Springer Studium Mathematik Bachelor Herausgegeben von M. Aigner, Freie Universität Berlin, Berlin, Germany H. Faßbender, Technische Universität Braunschweig, Braunschweig, Germany B. Gentz, Universität Bielefeld, Bielefeld, Germany D. Grieser, Universität Oldenburg, Oldenburg, Germany P. Gritzmann, Technische Universität München, Garching, Germany J. Kramer, Humboldt-Universität zu Berlin, Berlin, Germany V. Mehrmann, Technische Universität Berlin, Berlin, Germany G. Wüstholz, ETH Zürich, Zürich, Switzerland
Die Reihe Springer Studium Mathematik richtet sich an Studierende aller mathematischen Studiengänge und an Studierende, die sich mit Mathematik in Verbindung mit einem anderen Studienfach intensiv beschäftigen, wie auch an Personen, die in der Anwendung oder der Vermittlung von Mathematik tätig sind. Sie bietet Studierenden während des gesamten Studiums einen schnellen Zugang zu den wichtigsten mathematischen Teilgebieten entsprechend den gängigen Modulen. Die Reihe vermittelt neben einer soliden Grundausbildung in Mathematik auch fachübergreifende Kompetenzen. Insbesondere im Bachelorstudium möchte die Reihe die Studierenden für die Prinzipien und Arbeitsweisen der Mathematik begeistern. Die Lehr- und Übungsbücher unterstützen bei der Klausurvorbereitung und enthalten neben vielen Beispielen und Übungsaufgaben auch Grundlagen und Hilfen, die beim Übergang von der Schule zur Hochschule am Anfang des Studiums benötigt werden. Weiter begleitet die Reihe die Studierenden im fortgeschrittenen Bachelorstudium und zu Beginn des Masterstudiums bei der Vertiefung und Spezialisierung in einzelnen mathematischen Gebieten mit den passenden Lehrbüchern. Für den Master in Mathematik stellt die Reihe zur fachlichen Expertise Bände zu weiterführenden Themen mit forschungsnahen Einblicken in die moderne Mathematik zur Verfügung. Die Bücher können dem Angebot der Hochschulen entsprechend auch in englischer Sprache abgefasst sein. Weitere Bände dieser Reihe finden sie unter http://www.springer.com/series/13446
Thorsten Theobald Sadik Iliman Einführung in die computerorientierte Mathematik mit Sage
Thorsten Theobald Goethe-Universität Frankfurt Frankfurt am Main, Deutschland Sadik Iliman Frankfurt, Deutschland ISBN 978-3-658-10452-8 DOI 10.1007/978-3-658-10453-5 ISBN 978-3-658-10453-5 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)
Vorwort In vielen Bereichen der Mathematik spielen computerorientierte Aspekte eine immer größere Rolle, und für die meisten Mathematikerinnen und Mathematiker ist der Computer mittlerweile zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel geworden. Das vor allem an Studienanfänger der Mathematik gerichtete Lehrbuch möchte eine frühzeitige und forschungsorientierte Auseinandersetzung mit computerorientierten Methoden, Denkweisen und Arbeitstechniken im Rahmen des Studiums initiieren. Das Buch bietet eine Einführung in grundlegende mathematische Teilgebiete, die in verschiedener Weise eine enge Beziehung zu computerorientierten Aspekten haben: Graphen, mathematische Algorithmen, Rekursionsgleichungen, computerorientierte lineare Algebra, Zahlen, Polynome und ihre Nullstellen. Anhand des mathematischen Kernstrangs werden Einblicke in die Modellierung, Analyse, algorithmische Aufbereitung und Simulation fundamentaler mathematischer Sachverhalte bereitgestellt. Hierzu ist das Buch mit einer Einführung in das frei verfügbare und sich immer stärker in Forschung und Lehre verbreitende Software-System Sage Mathematical Software System (kurz SageMath, Sage) 1 verflochten. Die computerorientierten Aspekte der späteren Kapitel könnenauf diese Weise anhand von Sage illustriert und geübt werden. Exemplarisch werden einige Fenster zu forschungsorientierten Aspekten geöffnet. DurchdieVerwendungeinesumfassenden Mathematik-Systemswie Sage sollen Studierende frühzeitig dazu ermutigt und befähigt werden, die Möglichkeiten eines solchen Systems auch im Rahmen weiterführender Veranstaltungen des Studiums zu nutzen, etwa bei der Visualisierung, bei der Überprüfung theoretisch erzielter Ergebnisse oder bei aufwendigen Berechnungen. Die Darstellung beruht auf Vorlesungen an der Goethe-Universität Frankfurt am Main. Hier ist die Einführung in die computerorientierte Mathematik im ersten Semester des Bachelor-Studiengangs verankert. 1 http://www.sagemath.org. Über die freie Verfügbarkeit hinaus ist Sage deshalb besonders attraktiv, weil es auch über eine Internet-Schnittstelle genutzt werden kann und zudem zahlreiche spezialisiertere Mathematik-Pakete über Schnittstellen in die Sage-Plattform eingebunden sind. V
VI Vorwort Dank gilt Johann Baumeister, dessen Materialien seiner Vorgängervorlesung die Vorlesungskonzeption wesentlich beeinflusste. Für Anregungen und Hinweise bedanken wir uns besonders bei Mareike Dressler, Thomas Gerstner, Thorsten Jörgens, Michael Joswig, Martina Juhnke-Kubitzke, Kai Kellner, Cordian Riener und Timo de Wolff. Frau Schmickler-Hirzebruch danken wir für die kontinuierliche Unterstützung des Buchprojekts. Frankfurt am Main, im Juni 2015 Sadik Iliman und Thorsten Theobald
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Überblick... 1 1.1 Einige Beispiele... 1 1.2 Mathematische Software... 2 1.3 Zur Methodik und Verwendung des Buches... 3 2 Grundlegende Begriffe und Techniken... 5 2.1 Grundbegriffe der mathematischen Logik... 5 2.2 Beweistechniken... 7 2.3 Mengen... 10 2.4 Relationen... 12 2.5 Abbildungen... 15 2.6 Zählen... 16 2.7 Übungsaufgaben... 20 2.8 Anmerkungen... 21 3 Das Software-System Sage... 23 3.1 Zugangsmöglichkeiten... 23 3.2 Ein erster Einblick in Sage... 25 3.3 Aussagen, Mengen und Relationen... 28 3.4 Zählen... 29 3.5 Erste Berührung mit Listen, Schleifen und Verzweigungen... 31 3.6 Übungsaufgaben zum ersten Einstieg in Sage... 35 3.7 Anmerkungen... 35 4 Graphen... 37 4.1 Definitionen und Eigenschaften... 37 4.2 Planare Graphen... 43 4.3 Färbbarkeit und der Vier-Farben Satz... 48 4.4 Übungsaufgaben... 50 4.5 Anmerkungen... 51 VII
VIII Inhaltsverzeichnis 5 Einstieg in die Mathematik mit Sage... 53 5.1 Elementare Analysis... 53 5.2 Elementare lineare Algebra... 56 5.3 Visualisierung... 57 5.4 Einige Programmierelemente... 58 5.5 Ausgaben... 59 5.6 Übungsaufgaben... 60 5.7 Anmerkungen... 60 6 Algorithmen und Rekursion... 63 6.1 Algorithmen und ihre Komplexität... 63 6.2 Rekursion... 66 6.3 Rekursionsgleichungen... 70 6.4 Ein spezielles Master-Theorem für Rekursionsgleichungen... 77 6.5 Die Ackermann-Funktion... 78 6.6 Sortieren... 80 6.7 Übungsaufgaben... 84 6.8 Anmerkungen... 86 7 Grundlegende mathematische Algorithmen... 87 7.1 Wie multipliziert ein Computer?... 87 7.2 Größte gemeinsame Teiler... 90 7.3 Bestimmung von Quadratwurzeln... 95 7.4 Das Newton-Verfahren... 97 7.5 Approximationen mittels Fixpunktiteration... 100 7.6 Übungsaufgaben... 103 7.7 Anmerkungen... 104 8 Rechnen mit komplexen Zahlen... 105 8.1 Definition und Eigenschaften... 105 8.2 Die Mandelbrot-Menge... 110 8.3 Die diskrete Fourier-Transformation (*)... 115 8.4 Übungsaufgaben... 119 8.5 Anmerkungen... 120 9 Computerorientierte lineare Algebra... 121 9.1 Vektoren und Matrizen... 121 9.2 Lineare Gleichungssysteme... 124 9.3 Determinanten... 128 9.4 Eigenwerte und Eigenvektoren... 130 9.5 Euklidischer Algorithmus und lineare Rekursionen via linearer Algebra. 133 9.6 Drehungen und Spiegelungen... 136 9.7 Der PageRank-Algorithmus (*)... 139
Inhaltsverzeichnis IX 9.8 Übungsaufgaben... 144 9.9 Anmerkungen... 145 10 Polynome und ihre Nullstellen... 147 10.1 Nullstellen von Polynomen und explizite Formeln... 147 10.2 Die kubische Gleichung... 149 10.3 Die quartische Gleichung... 153 10.4 Nullstellen von Polynomen und Eigenwerte von Matrizen... 157 10.5 Die Resultante... 159 10.6 Reelle Nullstellen (*)... 161 10.7 Übungsaufgaben... 166 10.8 Anmerkungen... 167 11 Computerorientierte Fallstudien natürlicher Zahlen... 169 11.1 Das Collatz-Problem (*)... 169 11.2 Darstellbarkeit von Zahlen als Summe zweier Quadrate (*)... 171 11.3 Die Partitionsfunktion (*)... 175 11.4 Übungsaufgaben... 181 11.5 Anmerkungen... 182 12 Anhang A: Analysis... 185 13 Anhang B: Lineare Algebra... 187 14 Anhang C: Notation... 189 Verzeichnis der verwendeten Sage-Befehle... 191 Sachverzeichnis... 193