP dieses Vorganges, das heisst crease pattern, also das geglättete Blatt mit allen markierten Falten. Die gelben Linien stellen die Talfalten dar und die blauen die Bergfalten. Die Faltung wird mit ihren unterschiedlichen Schritten gezeigt. Um diese Faltungen selbst auszuprobieren müssen Sie zuerst den Winkelhalbierenden falten, und dann einfach eine hinzugefügte Falten so bilden, dass Sie das Ergebnis des ersten Beispieles erreichen. Falen Sie dann aus, und merken Sie, wie ihre Falten mit dem CP übereinstimmen! Um das Ergebnis des zweiten Beispieles zu erreichen müssen Sie danach das Ganze so falten, dass Sie die entsprechenden Richtungen der Falten aufgrunds der markierten Falten formen, sowie es im zweiten CP abgebildet wurde. Dazu soll Ihnen die zweite Abgebildete Etappe helfen. Merken Sie auch genau die zwei Unterschiede zwischen den zwei CP. In den zwei Beispielen wurden zwei Falten gebildet, zusätzlich zu der Talfalte, die schon da war. Und zwar wurde in dem zweiten Beispiel eine Talfalte hinzugefügt, die, wenn sie den Winkelhalbierenden trifft, in eine andere Richtung weitergeht, und zwar als Bergfalte. Der Winkelhalbierende blieb aber gleich, als er von der Seite 6

7 zweiten Falte getroffen wurde. Diese Art von Falten wird «einfache Falte» genannt: sie ist auch einfacher zu falten. In dem zweiten Beispiel sind die Verhältnisse der Falten gegensätzlich: Als die hinzufügte Falte den Winkelhalbierenden trifft, behält sie seine Richtung, bleibt also eine Talfalte, obwohl die Talfalte, die schon da war, umgekehrt wird (sie beginnt gelb und endet blau). Wegen dieser Umkehrung (sie beginnt rot und endet blau) nennt man diese Art von Falten «Umkehrfaltung». Diese Falte hat den eleganten Vorteil, dass das Ganze symmetrisch bleibt. Diese zwei Arten von Falten haben wir hier in einer Ecke des Blattes ausprobiert: sie sind aber auch möglich, ohne dass die hinzugefügte Falte die Seite des Blattes trifft. Ich zeige hier drei Beispiele, die jeweils mit ihren CP Entwicklung:F. Perdrix Entwicklung:F. Perdrix Entwicklung:F. Perdrix Entwicklung:F. Perdrix gezeigt werden, bei denen die roten Falten Talfalten sind, sowie die blauen Bergfalten bedeuten. Mit der Faltung, die links abgebildet wird, als Ausgangspunkt, werden wir Falten bilden, die immer denselben Platz haben, was mit der schwarzen Linie gedeutet wird, aber andere Faltenrichtungen (Tal-/Bergfalte) haben. Dadurch werden drei Ergebnisse erreicht. Details von den Fällen zwei und drei wurden gezeigt. Von links bis rechts wurden folgende Falten gebildet: eine einfache Falte, einen open-sink und einen closed-sink. Um den Ausgangspunkt zu erreichen, um dann die einfache Falte und den Open-sink auszuprobieren, können Sie die Schritte 1 bis 8 der Faltanleitung folgen, die ich dann zeige. Wie in den vorherigen Beispielen werden Sie die einfache Falte sehr schnell schaffen. Zur Bildung des Open-sink müssen sie das Quadrat, das im CP zu sehen ist, öffnen, und dann die markierten Falten mit den ensprechenden Faltrichtungen bilden. Unsere hinzugefügte Falte bildet ein Quadrat. Innerhalb und außerhalb dieses Quadrates werden wir die Falten untersuchen. Die Falte des ersten Falles ist eine einfache Falte, weil die hinzugefügte Falte sich anpasst. Sie bewirkt keine Umkehrung der ursprünglichen Falten innerhalb des Quadrates. Die Falte beim zweiten Fall ist die Entsprechung der Umkehrfaltung innerhalb des Blattes, weil die hinzugefügte Falte immer gleich bleibt, in unserem Fall eine Bergfalte, obwohl die Falten, die sich innerhalb des Qua- Seite 7

8 drates befinden, alle eine Umkehrung übernommen haben. Sie nennt sich einen Open-sink, ein geöffnetes Drücken. Es gibt aber auch die Möglichkeit, eine Mischung zwischen diesen anscheinend, getrennten Falten zu machen, und zwar mit einem Closed-sink, was ich in der dritten und letzten Falte gezeigt habe. Diese anstrengende Falte hat die Eigenschaft, die Spitze zu sperren, zu schliessen, ( closed ) im Gegensatz zu dem Opensink. Sie ist ein Mittelpunkt zwischen dem ersten Beispiel und dem Dritten, weil sie teilweise ein Open-sink ist, in der oben rechten Hälfte, aber in der anderen Falte eine einfache Falte ist. Noch ein wichtiger Punkt: Wenn eine hinzugefügte Falte von einer Seite des Blattes aus beginnt, muss sie soweit fortgehen, bis sie irgendwo anders eine Seite des Blattes trifft. Eine Falte kann auch ein Polygon bilden, indem sie immer innerhalb des Blattes bleibt. Jedes Mal, wenn die Falte (unabhängig von ihrer Richtung) eine andere Falte kreuzt, muss sie in der Richtung fortgehen, sodass die Regel, die ich mit dieser Abbildung zeige, respektiert wird. Es gibt noch andere bestimmte Falten, wie die Zick-Zack-Faltung, die aus zwei nahen parallelen Falten besteht, einer Bergfalte und einer Talfalte. Andere Falten, wie die Blütenblatt-Faltung, die Quetschfalte und noch andere, bestimmen eine Faltenkombination, die aber auch in einfachste Falten zerlegen werden kann. Diese Namen sind eher dafür da, dass der Faltende, der die Sequenz schon kennt, direkt weiss, was er bilden muss, ohne dass es nochmals explizit erklärt werden muss. Das einzige Mittel, diese Falten kennenzulernen, ist nicht die Theorie, sondern das praktische Falten. Daher, um das ganze Kapitel anders zu beleuchten, lade ich Sie herzlich ein, der folgenden Anleitung zu folgen, die Ihnen in einfachen Schritten zu einer Variante des berühmten japanischen Kranichs führen wird. Nehmen Sie ein Quadrat Papier, und falten Sie dann präzis alle Schritte. Merken Sie sich immer gut, an welchen Punkt die Falte beginnt und wo sie endet Zuerst werden zwei diagonale Talfalten gebildet (so wie Schritt 4). Falten Sie dafür eine Ecke auf die gegenüberliegende hin- und zurück. So werden Falten markiert. Dann wird das Blatt umgedreht und werden zwei andere Talfalten auf dieselbe Art markiert. Das Blatt wird dann noch einmal umgedreht und dank dieser vier Falten bis zum Schritt 6 geformt. Wenn Sie mit diesen Falten nicht diese Form erreichen, sollten Sie das Zentrum des Blattes umkehren. Dann müssen Sie alle geformten Falten scharf falten, so dass der siebte Schritt erreicht wird. Dafür muss überall dieselbe Anzahl an Schichten sein. Geschafft? Seite 8

9 7 8 9 Der achte Schritt zeigt, dass der offenere Endpunkt unten liegen muss, und nicht oben. Dann werden drei Talfalten markiert und zwar in den Schritten 9-12, damit die Falte der Schritte vorbereitet wird. Achten Sie darauf, während dieser Falte keine nicht schon markierte Falten zu bilden. Diese zusammengesetzte Falte nennt sich Blütenblatt-Faltung, wegen der Bewegung eines sich öffnenden Blütenblatts In dem Schritt 19 werden zwei Talfalten gebildet, die dann als Umkehrfaltungen gefaltet werden, was zum Schritt 20 führt, der symmetrisch ist. Um eine Umkehrfaltung zu bilden muss also die ursprüngliche Falte umgekehrt werden, obwohl die hinzugefügte Falte gleich bleibt. Dann wird der erste Flügel gebildet: diese Talfalte geht von der Kreuzung links ab, nicht von irgendwo anders (siehe genau die Abbildung 21), und schneidet tangentisch die andere Seite Seite Diese Falte und ihre Vorbereitung werden dann auf der Rückseite wiederholt, sodass der Schritt 18 erreicht wird. Dieser Schritt ist außerdem die Vogel- Grundform, die wir bald wieder finden werden

10 22 23 Dann wird auf die gleiche Art und Weise den hinteren Flügel gebildet. Die genaue Orientierung der Flügel und des Kopfes müssen Sie nach ihrem Geschmack wählen. Auf jedenfalls wird der Kopf auch mit einer Umkehrfaltung gebildet, was zum Schritt 24 führt. 24 Und schon ist der berühmte Kranich fertig... Nur am Rande würde ich noch anmerken, dass dieser Vogel fliegen wird, wenn Sie die Flügel etwas glätten und dann den Schwanz und den Anfang seines Halses leicht auseinander ziehen. Damit es klappt muss das Untere des Modells symmetrisch und genau gefaltet sein... Photo und Faltung:F.Perdrix Die Grundformen Die Entwicklung eines Origamis kann so laufen: Zuerst wird eine so genannte Grundform entwickelt, die schon wesentliche Eigenschaften des Modells trägt, beispielsweise die Anzahl von Spitzen und ihre Länge. Die Grundform unseres Kranichs hatte schon vier langen Spitzen, die wir dann in der Verfeinerungsphase verwendet haben, um einen Schwanz, einen Kopf und zwei Flügel darzustellen. Obwohl diese Verfeinerung bestimmte Sequenzen enthält, die logischerweise erklärbar sind, ist sie teilweise künstlerisch, daher werden wir sie fast nicht untersuchen. Die Entwicklung solcher Grundformen werden wir aber in den folgenden Kapiteln relativ tief erforschen. Die Talfalten werden hier mit blauen Strichen gedeutet, sowie die Bergfalten mit roten Strichen gedeutet werden. Damit diese Grundformen und ihre Bau uns nicht mehr so fremd scheinen werden wir uns zunächst mit bestimmten Grundformen beschäftigen, und zwar mit deren Berühmtesten, die am meisten verwendet werden. Die Schrank-Grundform, und eine weiterentwickelte Form davon; die Fächer-Grundform: Seite 10

11 Die Windmühlenform ähnelt der Form einer Mühle. Daraus kann die so genannte zusammengeschobene Windmühlenform gebildet werden, und zwar ohne, das Zentrum der Grundform zu verändern. Sie müssen nur es so falten, dass die vier blauen Falten an den Ecken verschwinden. Auch eine sehr einfache Grundform ist die Drache-Grundform; sie besteht nur aus Winkelhalbierenden. Hier wird die Fisch- Grundform gezeigt; nehmen Sie dazu eine Drache-Grundform, und fügen Sie dann zwei Winkelhalbierenden. Die folgende Grundform nennt man Wasserbombe-Grundform oder zusammen-geschobenes Dreieck, welches mit zwei Abbildungen gezeigt wird. Wenn Sie einfach das Zentrum dieser Grundform umkehren erhalten Sie das zusammengeschobenes Viereck, was mit der dritten Abbildung gezeigt wird; das CP ist also dasselbe für diese beiden Grundformen. v Wenn Sie die vier längere Spitzen des zusammengeschobenes Viereckes verfeinern erreichen Sie die berühmte Vogel- Grundform; sie ist Ihnen schon bekannt, aber vielleicht in einer anderen Orientierung; wir werden es später mit Hilfe «vierter Falten» erklären können. Seite 11 Aus dieser Grundform kann die Frosch-Grundform entwickelt werden:

12 Eine feinere Ableitung der Wasserbombe-Grundform ergibt die Schirmgrundform, die von zwei Standpunkten gezeigt wird. Diese Grundform müssen Sie nicht unbedingt mitfalten. Diese Grundformen haben die Eigenschaft, besonders «sparsam» zu sein; es bedeutet, dass möglichst wenig Papier ungenutzt ist, dass jeder Teil des Blattes etwas für das Modell bringt. Je sparsamer ein Modell ist, desto mehr Chancen besitzt er, rein und elegant, also schön, zu wirken. Das Modell wird auch dünner, was eine angenehme Sache ist. Mathematisch gesehen hängt diese Sparsamkeit von der Angemessenheit der größe des Modells von der größe des verwendeten Blattes ab. Hier zeige ich Grundformen, die besonders häufig verwendet werden, und zwar immer mit ihrem CP, damit Sie auch mitfalten können. Die Frosch-Grundform ist die einzige, die Sie nicht so schaffen sollten... Warum ist es so? Warum erfolgen die klassischen Grundformen besonders elegante Modelle? Diese Fragen werden wir nach und nach mit Hilfe theoretischer Prinzipien antworten können. Die Idee dieser Art von Grundformen kann unendlich weit getrieben werden; um es abzubilden zeige ich einen Seeigel, der von Robert J. Lang entwickelt und gefaltet wurde; ein solches Tier wird typisch dadurch bestimmt, dass er extrem viele Spitzen hat. Man kann, um ein Origami zu entwickeln, auf die Grundformen-Reserve zurückgreifen, um dann eine von ihnen zu verfeinern. Es bietet zwar wunderschöne Ergebnisse, aber nicht unerschöpfliche Möglichkeiten: ein weiterer Horizont, also mit weiteren Grundformen zur Verfügung, gibt mehr Möglichkeiten und öffnet die Tür an Neuigkeiten. Das werden wir Schritt für Schritt entdecken. Ich muss vor dem Ende dieses Kapitels noch was hinzufügen. Die Grundidee einer Grundform ist, eine Form zu erreichen, die eine bestimmte Nummer von Spitzen mit einer bestimmten Länge hat, und zwar auf möglichst sparsame Art. Die Breite der Spitzen, wie verfeinert sie werden, beeinflusst nicht die Eigenschaften der Grundform. Um es abzubilden zeige ich jetzt unsere Vogel-Grundform mit unterschiedlichen Schritten in der Verfeinerung. Links zeige ich die Grundform in ihrer einfachsten Form, und dann forme ich das Ganze zweimal, viermal und dann achtmal feiner. Wenn diese Verfeinerung unendlich weit getrieben würde hätten wir nur Linien vor den Augen, die die Spitzen dieser Grundform zeigen. Damit werden wir uns in dem übernächsten Kapitel, mit der so ge- Bestimmte Grundformen können klassifiziert werden; die Drache-, Fisch-, Vogel- und Frosch-Grundform werden klassische Grundformen genannt. Sie sind tatsächlich besonders verwandt miteinander. Sie bestehen alle aus den selben Spitzen, und zwar aus zwei unterschiedlichen; längere, die an ihrer Ende einen 22,5 Winkel haben, und kleinere, die zweimal breiter und auch kürzer sind; nur die Anzahl davon ist verschieden. Wenn Sie die kürzere Spitzen einer Grundform zweimal verfeinern erreichen sie magischerweise die nächste Grundform dieser Art... Seite 12 Entwicklung, Faltung und Photo von R.J.Lang

13 nannten Kreisverpackung, beschäftigen. Zuerst müssen wir aber einen notwendigen Umweg nach dem Teilungsprinzip benutzen, damit wir die Kreisverpackung in der Praxis umstellen können... Einige Grundprinzipien des Origamis nach Robert J. Lang Teilungsprinzip In dem folgenden Kapitel werden wir uns mit dem Teilungsprinzip beschäftigen, das aus der Untersuchung der Grundformen geschlossen wird und uns bis zur Kreisverpackung führen wird. Ich gehe relativ langsam vorwärts, damit wir jetzt eine Basis bauen, auf der wir dann weiterforschen können. Wenn wir also den Bau von allen klassischen Grundformen beobachten, merken wir viele Gemeinsamkeiten: Alle diese Grundformen bestehen aus dieser «Grund-Grundform». Zwei fundamentale Formen bilden ein Dreieck, dessen Rolle uns ab jetzt beschäftigen wird. Also werden wir es untersuchen: dann werden wir uns fragen, warum die Grundformen dieser Art besonders sparsam sind, und versuchen, in dieser Logik andere Folgen von Grundformen zu schaffen. Dazu werden wir aber erst nach einigen Seiten kommen, und zwar bei der so genannten Kristallisierung. So sieht dieses Dreieck aus: Ich zeige seinen CP und die drei Möglichkeiten, es zu falten. Es bildet ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Seine Faltung besteht aus vier Falten: Drei sind Winkelhalbierende, die dunkelroten Linien, Bergfalten, die sich in einem Punkt treffen (was in einem Dreieck immer der Fall ist). Von diesem Schnittpunkt läuft eine vierte Falte, eine Talfalte, bis zu einer Seite des Dreiecks, die sie mit einem Winkel von 90 Grad trifft (was auch mathematisch beweisbar wäre, wenn es uns interessieren würde). Eine von diesen drei hier orantgen Falten wird gewählt und gefaltet, davon hängt die Orientierung der Spitzen ab. Ich nenne ab jetzt diese Art von Falten eine vierte Falte. Nehmen Sie jetzt ein solches gefaltetes Dreieck in den Händen. Dabei werden sie merken, dass alle Seiten des Dreiecks auf einer einzigen Linie stehen. Durch die Winkelhalbierenden wird es erreicht - die vierte Falte ist sozusagen die Konsequenz der drei Anderen - damit das Ganze flach wird. Jetzt schlage ich Ihnen noch ein Experiment vor: falten Sie noch ein anderes Dreieck, und versuchen Sie, die beiden ausgefalteten Formen mit Tesafilm zusammen zu kleben. Mit zwei dieser Formen klappt es gut, solange sie unglücklicherweise keine längere Seite mit einer kleineren verbinden. Versuchen Sie es auch mit vier, oder sogar acht solcher Formen. Die drei Tricks, einer wurde schon erwähnt, sind da: zuerst müssen sie diese Formen so ordnen, dass Sie die längeren Seiten zusammen und die kleinere zusammen kleben. Dann muss eine vierte Falte immer entweder nichts (den Rand des Papiers) oder eine andere vierte Falte treffen. Schliesslich müssen Sie beachten, dass nur lange bzw. kurze Winkelhalbierende aus einer Ecke einer Form laufen dürfen. Sonst ist die Grundform zwar faltbar, aber nicht sehr sparsam, also verschwenderisch indem Spitzen dann innerhalb der Grundform blockiert werden. außerdem müssen alle Winkelhalbierenden entweder Bergfalten oder Talfalten sein. Sie werden nach diesem Experiment merken, dass Sie Grundformen erreichen, mit denen wir folgendes feststellen: Alle Seiten aller verbundenen Formen liegen in der gefalteten Form immer auf einer Geraden. Diese Gerade nennen wir symmetrische Achse. Also ist es möglich, Bestandteile auf diese Art zu binden, besser gesagt das Blatt in solchen Bestandteilen zu teilen, und zwar in anderen als unser fundamentales Dreieck... Dann würde man beliebige Grundformen erreichen können, und zwar mit dem riesigen Vorteil, sie nicht immer in Seite 13

14 der Praxis ausprobieren zu müssen, sondern das Ganze vorher auf eine gezielte Weise theoretisch überlegen zu können. Diesen Vorgang nennt man Teilung. Zunächst werden wir uns damit beschäftigen, wie diese so genannten Teile gefaltet werden können, dann wie wir sie miteinander verbinden können und schliesslich, mit Hilfe der Kreisverpackung, was für Eigenschaften die dadurch erreichte Grundform bietet und wie wir sie ausnutzen können. Damit wir mit einer Grundform, die aus Teilen besteht, bilden können, müssen wir logischerweise zunächst die einzelne Teile untersuchen, indem wir herausfinden, wie alle Seiten von einer Form auf eine Linie gebracht werden können. Der Vorgang, unseres fundamentale Dreieck zu falten, erlaubt uns, alle Seiten eines Dreieckes auf eine Linie zu bringen. Gut. Es wäre etwas einschränkend, nur mit dreieckigen Bestandteilen gebildete Modelle schaffen zu können. Wir stellen also fest, dass es möglich ist, alle Seiten von irgendeiner konvexen Form durch Falten auf eine Linie zu bringen, und zwar beispielsweise so: Versuchen Sie, irgendein Polygon zu bilden, beispielsweise ein Fünfeck, und dann aus ihm ein verwendbares Teil zu bilden, indem sie alle seine Seiten mit Hilfe von Winkelhalbierenden auf eine Linie setzen. Sie werden merken, dass das Papier sehr gut mitmacht, auch wenn man ihm nicht genau zeigt, welche Falten er übernehmen sollte. Das wird eine riesige Hilfe bei der Faltung komplexerer Modelle sein. Ich zeige dazu eine geometrische Methode: 1) Die Winkelhalbierenden aller Ecken werden gezeichnet, bis sie sich entweder kreuzen oder eine Seite der Form treffen. Man verbindet zwei Winkelhalbierenden miteinander, dann und nur dann, wenn die Länge von jeder vierten Falte, die von dem Schnittpunkt bis zur Seite geht, gleich ist. Aus den gebildeten Schnittpunkten müssen also alle mögliche vierten Falten gezeichnet werden, die die Seite des Papiers senkrecht treffen, ohne andere Falten zu kreuzen. außerdem können durchaus mehrere Winkelhalbierende keinen Partner finden. 2) Für jeden dieser Schnittpunkt zeichnet man die Winkelhalbierende von zwei vierten Falten. Diese Falte muss bewirken, dass zwei Seiten sich treffen, für die es noch keine Winkelhalbierende gab. Also muss diese Falte in Richtung zum Zentrum der Form laufen. Diese Falte wird gezeichnet, bis sie eine andere Falte trifft, was der Fall sein muss. 3) Aus dieser zweiten Art von Schnittpunkte zeichnet man auch die jetzt möglichen vierten Falten. 4) Wenn das Ganze noch nicht fertig ist, kommt man zurück zum Schritt 2 mit den gerade geschaffenen Schnittpunkten, und so weiter, bis alle Schnittpunkte verbunden sind. Für ein Quadrat oder irgendein regelmässiges Polygon genügt die erste Etappe. Die Etappe 4 ist zwar richtig, aber ich muss hinzufügen, dass je mehr Ecken eine Form hat, umso ungünstiger wird sie in der Praxis für «konventionelle» Modelle, weil sie durch ihre vierte Falten anstrengend wird. Es kann durchaus etwas abstrakt scheinen, es wird aber viel klarer, wenn Sie ein Blatt nehmen und beispielsweise diese Methode mit unterschiedlichen Fünfecken versuchen. Um das Ganze verständlich zu machen, nehmen wir zwei Beispiele. Die unterschiedliche Farben zeigen die unterschiedlichen Etappen. Seite 14

15 Aus diesen zwei Formen wollen wir Teile bilden. Wir zeichnen zunächst alle Winkelhalbierenden. Nun müssen wir möglichst viel Windelhalbierende zu zweit verbinden. Also lautet die Frage: wo treffen sich Winkelhalbierende, so dass alle vierten Falten, die aus diesem Schnittpunkt bis zur Seite laufen, gleichlang sind? Die Lösung zeige ich in dem nächsten Bild, ich ermutige Sie jedoch, sie selbst zu finden. Die größte Arbeit liegt nun hinter uns. Im ersten Polygon haben wir die Seite AB mit AE angeglichen und AE mit ED. AB muss sowohl noch mit DE angeglichen werden, als auch BA mit CD, was wir im nächsten Schritt bilden werden. Im zweiten Polygon haben sich interessanter Weise drei Winkel-halbierende getroffen, also wird das Ganze schneller fertig. Wir merken in beiden Fünfecken, dass sich schliesslich alles gut verbinden lässt: im ersten Polygon treffen sich die zwei gerade gezeichneten Falten am selben Punkt, und im zweiten Polygon gleichen sich diese zwei Falten. Alle unsere Falten sind jetzt gezeichnet: dann müssen wir wissen, dass alle vierten Falten eine Art von Faten (entweder Berg- oder Talfalten) sein müssen und alle anderen (die Winkelhalbierende und die Verbindungen zwischen den Schnittpunkten) die gegensätzlichen Falten. Diese Form kann also mit genau den vorausgedachten Falten gebildet werden. Wir wissen jetzt, wie man einzelne Teile bilden kann. Wir könnten also das Blatt teilen, diese einzelnen Teilen formen, und dann würden wir irgendeine Grundform erreichen. Dafür müssen aber alle Teile zusammen passen, und zwar folgendermassen: alle vierten Falten sollen entweder eine Seite des Blattes treffen, oder eine andere vierte Falte. Wenn es nicht der Fall ist, kann das Modell mit zusätzlichen Falten noch gebildet werden, und zwar dadurch, dass diese vierte Falte weiterläuft, indem sie ihre Richtung verändert, jedes Mal, wenn sie eine andere Falte kreuzt. Diese zusätzlichen Falten sind aber kompliziert und bedeuten praktisch immer ein Verlust am Sparsamkeit: sie sind also zu vermeiden. Je unregelmässiger die Teilung eines Modells ist, desto mehr Probleme wird diese zweite Bedingung stellen. Weil es keine echte Lösung für diese Probleme gibt, werden die relativ regelmässigen Modelle bevorzugt. Erfahrungsgemäss kann es geschlossen werden. Das hat etwas Intuitives in sich, indem die Regelmässigkeit auch Reinheit, Ordnung, Harmonie bringen kann. Es ist aber auch so, dass die Regelmässigkeit von Modellen, die sehr komplex und sehr sparsam sind, nicht auf dem ersten Blick erscheint... Seite 15

16 Kreisverpackung Dieses Werkzeug ist die Quintessenz, die Ankunft unserer Untersuchung des Origamis von Robert J. Lang. Das heisst, das wir ab dem Ende dieses Kapitel unsere ganze Theorie in der Praxis umstellen werden... Diese Methode ist auch die Antwort an die Frage: welcher Teil des ursprünglichen Blattes wird verwendet, um eine bestimmte Spitze zu bilden? Als Beispiel nehmen wir jetzt diesen Teil: Wir untersuchen das Verhältnis zwischen den Flächen des verwendeten Blattes und den Spitzen, und zwar folgendermaßen, um diese Theorie klarer zu machen, was später natürlich nicht gemacht werden wird: wir schneiden einfach senkrecht die Grundform in ihrer Bestandteilen, und dadurch erreichen wir die folgende Abbildung: Jetzt werden wir das Verhältnis zwischen den Spitzen und ihrer Verfeinerung untersuchen. Dafür nehmen wir schon bekannte Grundformen, und zwar das zusammengeschobenes Dreieck und die Vogel-Grundform. Ich zeige sie zuerst mit ihren unterschiedlichen Spitzen. Dann wurde jede Spitze geschnitten und teilweise geglättet Je feiner eine Spitze gebildet wird, umso mehr ähnelt die verwendete Zone auf dem Papier der Form eines Kreises. Wir stellen auch fest, dass der Radius des Kreises der Länge der gebildeten Spitze gleicht. So kann man es präziser ausdrücken: Solange das Zentrum des Kreises auf dem Blatt liegt kann aus dieser Zone eine Spitze gefaltet werden, und zwar mit einer Länge, die dem Radius des Kreises gleicht. Seite 16

17 Ab jetzt werden wir unsere Teile mit Kreisen dekorieren können, damit es sofort klar wird, wie viel Spitzen jeder Teil haben wird und wie lang sie sein werden. Wir zeichnen also aus jeder Ecke einen Kreis, so groß, dass er vierte Falten berührt. So sieht es bei unserem Teil aus. Daneben zeige ich schematisch die Spitzen dieses Teils mit einer Figur, die außerdem stick figure genannt wird. Eines bleibt aber noch unerklärt, und zwar der Streifen zwischen den Kreisen. Er formt keine Spitze, aber hat doch eine wichtige Rolle in der Bildung der stick figure. Und zwar bildet er einen Abstand zwischen diesen Spitzen. Die Kreise werden Berge genannt, sowie die Streifen, die kein Zentrum haben, Flüsse genannt werden, weil sie zwischen den Bergen schlängeln werden... Ein Kreis kann aus einer Ecke des Blattes gebildet werden: es ist die sparsamste Weise, eine Spitze zu formen. Der Künstler muss aber auch daran denken, dass ein Blatt nur vier Ecken hat und dass er also auch die Seiten und das Innere des Blattes ausnutzen muss, wenn er mehr als vier Spitzen formen möchte. Ich erkläre es mit einerabbildung. Zuerst wurde eine Spitze aus einer Ecke des Blattes gebildet, dann aus einer Seite und schliesslich innerhalb des Blattes. Ich zeige jetzt wie das Ganze bei den Teilen aussieht, die wir im Laufe der vorigen Seiten schon gesehen haben, damit Sie die entsprechenden «stick figures» raten können. Jetzt ist es uns möglich, einen Teil mit Hilfe dieser Berge und Flüsse zu deuten. Wir müssen aber noch Teile zusammensetzen können, um echte Grundformen auf eine ganz gezielte Art und Weise entwickeln zu können. Wie verhalten sich die Berge und Flüsse eines Teiles mit den Bergen und Flüssen eines anderen Teils? Um es zu klären, zeige ich gleich zwei Beispiele: Links zeige ich die Teile, die verbunden werden sollen, und rechts die kohärente Lösung. Seite 17

18 Jeder Teil muss den Anforderungen eines anderen Teils entsprechen, damit das Ganze kohärent wird. Und zwar wurden hier die weissen Linien hinzugefügt, die großen Kreise in kleinere Flüssen und kleinere Bergen zerlegt. Also kann ein neuer Teil die gewünschten Eigenschaften des ursprünglichen Teils vernichten, was zu beachten ist. Jetzt werden wir untersuchen, mit welchem Verhältnis die Spitzen und die Flüsse zueinander stehen. Betrachten Sie mit Aufmerksamkeit die Beispiele, die ich vorher gezeigt habe. Aus Experimente bzw. Überlegungen kann man also drei grundsätzlichen Feststellungen schliessen Die Dritte ist eigentlich überflüssig, sie ist sozusagen eine praktische Verwendung der zwei ersten: 1) Zwei Kreise, die sich berühren, werden zwei Spitzen bilden, die einen gemeinsamen Endpunkt haben. Sie haben nur einen gemeinsamen Endpunkt, weil sie sich nur einmal berühren. 2) Ein Kreis und ein Fluss, die sich berühren, werden zwei Spitzen bilden, die einen gemeinsamen Endpunk haben. Der Fluss kann als Verlängerung der Spitze gelten. 3) Zwei Kreisen, die von einem Fluss getrennt sind, werden zwei Spitzen bilden, die in einem Abstand, der der Breite des Flusses gleicht, von einander entfernt sind. Aus diesen Informationen können wir einen Teil und dann eine Grundform lesen, indem wir alle Spitzen, ihre Länge und die Art, wie sie verbunden sind, vorausdenken können. Ich zeige jetzt die zwei letzten Grundformen, dieses Mal in ihrer gefalteten Form, und zwar von oben und dann von unten, damit Si sie mit der Kreiszusammensetzung vergleichen können. Sie sollten jetzt langsam das Gefühl bekommen, wie das Ganze sich geometrisch «von alleine» organisiert. Wir stellen außerdem fest: Ein Fluss darf nicht plötzlich aufhören, er muss entweder einen Ring bilden oder aus dem Blatt herausgehen. Ich zeige hier ein paar Kreiszusammensetzungen, um das Verhältnis zwischen CP, Teilung und stick figure abzubilden. Eine kleine Bermerkung dazu: ein CP zeigt immer die Falten, die verwendet werden, um die Grundform zu bilden. Wenn alle Falten eines komplexen Modells gezeichnet werden müssten, würden die CP rein unlesbar werden. Diese vier ersten Grundformen haben wir schon besprochen, es handelt sich um die Drache-, Fisch-, Vogel-, und Frosch-Grundform. Die Seiten des Blattes sind in den zwei letzten Beispielen nicht immer Seiten eines Teils. Der Tausendfüssler zeigt eine besonders interessante Kombination von Flüssen, die zur Folge hat: Jeder Kreis ist mit einem anderen direkt verbunden, mit zwei anderen von einem Fluss entfernt, mit zwei anderen von zwei Flüssen, und so weiter... Seite 18

19 Origami Design Secrets, R.J.Lang Origami Design Secrets, R.J.Lang In dem letzten Beispiel wird der Fluss verwendet, um einen Abstand zwischen zwei Gruppen von Spitzen zu bilden. Es ist uns jetzt möglich, eine Grundform folgendermaßen zu bilden: gewünscht sind eine bestimmte Nummer von Spitzen mit einer bestimmten Länge, die auf eine bestimmte Weise verbunden sind; unter diesen Voraussetzungen packen wir Kreise, lassen wir Abstand dazwischen, um Flüsse zu bilden, und bilden so eine Kreisverpackung aus unserem Blatt. Dann werden die Zentren der Kreise auf eine bestimmte Weise, die ich später erläutern werde, verbunden. Diese Verbindungen sind die Seiten von Teilen, die auf eine Linie gebracht werden müssen. Dann muss die Grundform verfeinert werden, um ein künstlerisches elegantes Modell zu schaffen. Diese Methode ist gleichzeitig die Zusammenfassung und die Quintessenz der Untersuchung, die wir mit Hilfe Robert J. Langs Theorien geführt haben. Ein praktisches Beispiel wird dann erläutert, und zwar werden wir eine Giraffe entwickeln... Noch einige wichtigen Bemerkungen über die Verbindung zwischen den Teilen und den Kreisen muss ich noch hinzufügen. Ein Teil ist also dadurch definiert, dass seine Seiten auf einem symmetrischen Achse liegen. Origami Design Secrets, R.J.Lang Alle Zentren der Kreisen befinden sich außerdem auf dieser Achse. Einen einfachen Teil, der schon besprochen wurde, zeige ich oben links von den Abbildungen. Die erreichten Spitzen können durchaus noch verfeinert gebraucht werden: wenn die vier Spitzen verfeinert werden merken wir, dass wir aus unserem Teil drei Teilen gebildet haben, was ich unten rechts in den Abbildungen zeige. Durch die hinzugefügten Winkelhalbierende wurden neue Seiten von Teilen erfolgt, die sich dann im Zentrum des Dreiecks treffen. Es ist außerdem so, dass die Seiten eines Teils immer mit Flüssen oder Bergen besetzt werden müssen, im Gegensatz zum Inneren eines Teils, das unbesetzt bleiben darf. Und zwar wird diese Zone mit einem Kreis besetzt, weil ein Kreis sich immer bildet, wenn alle Winkel an der Teile, Seite 19

20 die diesen Schnittpunkt bilden, an dieser Ecke kleiner als 180 sind. In diesem Fall braucht man keinen zusätzlichen Fluss. Dieses kleine Experiment habe ich gezeigt, um zu klären, dass die Verfeinerung der Spitzen auf eine bestimmte Art die Teilung und deswegen die Spitzen der Grundform beeinflussen kann. Praktisches Beispiel Um die Kreisverpackung abzubilden werden wir ein Beispiel ausführen, weil mir jetzt die Praxis notwendig erscheint, um so noch durch ein paar wichtige Bemerkungen das Ganze zu beleuchten. Der erster Schritt ist die Wahl des Modells: hier habe ich mich für eine Giraffe entschieden. Dieses Modell war mit dieser Methode gut herzustellen, und zwar wegen ihres langen Halses. Ein solches Tier wird tatsächlich von seinen Spitzen sozusagen definiert, was beispielsweise bei einer Lokomotive oder einem Gesicht nicht der Fall ist. Zuerst muss die stick figure der Grundform entwickelt werden, und zwar folgendermassen: ein langer Hals, vier Beinen, einen kleinen Schwanz und natürlich einen Körper. Die Details des Kopfes (Ohren, Mund...) Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix können wir, wenn nötig, nach der Entwicklung der Grundform bilden, wenn das Modell verfeinert wird. Das Tier kann aber auch in einer einfachen und eleganten Form gut wirken. So wie in der ersten Abbildung könnte unsere stick figure aussehen, mit den folgenden Proportionen: wenn wir die vier Beine als Einheit nehmen, dann gleicht der Hals drei Einheiten, der Körper anderthalb Einheit und der Schwanz eine Hälfte Einheit. Diese approximative Basis wird sicher etwas verändert, damit die Ansprüche der Kreisverpackung und des Augen auch beachtet werden. Wir müssen diese sechs Kreisen und diesen Fluss dann miteinander organisieren; Die zweite Abbildung zeigt der erste Schritt der Überlegung: zwei Gruppen von Spitzen müssen mit einem Fluss getrennt werden. Dann kann man das Ganze kompakt setzen, sodass alle Elemente sich möglichst viel berühren. Man kann auch das Ganze symmetrisch organisieren, was Regelmässigkeit mit sich bringen wird. Die vierte Abbildung geht noch ein Schritt weiter: der Fluss muss überhaupt nicht gerade laufen, er wird im Gegensatz die Kurven der Kreisen übernehmen. Daher muss man ihn eher als einen Abstand zwischen den Kreisen bezeichnen, der überall gleich ist. Wie passt das Ganze in ein Quadrat Papier, der am kleinsten ist? Hier muss man einfach experimentieren und Erfahrungen sammeln. Grundsätzlich gibt es zwei Richtungen: entweder organisiert man das Ganze parallel zu einer Seite, oder diagonal. Wir werden damit beginnen, das Ganze aus einer Ecke zu organisieren. Es wäre in der Tat ein guter Anfang für die gemeinsame Sparsamkeit des Modells, die längere Spitze, und zwar den Hals, in eine Ecke zu setzen. Links zeige ich also den Ausgangspunkt. Zwei vordere Beine werden wir dann hinzufügen, sodass sie den Hals berühren. Die sparsamste Lösung Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix Seite 20 Entwicklung: F.Perdrix

21 dafür wäre natürlich, sie auf die Seite des Blattes zu setzen. Noch besser wäre die Ecke des Blattes, aber wir wissen noch nicht, ob es dann so funktionieren wird. Auf jedenfalls zeige ich diese drei Möglichkeiten. Jetzt müssen wir den Fluss dahin setzen. Er wird als Abstand gedacht, das heisst, dass die nächsten Kreise nicht zu nah an die anderen kommen dürfen, was mit der ersten Abbildung gezeigt wird. Dann und nur dann wird der Fluss während der Teilung entstehen. Wir untersuchen ab diesem Schritt die vorderen Beine an den Ecken: wenn es klappt wäre es die beste Lösung, dann müssten wir nicht mehr weiter suchen. Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix Wir merken, das das Ganze relativ dicht wird, bzw. dass es dem Fluss an Platz fehlen könnte. Daher schieben wir in der zweite Abbildung die zwei hinteren Beine nach oben rechts, sodass das Ganze immer symmetrisch bleibt. Dann gibt es nur zwei Lösungen, um den Schwanz auch mitzubringen. Und zwar habe ich diese zwei Möglichkeiten gezeigt. Diese Kreisverpackungen sind theoretisch möglich. Dann müssen wir eine Teilung entwickeln, aus der sie erfolgen werden. Um das zu ermöglichen, müssen wir beginnen, konvexe Teile zu bilden, indem wir Zentren von Kreisen zusammenbinden. Dies sollte die Symmetrie des Modells erlauben. Ich zeige in den nächsten zwei Abbildungen die Bindungen, die dafür notwendig sind. Entwicklung: F.Perdrix Entwicklung: F.Perdrix An diesem Punkt können wir aber schon die zweite Möglichkeit verlassen, indem sie weniger sparsam wird. Dadurch, dass die hinteren Beine verfeinert werden, wird sich zwanghaft ein Kreis bilden: diese Gelegenheit wird dann ausgenutzt, indem wir daraus einen Schwanz machen. Daher werden wir ab jetzt nur die erste Möglichkeit weiter erforschen. Mit diesen Teilen werden wir also Kreisen erreichen, deren Position günstig ist. Inwiefern stimmt aber die größe jedes Kreises? Wir beschäftigen uns zunächst mit der ersten Möglichkeit: der Teil oben rechts ist schon bekannt, also faltbar, weil jeder Kreis mindestens zwei Andere berührt. Weil der Fluss eigentlich eine Verlängerung des Kreises ist, gehört er auch zum entsprechenden Kreis, indem er an dieser Stelle denselben Bogen übernimmt. Also ist ein Teil auch faltbar, wenn jeder Kreis durch zu ihm gehörende Flüsse mindestens zwei anderen Kreise berührt. Diese Feststellungen sind sehr wichtig für die folgenden Abschnitte. Um es rasch abzubilden, zeige ich hier unterschiedliche Arten, einen quadratischen Teil zu bilden: Photo und Entwicklung: F.Perdrix Photo und Entwicklung: F.Perdrix Wir betrachten nun das große Fünfeck. Wenn wir es so falten, wie wir es in den früheren Kapitel gelernt haben, bekommen wir ein solches Ergebnis, was also gar nicht befriedigend ist. Seite 21

22 Warum funktioniert es nicht so? Warum kann dieser Teil nicht unsere Kreiszusammensetzung bilden? Dafür werden wir betrachten, welche Zone jede Spitze in diesem Teil besetzt. Und zwar werden diese Zonen mit Hilfe der vierten Falten gebildet, also erreichen wir die einfache Form von der Grundform. Die verfeinerte Form, die mit den Kreisen gedeutet ist, ist nur dann faltbar, wenn die einfache Form selbst auch faltbar ist. Ich zeige hier das Verhältnis zwischen den Spitzen und den Zonen: Wir merken zweierlei: die rote Zone wird von zwei einfachen Zonen besetzt. Wie wir es bei dem Beispiel vorher gesehen haben, wird es keine Probleme machen, solange die Kreisen sich nicht überschneiden. Problematischer sind aber die Zonen, die weiss geblieben sind, weil die vorderen Beinen dadurch nicht zwei anderen Kreise berühren. Um das zu vermeiden, werden zwanghaft diese Kreise größer gemacht, und dadurch wird der Hals auch viel kleiner. Die physikalische Gesetze erlauben also keine günstige Lösung einer solchen Zusammensetzung... Die Flüsse, die der Teil vorher automatisch übernommen hat, könnten wir aber löschen, indem wir einige zusätzlichen Falten hinzufügen. Dieser Teil kann so keine befriedigende Lösung geben. Wir können aber noch versuchen, ihn zu teilen, und zwar gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder macht man aus der untere linke Hälfte des Blattes einen Teil, was aber den Hals schlagartig verkürzen würde, oder man verwendet die folgende Teilung: Die Winkelhalbierenden werden mit schwarzen Linien dargestellt, damit das Verhältnis zwischen denen und den Zonen erkennbar wird. Endlich haben wir eine Zusammensetzung gefunden, die uns einen Fluss geben wird, besser gesagt unserer Giraffe einen Körper! Die Teilung haben wir noch nicht genau festgestellt. Kleine Variationen werden einen großen Einfluss auf die Proportionen des Modells; für eine richtige Proportion ist es nötig, zu versuchen, mit unterschiedlichen Grundformen eine Giraffe zu falten. Das Auge entscheidet schliesslich, welche Grundform das beste Ergebnis bringen wird. Von der Stelle der hinteren Beine hängt die gesamte Teilung ab: wir müssen also die richtige Proportion zwischen der Länge einer Seite und der Strecke, die von den beiden rechten Beine läuft, bestimmen. Man hätte erwarten können, das die Lösung gefunden wird, wenn alle Beine gleich lang sind; es wird aber in unserem Fall überraschenderweise nicht der Fall sein. Ich zeige hier einige Möglichkeiten, um zu erklären, wie diese Grundform funktioniert. Je kleiner der zentrale Teil ist, desto größer wird der Fluss und desto kleiner werden die hinteren Beine und der Schwanz. Die mittlere Abbildung bietet eine harmonische Proportion. Die Grundform haben wir jetzt bestimmt. Dann kommt eine spannende kunstvolle Phase, wo das Modell durch Verfeinerung belebt werden soll. Soll eine Giraffe genau dargestellt sein, oder eher elegant und rein? Sollte das Modell schwungvoll dargestellt werden, oder eher durch geraden Linien stabil gebaut? Sollte es zweidimensional Photo und Entwicklung: F.Perdrix Seite 22

23 bleiben, oder darf es im Raum gebeugt werden? Muss der Kopf mit Ohren und Mund verfeinert werden, oder reicht eine einfache Andeutung? Muss der Schwanz realistisch gebildet werden, oder eher nach Augenslust? Aus diesen Fragen und mit meiner bisher gesammelten Erfahrung habe ich solche Lösungen gefunden: Kristallisation Mit der Kreisverpackung werden wir uns noch ein bisschen beschäftigen, und zwar zunächst mit der so genannten Kristallisation. Sie beschreibt den folgenden Vorgang: nachdem die Spitzen und ihren Längen bestimmt werden fängt die Kristallisation an, mit Hilfe eines Bleistifts oder eines Computers (immer mehr Programme werden dazu entwickelt). Auf dem Blatt werden die Kreise gelegt und dann möglichst viel vergrößert, solange ihre Zentren auf dem Papier liegen. Kein Kreis muss bewegt werden können. Diesen Vorgang kann man auch praktisch ausführen, indem man Holzkreise schneidet, deren Radien den Längen unserer zukünftigen Spitzen entsprechen. In ihrer Mitte wird ein Nagel fixiert: Dann, mit Hilfe zweier Geodreiecke bildet man ein Quadrat, in dem sich alle Kreise befinden. Dann wird dieser Raum immer mehr verkleinert, sich alle Kreise aufgrund des Nagels alleine dicht zusammensetzen. Diese Technik nennt man Kristallisation; wie bei den Atomen die, wenn sie zum fester Stand werden, sich möglichst kompakt zusammensetzen, entstehen natürliche regelmässige Zusammensetzungen. Dieser Vorgang hat aber den Nachteil, dass er mit Flüssen schwierig verwendet werden kann. Die Grundidee, Kreise zu vergrößern, bisdem das Ganze sich blockiert, bleibt auf jedenfalls ein fundamentales Prinzip der Kreisverpackung. Wie die Natur unterschiedliche kristallene Systeme mit unterschiedlichen Winkeln gewählt hat soll der Faltende auch unterschiedliche regelmässige Zusammensetzungen bevorzugen. Der Versuch, Murmel auf eine Ebene zusammenzupacken, würde es klar machen: entweder organisiert man die Murmel mit einem System von 60 Grad, oder mit einem System von 90 Grad. Die Spitzen aus dem zweiten System werden üblicherweise Entwicklung, Faltung und Photo: F.Perdrix Seite 23 Zusammensetzungen und Photos (im Ausnahne der Quarzkristalle):F. Perdrix

24 zweimal feiner gefaltet, dadurch entstehen kleinere Kreise zwischen den größeren. So kann man wunderbar Grundformen aus diesen Systemen bilden, und zwar wso: sie werden aus gleichen Teilen gebildet, sodass keine Flüsse entstehen. Solche symmetrische, quadratische Ergebnisse bekommt man mit dem ersten System. Wie Sie es vermutlich schon erkannt haben, ist das System die Grundlage aller Ihnen bekannten klassischen Grundformen. Die Natur hat es anscheinend auch für Quarz-Kristalle geschätzt... Dann wird das andere System abgebildet. Zusammensetzungen und Photos (im Ausnahme der Bienen):F.Perdrix In einem System von 60 Grad müssen die Spitzen, im Gegensatz zu dem Vorherigen, nicht unbedingt nochmals verfeinert werden. Daher entstehen keine zusätzlichen Kreisen. Ich zeige jetzt, wie Grundformen dieses Systems aus einer Form gebildet werden können, was die Bienen haben gut schätzen können, damit der kostbare Honig möglichst kompakt gelagert werden kann. Die sechseckige Grundform wird auch zweimal in ihrer gefalteten Form gezeigt. Diese Art von Grundformen ist zwar ein Juwel an Sparsamkeit, aber keine quadratische Leistung. Daher werden sie so, ohne weitere Veränderungen, nicht oft verwendet, weil das moderne Origami ein quadratisches Format verlangt. Eine Ableitung von der ersten Abbildung wird später in meiner Arbeit als Basis für eine Schwildkröte genutzt werden. Könnten sechs Kreise nicht einen Schwanz, einen kleinen Kopf und vier Beine biwlden? Spaltung einer Spitze Die beiden folgenden Techniken, die Spaltung und der so genannte grafting, beschreiben eine Art, eine schon entwickelte Grundform zu verändern; dadurch werden aus einer schon existierenden Kreisverpackung Details hinzugefügt. In der Spaltung geht es darum, eine Spitze in unterschiedliche Spitzen zu spalten; wie bei einem Arm, der in fünf Finger gespaltet werden muss. Deswegen, weil dieser Fall relativ oft vorkommt, werden Faltsequenzen entwickelt, die eine bestimmte Spitze in beliebig viel kürzeren Spitzen spalten. Die einfachste und schnellste Lösung wäre natürlich die Benützung von Scheren, was manchmal verwendet wird, aber es passt nicht zu den Ansprüchen der modernen «puristischen» Origami: ein Quadrat Papier, kein Schnitt, kein Klebstoff». Wir werden dieses Problem mit Hilfe der Kreisverpackung lösen. Eine Spitze kann als unendlich viel aneinander geklebte kleine Flüsse betrachtet werden, also darf man eine Spitze in Flüsse zerlegen. Also können wir das Problem so stellen: Wir werden das Ergebnis für zwei, drei und dann vier Spitzen, herausfinden. Ich zeige hier nicht nur die Lösung, die Sie aus irgendeinem Buch holen können, sondern auch, was wichtiger ist, die Vorgehensweise, mit der ich persönlich zu diesem Ergebnis gekommen bin. Seite 24

25 Die erste Abbildung zeigt schematisch eine Spitze, die aus zwei Teilen besteht, die also 22,5 Grad breit ist. Das Papier ihres Endpunktes steht in der zweiten Abbildung zur Verfügung, um daraus zwei Spitzen zu machen. Nachdem die zwei Kreise möglichst groß kristallisiert wurden bilden sich zwei anderen kleineren Kreise. Eine gefaltete Form davon wird gleich gezeigt. Eine dritte Spitze an der Ecke hat sich automatisch gebildet: also würden wir vielleicht die sparsamste Lösung für drei Spitzen erreichen, wenn wir diese Spitze mit den zwei anderen gleichen. Eine andere Lösung wäre aber auch, den kleinen mittleren Kreis auf dieselbe Art zu vergrößern. Ich zeige hier die zwei Lösungen: die erste, die unten auf dem Bild zu sehen ist, ist die von Robert J. Lang bevorzugte und die zweite der relativ berühmte Yoshisawa Split, rechts auf dem Bild, die wir aus einfachen Kreisen haben selbst entdecken können. Zum Vergleich zeige ich links auf dem Bild die beste Lösung für zwei Kreise. Die entsprechenden Faltungen werden gezeigt. Entwicklung und Faltung und Photo:F. Perdrix Faltung und Photo:F. Perdrix Faltung und Photo:F. Perdrix In der ersten Abbildung wird sich ein Fluss bilden, der den Abstand zwischen den Bergen füllen wird und den mittleren Kreis verkürzen wird. Daher wird die Teilung in Yoshisawas Lösung etwas anders, damit der mittlere Kreis von einem Fluss nicht gekürzt wird. Wir merken in dieser Spaltung, dass die obere Spitze versteckt wird. Es liegt daran, das die zwei Teile, mit denen sie in Kontakt gesetzt ist, mit den gegensätzlichen Falten als die zwei anderen gebildet sind. Vielleicht können Sie es probieren? Die Lösung von Robert J. Lang, die die wirksamste ist, ist auch für mehr als drei Spitzen verwendbar. Auf jedenfalls eignet sich dieses System aber besser an eine ungerade Anzahl von Spitzen. Je mehr Spitzen gebildet werden, je kleiner sind die erreichten Spitzen, bis dass sie an einem Punkt unverwendbar werden. Um diese Lösungen aus nichts zu entwickeln, habe ich die ganze Theorie etwas erweitern müssen. Daher, um Ihnen das Gefühl zu geben, wie es in der praktischen Forschung läuft, zeige ich drei Lösungen, die Ihnen gut scheinen werden, und die in der Praxis schief gelaufen sind. Dahinter stecken auch Gründe, die wir jetzt nicht untersuchen werden. Wir nehmen dazu als Beispiel eine Spaltung in fünf Spitzen. So sieht die theoretische Überlegung aus: Die Herausforderung ist jetzt, die entsprechende Teilung herauszufinden... Man hätte denken können, dieses wäre durch eine gleichmässige Teilung des entsprechenden Winkels erfolgt. Diese erste Lösung, bzw. die erste Abbildung, wird in der Praxis nicht erlauben, alle Kreisen gleichlang zu bilden, indem Flüsse sich bilden werden. Es wird zu einem tannenbaumartigen Ergebnis führen, wie abgebildet, und zwar wegen den Winkelunterschieden an den Zentren der Kreise. Ich ermutige Sie, es selbst zu versuchen. Bilden Sie dafür jeden Teil unabhängig von jedem Anderen, und fügen Sie dann alle notwendigen Verlängerungen. Seite 25

26 Also müssen wir eine andere Lösung finden, und zwar mit dem notwendigen Ausgangspunkt, der dann abgebildet wird. Dann werden die Striche weiter gezogen, sodass sie sich zu zweit binden; das Ergebnis davon zeigt die dritte und letzte Abbildung, die noch keine richtige Kreiszusammensetzung darstellt aber eine richtige Teilung enthält. Bis jetzt hatten wir nur mit konvexen Teilen gearbeitet; die konkaven Teilen, die letzte Neuigkeit in diesem Kapitel, funktionieren fast gleich, mit dem wichtigsten Unterschied, dass kein Kreis aus den konkaven Winkeln gebildet wird; an diesen Punkten berühren sich Flüsse. Mit Hilfe dieser Information ermutige ich euch, die Kreisverpackung der wirksamste Spaltung in fünf Spitzen zu zeichnen. Diese kleinen Experimente habe ich auch gezeigt, um die Vorgehensweise des Origami-Forschers abzubilden; er versucht, merkt, wenn es nicht klappt; er versteht, warum es nicht geklappt hat, und versucht weiter. Dann klappt es wieder nicht, und dann muss er seine Voraussetzungen wieder verfeinern. So habe ich, mit Hilfe von Robert J. Lang, die Tiefe der Kreisverpackung entdeckt, was ich Ihnen in diesen Kapiteln versucht habe, zu vermitteln. Wir haben diese Methode mit einer Spitze untersucht, die sich an einer Ecke befand. Die Bildung dieser Spaltung bei einer Seite oder sogar ohne Seite ist nur die Folge davon, sie ist nur eine wiederholte Form derselben Basis. Die Kreise hängen sehr eng mit der Teilung der zu spaltenden Spitze ab. Daher kann man die dicke Spitze Entwcilklung:F.Perdrix Entwcilklung:F.Perdrix Entwcilklung:F.Perdrix Entwiklung:F.Perdrix Wir können festlegen, dass, in einem Dreieck ABC, zwei Kreise, deren Zentren auf A und B liegen, nur gleichlang sind, wenn der Winkelhalbierende des Winkels in C die Strecke AB in ihrer Mitte schneidet. Daher muss das Dreieck ABC gleichschenklig in C sein. In unserem Fall wird es unmöglich, solange wir die Zentren der Kreisen auf den Seiten des Blattes behalten, was für die Wirksamkeit notwendig ist. Faltung und einer Frosch-Grundform gut in vier Spitzen spalten, obwohl man den Kopf einer Schildkröte eher in sechs Spitzen spalten kann. Was ihr, am Rande gesagt, künstlerisch gesehen nicht viel bringen würde. Diese drei Faltungen sind besonders knackig, weil das Ganze sehr geschlossen ist. In den drei hier abgebildeten Beispielen stammen die zwei ersten aus einer feineren Spitze als in dem letzten, der typisch der Seite 26 Faltung und Faltung und Entwcilklung:F.Perdrix Faltung und Faltung und Faltung und

27 Kopf unserer Schildkröte sein könnte. In dem ersten Fall, das aus Langs Lösung abgeleitet ist, wurden die Spitzen erst gebildet, was die zweite Abbildung zeigt, und dann verfeinert, was die dritte und vierte Abbildungen zeigen. Das zweite Beispiel habe ich aus Yoshisawas Lösung abgeleitet. Die Idee ist, dass jede Seite eines Teils das Zentrum eines Kreises treffen muss; dadurch werden in dem dritten Beispiel sechs große Kreise gebildet, und zwar total unabängig davon, ob man die Yoshisawas Lösung oder die von Lang erreichen will. Es ist auch bemerkenswert, dass in jeder Yoshisawa-Lösung zwei Spitzen, zusätzlich zum zentralen Kreis, nicht gebildet Origami Design Secrets, Robert J.Lang Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang werden können, bzw. in dem Modell versteckt sein müssen, um die andere zu befreien. Wir wissen vermutlich alle, dass eine Gottesanbeterin zwei Antennen, einen Kopf und einen ganz kleinen Schnabel hat. Aus dem Hals hat der Künstler irgendwann diese unterschiedlichen spitzenartigen Formen bilden müssen... Und zwar hat er es so gemacht; ich zeige den CP von der Grundform einer Gottesanbeterin, und dann eine gefaltete Form. Genau wie es in dem ersten Beispiel abgebildet wurde können Sie hier eine Spaltung in vier Spitzen erkennen. In diesem Beispiel kann man festellen, dass es manchmal sparsamer ist, eine Spitze zu viel zu bilden, die dann versteckt wird, wenn eine regelmässigere Kreiszusammensetzung dadurch ermöglicht wird. Hier werden zwei Spitzen für die Antennen verwendet, sowie eine zum «Gesicht» der Gottesanbeterin geöffnet wird. Die vierte geformte Spitze wird einfach hinter den zwei Antenen im Modell versteckt. Diese Spaltung ist nicht immer ideal, es bringt nicht immer etwas; zu viele Detail können die Schönheit der Form verhindern.die Kunst des Origami als Darstellung einer Realität bleibt eine Andeutung und wird es immer bleiben. Grafting Diese Technik, deren englischer Name grafting ist, bezeichnet eine Art, an eine schon entwickelte Grundform Veränderungen anzubringen, und zwar durch die Hinzufügung von Teilen bzw. von Streifen. Wir wissen, dass ein Streifen einen langen Fluss mit kleinen Kreisen an seinen Ecken enthält. Deswegen bleibt die Kreisverpackung der ursprünglichen Grundform fast unverändert. Dieser Vorgang wird gleich mit einem Beispiel abgebildet. Aus der Frosch-Grundform, die ich mit der ersten Abbildung zeige, kann ein einfacher Frosch dargestellt werden. Robert J. Lang wollte aber seinem Frosch Fingernägel geben... Es gibt zwei Lösungen dafür: entweder werden die Beine in Fingerspitzen gespaltet, indem das Papier aus den Beinen genommen wird, wo wie wir es schon kennen. Hier werden wir aber Papier hinzugefügen. Und zwar muss man Papier an den Endpunkten der Beine hinzugefügt werden, also an den vier Ecken des Blattes. Dann muss man Teilen so hinzufügen, dass die sehr sparsame Frosch-Grundform nicht verändert wird; das heisst, dass die hinzugefügte Teile die alten Teile nicht entgegen laufen müssen, sonderm entlang. Das Ergebnis muss auch quadratisch bleiben. Also entsteht die zweite Abbildung. An diesem Punkt müssen wir erfahren, dass ein solcher Frosch jeweils vier Fingernägel und fünf Zehen hat; diese biologischen Voraussetzungen werden natürlich beachtet. Wie wir es in der Spitzenspaltung geforscht haben müssen wir jetzt diese kleine Kreisen setzen Seite 27

28 Noch eine Bemerkung über dieses Beispiel: Bei der neuen Zusammensetzung von Kreisen und Flüssen wurden vier kleine Kreisen im Zentrum gebildet, was aber ursprünglich nicht gedacht war. Es wäre aber etwas schade, aus diesen willkommenen Spitzen nicht zu geniessen: damit hat Robert J. Lang seinem Frosch Augen gegeben. So muss man auch arbeiten, indem alles nicht vorausgeplant werden kann. Mit der Aus- Etnwicklung:F.Perdrix Etnwicklung:F.Perdrix «Origami Design Secrets», R.J.Lang Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang nutzung von willkommenen Zufällen hat er also dieses Modell geschaffen, das eines des bekanntesten Origami dieses Künstlers geworden ist. Verfeinerung Wenn die Grundform mit ihrer entsprechenden Kreisverpackung entwickelt wurde, müssen die erreichten Spitzen oft verfeinert werden. Es gibt dafür grundsätzlich zwei Methoden: entweder arbeitet man mit einer Achse, die durch Winkelhalbierende radial zu der Spitze läuft, oder parallel zu der symmetrischen Achse (auf dem alle Seiten der Teile gebracht wurden). Die zweite Methode erlaubt, komplexe Grundformen sehr fein zu bilden, beispielsweise genau dargestellten Insekten, was mit der ersten Methode durch die Bildung vieler zusätzlichen Falten unglaublich anstrengend wird. Die erste Methode behält jedoch eine Eleganz, die die zweite nicht erreicht. Ich zeige hier die Verfeinerung einer Spitze mit den zwei Methoden. Zunächst wird die Basis ein einfaches viereckiges Teil gezeigt. Dann zeige ich die erste Methode, die in zwei Schritten fortgeht: die vier Spitzen wurden zweimal und dann noch zweimal feiner geformt. Danach wird die zweite Methode in einem Schritt abgebildet. Das letzte Bild zeigt eine Kombination aus den zwei Methoden, was beispielsweise dafür nützen würde, um einer Ameise spitzige und feine Beine zu geben. Seite 28

29 90.0 Solche Prinzipien werden in komplexeren Origami (fast) immer verwendet. Um es abzubilden zeige ich hier zwei CPs: das erste ist das CP des Elches, der in der Einführung gezeigt wurde. Die Falten, die zur Verfeinerung nutzen, laufen hier alle Parallel zu den Seiten der Teile. Nur ganz rechts können Sie merken, dass viele Falten radial zur Zentren der Kreisen laufen; hier wurde eine Kombination der beiden Methoden verwendet, um das Geweih zu bilden. Noch eine Bemerkung über die CP, im allgemeinen Sinne, muss ich hinzufügen: die CPs sind eine Art Kode für die Origamisten, also eine Art, sich die Geheimnisse eines Modells untereinander zu vermitteln. Und zwar weil eine guter Origamist so einen CP wie ein Buch «lesen», bzw. «entziffern» kann, so dass er dann eine relativ genaue Variante des Modells selbst falten kann. Den Anfang dieses Prozesses werde ich hier machen, um Ihnen eine Idee zu geben: Wir haben links drei Kreise, einen in der Mitte, einen oben und einen unten, die logischerweise ein linkes Bein, einen Schwanz und dann ein rechtes Bein bilden werden. Die Orientierung des Elches ist hier klar: der Kopf des Elches befindet sich rechts, mit den Feinheiten des Geweihs, und der Schwanz links. Dann entdecken wir, fast ganz oben und unten, zwei andere Kreise, die zwei vordere Beine bilden werden. Die Tatsache, dass es zwei Zonen gibt, jeweils zwischen einem hinteren Bein und einem vorderen Bein, in denen es wenige Falten gibt, wird dem Körpers des Elches (es handelt sich hier, wie bei unserer Giraffe, um einen Fluss), etwas Breite geben. Mit diesen Feststellungen als Ausgangspunkt würde hier ein Meister das Geweih entziffen, sowie alle anderen Feinheiten der Komposition dieses Modelles, sodass er uns aus dieser Grundform und seiner Erfahrung ein Elch bilden kann... Entwicklung:Robert J.Lang Seite 29

30 Einführung zu den Origami Tessellationen nach Eric Gjerde Wir haben uns jetzt genug mit Kreisen, Teilen, Achsen und Grundformen beschäftigt; Ab diesem Punkt meiner Arbeit wird die Untersuchung von der Origami Theorie auf eine ganz andere Ebene weitergeführt, und zwar mit Tessellationen. Eine Tessellation. Dieses Wort kommt aus dem Latein tes- sella, dessen Bedeutung das kleine Quadrat ist. Solche Formen werden in Badezimmern als Fliesenverlegen verwendet. Diese Idee, und zwar eine regelmässige Zusammensetzung von Formen, hat die arabische Kunst sehr geprägt; in Moscheen sind zahlreiche geometrische Muster zu bewundern, wegen des Verbots, Allah bildlich darzustellen. Tessellationen sind auch eine angenehme Alternative zu Beton in den Altstädten, wo andere Formen als Quadrate (die berühmten Pflastersteine) auch verwendet werden können. Zahlreiche Künstler haben auch damit geschaffen, wie Eicher. Wir werden uns aber nur damit beschäftigen, wie diese Kunst mit Papier funktionieren kann. Dafür werde ich zunächst, den Vorgang erklären, wie eine Form gebildet werden kann. Dann werden wir versuchen, sie zu kombinieren. Entwicklung:F.Perdri In dieser Kunst ist Schönheit ein Synonym von Reinheit, Regelmässigkeit und Harmonie. Eine Art, diese grundlegende Regelmässigkeit zu erlauben, besteht darin, alle Falten aus einem Netz, also aus einem gemeinsamen Gitter, zu bilden. Es gibt grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten von Gitter, das 60 Gitter, das also aus aufeinander gestellten gleichseitigen Dreiecken besteht, und das 90 Gitter, das aus aufeinander gestellten Quadraten besteht. Ich zeige hier diese zwei Gitter, die aus markierten Falten bestehen: Damit Sie die folgenden Experimente teilweise mitfalten können zeige ich eine Anleitung, die Ihnen klar machen soll, wie Sie diese Gitter falten können. Diese Anleitung zeigt, wie einen Winkel von 60 gebildet werden kann. Dann müssen wie beim quadratischen Gitter Falten hinzugefügt werden, um das Ganze beliebig oft zu dividieren. Wenn Sie Sechzehntel falten wird es genügen, um Formen zu probieren. Um das quadratisches Gitter zu falten, müssen die zwei Hälften gebildet werden, und dann die vier Viertel und so weiter. Dafür zeige ich keine bestimmte Anleitung. Zick-Zack-Faltungen, Formen und Rückseite; die Basis Wir werden jetzt eine bestimmte Art von Tessellationen untersuchen, und zwar die, die mit einer ganz einfachen Falte, einer Zick-Zack-Faltung, beginnt. Diese Falte besteht aus zwei parallelen Falten, die aus zwei direkt daneben parallelen Falten auf dem markierten Gitter laufen. Eine Bergfalte läuft also durch das Blatt, begleitet mit einer Talfalte, die sich entweder links (das obere Bild) oder rechts (das untere Bild) von ihr befindet. Oder unterschiedlich, halb rechts und halb links, was das größere Bild zeigt. Seite 30

31 Photo:F. Perdrix Photo:F. Perdrix Wenn diese Falte allein bleiben würde, wäre das Ganze etwas langweilig. Daher werden wir sie andere gleiche Falten treffen lassen. Was passiert, wenn wir auf die folgende Weise zwei Falten bilden (was ich mit den violetten Pfeilen deute)? Die Antwort lautet: eine neue Zick-Zack-Faltung (und zwar der orange Pfeil) entsteht zwangsweise aus dem Treffen der beiden Anderen. Diese Tatsache ist eine Konsequenz der Regeln, die wir vorher in dem Kapitel über die Mechanismen der Falten kurz erwähnt haben. Bestimmte solcher Kombinationen sind also faltbar, und andere nicht. Diese Feststellung begrenzt drastisch die Anzahl von Möglichkeiten. Entwicklung einzelner Formen Wir betrachten jetzt das Ergebnis dieses Treffens. Die führenden Bergfalten sind festgestellt, aber die begleitenden Bergfalten haben jeweils zwei Möglichkeiten, gefaltet zu werden. Davon hängt die Orientierung des Streifens ab. Ich zeige hier die zwei mögliche Zusammensetzungen; entweder zeigen grundsätzlich zwei dieser Streifen in eine Richtung und die dritte in die gegensätzliche Richtung, was mit der ersten Abbildung gezeigt wird, oder sie zeigen alle in dieselbe Richtung. Unter Richtung ist Uhrzeigersinn bzw. Gegenurzeigersinn zu verstehen. Wenn alle Streifen in eine Richtung zeigen, bildet sich sehr interessanterweise und zwanghaft ein Dreieck, was mit den zwei anderen Abbildungen verständlich wird. Wenn wir mit Hilfe der vierten Bild die Rückseite des Blattes beobachten, wird es klar, wie die führenden Falten sich getroffen haben. Jetzt machen wir ein entsprechendes Experiment mit dem anderen Gitter, sodass vier Falten sich an einem Punkt treffen. Ich zeige unterschiedliche Ergebnisse, die von der Richtung der einzelnen Streifen abhängen. Bei der ersten Abbildung zeigen alle Falten nicht in dieselbe Richtung, was ab der zweiten Abbildung der Fall ist. Die Rückseite sieht aber immer gleich aus, weil sie nur die Stelle der unterschiedlichen Zick-Zack-Faltungen zeigt. Mit drei Zick-Zack-Falten kann ein Dreieck und mit vier ein Quadrat gebildet werden. Langsam wird es klar, dass wir mit sechs sich an einem Punkt treffenden Zick-Zack-Faltungen ein Hexagon bilden könnten... Bis jetzt haben wir nur Formen gebildet, bei denen alle Falten sich an einem Punkt getroffen haben. Wir bleiben für die nächsten drei Experimente immer bei einer regelmässigen Zusammensetzung, aber versuchen Seite 31

32 Folgendes: Es entstehen also größere Formen, die aber dieselbe Proportionen behalten haben. Ihre Neigung wurde auch interessanterweise etwas verändert. Das ist der erste Schritt, den ich 1 nenne. Wir können aber weiter in diese Richtung gehen. Ich zeige jetzt eine einfache orange Tessellation, die aus einem 2 Dreieck und einem 3 Dreieck besteht, die verbunden wurden; in diesem Fall beginnt eine Zick-Zack-Falte in einem 90.0 Dreieck und endet in dem anderen, was später eine wesentliche Rolle spielen wird. Diese Ableitungen von einfachen Formen sind anspruchsvoller, indem sie aus Falten bestehen, die nicht nur alle in dieselbe Richtung zeigen müssen, sondern alle in eine von der Form bestimmte Richtung zeigen müssen, um offen zu bleiben. Deswegen muss man die Orientierung jeder einzelner Zick-Zack-Faltung beachten.. Natürlich kann man auch wundervolle Tessellationen schaffen, in denen alle Formen absichtlich geschlossen wurden, was wir aber nicht machen werden. Es ist auch klar, dass nur eine bestimmte Art von den möglichen Formen erwäht wurde. Ich werde absichtlich keine andere Art von Formen erwähnen, bzw. die Weiterentwicklung dieser Formen nicht besprechen, weil diese Formen uns genügend Möglichkeiten für dieses Kapitel bieten. Damit Sie das Gefühl bekommen, wie solche Formen gefunden werden, schlage ich Ihnen diese kleine Herausforderung vor: Und zwar sollten Sie aus einem solchen Treffen eine Raute falten... Ich empfehle Ihnen, zuerst die Falten zu zeichnen, um Ihnen die Faltung klarer zu machen. Ich gebe Ihnen eine kleine Hilfe. Die Grundidee ist, dass jede Bergfalte eine Ecke der Form trifft und dass die begleitende Falte von dieser Bergfalte, eine Talfalte, eine andere Ecke der Form treffen muss. Es ist eine notwendige Bedingung, damit alle dieser Formen gefaltet werden können. Daraus können Sie herausfinden, ob Zick-Zack-Faltungen alle im Uhrzeigersinn oder alle im Gegenuhrzeigersinn gerichtet werden müssen. Die zweite Bedingung, die für eine Raute kein Problem stellt, lautet, dass die Forme gleichseitig sein soll. Seite 32

33 Die Vorderseite ist die Seite, auf der die Formen zu sehen sind. Es kann schwierig sein, die Zick-Zack-Faltungen aus dieser Seite zu entziffern. Im Gegensatz zu der Vorderseite zeigt die Rückseite auf eine sehr klare Weise, wie die Zick-Zack-Faltungen Formen gebildet haben. Daher werden wir jetzt mit den beiden Seiten des Papiers arbeiten. Daher können wir Folgendes schliessen: Die Formen hängen von den Kreuzungen von Zick-Zack-Faltungen ab, die auf der Rückseite zu sehen sind. Beispielsweise kann ein Quadrat so gebildet werden, indem sich jedes Mal vier Falten mit 90 treffen; jedes Mal, wenn drei Falten sich mit 120 treffen, kann ein Dreieck gebildet werden; jedes Mal, wenn sechs Falten sich mit 60 treffen, kann ein Sechseck entstehen. Entwicklung von Tessellationen Wir haben bis jetzt nur einzelnen Formen gebildet; eine Tessellation ist aber ein Muster, das unendlich vergrößert werden kann. Also müssen wir dazu Formen arrangieren, zusammensetzen. Und zwar werden wir jetzt versuchen, Tessellationen zu bilden, die aus der Wiederholung einer einzigen Form bestehen. Wir beginnen mit einem quadratischen Gitter und bilden Formen aus den Kreuzungen zwischen vier Zick-Zack-Faltungen. Wir müssen also eine Rückseite erreichen, deren alle Kreuzungen aus vier Falten bestehen. Für dieses Beispiel und alle folgenden gehe ich davon aus, dass die Falten, die eine Form bilden werden, von den Winkeln her gleich ausgeteilt werden. Mit der zweiten Abbildung zeige ich also, wie die Kreuzungen der Rückseite zwangsweise aussehen müsssen. Wir haben schon entdeckt, dass zwei eleganten Formen aus solchen Kreuzungen gebildet werden konnten. Wir haben also alle Elemente gesammelt, um zwei Tesellations zu falten, welche abgebildet sind. Tessellationen werden oft von hinten beleuchtet, was unsichtbare spannende Formen sichtbar machen kann. Wir lassen das quadratische Gitter zur Seite und versuchen, mit Dreiecken zu arbeiten. Das heisst, wir müssen eine Rückseite so entwickeln, dass alle Kreuzungen aus drei Falten bestehen. Es gibt wieder nur eine regelmässige Möglichkeit, und zwar wird sie shematisch abgebildet. Aus diesen Kreuzungen wissen wir, dass zwei Formen gebildet werden können. Ich zeige also die zwei Arten von Tessellationen, die aus einfachen Dreiecken bestehen, eine links und eine rechts. In der ersten Lösung wurde ein Abstand von einer Einheit zwischen den Dreiecken gelassen, damit die Zick-Zack-Faltungen auch durch Schatten sichtbar werden. Um das Verhältnis zwischen Zick-Zack-Faltungen, Formen und Rückseite klarer zu machen, zeige ich hier die Rückseite der aus Dreiecken bestehenden Tessellation, nach Bemalung der Rückseite von der Abfaltung Ich zeige noch die Rückseite einer aus Sechsecken bestehenden Tessellation, die aber in der Praxis kein künstlerisch interessantes Ergeb- Seite 33 Faltung, und Faltung, und Faltung, und Faltung, und

34 nis bringt. Bis jetzt haben wir nur mit so genannten regelmässigen Formen gearbeitet; Es sind Formen, deren Ecken alle auf einen Kreis gestellt können werden. Die Zick-Zack-Faltungen, die eine Raute ergeben, treffen sich aber nicht in einem einzigen Punkt. Also wird man eher von Faltenzusammenbindung als von Kreuzung sprechen, und zwar zeige ich hier mit der ersten Abbildung die Rückseite einer Raute. Rückseite, die Sie vermutlich schon kennengelernt haben... Aus dieser Basis habe ich die zwei folgenden Rückseiten entworfen, die grundsätzlich nur aus Rauten beste- Faltung, Entwicklung und Photo:E.gjerde Um diese Faltung zu erreichen hat Christine Edison aus der zweiten Tessellation gearbeitet: sie hat sie viel breiter gemacht und dann Sechsecke teilweise im Raum geöffnet, aber keine andere Formen verwendet. Faltung, und hen. Betrachten Sie genau die Faltkombinationen; werden alle Rauten in dieselbe Richtung zeigen? Wenn nicht, warum? Diese kleine Skizzen können in der Tat in Rauten umgewandelt werden! Und zwar ist es eine spannende, aber nicht unbedingt einfache Sache, genau die gewünschte Rückseite zu erreichen. Ich habe es jedoch für die beide Fälle entwickelt, und zeige hier das Ergebnis der zweiten Lösung und ihrer Rückseite. In der Praxis wird die erste nicht erlauben, alle Rauten gleichzeitig offen zu lassen. Damit sieht man, wie aufmerksam dieses Problem beachtet werden muss. Die Unterschiede der Neigungen in der gelungenen Lösung hängt von den Neigungen der Faltkombinationen ab. Faltung und Photo:F. Perdrix Wenn der Faltende diese Formen mit ihren Möglichkeiten und ihren Ansprüchen kennengelernt hat, kann er sie in einer Tessellation sammeln, wie der Koch eine Speise mit Zutaten komponiert. Er muss mit Kontrasten, mit Rhythmus, Spannungen, Richtungen, Winkeln usw. arbeiten sodass das Ergebnis dem Auge eine spannende Harmonie bietet. Das ist Kunst, und wie alle Künste ist diese unerklärbar. Deshalb werde ich nicht versuchen, sie wissenschaftlich zu erklären. So werden wir aber in den nächsten Seiten arbeiten: Damit der Künst- Seite Faltung und Faltung und

35 ler gezielt arbeiten kann muss er Erfahrungen gesammelt haben, und diese Erfahrung geschieht nur durch Forschung und Neugier. Wir werden also aus einer einfachen Tessellation Varianten bilden, damit Sie das Gefühl bekommen, wie der Künstler vorgehen soll, und auch wie zahlreich sind die Möglichkeiten, die diese Kunst bietet. Damit die Speise des Kochs geschmackvoll wird, möchte er zwei Zutaten sammeln. In unserem Fall wählen wir Dreiecke und Sechsecke. Wir müssen also eine Rückseite erfinden, die Kreuzungen aus drei Falten und Kreuzungen aus sechs Falten bietet. Diese mögliche Rückseite ist logischerweise eine Mischung aus der dreieckigen und sechseckigen Tessellationen. Ich zeige direkt das gefaltete Ergebnis, in dem die Zick-Zack-Faltungen so gerichtet wurden, dass die Formen geöffnet wurden. Ab jetzt werden wir immer einem Modell leichte Variationen hinfügen. Wir versuchen, aus diesen Dreiecken 1 Dreiecke zu bilden. Um dieses Ergebnis zu erreichen, müssen wir an allen Stellen, wo sich drei Falten kreuzten, Platz für ein kleines Dreieck, das eine Einheit breit ist, lassen. Ich zeige hier die entsprechende Rückseite, und dann die andere Seite der gefaltete Form. Ich bevorzuge hier natürlich Experimente, die schöne Ergebnisse ermöglichen. Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Wir können auch genauso die Sechsecke vergrößern, was zwei Abbildungen erfolgen wird. Bisher haben wir nur die Formen geändert; wir können aber auch mit den Abständen zwischen diesen Formen experimentieren. Anstatt, den Abstand zu wählen, der sich alle Formen berühren lässt, ohne dass sie sich überschreiten, was bis jetzt gewählt wurde, können wir einen kleineren Abstand wählen. Die Konsequenz ist einerseits, dass die Streifen, die auf der Rückseite die Formen bilden, feiner werden. Andererseits wird diese Faltung eine ernsthafte Herausforderung für den Faltenden. In diesem Fall bietet die Vorderseite keinen sehr interessanten Rhythmus; auf der Rückseite entsteht aber eine graphische webenartige Struktur. Das Sechseck wurde zum 1 Sechseck gemacht und das Dreieck zum 1 Dreieck. Wenn die beiden einmal vergrößert werden, ergibt sich die rote Tessellation. Seite 35

36 Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Es wird langsam klar, dass das System, das wir durch diese Tessellation bewegen, unendlich viele Möglichkeiten bieten kann. Und zwar kann eine Tessellation aus beliebig viel vergrößerten Sechsecken und unabhängig davon beliebig vergrößerten Dreiecken erstehen. Dazu muss ich ehrlich hinzufügen, dass sehr große Formen dem Auge keinen spannenden erkennbaren Rhythmus bieten. Die Rückseite dieser Tessellationen besteht aus Streifen, die so zusammengesetzt werden, dass sie Sechsecke und Dreiecke bilden. Wenn die Breite dieser Streifen am kleinsten ist, überschreiten sich die Formen; wenn sie zweimal größer ist, berühren sich alle Formen, und wenn sie noch breiter ist, entstehen Abstände zwischen den Formen. Die Länge dieser Formen bestimmt aber die größe der Formen, und zwar folgendermassen: wenn die Länge beispielsweise gleich 5 ist können die Streifen so zusammengesetzt werden, dass: einfache Dreiecke und 5 Sechsecke entstehen; 1 Dreiecke und 4 Sechsecke entstehen; 2 Dreiecke und 3 Sechsecke entstehen, und so weiter, sodass die Nummer vor den Dreiecken plus die Nummer vor den Sechsecken der Länge der Streifen gleicht. Es scheint mir noch wichtig, hinzuzufügen, dass diese Tessellationen einen riesigen Vorteil haben, und zwar, dass alle Formen gleichzeitig geöffnet werden können. Es scheint vielleicht selbstverständlich, es kann jedoch potentiell ein sehr problematisches Hindernis werden. So wie wir bei unserer Giraffe untersucht haben, wie ihre Grundform funktionierte, so haben wir jetzt untersucht, wie diese bestimmten Tessellationen funktionieren. Dieses Verständnis erscheint mir wichtig, weil es die Antwort auf die ewige Frage Warum klappt es denn so? erlaubt. Dann, und nur dann, kann der Künstler seine Untersuchungen weiterführen. Das werden wir auch tun, indem wir das Ganze auf einem quadratischen Gitter entwickeln werden. Dazu brauchen wir also Streifen, die dann auf eine regelmässige Weise Kreuzungen bilden werden. Wenn Sie es versuchen, werden Sie schnell voraussehen können, dass diese Tessellationen nur aus Quadraten bestehen werden. Es ist aber nicht unbedingt ein Nachteil, indem die unterschiedlich vergrößerten Quadrate durch ihre leicht ungleichen Neigungen einen spannenden Rhythmus schaffen können. Seite 36

37 Seite 37 Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und Ich habe dieses System von Mustern ausreichend erklärt; jetzt zeige ich einige Möglichkeiten, die ich daraus geschaffen habe. Sie können darin, von links nach rechts und von oben nach unten, Tessellationen mit 1 und 1, 1 und 3, 1 und 1, 1 und 3, 1 und 3, 1 und 1, 1 und 2 und 2 und 3 Quadraten erkennen.

38 Wir haben jetzt eine Art von Tessellation erfunden, mit einer bestimmten Art von Formen und einer bestimmten Art von Zick-Zack-Faltungen. Und zwar waren diese Faltungen eine Einheit breit, was genau genug Stoff gegeben hat, um unsere Formen zu bilden. Zick-Zack-Faltungen, die zweimal breiter sind, bilden grundsätzlich zwei mal grössere Formen, was nicht direkt interessant ist. Zick-Zack-Faltungen, die doppelt sind, bieten im Gegensatz zweimal mehr Stoff, um weiterentwickelte Formen zu bilden. Ich beleuchte hier, was ich mit doppelten Zick-Zack Faltungen meine. Jede doppelte Zick-Zack-Faltungen kann vier (2 hoch 2) unterschiedliche Orientierungen übernehmen... Das zweite Bild zeigt eine davon, die dann in dem Beispiel verwendet wird. Also würde eine Kreuzung von vier solcher Faltungen auf einem quadratischen Gitter recht viel mögliche Orientierungen bieten. Mit dieser Kreuzung als Ausgangspunkt werden wir eine Tessellation schaffen, die ich aus zufälligen Gelegenheiten geschaffen habe. Ich zeige also das Blatt Papier, als die vier doppelten Zick-Zack-Faltungen gebildet werden. Faltung und Faltung und Wenn wir diese Zick-Zack-Faltungen scharf falten bildet sich zwanghaft die zweite Abbildung. Das Ganze wollen wir irgendwie flach falten, deswegen entsteht zunächst die dritte und zweimal abgebildete Etappe, und schliesslich die fünfte Abbildung. Wir merken schon, dass die Räumlichkeit sehr schöne Möglichkeiten bieten kann. Wir erkennen in dieser Etappe ein bekanntes Motiv, und zwar die Wasserbombe-Grundform... Wie wir aus Faltung und Faltung und Faltung und Faltung und dieser Grundform durch die Verfeinerung der längeren Spitzen die Vogel-Grundform erreicht haben versuche ich, aus einer Ecke dieses Quadrates dem Papier eine Blütenblatt-Faltung übernehmen zu lassen. Das sechste Bild zeigt das Ergebnis davon. Wenn die vier Ecken des Quadrates so gefaltet werden sollten wird das Ganze nicht mehr flach liegen können. Ich zeige es in der siebten Abbildung. Dann werden die vier kleinen Flügel, die sich außerhalb der geformten Pyramide befinden, rund um diese Pyramide gefaltet, um sie besser zu schliessen. Eine Form haben wir aus einer Kreuzung gefaltet. Wir müssen aber noch andere Formen bilden, um mit den Kontrasten zwischen ihnen ein schönes Bild zu malen. Dafür betrachten wir zunächst die Rückseite. Ich zeige, wie sie jetzt ist, und dann eine regelmässige Möglichkeit, die wir entwickeln könnten. Ich habe sie gewählt, weil alle Kreuzungen dieselben Winkel haben, was Regelmässigkeit bringen wird. Die zwei Linien der ersten Abbildung stellen doppelte Zick-Zack-Faltungen dar; alle Linien der zweiten Abbildung müssen nicht unbedingt so sein; es würde Abwechslung bringen, wenn sie teilweise aus einfachen Seite 38 Faltung und Faltung und

39 Zick-Zack-Faltungen bestehen würden. Ich habe deswegen die Möglichkeit gewählt, die ich mit der dritten Abbildung zeige. Wir kennen schon das direkte Ergebnis der vier Kreuzungen, die nur aus einfachen Zick-Zack-Faltungen bestehen. Ich habe sie etwas weiterentwickelt, damit es mit dem Zentrum besser zusammenpasst. Die noch nicht besprochene Kreuzung kann gefaltet werden, was bisher gar nicht selbstverständlich war. Daher finde ich diese Lösung interessant, weil sie relativ viele Abwechslung bringt. Ich zeige hier die erste Lösung, die sich ergibt, wenn alle unterschiedliche Zick-Zack-Faltungen scharf gefaltet werden. Dann habe ich für alle Kreuzungen eine der vielen möglichen Lösungen auf eine etwas spielerische Weise gewählt, um die endgültige Tessellation zu erreichen, die mit dem dritten Bild gezeigt wird. Diese kleine Tessellation könnte man sicher zum unendlichen Muster bringen, was bestimmt auch eine spannende Geschichte wäre, die ich hier aber nicht führen werde. Die Rückseite wird auch gezeigt. Faltung und Faltung und Mit diesem praktischen Beispiel wollte ich zeigen, dass die Möglichkeiten neuer Formen, also neuer Kombinationen, quasi unendlich sind. Jede Tür, die durch die Entdeckung in dieser Origami-Kunst geöffnet wird, lässt hunderte andere noch geschlossene Türen erkennen. Ich habe in diesem Kapitel natürlich Tessellationen gezeigt, die ohne viele Vorkenntnisse verständlich waren. Wir haben beispielsweise immer Tessellationen betrachtet, bei denen alle Zick-Zack-Faltungen auf einer Seite gerichtet waren. Es ist in der Tat komplizierter, eine Tessellation zu verstehen, bei denen es keine Vorder- oder Rückseite mehr gibt, aber nicht uninteressant. Wer würde auch behaupten, alle Falten müssen unbedingt aus einem Gitter stammen? Der Gegensatz, obwohl schwieriger, ist auch perfekt möglich. Um die Idee, dass man aus einem einzigen Blatt Papier mit Zick-Zack-Faltungen doch nicht so viel machen kann, schliesslich zu verfertigen, zeige ich hier einige Modelle von Meistern, die ich als besonders schön empfinde. Entwicklung, Faltung und Photo::Yureiko Seite 39 Bei den Spiralen dieser Tessellation, die von Eric Gjerde ist, kreuzen sich acht Zick-Zack-Faltungen in einem Punkt, also jede mit einem Winkel von 45. Wir haben schon aus einer Kreuzung zwischen vier Faltungen eine einfachere Spirale gefaltet, diese sind eigentlich nur eine weiterentwickelte Form davon. Entwicklung, Faltung und

40 Dieses wunderschöne Modell hat Joel Cooper geschaffen. Es heisst Cyrus, der damaliger Gründer des persischen Reichs. Die räumliche Dimension entsteht grundsätzlich dadurch, dass die Dichte an Zick-Zack- Faltungen bei dem Zentrum des Gesichts kleiner ist als die bei den Ohren oder beim Bart. «Cyrus»:Entwicklung, Faltung und Photo:J.Cooper Diese komplexe Tessellation, die von Christine Edison entwickelt wurde, wird verständlicher, wenn man weiss, dass die Rückseite sichtbar ist. 1 Dreiecke wurden nicht geglättet, daher sind dreieckformige Löcher zu sehen, sowie die Löcher zwischen den großen Sechsecken auch nicht geglättet wurden. Die kleineren Sechsecke wurden auf diese Seite gebildet, und dann wurden die dazu verwendeten Zick-Zack-Faltungen umgekehrt, also auf die jetzt unsichtbare Seite gestellt. Entwicklung, Faltung und Photo:C.Edison Anwendung dieser abstrakten Kunst für ein konkretes Beispiel Das Aussehen der Rückseite der Tessellation wird in diesem Beispiel das Zweck sein. Um es abzubilden kehren wir während ein paar Zeilen zurück zum Robert J. Lang. Wir haben von einer Grundform gesprochen, besser gesagt eine Art von Grundformen, mit denen er eine Schildkröte entwickelt hat. Es wäre vielleicht noch besser, wenn diese Schildkröte einen richtigen Panzer tragen könnte... Und diesen dividierten Panzer, bei einer bestimmten Art von Schildkröte, sieht so aus, was ich dann schematisch vereinfache: Mit unseren bisher besprochenen Kenntnissen sind wir schon fähig, mit Zick- Zack-Faltungen eine Tessellation zu entwickeln, deren Rückseite unserem Panzer entsprechen wird. Aus den Kreuzungen der Zick-Zack-Faltungen kann man Dreiecke bilden, auch wenn sie dann im Modell nicht mehr sichtbar werden. Ich zeige hier die zwei Seiten des Ergebnisses, und schliesslich die gefaltete Schildkröte, genauer eine «west pond turtle», mit ihrem tessellierten Panzer. Photo:siehe Quellen Faltung und Photo:F. Perdrix Faltung und Photo:F. Perdrix Seite 40 Faltung und Photo:F. Perdrix

41 Texturen Wir bleiben immer bei Reptilien, um eine andere Verwendung der Tessellationen zur Darstellung einer Realität einzuführen, und zwar handelt es sich um die Texturen; sie haben die Entwicklung dieser zwei Modelle erlaubt; das erste wurde von Robert J. Lang entwickelt, sowie das zweite von Satoshi Kamiya. Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang Wir müssen diesen Vorgang in seine unterschiedlichen Schritte zerlegen, um ihn zu verstehen. Zuerst wird für ein bestimmtes Modell, hier ein Fisch, eine Textur gewählt, die ihm künstlerisch gesehen etwas bringen würde. Für die Schuppen eines Fisches zeige ich hier eine schematische Vereinfachung. Dann muss man untersuchen, ob diese Textur überhaupt gut faltbar ist, und ob diese Lösung die sparsamste ist. In diesem Schritt werden Theorie der Tessellationen anwendet. Ich zeige mit zwei Abbildungen eine mögliche Lösung, die Robert J. Lang entwickelt hat. Dann muss dieses Muster auf dem Körper des Fisches hinzugefügt werden. Der Fisch muss natürlich keine Schuppen auf seinen Flossen bekommen... Daher muss der CP studiert werden. Die Schuppen werden hier Entwicklung, Faltung und Photo:S.Kamiya Origami Design Secrets, rr.j.langf geformt, wo Zick-Zack-Faltungen sich kreuzen. Das Gitter ist hier ein 90 Gitter, also wird es vier Zonen rechts, links, oben und unten von den Schuppen geben, die einfache Zick-Zack-Faltungen tragen werden. Zu diesen Zonen müssen die Flossen auch nicht gehören. Obwohl die Zick-Zack-Faltungen einigermassen abgeleitet werden können muss man dieses beachten. In dem Fall dieses Koi hat Robert J. Lang es ohne Probleme durchführen können; ich zeige den Fisch ohne und dann mit seinen tessellierten Schuppen. Faltung und Photo:F. Perdrix Seite 41

42 Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang Ich füge noch schnell hinzu, dass eine solche Faltung mehr als zehn Stunden dauert, was ich nicht durchgeführt habe, weil über 400 Schuppen geformt werden müssen... Das Material: das Papier Das origamistische Grundrezept lautet: nehmen Sie ein Blatt und falten Sie es, um etwas schönes zu schaffen: das einzige Material des Künstlers ist eine gut faltbare glatte Fläche; Dazu hat sich das Papier im Laufe der Jahrhunderte als sehr gut geeignet durchgesetzt. Wir werden versuchen, herauszufinden, inwiefern die Eigenschaften des Papiers den Ansprüchen des Faltens entsprechen... Wir werden dann unterschiedliche Papiere unterscheiden, und schliesslich seine Herstellung kurz erläutern. Seine Haupteigenschaften Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang Das Papier ist weder starr, noch akzeptiert er nicht alle Falten, indem es nicht gestreckt werden kann. Die Fähigkeit des Papiers, eine Falte zu speichern, indem diese Falte markiert wird, ist auch notwendig für das Origami. Aus solchen Gründen wird Papier häufig verwendet, um Modelle zu schaffen. Das Papier ist aber ein sehr vielfältiger Stoff; vom Backpapier bis zur Serviette und Saugpapier, vom Zeitungspapier und Zigarettenpapier bis zum Karton und von dem einfachen weissen Blatt bis zum fein dekorierten Papier gibt es riesige Unterschiede. Das Back-Papier wird für seine Stärke ausgenutzt, damit es während des Backens nicht kaputt geht. Im Gegensatz dazu soll eine Serviette eine weiche Textur haben, sowie der Karton sich nicht gern falten lassen soll. Jedes Papier hat bestimmte Eigenschaften, die zu seinem Zweck absichtlich geschaffen wurden; hier werden wir nur die Eigenschaften besprechen, die für den Faltenden relevant sind. Und zwar sind fünf derer wichtig: Die Feinheit des Papiers; je feiner das Papier ist, mit desto mehr Schichten kann der Origamist arbeiten. Gewinner dieser Eigenschaft sind beispielsweise das Zigarettenpapier, das Back-papier und das Bibelpapier. Die Stärke des Papiers: zerreisst es leicht, oder hält es längere und feinere Faltungen? Das Back-papier ist fast unzerreissbar, im Gegensatz zu vielen anderen sehr feinen Papieren. Die Kapazität des Papiers, eine Falte gut zu markieren; ein Minimum davon ist für das komplexe Falten notwendig, daher kann man mit einer Serviette keine komplizierte Faltung erreichen. Gewinner dieser Eigenschaft sind die dicken Papiere. Die Eigenschaft der Textur, von einer Falte nicht beschädigt zu werden; beim Back-Papier lässt eine markierte Falte eine weisse Spur, die nicht unbedingt schön ist. Es ist übrigens fast die einzige Schwäche dieses Papiers. Die Strenge des Papiers; wird das Papier gern Kurven übernehmen, oder bleibt er eher immer gerade? Seite 42 Emtwocléimg:R.J.Lang;Faltung und

43 Beim Karton ist diese Strenge besonders markiert, obwohl sie grundsätzlich bei feineren Papieren nicht mehr so groß ist. Es geht grundsätzlich in der Suche nach dem besten Papier nicht darum, ein optimales Papier für alle Modelle zu finden, sondern interessante Papiersorten zu entdecken; aus diesen gefundenen Papierarten wird ein Papier gewählt, das mit den Ansprüchen des Modells gut passt. Es geht grundsätzlich auch nicht darum, sofort in ein hoch spezialisierte Papier-Geschäft zu eilen, einerseits weil man es schwierig findet (die Vielfalt an Papier zum Schreiben bzw. Falten ist in den meisten Läden extrem klein), und andererseits weil solche Papiersorten sich im Alltagsleben auch befinden können. Mit einem professionelleren Blick kann man Papierarten beobachten, die sich ständig um uns finden. So können die Papiersorten, die verwendet werden, um Hefte zu füllen, eine schöne Struktur bieten, was ich anhand von Musikern von Robert J. Lang abbilde. Das Back-Papier ist beispielsweise ein Papier, das es erlaubt, schlicht und einfach alle mögliche Modelle zu falten; nicht zufällig wurden daraus die Gottesanbeterin und der Elch gefaltet; solche Modelle verlangen ein besonders feines Papier. Diese Suche muss dann auch damit kombiniert werden, in den künstlerischen Papierarten zu suchen. Sie sind nicht unbedingt praktischer für das Falten, aber sie erlauben grundsätzlich schönere Modelle, weil sie für Kunst gedacht wurden. Papiere wie das Hawai-Papier, das Nepal-Papier das Japanische Papier, oder einfachere natürliche handgemachte Papiere sind auch interessante Pisten. Das Origamido-Papier ist ein Papier, was speziell für Origami und von Origamisten entwickelt wurde. So können auch einige Meister ein Papier für ein bestimmtes Modell entwickeln, wenn sie es nicht anders gelöst haben. Noch zwei Sachen muss ich anmerken; es gibt Papierarten, die eine Textur tragen; entweder ist diese Textur ein geometrisches Muster, oder ist sie eher eine durch Zufall entstandene Zusammensetzung, wie inkorporierte Blütenblätter oder sonst etwas. Ich würde als Faltender die zweite Art von texturiertem Papier bevorzugen, damit die kunstvolle Textur des Papiers der Schönheit des Faltens keine Konkurrenz macht. Seine Herstellung Das Papier ist grundsätzlich ein Aglomerat von Fibern, Cellulose, Ketten aus D-Glukosen, Hauptbestandteil des Holzes und allgemein der pflänzlichen Zellenwänden. Deswegen, weil dieser Stoff fast überall in den organischen Sachen ist, kann man aus vielen Quellen Papier schöpfen; üblicherweise wird Holz verwendet, aber man kann auch aus Zucker-rohr, Heu oder alten Lappen Papier schöpfen. Aus diesen Stoffen werden diese Cellulose-Fibern extrahiert; beim Holz wird es gerieben, und von Wasser durchgeflossen, um den so genannten Papierteig zu erreichen. Wasser spielt eine besondere Rolle in der Herstellung des Papiers, indem die Cellulose-Fibern hydrophile sind, also indem das Wasser in der Bildung des Teigs alle Fasern zusammenbindet. Beim Lappen werden sie wochenlang unter Wasser verfault, damit alle unerwünschte chemischen Bestandteile ausgelöst werden. Dann wird das Ergebnis fein zerrissen. Dieser Teig wird dann mit noch mehr Wasser gemischt, damit er dann auf eine Fläche gleichmässig verteilt werden kann. In den modernen Papiermühlen geschieht dieses mit einer Papiermaschine, die 100 Meter lang ist und ungefähr 1 Milliarde kostet, aber dafür sehr rentabel ist. Wir werden aber die ursprüngliche Methode genauer besprechen. Aus dieser Flüssigkeit werden mit einem Gitter, das selbst einen Rahmen an seinen Seiten trägt, Fasern herausgeholt. Je mehr Fasern rausgeholt werden, umso dicker wird das Papier. Die Kunst des Seite 43

44 Handwerkers ist, in diesem entscheidenden Augenblick die Fasern gut zu verteilen. Dann wird dieses Blatt aus dem Gitter zwischen Filzen gelegt, damit es grob abtrocknet. Schliesslich werden diese Blätter aufgehängt, um ganz getrocknet zu werden. Bei modernen Maschinen läuft das Blatt durch heisse Rollen, was wesentlich schneller geht. Schliesslich kann das frische Blatt nochmals geglättet werden, oder, beispielsweise damit Photos darauf gedruckt werden können, eine spezielle Oberfläche bekommen. Für den Faltenden ist diese Etappe wichtig, indem das Aussehen des Blattes verändert werden kann. Verschiedene Formen einer gemeinsamen Idee Die Grundidee des Origami lautet; aus einer glatten Fläche wird durch Falten ein Ergebnis erreicht; dieses Ergebnis nennt man Origami-Modell. Die verwendete Fläche muss nicht unbedingt Papier sein, sowie diese Fläche auch gewölbt werden darf. Die Falten müssen absolut nicht 180 sein. Alles, was dazu passt, kann man als Origami bezeichnen; es gibt also sehr verschiedene Formen von Origami... Ich habe in diesem Kapitel versucht, möglichst viel Formen zu sammeln. Ich würde aber nicht behaupten, diese Liste sei vollständig. Fast alle Modelle, die in diesem Kapitel stehen, wurden nicht von mir gefaltet. Origami als Darstellung einer Realität Entwicklung, Faltung und Photo:B.Chan Die älteste und heute bekannteste Form des Origami ist die Darstellung von Tieren. Die Faltung von Menschen, Pflanzen und konkreten Objekten hat sich auch durchgesetzt. Mit der heutigen Technik wird es ermöglicht, fast alles aus einem Blatt Papier zu falten. Als Beispiel dazu zeige ich den Angriff des Krakens, von Brian Chan, den Alamo Stallion, von Robert J. Lang; beide Künstler sind amerikanische geniale Origamisten. Ich zeige noch den Stier von Stephan Weber, einem deutschen Origamisten. Selbstverständlich wurden diese Beispiele aus einem Quadrat Papier gefaltet, so wie die moderne Regeln es fordern. In diesen drei Modellen ist es klar, dass die Räumlichkeit ausgenutzt wird. Bei komplexeren Modellen wird es immer häufiger der Fall. Man darf nur ein Blatt verwenden. Man darf aber die beide Seiten des Blattes ausnutzen, indem die Vorderseite und die Rückseite nicht dieselbe Farbe haben. Es hat etwas von einem chinesischen Geduldspiel, aber Modelle werden mit Hilfe der Zweifarbigkeit geschaffen. Ich zeige hier ein Schaf von Hideo Komatsu. Das Origami hat in den letzten 50 Jahren unglaublich viele technische Fortschritte gemacht. Das heisst aber nicht, dass die einfachste Modelle nichts mehr zu sagen haben! Tatsächlich behalten sie einen gewissen Seite 44 Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang Entwicklung, Faltung und Photo:S.Weber Entwicklung, Faltung und Photo:H.Komatsu

45 Faltung und Charme, eine leise Poesie, die manchmal in der Komplexität verloren geht. Ich zeige dazu zwei Modelle: einen aus sieben Falten bestehenden Vogel und den Cerberus von Satoshi Kamiya, einem wahren Genie der Origamitechnik. Origami als abstrakte Kunst Entwicklung, Faltung und Photo:S.Kamiya Entwicklung, Faltung und Photo:R.Schamp Weniger bekannt sind die abstrakten Origami-Modelle. Dazu gehören natürlich die Tessellationen. Man kann auch damit arbeiten, dass das Papier immer nach einem physikalisch ausgeglichenen Zustand strebt (wie beim Sprungbrett, bei dem die Fläche immer flach werden will). Um dieses auszunutzen werden viele regelmässige Falten verwendet, was das dritte Modell zur Welt gebracht hat. Die zwei ersten Modelle sind so genannte corrugations, Knittern auf Deutsch. Das Erste, die Ray Schamp entwickelt hat, besteht nur aus Umkehrfaltungen. Technisch ist sie also leicht nachvollziehbar, was für die zwei nächsten von Christine Edison schwieriger wird. Die Tessellation, unten rechts, wurde auch von Christine Edison erfunden; Sie können darin 1 Dreiecke und 1 Sechsecke erkennen. Die wundervolle Skulptur hat Stephan Weber aus einem Blatt entwickelt. Mehrere Origamis können zusammengestellt werden (natürlich ohne Klebstoff), um ein so genanntes modulares Origami zu schaffen. Diese Form von Origami ist sehr geometrisch und mathematisch, wie es bei ei- Seite 45 Entwicklung, Faltung und Photo:C.Edison Entwicklung, Faltung und Photo:S.Weber Entwicklung, Faltung und Photo:C.Edison Entwicklung, Faltung und Photo: C,Edison

46 nem Modell von Robert J. Lang zu sehen ist, der aus 60 Rechtecken besteht. Wenn ihre Zusammenstellung ihm einen ganzen Tag gedauert hat bedeutet es schon eine gewisse Maß an Komplexität... Zum Origami gehören natürlich alle gefalteten Karten und Kisten, sowie die alte Servietten-Kunst. In diesem Fall wird Origami ein Mittel zum Eleganz. Ich zeige aber kein besonders Bild dafür. Bis jetzt war das Origami ein Objekt, der nur als Bild wahrgenommen wird. Indem physikalische Eigenschaften des Modells auch ausgenutzt werden sind die berühmte Flugzeuge entstanden. Wer glaubt, Dieses sei nur ein Spaß für Kinder, irrt sich; ich zeige hier ein Modell, der eine weltweiter Wettkampf gewonnen hat. Dazu gehören physikalische Untersuchungen und sportliche Haltungen. Daneben zeige ich einen so gennanten action fold... Die actions folds sind bewegungsfähige Modelle: Sowie der Kranich fliegt, wenn Sie ihm den Schwanz Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang Faltung und ziehen, wird der Kuckuck dieser Uhr nach vorne gehen, wenn Sie eine kleine Stange ziehen würden. Dieses Modell ist einer der komplexeren Modelle von Robert J. Lang, der genauer black forest cuckoo clock heisst. Im Gegensatz zu diesem Modell besteht das Flugzeug aus zwei Flächen. Wissenschaftliche Verwendungen Entwicklung, Faltung und Photo:R.J.Lang Origami kann auch der Wissenschaft nützen. Als Abbildung nehmen wir das folgende Beispiel: wenn ein Satellite sich um die Erde drehen soll muss er irgendwie Energie bekommen. Diese Energie speichert er durch eine Solar-Anlage. Damit diese Solar-Anlage, die sehr weich ist, geschützt wird, währenddem die Sonne von der Erde versteckt wird, muss sie ganz klein gefaltet werden. Wie? In diesem Fall haben sie die Hilfe Robert J. Langs gerufen, der als hervorragender Origamist - und damaliger Physiker - mit Ihnen kollaboriert hat. Für die optimale Entfaltung von Airbags werden auch Origami-Algorithmen verwendet. Nicht schlecht, für eine uralte Kunst... Einflüsse in anderen Bereichen Diese Kunst hat auch auf andere künstlerische Bereiche mehr oder weniger direkte Einflüsse; ich zeige ohne weitere Erklärung eine Lampe von Sharon Goh, sceptra, die vom Origami inspiriert wurde. In der Architektur tauchen auch hier und da Einflüsse des Origami auf, wie auf dieses Schokolade-Museum, das von Michel Roykind in der Nähe von Mexiko gebaut wurde. Die unterschiedlichen Flächen dieses Gebäudes könnten teilweise in der Tat in einer glatten Fläche ausgefaltet werden! Warum gelten die Origami-Konstruktionen als besonders elegant und rein? Die Antwort steckt meiner Meinung nach in dem mathematischen Ursprung des Papierfaltens: Die Tatsache, dass die bestimmte Flächen eines gefalteten Modells zusammengesetzt werden könnten, liegt in der Mathematik; sie bestimmt, was faltbar Seite 46 Entwcilklung:S.Goh Entwcilklung: M.Roykind

47 ist, und was nicht. Dadurch werden nur bestimmte Lösungen ermöglicht, weil sie mit den grundlegenden Axiomen, Algorithmen des Origami passen, die etwas rein, etwas unglaublich harmonisch behalten. Dieses Gefühl bekommt man, wenn man die Hände mit einer Vogel-Grundform spielen lässt. Diese Kunst wird nicht umsonst als Poesie der Mathematik bezeichnet... Wenn Mathematik Origami nützt, indem die Origamisten Algorythmen und Programme entwickeln, die sie dann verwenden können, warum würde Origami nicht der Mathematik helfen? In zeige mit einem ganz einfachen Beispiel, dass diese Richtung auch möglich ist. Versuchen Sie, einen rechten Winkel in drei Winkel zu teilen; mit Hilfe von Falten ist es möglich, indem die zwei sichtbare Flächen der zweiten Abbildung grundsätzlich gleich sein müssen. Der Mathematiker braucht im Gegensatz eine recht komplizierte Konstruktion für die berühmte Dreiteilung eines Winkels, die genauso wie die Quadratur des Kreises ein antikes Problem ist. Seite 47

48 Fazit Ich beginne meine Konklusion mit einem Zitat von Eric Gjerde, die er am 24. Januar 2009 auf Internet eingetragen hat: I m writing today to ask for your advice. Over the last five years, I have come quite far - rediscovering and developing an art form which is fairly unique, meeting many like-minded and gifted artists, and making friends all over the world through our shared love of paper arts. This has been a wonderful journey and I have loved every minute of it. However, I m at a bit of a crossroads right now. I have so many areas I want to explore; working with metals, wood, fabrics, leather, and plastics, using CNC routers and lasers and plasma cutters and 3D rapid prototyping but I don t have the time, resources, or knowledge to do these things. This has led me to the decision that I really need to find a school or university where I can learn all about these technologies and techniques, and put them to good use making my own artistic visions become reality. Er sucht also eine Universität, wo die Mittel und die Leute ihm zur Verfügung stehen würden, damit er neue Techniken entwickeln kann; allein kann er es nicht tun, daher fragt er der Gemeinschaft von Faltenden rund um die Welt, und besonders in den USA, woher er selbst stammt, ob sie ihm Unterstützung geben könnte. Dieser Künstler ist unglaublich dynamisch; es reicht, ein paar Zeilen seiner Web-Seite zu lesen, um sich davon zu überzeugen... Wie wir es in der Geschichte des Origami entdeckt haben ist diese Kunst eine alte Kunst, indem sie seit Tausenden von Jahren praktiziert wird. Er würde sich aber total irren, der, der glaubt, die Zukunft dieser Kunst sei etwas begrenzt. Genauso wie die Musik nur aus Schwingungen besteht, die irgendwie an unseres Ohr kommen, besteht Origami darin, ein Blatt durch Falten zu verändern. Die Komposition von Musik wird meiner Meinung nach nie aufgegeben werden; nie wird man behaupten, alle Möglichkeiten seien schon ausgenutzt. Warum wären die Möglichkeiten des Origamis nicht auch unerschöpflich? Faltung und Photo:E.Gjerde Solange die internationale Gemeinschaft diese Kunst bekannt macht, werden überall in der Welt kleine Genien gewacht, die dann ihr ihre Beiträge durch Magazinen, Etüden, Expositionen und einfach Kameradschaft mitteilen werden. So kann diese Kunst weitergehen. Es geschieht aber immer im Schatten, sodass eine riesige Mehrheit der Leute es nie erfährt. Durch meine Arbeit haben sie es auf jedenfalls geschafft, dieser Mehrheit nicht mehr zu gehören. Hoffentlich haben Sie meine Arbeit durch nachvollziehen können; ich habe mich bemüht, alles klar zu erklären. Das Thema bleibt aber sehr komplex und unglaublich vernetzt. Ich habe also ein paar Aspekte untersucht und dann aufs Papier gelegt. Es ist aber klar, dass wir beide immer unfähig sind, aus einem Blatt Papier beispielsweise ein Auto zu entwickeln. Vier Spitzen für die Räder würdne uns nicht sehr weit führen... Ich habe es sehr interessant gefunden, ein bestimmtes Thema so tief wie möglich zu untersuchen; diese Attitude des Forschers, der ad fontes geht, hat mich sehr gefallen, weil man eigentlich nur dadurch eine bestimmte Sache (das gilt jetzt allgemein) verstehen kann. Dann kann man mit dieser Sache informiert, sparsam, vernünftig ergehen. Diese Arbeit war natürlich auch eine hervorragende Vorwand, um ein Hobby, bzw. eine Leidenschaft, genauer zu entdecken. Dieser Vorgang hatte ich vor dieser Arbeit schon ein bisschen angefangen, und ich werde ihn bestimmt weiterforschen. Solange ich von dem Blatt Papier irgendwie fasziniert bleibe. Ich bin auf jedenfalls auf dem guten Weg, komplexere Modelle zu entwickeln... Wer weiß? Seite 48

49 Linken Informationsquellen zur Arbeit allgemein Meine ganze Arbeit wurde von Robert J. Lang und Eric Gjerde inspiriert, und zwar haupsächlich durch zwei Bücher, die also die Hauptquellen von zwei Teilen der technischen Teile meiner Arbeit sind, und durch ihre persönliche Internetseiten, die besonders interessant und vielfältig sind; diese vier Quellen stehen hier: Origami Design Secrets / Mathematical Methods for an Ancient Art, Robert J. LANG, A.K. Peters Ltd, in India gedruckt, im 2008, ISBN Origami Tessellations / Awe-Inspiring Geometric Designs, Eric GJERDE, A.K. Peters, in India gedruckt, ISBN Zu diesen zwei Künstler stehen hier die zwei persönlichen Internetseiten; sie sind besonders interessant, und zeigen wircklich sehr schöne Modellen. Das heisst, dass der Kapitel «Allgemeine Grundprinzipien» diese zwei Künstler nicht als Quelle verwendet. Ich muss jetzt noch etwas bemerken: Alle Tessellationen, die ich während dem entsprechenden Kapitel entwickelt habe (also alle, ausser vier), habe ich selbst entwickelt. Das heisst aber nicht, dass sie nicht von irgendjemand anders, beispielsweise von Eric Gjerde, auch entwickelt wurden. Daher steht in ihren Legenden nicht immer, dass sie von mir entwickelt wurden. Es sind eigentlich Tessellationen, die jeder entdecken kann, der die Möglichkeiten der Zick-Zack-Faltungen mit den zwei gesprochenen Gittern ausprobiert. Es heisst nur, dass ich sie unabängig, ohne nachzumachen, entwickelt habe. Die einzige, die nur ich vielleicht wircklich entwickelt hat, ist die teilweise aus doppelten Zick-Zack-Faltungen bestehenden Tessellation. Informationsquellen zum Kapitel «Geschichte des Origami» : Seite 4; A magician turns sheets to birds : Seite 5; Bild der hiden senbazuru orikata : Seite 5; Die zwei Menschen und die Krabbe von Yoshisawa : akira.htm Seite 5; Der Pfau von Yoshisawa : folding Seite 5; Die Mäuse von Yoshisawa : Informationsquellen zum Kapitel «Grundformen» Seite 12; Das Bild des Seeeigels kommt aus der Interetseite von Robert J. Lang Seite 19; die zwei Bilder von Kreisverpackungen stammen aus dem Buch Origami Design Secrets Seite 23; Bild der Quatzkristalle: Seite 24; Bild mit Bienen: Seite 27: Das Photo der Gottesanbeterin, opus 416, kommt aus der Internetseite von Robert J.Lang Seite 28: Das Photo des Frosches («tree frog», opus 280), kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 28: Der CP des Frosches kommt aus dem Buch «Origami design secrets» Seite 29: Der CP des Elches («Bull Moose», opus 413) kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 30: Das Bild der islamischen Kunst ist eine Dekoration des Brunnen von Meknes, in Marokko. Es kommt aus der folgenden Internetseite: Seite 34: Das Bild der aus Sechsecken bestehenden Tessellation: organic-landscape-i/ Seite 39: Das Bild der Tessellation mit Spiralen heisst «Almost Orange Hexagons», besteht aus Elephanten haut-papier und kommt aus der folgenden Internetseite: Seite 49

50 gory/origami/page/2/ Seite 40: Die zweite Tessellation : lations/ Seite 40: Cyrus: Seite 40: Das Bild der neugeborenen Schildkröte: cns!24096ddbe2d97ef8!30893.entry Seite 41: Das Bild der Schlange (Rattlesnake, opus 539) kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 41: Das Bild der Schildkröte (Western Pond Turtle, opus 404) kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 41: Das Photo der Drache von Shatoshi Kamiya: Seite 41: Das Shema der Schuppen kommt aus dem Buch «Origami Design Secrets» Seite 42: Das Photo des Fisches ohne Schuppen (Koi, opus 409) kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 42: Das Photo des Fisches mit Schuppen (Koi, opus 425) kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Alle Photos von Papieren bzw von der Herstellung des Papiers wurden von mir in der Basler-Papiermühle aufgenommen. Seite 44: Origamist organisieren jedes Jahr eine Herausforderung, einen «challenge», und im Jahr 2003 handelte es sich um die Entwicklung eines Schiffes aus einem Blatt Papier. Jeder, der ein interessantes Modell aus diesen Bedingungen geschaffen hat, kann sich bewerben. In diesem Fall hat Satoshi Kamiya, für den die Darstellung eines einzigen Bootes nicht genug Herausforderung darstellte, den «Kraken-Attack» entworfen. Sie können mehr darüber im Kapitel («Challenge»/2003) lernen. Informationsquellen zum Kapitel «das Material: das Papier» brication-du-papier-67.htm Informationsquellen zum Kapitel «eine Idee, unterschiedliche Arten» Seite 44: Das Pferd (Alamo Stallion, opus 384), kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 44: Der Stier kommt aus der sehr schönen Galerie von Stephan Weber: galerie.html Seite 44: Das Photo des Schafes: Seite 45: Das Photo des Cerberus kommt aus der Galerie von Satoshi Kamiya: jp/g/2005/0510.html Wenn der Faltende, der in Ihnen steckte, richtig wach geworden ist, können sie diesen Link verwenden: Seite 45: Ray Schamps «corrugation»: Seite 45: Christine Edisons «corrugation»: Seite 45: Christine Edisons zweite «corrugation» heisst «mother and child» und kommt aus der folgenden Internetseite: Seite 45: Die Skulptur von Stephan Weber kommt aus seiner persönlichen Galerie: de/galerie.html Seite 45: Tessellation von Christine Edison unten rechts: Seite 46: Photo des modularen Origami (K2, opus 391), kommt aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 46: Die Photos des «Black forest cuckoo clock» (opus 182) kommen aus der Internetseite von Robert J. Lang Seite 46: Vom Origami inspirierten Lampe: Seite 46: Schokolade-Museum: cious-for-your-eyes/ Seite 48: Bild der noch werdenden Tessellation: Seite 50

51 Origami - Die Kunst des Papierfaltens Eine theoretische Erläuterung anhand praktischer Beispiele Entwicklung:R.J.Lang;Faltung und Florent Perdrix Berthold-Gymnasium D Freiburg i. Br. Im Jahr 2010