NACH DER KLASSISCHEN LAMINATTHEORIE (CLT) WITH THE CLASSICAL LAMINATE THEORY (CLT) Von Dr.-Ing. Herbert Funke, zusammengefaßt nach Michaeli/Huybrechts/ Wegner Dimensionieren mit Faserverbundkunststoffen, Hanser-Verlag Die klassische Laminattheorie (CLT) ist ein Verfahren zur Berechnung mehrschichtiger inhomogener Laminataufbauten. Sie beinhaltet eine ausführliche Verformungs- und Spannungsanalyse unter Einbeziehung spezieller Beanspruchungen von Faserverbundlaminaten wie auch spezielle Versagenshypothesen. The following is a summary by Dr.-Ing. Herbert Funke of Michaeli s, Huybrecht s, and Wegner s Dimensionieren mit Faserverbundkunststoffen published by Hanser-Verlag The classical laminate theory (CLT) is a method for conducting calculations on multi-ply inhomogeneous laminate lay-ups. It includes a thorough deformation and stress analysis based on the specific stress conditions in fibre composite laminates and specific failure hypotheses. 24 Verformungs- und Spannungsanalyse Bei der Verformungsanalyse von Laminaten nach der klassischen Laminattheorie (CLT) handelt es sich um die Lösung eines statisch unbestimmten Systems, so dass neben den Gleichgewichtsbedingungen zusätzlich Stoffgesetze wie auch die Passbedingung zu berücksichtigen sind. Es wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen Die Einzelschicht (ES) ist die kleinste Berechnungseinheit des Laminates. Die Eigenschaften der inhomogenen Einzelschicht werden über die Einzelschicht als verschmiert betrachtet und somit homogenisiert. Bei der Laminatberechnung werden die Einzelschichten zu einem Laminat gestapelt. Dabei werden die Einzelschichten als fest miteinander verklebt angenommen (Passbedingung). Während die vollständige CLT auch Wölbungen, Verdrillungen und Biegungen mit berücksichtigt, die bereits bei ebener Belastung nicht orthotroper Laminataufbauten auftreten, werden beim sogenannten Scheibenproblem nur ebene Spannungen und Verformungen berücksichtigt. Ferner beinhaltet die CLT auch Wärmedehnungen und Quellungen (z.b. durch Feuchtigkeitseinfluß). Eine ausführliche Darstellung der CLT liefert MIC 94]. Wir wollen uns hier auf die Grundbegriffe der CLT beschränken und anhand der Berechnungsmöglichkeiten nach der CLT die Ingenieurkonstanten (E-Moduli, Schubmodul, Querdehnzahl) für beliebige (orthotrope) Laminataufbauten ermitteln. Deformation and stress analysis Using the classical laminate theory (CLT) to conduct a deformation analysis on laminates yields a solution to a statically indeterminate system which has to take into account not only the equilibrium conditions, but also additional constitutive equations as well as stacking assumptions. The analysis assumes the following The ply is the smallest calculation unit in the laminate. The propertiesof the inhomogeneous ply are smeared over the ply, and so homogenised. For the calculations on the laminate, the plies are stacked and firmly glued to each other to form the laminate (stacking assumptions). Whereas the full CLT also considers bulges, twists, and bends that arise as soon as coplanar forces are applied to non-orthotropic laminate lay-ups, the method of treating the laminate as a plane considers coplanar stresses and deformations only. Moreover, the CLT anticipates thermal expansions and swelling, for example through the effects of moisture. The CLT is presented in more detail by MIC 94]. This paper restricts itself to the basic concepts of the CLT and utilises the models it offers to calculate the engineering constants (moduli of elasticity, shear modulus, Poisson ratio) for any (orthotropic) laminate lay-up. Literaturhinweis VDI 24, Blatt 3 Entwicklung von Faser-Verbund-Bauteilen aus Faser-Kunststoff-Verbund, Berechnung Alfred Puck Festigkeitsanalyse von Faser-Matrix-Laminaten Modelle für die Praxis, Hanser-Verlag 996, ISBN 3-446-894-6 Ausg./Ed. 6.9 Änderungen vorbehalten / Modifications reserved R&G Faserverbundwerkstoffe GmbH D-7 Waldenbuch Phone +49-()-8 55 78634* Fax +49-()-8 55 254-2* www.r-g.de
Der Berechnungsblauf der vollständigen CLT erfolgt in Schritten. Nach 4 Schritten können die Ingenieurkonstanten des Laminates ermittelt werden The calculations according to the full CLT involve ten steps. The engineering constants for the laminate can be determined after four steps Schichtmodul Plies moduli E II, E I, G III, ν III Schichtorientierung Plies orientations α k Schichtdicken Plies thicknesses t k ) Bestimmung der Steifigkeit der Einzelschichten --------> ) Determine the plies rigidities 2) Transformation der Steifigkeiten in das Laminat-Koordinatensystem --------> 2) Transform the rigidities into the laminate s coordinate system 3) Berechnung der Steifigkeitsmatrix des Laminates --------> 3) Calculate the rigidity matrix for the laminate 4) Invertieren zur Nachgiebigkeitsmatrix --------> 4) Invert to obtain the compliance matrix Q Q A A 2 a a 2 Q Q A A 22 a a 22 Q 33 Q 33 A 33 a 33 Q ] A] a] Äußere Lasten External loads - N x, N y, N xy 5) Verzerrung des Laminates 5) Distortions in the laminate ε x, ε y, γ xy - ΔT 6) Verzerrungen der Schichten 6) Distortions in the plies ε, ε 2, γ 25 - ΔM 7) Schichtspannungen 7) Stresses in the plies σ, σ 2, τ 2 Berechnungsschritte der klassischen Laminattheorie MIC 94] Calculation steps with the classical laminate theory MIC 94] Vorbereitungen Bevor mit der eigentlichen Berechnung begonnen werden kann, müssen zunächst für alle Einzelschichten (ES) des zu berechnenden Laminates die Ingenieurkonstanten ermittelt werden Preliminary work Before we can start on the calculations, we first have to determine the engineering constants for all of the plies in the specimen laminate,k,k G, k ν, k E-Modul der Einzelschicht a k in Faserrichtung E-Modul der Einzelschicht a k quer zur Faserrichtung Schubmodul Einzelschicht a k Querdehnzahl Einzelschicht a k,k,k G,k ν,k modulus of elasticity of ply k along the fibres modulus of elasticity of ply k transverse to the fibres shear modulus of ply k Poisson ratio of ply k Die Berechnung erfolgt nach der Mischungsregel nach nachfolgenden Formeln. The calculations are based on the rule of mixtures in accordance with the following formulae. Ausg./Ed. 6.9 Änderungen vorbehalten / Modifications reserved ϕ. E F + ( - ϕ). E. H E F 2 ϕ. + ( - ϕ). E F 2 UD-Einzelschicht MIC 89] Unidirectional ply MIC 89] G. F G H G ϕ. G H + ( - ϕ). G F ν ϕ. ν F + ( - ϕ). ν H R&G Faserverbundwerkstoffe GmbH D-7 Waldenbuch Phone +49-()-8 55 78634* Fax +49-()-8 55 254-2* www.r-g.de
Während die Werte des Längsmoduls und der Querkontraktion gut mit Messungen übereinstimmen, ergeben sich Unterschiede beim Quermodul und beim Schubmodul. So gibt Puck] folgende modifizierte Regeln an Whereas the values for the modulus along the fibres and for the Poisson ratio agree well with measurements, there is disagreement between the corresponding values for the modulus transverse to the fibres and the shear modulus. PUCK] gives the following modified rules G. * H ( +,6 ϕ,5 ) 2 ϕ. / E F + ( - ϕ) 5 *. ( +,85 ϕ 2 ) *,25 mit/with ( - υ H ) G,25 ϕ. G H / G F + ( - ϕ) Ferner ist für jede ES die Laminatstärke a t k zu ermitteln. Dabei werden mehrachsiale Faserhalbzeuge ggf. in mehrere ES aufgeteilt. Also the laminate thickness a t k has to be determined for each ply. This step may involve splitting up multiaxial semi-finished fibre products into several plies. Die Berechnung nach der CLT erfolgt dann in Einzelschritten The calculations with the CLT are then conducted in ten steps as follows. Schritt Bestimmung der ES-Steifigkeiten Step Determining the plies rigidities 26 Die Moduli beschreiben nur das Werkstoffverhalten bei einachsiger Beanspruchung bzw. reiner Schubbeanspruchung. Im Laminat liegen aber i. d. R. stets mehrachsige Spannungszustände vor. Die unter Berücksichtigung der Querkontraktion zu ermittelnden Steifigkeiten Qij beschreiben somit das Werkstoffverhalten bei mehrachsiger Beanspruchung. Bestimmung der ES-Steifigkeiten Q der orthotropen Einzelschichten im ES-Koordinatensystem (ESKS) The moduli describe only the material s behaviour under uniaxial loading or simple shearing. As a rule, however, the laminate exhibits multiaxial stress states. For this reason, the rigidities Q ij, which are calculated as a function of the Poisson ratio, serve to describe the material s behaviour under multiaxial loading. The plies rigidities Q for the orthotropic plies in the ply coordinate system (plycs) are determined as follows Q Q Q 33 ν. ν. G k Schritt 2 Transformation der ES-Steifigkeiten Die Steifigkeiten Q] ESKS,k jeder ES werden mit Hilfe von Transformationsbeziehungen aus dem lokalen Einzelschichtkoordinatensystem (ESKS) in das globale Koordinatensystem des Laminates (LamKS) transformiert. Q] LamKS,k T σ. Q] ESKS,k. T σ mit/with ; cos 2 sin 2 2sin cos T σ sin 2 cos 2-2sin cos -sin cos sin cos cos 2 - sin 2 Der Winkel ist dann positiv, wenn man im mathematisch positiven Drehsinn (Gegen-Uhrzeigersinn) von der -Achse des jeweiligen ES-Koordinatensystems in die -Achse des Laminatkoordinatensystems dreht. T Step 2 Transforming the plies rigidities The rigidities Q] plycs,k of each ply are transformed from the local ply coordinate system (plycs) to the global coordinate system of the laminate (lamcs) in accordance with the transformation laws. cos 2 sin 2 -sin cos T T σ sin 2 cos 2 sin cos 2sin cos -2sin cos cos 2 - sin 2 The angle is positive when the axis of the respective ply coordinate system is rotated in the mathematically positive sense (anticlockwise) towards the l axis of the laminate coordinate system. Ausg./Ed. 6.9 Änderungen vorbehalten / Modifications reserved R&G Faserverbundwerkstoffe GmbH D-7 Waldenbuch Phone +49-()-8 55 78634* Fax +49-()-8 55 254-2* www.r-g.de
Schritt 3 Berechnung der Laminat-Steifigkeitsmatrix Step 3 Calculating the laminate rigidity matrix Die transformierten Steifigkeiten aller ES werden, gewichtet mit ihrem Querschnittsanteil, zu einer homogenen Laminatsteifigkeit aufaddiert. Man erhält die Laminat-Steifigkeitsmatrix A] The transformed rigidities of all plies, weighted according to their crosssectional ratios, are added together to yield a homogeneous laminate rigidity. The result is the laminate rigidity matrix A] t k A] tlam. Q] LamKS,k k Schritt 4 Invertierung zur Laminat-Nachgiebigkeitsmatrix Step 4 Inverting to obtain the laminate compliance matrix Um die Verzerrungen des Laminates ermitteln zu können, muss die Steifigkeitsmatrix A] zur Nachgiebigkeitsmatrix a] invertiert werden Before we can determine the distortions in the laminate, we must first invert the rigidity matrix A] to obtain the compliance matrix a] a] A] - Aus den Elementen der Nachgiebigkeitsmatrix werden die Ingenieurkonstanten des Laminates ermittelt The engineering constants for the laminate are obtained from the elements of the compliance matrix E x,lam E a y,lam G a22 xy,lam a33 a 2 υxy,lam a a υyx,lam a22 27 Schritt 5 Berechnung der Laminatverzerrungen Step 5 Calculating the distortions in the laminate Die mechanischen Laminatverzerrungen werden durch Aufbringung der mechanischen Lasten ermittelt The mechanical distortions in the laminate are determined with the application of mechanical loads mech mech mech {ε Lam } a]. {σ} Lam ; mit {σ} Lam. {N} ; N Kraftfluß / flow of forces t Lam Für die Ermittlung der Laminatverzerrungen aufgrund von Temperaturänderung und Quellung siehe MIC 94]. For determining distortions in the laminate caused by a change in temperature or swelling, see MIC 94]. Schritt 6 Gesamtverzerrung des Laminates Step 6 Total distortion of the laminate Die Gesamtverzerrung des Laminates ist die Summe der Verzerrungskomponenten aus mechanischer, thermischer und Quellbeanspruchung. (Thermische und Quellbeanspruchung siehe MIC 94]) The total distortion of the laminate is the sum of the component distortions arising from mechanical, thermal, and swelling stresses (for thermal and swelling stresses see MIC 94]). Schritt 7 Berechnung der Einzelschichtspannungen Step 7 Calculating the stresses in the ply Ausg./Ed. 6.9 Änderungen vorbehalten / Modifications reserved Die spannungswirksamen ( a sp ) mechanischen Verzerrungen des Laminates sind aufgrund der Verklebung der Schichten untereinander (Passbedingung) identisch mit den mechanischen Verzerrungen jeder Einzelschicht (ES) im Laminatkoordinatensystem (LamKS) Die spannungswirksamen Verzerrungen aufgrund von thermischer und Quellbeanspruchung müssen für jede ES einzeln ermittelt werden, siehe MIC 94]. mech {ε sp,es } LamKS,k {ε Lam } mech Following the initial assumption that the plies are glued to each other (stacking assumptions), the stress-promoting ( a sp ) mechanical distortions in the laminate are identical to the mechanical distortions of each ply in the laminate coordinate system (lamcs) The stress-promoting distortions as a result of thermal and swelling stresses must be determined for each of the plies (see MIC 94]).. R&G Faserverbundwerkstoffe GmbH D-7 Waldenbuch Phone +49-()-8 55 78634* Fax +49-()-8 55 254-2* www.r-g.de
Schritt 8 Summe der spannungswirksamen Verzerrungen Step 8 Sum of the stress-promoting distortions Die insgesamt pro ES spannungswirksamen Verzerrungen ergeben sich aus der Summe der mechanischen und thermischen Verzerrung und der Verzerrung aufgrund von Quellung, siehe MIC 94]. The total stress-promoting distortions per ply are obtained from the sum of the mechanical and thermal distortions plus the distortion caused by swelling (see MIC 94]). Schritt 9 Rücktransformation der spannungswirksamen Verzerrungen in das jeweilige ESKS Step 9 Retransforming the stress-promoting distortions into the respective plycs Für jede ES erfolgt die Rücktransformation der spannungswirksamen Verzerrungen in das jeweilige Einzelschichkoordinatensystem (ESKS) For each ply, the stress-promoting distortions are retransformed into the respective ply coordinate system (plycs) cos 2 sin 2 -sin cos {ε sp,es } ESKS,k T ε {ε s,es } LamKS,k mit/with T ε sin 2 cos 2 sin cos 2sin cos -2sin cos cos 2-sin2 Schritt Berechnung der Spannungen in den Einzelschichten Step Calculating the stresses in the plies 28 Unter Einbeziehung der Einzelschichtsteifigkeiten Q] ES erhält man die Spannungen für jede Einzelschicht The stresses in each ply are obtained as a function of the plies rigidities Q] ply {σ ES } k Q] ESKS,k {ε sp,es } ESKS,k Festigkeitsberechnungen Die Festigkeitsberechnungen erfordern die Einbeziehung spezieller Bruchkriterien sowie vorliegender, zumeist experimentell ermittelter, Festigkeitskennwerte. Eine ausführliche Darstellung der Bruchkriterien liefert MIC 94]. Die Darstellung hier beschränkt sich auf die Erläuterung der beiden wesentlichen Versagensmechanismen. Strength calculations Before we can calculate the strengths, we must first set down specific fracture criteria and obtain the mechanical properties that in most cases have been determined in experiments. Fracture criteria are presented in more detail by MIC 94]. The presentation here is restricted to an explanation of the two essential failure mechanisms. Faserbruch (FB) Fibre fracture (FF) Unter Faserbruch ist das Versagen einer Einzelschicht aufgrund von Zugoder Druckspannungen in Faserrichtung (σ -Spannung) zu verstehen. Die Bruchfläche verläuft quer zur Faserrichtung durch die gesamte Einzelschicht. Ursache können sowohl Zug- wie auch Druckspannungen sein. Bei Zugspannungen als Ursache des Versagens reißen die Fasern der Einzelschicht aufgrund zu hoher Zugbeanspruchung. Bei Druckbeanspruchungen als Versagensursache knicken die Fasern der Einzelschicht aus (Microknicken). Die Festigkeit gegen Faserbruch ist sehr hoch, wobei unter dem Begriff Faserbruch das Versagen aller! Fasern einer Einzelschicht und nicht etwa das einer einzelnen Faser zu verstehen ist. FBz / FFt Fibre fracture is understood to be the failure of a ply as a result of tensile or compressive stresses acting along the fibres (σ stress). The fracture face runs transversely to the fibres through the whole ply. When tensile stresses are the cause of failure, the fibres in the ply break as soon as these stresses exceed a maximum value. When compressive stresses are the cause of failure, the fibres in the ply buckle out (micro-buckling). The fibre fracture strength is very high, whereby fibre fracture means the failure of all (!) fibres in a ply. FBd / FFc Faserbruch, MIC 94] Fibre fracture MIC 94] Ausg./Ed. 6.9 Änderungen vorbehalten / Modifications reserved R&G Faserverbundwerkstoffe GmbH D-7 Waldenbuch Phone +49-()-8 55 78634* Fax +49-()-8 55 254-2* www.r-g.de