Within a finite period of time past, the earth must have been, and within a finite period of time to come, the earth must again be unfit for the habitation of man. Grundlagen der Kernstrahlung und der Radioaktivität. Der radioaktive Zerfall. Péter Maróti Professor für Biophysik, Universität Szeged, Ungarn Lord William Thomson Kelvin Lehrbücher: Biophysik für Mediziner (Herausgeber S. Damjanovich, J. Fidy und J. Szöllősi) Medicina, Budapest, 2008, Seiten 150-168. Fercher A.F. Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1992. Haas U. Physik für Pharmazeuten und Mediziner Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbh. Suttgart 2002. Maróti P., Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress, Szeged 1998 (Ungarisch) P. Maróti, L. Berkes, F. Tölgyesi: Biophysics Problems. A Textbook with Answers. Akadémiai Kiadó, Budapest 1998 (Englisch).
Themen Das Zerfallsgesetz der Radioaktivität Die Halbwertszeit Geologische Altersbestimmung von Gesteinen mittels der Kalium-Argon Methode, Altersbestimmung der Uran enthaltenden Gesteine Radiokarbondatierung archäologischer Funde Radioaktive Strahlungen Die radioaktiven Zerfallsarten Neutronen- und Protonenzahlen stabiler und radioaktiver Nuklide Verschiebungssatz nach Soddy und Fajans Die natürliche Radioaktivität Die Zerfallsreihen in der Natur Aktivitätsverlauf eines Mutter-Tochter-Systems Radioaktives Gleichgewicht: laufendes- und Dauergleichgewicht
Die drei Typen der radioaktiven Strahlung im Magnetfeld B Nach Marie Curies Dissertation aus dem Jahr 1904. RS: radioaktive Substanz
Das Zerfallsgesetz der Radioaktivität Die Kerne eines radioaktiven Stoffes zerfallen nicht auf einmal. Nur ein bestimmter Prozentsatz zerfällt jeweils. Daraus ergibt sich, daβ die Zahl der zerfallenden (-ΔN) und die Zahl der vorhandenen Atomkerne (N) in jedem Augenblick (Δt) einander proportional sind: N N t Der Bruchteil der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Kerne (also das Verhältnis der zerfallenden zu den noch vorhandenen) ergibt die Zerfalls-oder Umwandlungskonstante λ: N N t Wenn N 0 ist die Anzahl der zu Beginn des Zeitabschnittes t vorhandenen Kerne, N, ist die Anzahl der nach Ablauf der Zeit noch unzerfallenen Kerne, t, ist die Dauer des Zerfallvorganges, λ, ist die Zerfallskonstante und e ist die Euler sche Zahl (Basis des natürlichen Logarithmensystems (= 2,71828...), dann gilt nach Integration der obigen Gleichung N N 0 e t Umwandlungsgesetz
Die Halbwertszeit Unter der Halbwertszeit T H versteht man die Zeit, in der die Hälfte der jeweils vorhandenen Atomkerne zerfällt. Nach der Definition der Halbwertszeit N (t = T H ) = N 0 /2, deswegen zwischen der Zerfallskonstante und der Halbwertszeit besteht die Beziehung: T H ln 2 0,693 N( t) N0 Die Halbwertszeiten der Radionuklide liegen zwischen ~10-7 s und ~ 10 17 Jahre. Element Z A T H Zerfallsart (MeV) P 15 32 14,3 Tage β - (1,71) Co 27 60 5,271 Jahre β - (1,71), γ (1,33) Sr 38 90 28,5 Jahre β - (0,5) Tc 43 99 6,01 Stunden γ (0,14) I 53 123 13,2 Stunden K-Einfang; γ (0,16) Th 90 232 1,405 10 10 Jahre α (4,01) 2 t T H
Radioaktivität Unter der Aktivität eines radioaktiven Präparats versteht man entweder - die Umwandlungsrate der Stoffmenge (kinetische Bestimmung) oder - die Häufigkeit mit der sich in einem aus N Atomen bestehenden Präparat Umwandlungen ereignen (statistische Definition): a dn dt Da N abnimmt, ist dn/dt < 0; das Minuszeichen in der Definition stellt einen positiven Zahlenwert für a sicher. Laut des Umwandlungsgesetzes, N(t) beschreibt eine exponentiellen Abnahme. Deswegen nimmt die Aktivität eines einzelnen radioaktiven Nuklids auch exponentiell ab: a( t) a(0) e t
Geologische Alterbestimmung von Gesteinen mittels der Kalium-Argon Methode Weil K in den meisten Mineralien enthalten ist, kann die Kalium-Argon-Methode zur geologischen Alterbestimmung von Gesteinen benutzt werden. Im Element K kommt das Nuklid 40 K (heute) mit einer relativen Häufigkeit von 0,0117% vor und wandelt sich mit einer Halbwertszeit von 1,23 10 9 Jahren in stabiles 40 Ar um. Durch die Bestimmung des Verhältnisse der Konzentrationen von 40 K und 40 Ar kann das Alter des betreffenden Gesteins bestimmt werden. Nehmen wir an, daβ das Verhältnis der Konzentrationen von 40 K und 40 Ar in einem Gestein genau 1:1 ist. Wie alt ist dann das Gestein? 40 40 t / TH K ( t) K 0 2 Ar( ) K K 40 40 40 t 0 ( t) Ar( ) K 40 40 ( ) t / T 2 1 H t t Wenn 9 Ar K, dann t T 1,2310 Jahre H
Alterbestimmung der Uran enthaltenden Gesteine Problem: In einem Gestein, das auch Uran enthält, entfällt auf jedes Uranatom ein Bleiatom. Wie alt ist das Gestein? Lösung: Das letzte Glied der 238 U 92 Zerfallsreihe ist 206 Pb 82, so dass sich das Blei fortwährend im Gestein anhäuft. Wenn heute ein Bleiatom auf drei Uranatome fällt, dann ist ein Viertel (¼ ) der Uran Atome (die ursprünglich in dem Gestein waren) schon zerfallen, und es bleib nur noch Dreiviertel (¾) übrig. Deswegen: 3 t t TH 2 ( e ) 4 wo t die Zeit bezeichnet ist seit dem Entstehen des Gesteins und T H ist die Halbwertszeit des radioaktiven Zerfalls des Urans: T H = 4,51 10 9 Jahre. Nehmen wir die Logarithmen (Basis 10) der beiden Seiten: lg(3/4) = -t /T H lg(2)! Damit erhalten wir t = 1,87 10 9 Jahre. Zur Lösung der Aufgabe annehmen wir an, dass das stabile Blei-Isotop ausschlieβlich durch den radioaktiven Zerfall entstand, und keinerlei Substanzen aus dem Gestein seit dem Entstehen entweichen konnten (z. B. Gas-Zwischenprodukte im Verlaufe des radioaktiven Zerfalls).
Radiokarbondatierung archäologischer Funde Das in höheren Schichten der Atmosphäre entstehende 14 C-Isotop (β - -Strahler) gelangt im CO 2 zur Erdoberfläche. Es zerfällt mit einer Halbwertszeit von t H = 5730 Jahren. Da es laufend nachgebildet wird, stellt sich ein stabiles Verhältnis von 14 C zu 12 C-Atomen in der Atmosphäre und damit auch (durch Photosynthese (Assimilation) in den Pflanzen ein. Über die Nahrungskette gelangt das 14 C im selben Verhältnis auch in den Stoffwechsel tierischer und menschlicher Körper. Mit dem Tod eines Lebenswesens jedoch endet der Stoffwechsel. Die Zahl der stabilen 12 C-Atome bleibt unverändert, die der radioaktiven 14 C-Atome nimmt mit t H = 5730 Jahren ab. Das Alter der zu datierenden Stoffprobe wird aus dem Vergleich der Aktivität des 14 C mit der eines entsprechenden Stoff der Gegenwart ermittelt. Tod t 14 14 TH C t C t 02
Radioaktivität, radioaktive Strahlungen Es gibt 3 Arten radioaktiver Strahlung, die einzeln, aber auch gemeinsam vorkommen. Die α-strahlung setzt sich aus α-teilchen, das sind Kerne des Heliums, zusammen. Die Teilchen der α-strahlung bestehen aus zwei Protonen und zwei Neutronen. - Weil die α-teilchen elektrische (zwei positive elementare) Ladungen mitbringen, wirkt auf sie im magnetischen Feld eine Kraft (LORENTZ-Kraft) ein. Daher ist die α-strahlung mit einem Magnet ablenkbar. - Die Anfangsgeschwindigkeit der α-teilchen beträgt etwa 10 7 m/s. Als Maβ für die Energie der Strahlung dient die Reichwerte der α-teilchen. Die α-strahlen haben in der Luft eine geringe Reichweite (nur einige (sechs) Zentimeter). Zwischen Reichweite R und der Zerfallskonstanten λ des die Strahlung emittierenden Nuklids besteht ein Zusammenhang, der durch die GEIGER- NUTTAL-Regel beschrieben wird: log A B log R A und B sind Konstanten.
Radioaktivität, radioaktive Strahlungen Die β-strahlung besteht aus Elektronen groβer Geschwindigkeit. Die energiereichsten β-strahlen erreichen etwa 90% der Lichtgeschwindigkeit. Die β-strahlen eines Radionuklids haben ein kontinuierliches Energiespektrum, das von kleinen Energien bis zu einer oberen Grenzenergie reicht. Je grösser die Zerfallskonstante des strahlenden Nuklids ist, desto grösser ist auch die Energie der schnellsten vom Element ausgesandten β-strahlen. Gleichzeitig mit der β-strahlung wird eine Neutrinostrahlung emittiert. Die Summe der Energien des Neutrinos und des zugehörigen Elektrons ist gleich der Energie der oberen Grenze des Spektrums. Mit einem Magnet kann die β-strahlung entgegengesetzt zu den α-strahlen durch die Lorenz-Kraft abgelenkt werden. Sie wirkt schwach ionisierend. Die γ-strahlung ist eine elektromagnetische Welle mit sehr kurzer Wellenlänge (noch kürzer als die der Röntgenstrahlen). Die γ-strahlung tritt meist gleichzeitig mit der α- oder β-strahlung auf. Ein Magnet kann diese nicht ablenken. Weil sie organische Gewebe angreift, muβ dieses durch dicke Bleiplatten abgeschirmt werden.
Die radioaktiven Zerfallsarten Jeder natürliche Zerfall eines Atoms beruht auf einem Überschuss an Protonen oder Neutronen, durch den der Kern instabil wird. α-zerfall: 2 Protonen und 2 Neutronen sind zusammenschlossen zu einem α- Teilchen). Dadurch verkleinert sich die Massenzahl A um 4 und die Ordnungszahl Z um 2. β-zerfall: besteht aus Elektronen aus dem Kern. Die Elektronen entstehen wenn ein Neutron zu einem Proton wird: Neutron Elektron + Proton + Antineutrino. Dabei bleibt die Massenzahl A unverändert, die Ordnungszahl Z wächst um 1, denn die Zahl der Protonen ist gröβer geworden. Die γ-strahlung tritt nicht allein auf. Sie ist eine Begleiterscheinung von α- und β-zerfall. Nach dem Ausschleudern der Teilchen bleiben die Atome in einem angeregten Zustand zurück, der sie befähigt, elektromagnetische Wellen auszusenden. Die Emission einer γ-strahlung verändert weder die Massenzahl noch die Ordnungszahl des emittierenden Nuklids.
Neutronen (N)- und Protonen (Z)- Zahlen stabiler und radioaktiver Nuklide Mit den leichten Nukliden dominieren Kerne mit N = Z. Ab 40 Ca gibt es stabile Nuklide nur mehr für N > Z, mit zunehmender Ordnungszahl werden die Nuklide stabil und radioaktive immer neutronenreicher. Die relativ zu den stabilen Nukliden neutronenreicheren Nuklide sind β - -Strahler, die neutronenarmen Nuklide sind β +, oder α 2+ -Strahler oder Elektronen-Einfänger.
Die radioaktiven Zerfallsarten α-zerfall. Diese Zerfallsart findet man für Ordnungszahlen Z > 60 und Massenzahlen A > 144 und vor allem für die schweren Kerne mit Z > 83. Das Mutternuklid X M wandelt sich in das Tochternuklid X T um: A Z A4 Z 2 X X M T Beispiele für α-strahler sind 226 88 Ra 222 86 Rn 218 84 Po 210 84 Po 206 82 Pb 238 92 U 234 90 Th Die α-teilchen haben diskrete Energien zwischen 1,5 MeV und 10 MeV and geben einen Hinweis auf diskrete Energieniveaus der Bausteine im Atomkern.
α-umwandlung, Tunneleffekt Man findet bei anderen α- Strahlern auch mehrere, immer aber genau eingehaltene Energien der emittierten Teilchen. 238 U 234 Th Die austretenden α-teilchen besitzen sehr präzise ein- und dieselbe Energie: E α = 4,8 MeV. Die α-teilchen laufen alle mit ein- und derselben Energie gegen den Potentialwall im Innern des Kerns. r (fm) Die Schalenstruktur des Kerns manifestiert sich. Potentielle Energie E P eines α-teilchens im 238 U-Kern in Abhängigkeit von der Entfernung r vom Mittelpunkt des Restkerns 234 Th mit dem Kernradius 9,2 fm. Es gibt prinzipiell zwei Wege für das α-teilchen aus dem Kern: A) über den Potentialwall und B) durch den Potentialwall: Tunneleffekt
Die radioaktiven Zerfallsarten β -Zerfall. Im Kern wandelt sich ein Neutron (n) in ein Proton (p) um bei gleichzeitiger Emission zweier Teilchen, dem Elektron und dem Antineutrino (des Elektrons) : n p β - νe Der β -Zerfall tritt bei solchen Kernen auf, die im Vergleich zu ihrer Protonenzahl zu viele Neutronen besitzen. Dieser Neutronenüberschuss wird durch den β -Zerfall abgebaut und es entsteht ein Tochternuklid mit gleicher Massenzahl, jedoch mit einer um eins erhöhten Ordnungszahl: A Z X M A Z 1 X T 0 1 e 0 0 e Die beobachtete Energieverteilung der β-teilchen ist kontinuierlich, weil die gesamte Umwandlungsenergie beim Prozess sich statistisch auf beide Teilchen (Elektron und Antineutrino) verteilt. Die Energien liegen zwischen wenigen kev bis zu 14 MeV.
Die Umwandlung ist nur durch Energiezufuhr möglich. Da die Masse des Protons kleiner als die des Neutrons und des Positrons ist, d.h. das Energieäquivalent von zwei Elektronenmassen, die von den anderen Nukleonen des Kerns aufgebracht werden. Die Energie des Ausgangskerns muss daher um mindestens 1,02 MeV gröβer sein als die des Endkerns. Die radioaktiven Zerfallsarten β + -Zerfall (Positronenzerfall) tritt bei solchen Kernen auf, die im Vergleich zu Neutronenzahl zu viele Protonen enthalten. Der β+ -Zerfall führt daher zum Abbau des Protonenüberschusses im Kern. Der einer Positronenemission zugrunde liegende Prozess ist die Umwandlung eines Protons des Kerns in ein Positron β+ und ein Neutrino: p n β Ein Nuklid entsteht mit gleicher Massenzahl aber mit einer um eins geringeren Ordnungszahl: ν e A Z X M A Z 1 X T 0 1 e 0 0 ν e
Die radioaktiven Zerfallsarten K-Einfang. Eine Kernumwandlung zu einem Kern mit einer um Eins geringeren Ordnungszahl kann auch durch den sog. K-Einfang erfolgen. Dabei wird ein Elektron der Atomhülle, und zwar vorzugsweise aus der dem Kern nahe liegenden K-Schale eingefangen, um die Energie zur Umwandlung eines Protons in ein Neutron zu gewinnen: p e - Emittiert wird ein Neutrino und als Folge des Prozesses z.b. ein Röntgenquant der Atomhülle. γ-strahlung. Nach einer Kernumwandlung befindet sich der Tochterkern häufig in einem angeregten Zustand. Beim Übergang in stabilere Zustände kleinerer potentieller Energie wird die Energiedifferenz in Form von γ-quanten ausgestrahlt. Die Massen- und Ordnungszahl bleiben beim γ-zerfall unverändert: A A Z X ZX γ Die Energien der γ-quanten liegen zwischen 0,1 MeV und 20 MeV. n ν e
Verteilung der Zahl der Teilchen (Quanta) nach der Energie, Energiespektra der verschiedenen radioaktiven Strahlungen Diskretes Spektrum Kontinuierliches Spektrum Diskretes Spektrum
Natürliche Radioaktivität Die Synthese der Elemente, die es heute auf der Erde gibt, fand vor ca. 5 Milliarden Jahren ihren Abschluss. Auβer den stabilen Nukliden haben von den ebenfalls gebildeten radioaktiven Nukliden einige wenige infolge ihrer langen Halbwertszeit bis heute überlebt. Die in der Natur vorkommenden natürlich radioaktiven Nuklide sind somit solche, - deren Halbwertszeit mindestens von der Gröβenordnung des Alters der Erde abhängen, oder - die als Folgeprodukte solcher langlebiger Nuklide oder - auch durch die kosmische Strahlung ständig nachgebildet werden. Natürlich radioaktive Elelmente der ersten Art werden primordiale Nuklide genannt; Beispiele sind: 40 19 K 87 37 Rb 144 60 Nd 174 72 Hf 232 90 Th 235 92 U 238 92 U Die letzten drei genannten primordialen Kerne bilden jeweils die Muttersubstanz einer radioaktiven Zerfallsreihe, bei der die Folgeprodukte durch sukzessiven α- oder β-zerfall gebildet werden, bis schlieβlich ein stabiles (d.h. nicht radioaktives) Endprodukt entstanden ist.
Verschiebungssatz nach Soddy und Fajans Die Nukleonenzahl A und die Protonenzahl Z ändern sich in einer radioaktiven Umwandlungsreihe nach dem Verschiebungssatz nach Soddy und Fajans: ΔA ΔZ α -4-2 β - 0 +1 β + 0-1 γ 0 0
Die Zerfallsreihen Beim Zerfall eines radioaktiven Atoms entsteht meist wieder ein radioaktives Atom. Man kennt 4 ganze Zerfallsreihen. Die bekannteste ist die Uran-Zerfallsreihe. Aus den α-, β- und γ-zerfällen verändert nur der α-zerfall die Massenzahl A. Weil die Veränderung ΔA = 4 ist, können wir 4 Zerfallsreihen (Familien) unterscheiden: welche Zahl (0, 1, 2 oder 3) bleibt, wenn wir die Massenzahl durch 4 dividieren: (4k) Familie: 232 Th 90 (T = 1,8 10 10 Jahr)...... 208 Pb 82 (4k + 1) Familie: 237 Np 90 (T = 2,14 10 6 Jahr)...... 209 Bi 83. Die Halbwertszeit ist kurz und deswegen sind die Mitglieder der Familie alle schon aus der Natur verschwunden. Sie entstehen nur künstlich. (4k + 2) Familie: 238 U 92 (T = 4,51 10 9 Jahr)...... 206 Pb 82 (4k + 3) Familie: 235 U 92 (T = 7,04 10 9 Jahr)...... 207 Pb 82
A = 4k Z Np U Pa Th Ac Ra Fr Rn At Po Bi Pb Tl 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 232 Th 90 208 Pb 82 die Thorium-Reihe β-zerfall α-zerfall 206 210 214 218 222 226 230 234 238 A
A = 4k + 1 Z Np U Pa Th Ac Ra Fr Rn At Po Bi Pb Tl 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 237 Np 93 209 Bi 83 die Neptunium-Reihe β-zerfall α-zerfall 206 210 214 218 222 226 230 234 238 A
A = 4 k +2 Z Np U Pa Th Ac Ra Fr Rn At Po Bi Pb Tl 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 238 U 92 206 Pb 82 die Uran-Radium-Reihe β-zerfall α-zerfall 206 210 214 218 222 226 230 234 238 A
A = 4k + 3 Z Np U Pa Th Ac Ra Fr Rn At Po Bi Pb Tl 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 235 U 92 207 Pb 82 die Uran-Aktinium-Reihe β-zerfall α-zerfall 206 210 214 218 222 226 230 234 238 A
Gleichgewichtszustände in Zerfallsreihen: Mutter-Tochter-System Wir wollen die Gleichgewichtseinstellung für den wichtigen Spezialfall der Bildung eines Radionuklids (Tochternuklids) aus einer Muttersubstanz berechnen. Die Halbwertszeiten (Umwandlungskonstanten) des Mutterkerns und des entstehenden Tochterkerns seien T M (= (ln2)/ λ M ) bzw. T T (= (ln2)/ λ T ). N M Mutter M Tochter T... Die Änderung der Zahl der Nuklide des Mutterelements ergibt sich aus: N T dn M M N M dt Die Änderung der Zahl der Nuklide des Tochterelements ergibt sich aus: dn T M N M dt T N T dt wo der erste Summand die Zahl der Teilchen angibt, die sich in der Zeit dt von der Muttersubstanz in die Tochtersubstanz umwandelten, und der zweite Summand die Zahl der Nuklide der Tochtersubstanz darstellt, die in der Zeit dt zerfallen.
N M N M,0 Mutter-Tochter-System Die Zeitabhängigkeit der Zahle der Mutter- und Tochtersubstanzen ergibt sich durch Integration der zwei kinetischen Gleichungen mit den Bedingungen N M = N M,0 und N T = 0 zur Zeit t = 0: e t T M t T t M NT NM,0 e e T M Dominiert, wenn λ M < λ T und t Das Tochternuklid läuft parallel mit dem Mutternuklid, wenn t. Die Zahl des Tochternuklids ändert sich nach der Funktion des Doppelexponenten: am Anfang, die Umwandlung ist schnell, die Zahl erreicht ein Maximum zur Zeit T ln M tmax 0,69 und klingt später zusammen mit den Mutternukliden ab. T M
Aktivitätsverläufe in speziellen Fällen Dauergleichgewicht at a M laufendes (zeitabhängiges) a T Gleichgewicht T ( t) am( t) T M Ist die Umwandlungskonstante des Mutternuklids ist deutlich kleiner als die des Tochternuklids, dann sind im radioaktiven Gleichgewicht die Aktivitäten von Mutter- und Tochtersubstanzen gleich: a ( t ) a ( t )... 1 N 1 1 ( t ) N 2 2 2 ( t )... Wenn die Umwandlungskontanten von Mutter- und Tochternuklids etwa gleich groβ sind, dann ist in laufendem Gleichgewicht die Aktivität der Tochter gröβer als die Aktivität der Mutter.
Weitere Erläuterung des radioaktives Dauergleichgewichts In einer Zerfallsreihe entsteht durch den Zerfall eines Radionuklids wieder ein Radionuklid, das weiter zerfällt. Die Glieder (Isotope) einer Zerfallsreihe haben unterschiedliche Halbwertszeiten. Es stellt sich ein radioaktives Gleichgewicht ein. Die Bedingung dafür ist, daβ die Anzahl ΔN der Atome, die im Zeitintervall Δt zerfällt, von der Muttersubstanz durch deren Zerfall nachgeliefert wird. Für eine Zerfallsreihe mehrerer Tochternuklide muss somit gelten: ΔN 1 = ΔN 2 = ΔN 3 =... Die Indizes bezeichnen die Glieder der Reihe. Auf Kosten des ersten Gliedes der Reihe wird das letzte Glied erzeugt und die Zahl (Aktivität) der anderen Glieder (Zwischenprodukte) der Kette wird sich im Gleichgewicht nicht ändern. Das Gleichgewicht einer Zerfallsreihe stellt sich erst nach hinreichend langer Zeit ein. Verlust durch Zerfall : 1 N N 1 1 1 N a 1 1 2 N N 2 2 N a 2 2 2 N 3 3 N 3... 3 N a 3 3...... was aber nachgeliefert wird; ausgenommen das erste Glied der Reihe. Die beschriebenen Zusammenhänge zwischen den Aktivitäten spielen eine wichtige Rolle bei Mutter-Tochter-Systemen in der Nuklearmedizin.
Beispiel: wieviel kg Urangestein (Rohstoff) muβte das Ehepaar Curie mindestens zur Verfügung haben, um 1 g Radium herstellen zu können? Das Element Radium ist ein Übergangsprodukt der 238 U-Zerfallreihe. Die Halbwertszeit des 238 Urans (Mutterelement) ist T U = 4,51 10 9 Jahre und die Halbwertszeit des Radiums (Tochterelement) ist T Ra = 1602 Jahre. In der ersten Näherung nehmen wir an, dass das Gestein nur die Nuklide dieser zwei Elemente ( 238 U 92 und 226 Ra 88 ) enthält. Die Masse des Endproduktes ist 1 g Radium, d.h. das Endprodukt muβ N Ra = (1/226) 6 10 23 = 2,65 10 21 Radiumkerne enthalten. Die Zahl der Urankerne beträgt: N U = T U /T Ra N Ra = 7,46 10 27. Die Masse (gemessen in individualler Einheit mol) so vieler Urankerne ist: m U = 7,46 10 27 /6 10 23 mol = 12,4 kmol, was zu 12,4 10 3 238 g = 2960 kg entspricht. Zur weiteren Näherung können wir den Effekt der anderen Glieder der Uran- Zerfallsreihe hinzurechnen, aber der Effekt ist winzig klein: der früher berechnete Wert wird sich nur im vierten Digit ändern. Die erste Näherung war somit eine sinnvolle Annahme. Das Ehepaar muβte aber viel mehr Rohstoff verarbeiten, weil das Urangestein auch andere Elemente enthielt, die nicht zur Zerfallreihe gehörten. Diese sind beider Kalkulation auβer Acht zu lassen.