eolympiadeklass7 58. Mathematik Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Lösungen c 208 Aufgabenausschuss für die Mathematik-Olympiade in Deutschland www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 58072 Lösung 0 Punkte Der geforderte Nachweis kann durch die Angabe von Beispielen erbracht werden. Solche Beispiele sind: Teil a) Anna habe die Kugeln, 2, 3, 4 und 6 gezogen. Dann hat Ben die Kugeln 5, 7, 8, 9 und 0 gezogen. Folglich hat in diesem Fall Anna die durch 2 teilbare Summe 6 und Ben die durch 3 teilbare Summe 39 erhalten. Beide Spieler bekommen in diesem Fall einen Punkt. Teil b) Anna habe die Kugeln, 2, 3, 4 und 5 gezogen. Dann hat Ben die Kugeln 6, 7, 8, 9 und 0 gezogen. Folglich hat in diesem Fall Anna die nicht durch 2 teilbare Summe 5 und Ben die nicht durch 3 teilbare Summe 40 erhalten. Beide Spieler bekommen in diesem Fall keinen Punkt. Teil c) Anna habe die Kugeln, 2, 3, 4 und 8 gezogen. Dann hat Ben die Kugeln 5, 6, 7, 9 und 0 gezogen. Folglich hat in diesem Fall Anna die durch 2 teilbare Summe 8 und Ben die nicht durch 3 teilbare Summe 37 erhalten. Daher bekommt in diesem Fall nur Anna einen Punkt. Teil d) Anna habe die Kugeln, 2, 3, 4 und 9 gezogen. Dann hat Ben die Kugeln 5, 6, 7, 8 und 0 gezogen. Folglich hat in diesem Fall Anna die nicht durch 2 teilbare Summe 9 und Ben die durch 3 teilbare Summe 36 erhalten. Daher bekommt in diesem Fall nur Ben einen Punkt. 580722 Lösung 0 Punkte Teil a) Es gibt genau 2 Geraden mit der geforderten Eigenschaft, siehe Abbildung L 580722 a. L580722 a L580722 b 28
Teil b) Es gibt genau 6 Geraden mit der geforderten Eigenschaft, siehe die Abbildung L580722 b. Teil c) Es gibt genau 8 Größen von Quadraten mit der geforderten Eigenschaft, siehe die Abbildungen L 580722 c, L 580722 d und L 580722 e. L580722 c L580722 d L580722 e Bemerkung: Ergänzend zur Lösung geben wir hier an, wie man die Anzahlen der Geraden mit den jeweils geforderten Eigenschaften und die Anzahl der Größen der Quadrate mit den geforderten Eigenschaften systematisch bestimmen kann. Teil a) Wir beginnen mit Geraden, welche durch den Gitterpunkt unten links verlaufen. Offenbar gibt es genau 3 Geraden durch diesen Gitterpunkt, welche durch noch genau vier weitere Gitterpunkte verlaufen, siehe Abbildung L580722 f. L580722 f L580722 g L580722 h Wir betrachten nun Geraden durch die anderen vier Gitterpunkte in der unteren Linie, die durch jeweils genau fünf Gitterpunkte verlaufen und zuvor noch nicht genannt waren. Wir finden genau 5 weitere Geraden, siehe Abbildung L580722 g. Wir betrachten nun Geraden durch die anderen vier Gitterpunkte in der linken Linie, die durch jeweils genau fünf Gitterpunkte verlaufen und zuvor noch nicht genannt waren. Wir finden genau 4 weitere Geraden, siehe Abbildung L580722 h. Wir finden keine Geraden durch die anderen Gitterpunkte, die durch genau 5 Gitterpunkte verlaufen und noch nicht genannt waren. Zusammen sind es daher genau (3 + 5 + 4 =) 2 Geraden, die durch genau 5 Gitterpunkte verlaufen. 29
Teil b) Wir beginnen mit Geraden, welche durch den mittleren Gitterpunkt in der unteren Linie verlaufen. Offenbar gibt es genau 4 Geraden durch diesen Gitterpunkt, welche durch noch genau zwei weitere Gitterpunkte verlaufen, siehe Abbildung L580722 i. L580722 i L580722 j L580722 k Wir betrachten nun Geraden durch die anderen vier Gitterpunkte in der unteren Linie, die durch jeweils genau drei Gitterpunkte verlaufen und zuvor noch nicht genannt waren. Wir finden genau 6 weitere Geraden, siehe Abbildung L580722 j. Wir betrachten nun Geraden durch die anderen vier Gitterpunkte in der linken oder der rechten Linie, die durch jeweils genau drei Gitterpunkte verlaufen und zuvor noch nicht genannt waren. Wir finden genau 6 weitere Geraden, siehe Abbildung L580722 k. Wir finden keine Geraden durch die anderen Gitterpunkte, die durch genau 3 Gitterpunkte verlaufen und noch nicht genannt waren. Zusammen sind es daher genau (4 + 6 + 6 =) 6 Geraden, die durch genau 3 Gitterpunkte verlaufen. Teil c) Wir betrachten zuerst alle Quadrate, deren Eckpunkte Gitterpunkte sind und bei denen der untere linke Gitterpunkt Eckpunkt ist. Wir finden so die in Abbildung L580722 c angegebenen 4 Quadrate, deren Seitenlängen der einfache, zweifache, dreifache bzw. vierfache Gitterlinienabstand sind. Weitere Seitenlängen können wir nur noch über die Hypotenusenlängen von rechtwinkligen Dreiecken erhalten, deren Eckpunkte Gitterpunkte sind und deren Kathetenlängen daher ganzzahlige Vielfache des Gitterlinienabstands sind. Wir betrachten zuerst rechtwinklige Dreiecke, bei denen beide Kathetenlängen gleich groß und zwar gleich dem einfachen, zweifachen, dreifachen oder vierfachen Gitterlinienabstand sind. Nur für einfachen und für zweifachen Gitterlinienabstand finden wir entsprechende Dreiecke, bei denen die Hypotenuse jeweils Seite eines Gitterpunkt-Quadrates ist, siehe die in Abbildung L 580722 d angegebenen 2 Quadrate. Nun betrachten wir rechtwinklige Dreiecke, bei denen die Kathetenlängen unterschiedlich groß, aber gleich dem einfachen, zweifachen, dreifachen oder vierfachen Gitterlinienabstand sind. Wir finden so nur zwei weitere Dreiecke, bei denen die Hypotenuse jeweils Seite eines Gitterpunkt-Quadrates ist, siehe die in Abbildung L580722 e angegebenen 2 Quadrate. Zusammen gibt es daher genau (4 + 2 + 2 =) 8 Größen von Quadraten mit der geforderten Eigenschaft. 580723 Lösung 0 Punkte Teil a) Die kleinste Summe, die mit Sarahs Würfeln auftreten kann, ist (5+35 =) 50, die 30
größte Summe ist (20 + 40 =) 60. Wegen 5 = 5+36, 52 = 5+37, 53 = 5+38, 54 = 5+39, 55 = 5+40, 56 = 6+40, 57 = 7+40, 58 = 8+40, 59 = 9+40 treten auch die natürlichen Zahlen von 5 bis 59 als Summen auf. Das sind insgesamt genau verschiedene Zahlen. Teil b) Wir nehmen an, dass es eine solche Beschriftung gibt. Wir bezeichnen die kleinste der sechs Zahlen auf dem zweiten Würfel mit x. Da der Würfel mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beschriftet werden soll, sind die anderen Zahlen auf diesem Würfel x+, x+2, x+3, x+4 und x+5. Die kleinste Summe, die mit Sarahs Würfeln auftreten kann, ist dann x+5, die größte Summe ist ((x+5)+20 = ) x+25. Wegen x+6, x+7, x+8, x+9, x+20, x+2 = (x+)+20, x+22 = (x+2)+20, x+23 = (x+3)+20, x+24 = (x+4)+20 treten auch die natürlichen Zahlen von x+6 bis x+24 als Summen auf. Unabhängig von x sind dies zusammen stets genau verschiedene Zahlen. Die gewünschte Beschriftung derart, dass genau 9 verschiedene Zahlen als Summe möglich sind, kann also nicht gelingen. Teil c) Eine solche Beschriftung der beiden Würfel ist möglich. Wir geben ein Beispiel an und weisen nach, dass tatsächlich alle natürlichen Zahlen von 2 bis 37 als Summen auftreten. Wir beschriften den ersten Würfel mit den Zahlen, 2, 3, 4, 5 und 6 und den zweiten Würfel mit den Zahlen, 7, 3, 9, 25 und 3. Zeigt der zweite Würfel die, können wir, je nachdem, welche Zahl der erste Würfel zeigt, die Summen von ( + =) 2 bis ( + 6 =) 7 erhalten. Zeigt der zweite Würfel die 7, können wir die Summen von (7+ =) 8 bis (7+6 =) 3 erhalten. Zeigt der zweite Würfel die 3, können wir die Summen von (3+ =) 4 bis (3+6 =) 9 erhalten. Zeigt der zweite Würfel die 9, können wir die Summen von (9+ =) 20 bis (9+6 =) 25 erhalten. Zeigt der zweite Würfel die 25, können wir die Summen von (25+ =) 26 bis (25+6 =) 3 erhalten. Zeigt der zweite Würfel die 3, können wir die Summen von (3 + =) 32 bis ( + 6 =) 37 erhalten. Die angegebene Beschriftung erfüllt also wie behauptet die Bedingungen der Aufgabe. Bemerkung zu Teil b) Man kann zeigen, dass bei beliebiger Beschriftung beider Würfel mit jeweils sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen immer genau verschiedene Summen möglich sind. Wir beschriften den ersten Würfel mit den Zahlen a, a+, a+2, a+3, a+4 und a+5 und den zweiten Würfel mit b, b+, b+2, b+3, b+4 und b+5. Dann können beim Würfeln (6 6 =) 36 Ergebnisse entstehen, von denen genau Summen paarweise verschieden sind: a a+ a+2 a+3 a+4 a+5 b a+b a+b+ a+b+2 a+b+3 a+b+4 a+b+5 b+ a+b+ a+b+2 a+b+3 a+b+4 a+b+5 a+b+6 b+2 a+b+2 a+b+3 a+b+4 a+b+5 a+b+6 a+b+7 b+3 a+b+3 a+b+4 a+b+5 a+b+6 a+b+7 a+b+8 b+4 a+b+4 a+b+5 a+b+6 a+b+7 a+b+8 a+b+9 b+5 a+b+5 a+b+6 a+b+7 a+b+8 a+b+9 a+b+0 Die paarweise verschiedenen Summen sind a+b, a+b+,..., a+b+0. 3
580724 Lösung 0 Punkte Teil a) Es sei x der Eintrag in der Mitte der unteren Zeile der Zahlenmauer. Dann sind +x 2 und x+ die Einträge links und rechts in der mittleren Zeile und es muss +x+x+ = 0 2 0 gelten. Hieraus folgen x = ( 2 2 ) = 0 2 0 5 = 0 2 4 0 = 5 für den Eintrag x und die Einträge ( + = 5+2 =) 7 und 2 5 0 0 ( + = 2+ 5 0 rechts in der mittleren Zeile der Zahlenmauer. 0 =) 3 0 links und 2 7 0 5 3 0 0 Teil b) Es gilt zum Beispiel 5 2 = 4 + 6, womit eine Darstellung von 5 2 als Summe von zwei Stammbrüchen angegeben wurde. Teil c) und Es gelten zum Beispiel 5 56 = 56 + + }{{ 56} 5 Summanden 5 56 = 7 + 8, womit zwei Darstellungen von 5 als Summe von Stammbrüchen, eine davon mit zwei benachbarten Stammbrüchen, angegeben 56 wurden. Teil d) Wegen + = 5, + = 7, + = 9 und + = erfüllen für n die Zahlen 2 3 6 3 4 2 4 5 20 5 6 30 2, 3, 4 und 5 die Bedingung < + <. Wegen + = 3 < ist die Bedingung für 3 n n+ 6 7 42 3 n = 6 nicht erfüllt. Da für jede positive Zahl n die Ungleichung > gilt, gilt für positive n n+2 Zahlen n auch + > +. Das bedeutet, dass die Summe + mit wachsendem n n+ n+ n+2 n n+ n immer kleiner wird. Daher sind die Summen + für jede ganze Zahl n größer als 6 n n+ ebenfalls kleiner als. 3 Die gesuchten Zahlen sind also 2, 3, 4 und 5. 32
Punktverteilungsvorschläge Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde. Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten. Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil der Punkte für Teillösungen beizubehalten. Aufgabe 58072 Teil a)... 3 Punkte Teil b)... 3 Punkte Teil c)...... 2 Punkte Teil d)... 2 Punkte Aufgabe 580722 Teil a)... 3 Punkte Teil b)... 3 Punkte Teil c)...... 4 Punkte Aufgabe 580723 Teil a) Vollständige Begründung, welche Summen möglich sind... 2 Punkte Angabe der gesuchten Anzahl... Punkt Teil b) Vollständige Begründung, dass stets genau Summen möglich sind... 3 Punkte Beantwortung der Frage... Punkt Teil c) Angabe einer möglichen Beschriftung... 2 Punkte Überprüfen der geforderten Bedingung... Punkt Aufgabe 580724 Teil a)... 2 Punkte Teil b)... 2 Punkte Teil c)...... 3 Punkte Teil d)... 3 Punkte 33