Zahlenrätsel/Zahlenmuster Lassen Sie jemanden eine vierstellige Zahl aufschreiben. Es werden nun abwechselnd jeweils 2 vierstellige Zahlen darunter geschrieben. Der Spieler/die Spielerin beginnt eine Zahl unter die eben ausgedachte zu schreiben, anschließend sind Sie an der Reihe. Bevor diese Zahlen aber aufgeschrieben werden, wissen Sie bereits das Ergebnis der Summe der fünf Zahlen. Vollziehen Sie folgendes Beispiel genau nach und versuchen Sie herauszufinden, warum Sie bereits nach der ersten Zahl die Summe kennen und wie Sie auf die dritte und vierte Zahl kommen. SpielerIn: 3845 vorhergesagte Summe: 23843 2. Zahl (SpielerIn): 2571 3. Zahl (Sie): 7428 4. Zahl (SpielerIn): 3679 5. Zahl (Sie): 6320 Summe: 23843 Lösung: In dem oben vorgeführten Beispiel ist die erste Ziffer der vorhergesagten Summe eine 2. Das bedeutet: Es müssen zwei Zahlenpaare, deren Ziffern sich zu 9 addieren, genommen werden, man muss also insgesamt fünf Zahlen addieren. Trick: Da zweimal 9999 addiert wird, weiß man bereits nach der ersten Zahl das Endergbnis. Trick: 20000 addieren und 2 abziehen! Natürlich gibt es viele Varianten, um diesen Trick auszuführen. Es können beispielsweise mehrere Zahlen addiert werden oder der Spieler selbst schreibt die Summe auf und Sie schreiben die erste Zahl zum Addieren an oder. Zahlensummen Summe von 1 bis 10 = 55 Summe von 1 bis 100 = 5050 Können Sie nach diesem Muster die Summe der Zahlen 1 bis 1000 bzw. 1 bis 10000 angeben? Begründen Sie Entstehung des Musters. Lösung: Summe von 1 bis 1000 = 500500 Summe von 1 bis 10000 = 50005000 Summe von 1 bis n: S=(n+ 1) n 2 n=10 a n 2 =5 10a 1 mit a N (10 a + 1) 5 10 a 1 = 5 10 2(a 1)+ 1 + 5 10 a 1 1
Der Zahlensack des Méziriac Bereits im Jahr 1612 errechnete Bachet de Méziriac die Gewinnposition eines einfachen kombinatorischen Spiels. Der Zahlensack des Méziriac Es hält der Sieur de Méziriac Für Euch bereit den Zahlensack: Greift mit Bedacht die erste Zahl; Von 1 bis 10 habt Ihr die Wahl. Danach fügt Méziriac im Nu Zu Eurer seine Zahl hinzu. Und, wechselweise, ernst und heiter Klettert man hoch die Zahlenleiter. Doch seid beim Kraxeln auf der Hut Und wählet klug und wählet gut! Gewinn sich fröhlich jedem zeigt, Der erstmals auf die 100 steigt. Zwei Gegner fügen abwechselnd eine Zahl zwischen 1 und 10 der allseits bekannten Zwischensumme hinzu. Das Spiel beginnt bei 0 und es endet für denjenigen Spieler siegreich, der als Erster die Gesamtsumme 100 erreicht. Lösung: Méziriacs Lösung des Zahlensack-Problems verwendet implizit das erst später entwickelte Verfahren der Rückwärtsrechnung, um die magischen Zahlen abzuleiten, die jeweils dem ersten (oder dem zweiten) Spieler einen sicheren Gewinn zugestehen. Anhand einer einfachen Überlegung lassen sich diese Strategien leicht entwerfen. Es gewinnt nämlich stets derjenige Spieler, der als Erster die 100 erreicht. Um den eigenen Gewinn abzusichern, müsste somit ein Spieler bei seiner vorletzten Zahlenwahl nur die Zahl 89 erreichen, um seinem Gegenspieler in dessen letztem Zug maximal das Erreichen der 99 zu ermöglichen. Diese siegreiche vorletzte Zahlenwahl ist jedoch nur dann nicht zu verhindern, wenn der Spieler bei seiner i-ten Zahlenwahl zuvor jeweils die Zwischensumme (i-1)*10+i, falls er der erste Spieler ist, oder i*11+1, ansonsten, bilden kann. Falls nun beide Spieler dies nachvollziehen können, steht bereits zu Spielbeginn der Sieger fest: es ist derjenige Spieler, der die erste Zahl nennt. Er wählt die 1 und hat das Spiel bereits zu seinen Gunsten entschieden. 2
Drei Stellen und mehr Wählen Sie eine beliebige dreistellige Zahl sagen wir 123. Nun schreiben Sie diese drei Ziffern noch einmal daneben, so dass Sie eine sechsstellige Zahl erhalten; 123 wird also zu 123123. Nun teilen Sie diese durch 7, dann durch 11 und schließlich durch 13, und ich sage Ihnen voraus, dass Sie bei der dreistelligen Zahl landen, von der Sie ausgegangen waren. Das geht mit jeder dreistelligen Zahl. Können Sie sagen, warum? Funktioniert der Trick auch mit einer vierstelligen Zahl? Wenn ja, durch welche Zahlen müsste man dann dividieren? Lösung: 7 * 11* 13 = 1001 Multipliziert man eine dreistellige Zahl abc mit 1001, so ergibt das immer abcabc. Mit vierstelligen Zahlen abcd muss man mit der Zahl 10001 multiplizieren, um abcdabcd zu erhalten. Man muss durch 73 und 137 dividieren, da 10001 = 73 * 137. Wie alt sind Sie? Methode 1: Sie wollen es mir nicht sagen? Na gut, nennen Sie mir einfach das Ergebnis folgender kleinen Rechnung: Multiplizieren Sie Ihr Alter mit 10. Davon ziehen Sie irgendeine einstellige Zahl neunmal ab. Sagen Sie mir das Ergebnis.... Jetzt weiß ich, wie alt Sie sind. Wie funktioniert der Trick? Funktioniert der Trick bei jeder Person? Lösung: A Alter; Z einstellige Zahl A*10 9*Z = A*10 10*Z + Z = (A Z)*10 + Z Der letzte Schritt des Tricks besteht darin, die Ziffer ganz rechts (Z) zu den anderen beiden zu addieren, die nun zu Zehnern und Einern, statt Hunderten und Zehnern werden! Vorsicht: Die Person muss älter als 9 Jahre sein! Methode 2: Um das Alter von jemanden zu ermitteln, lasse ihn einfach folgende Rechnung durchführen: Multipliziere dein Alter mit 2. Addiere 5 hinzu und multipliziere die Summe mit 5. Nenne mir nun das Ergebnis. Streiche nun die letzte Ziffer des Ergebnisses weg und ziehe vom Rest 2 ab. Jetzt hast du das Alter der Person. Begründe die Vorgehensweise! Lösung: A Alter (A*2 + 5) * 5 = 10*A + 25 letzte Ziffer wegstreichen A + 2 2 abziehen A 3
Erraten des Geburtstages Wenn Sie den Geburtstag eines Freundes nicht kennen, können Sie ihm folgende Aufgabe stellen: Verdopple die Tageszahl deines Geburtstages und addiere 5 dazu. Multipliziere das Ergebnis mit 50 und addiere dazu die Monatszahl. Lassen Sie sich das Ergebnis nennen. Finden Sie heraus, wie Sie nun auf den richtigen Tag und das richtige Monat kommen. Lösung: (T*2 + 5)*50 + M = 100*T + 250 + M 250 abziehen 100*T + M die letzten beiden Stellen zeigen das Monat und die restlichen Stellen den gesuchten Tag Zahlen erraten Ich schreibe eine Zahl auf einen Zettel und drehe ihn um, sodass Sie nicht wissen, welche Zahl dort steht. Nun schreiben Sie eine beliebige ganze Zahl auf. Addieren Sie 5. Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 18. Subtrahieren Sie davon das Dreifache der zuerst gewählten Zahl. Dvidieren Sie das letzte Ergebnis durch 15! Subtrahieren Sie noch Ihre gedachte Zahl! Ihre soeben errechnete Zahl stimmt mit meiner auf dem umgedrehten Zettel überein! Warum? Welche Zahl steht auf meinem Zettel? Lösung: ((((x + 5)*18) 3*x) : 15) x = ((18x + 90 3x) : 15) x = x + 6 x = 6 Blitzrechnen Bitten Sie einen Freund, zwei beliebige Zahlen - sagen wir 2 und 5 - untereinander zu schreiben. 2 5 Er darf sie Ihnen jedoch nicht zeigen. Nun addiert er die beiden Zahlen und schreibt die Summe 7 darunter. Jetzt werden die unteren zwei Zahlen addiert und ihre Summe 12 darunter geschrieben. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis 10 Zahlen da stehen. 2 5 7 12 19 31 50 81 131 212 Nun bitten Sie darum, einen kurzen Blick auf die Liste werfen zu dürfen. Dann wenden Sie sich schnell wieder ab. Sie bitten den Freund, die zehn Zahlen zu addieren. Bevor er fertig ist, haben Sie längst die Summe genannt: 550. Sie haben sich die vierte Zahl von unten - in diesem Fall also 50 - gemerkt. Diese multiplizieren Sie mit 11. Fertig! Wieso funktioniert das? 4
Lösung: Z1 erste Zahl; Z2 zweite Zahl Häufigkeit der Häufigkeit der Ergebnis ersten Zahl Z1 zweiten Zahl Z2 1 1 0 Z1 2 0 1 Z2 3 1 1 Z1+Z2 4 1 2 Z2+(Z1+Z2)=Z1+2*Z2 5 2 3 (Z1+Z2)+(Z1+2*Z2)=2*Z1+3*Z2 6 3 5 (Z1+2*Z2)+(2*Z1+3*Z2)=3*Z1+5*Z2 7 5 8 (2*Z1+3*Z2)+(3*Z1+5*Z2)=5*Z1+8*Z2 8 8 13 (3*Z1+5*Z2)+(5*Z1+8*Z2)=8*Z1+13*Z2 9 13 21 (5*Z1+8*Z2)+(8*Z1+13*Z2)=13*Z1+21*Z2 10 21 34 (8*Z1+13*Z2)+(13*Z1+21*Z2)=21*Z1+34*Z2 Summe 55*Z1 + 88*Z2 = 11*(5*Z1+8*Z2) der 10 55 88 Summe = 11*(Ergebnis aus Zeile 7) Zahlen Überraschendes Entfernung Zwei Personen sind voneinander 50 m entfernt und halten die Enden eines 51 m langen Seils. Ein Dritter hebt das Seil in der Mitte so weit hoch, dass es straff gespannt ist. Kann er durchschlüpfen? Lösung: Satz des Pythagoras: h² =(25+ 0,5) 2 25 2 =25,25 h=5,02 m Wo steckt der Fehler? A: 20 = 20 B: a = b a 16 36 = 25 45 a² = ab + a² 2ab 16-36 + 20,25 = 25-45 + 20,25 a² + a² 2ab = ab + a² - 2ab (4 4,5)² = (5 4,5)² 2 (a² ab) = a² ab : (a² ab) 4 4,5 = 5 4,5 2 = 1 4 = 5 5
C: Behauptung: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... = -1 D: Behauptung: 1 ist die größte reelle Zahl. Beweis: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... = S Beweis: ind. angenommen: 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 +...) = S Es gibt eine andere größte Zahl y. Also: 1 + 2 S = S dh. 1 < y y > 0 S = -1 y < y² Wid., da y² größer als y ist 1 ist die größte reelle Zahl Lösung: A: Aus a 2 = b 2 kann man also nicht schließen, dass a = b gelten müsste; es könnte auch a = b gelten. B: a = b Division durch 0, da a² ab = 0. C: Reihe konvergiert nicht! D: Negation der Behauptung ist falsch! Vorsicht beim indirekten Beweis. Rucksackproblem Behauptung: n beliebige SchülerInnen haben den gleichen Schulrucksack. Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsanfang n=1: Für eine Schülerin/einen Schüler ist die Behauptung offensichtlich richtig. Induktionsschritt: Als Induktionsvoraussetzung wählt man als beliebige Zahl k die Zahl 3. Die Induktionsbehauptung für k+1 ist demnach, dass 4 SchülerInnen denselben Rucksack besitzen. Die SchülerInnen S 1, S 2 und S 3 haben nach Voraussetzung denselben Rucksack. Auch für die SchülerInnen S 2, S 3 und S 4 trifft dies aufgrund der Induktionsvoraussetzung zu. Demnach haben also alle vier SchülerInnen denselben Rucksack. Der Übergang von 4 auf 5 Rucksäcken ist mit diesem System auch leicht nachvollziehbar und somit auch für jeden beliebigen Übergang von n auf n+1. Lösung: Von dem Übergang von 3 auf 4 ausgehend ist der allgemeine Übergang von n auf n+1 für (fast) alle natürlichen Zahlen anwendbar; er versagt aber logischerweise beim Übergang von 1 auf 2. Hier lässt sich das oben benutzte Gedankenexperiment nicht anwenden. Daher sind die Kriterien für eine vollständige Induktion nicht erfüllt. Es wurde mittels einer (scheinbaren) vollständigen Induktion eine Falschaussage gemacht! Wo steckt der fehlende Euro? Drei Kinder wollen sich einen Ball kaufen. Der Ball kostet 30. Jeder der drei Kinder zahlt 10. Nach 5 Minuten stellt der Verkäufer fest, dass der Ball nur 25 kostet. Er gibt dem Lehrling 5 und sagt er soll diese 5 den dreien zurückgeben. Der Lehrling denkt sich: 5 geteilt durch drei ist schlecht zu bewerkstelligen. Er gibt daraufhin jedem der drei jeweils 1 zurück und 2 behält er für sich. Nun hat jedes Kind nur 9 bezahlt. Das heißt aber: 3 x 9 = 27 + 2 die der Lehrling hat, sind 29. Wo ist der fehlende Euro? 6
Lösung: Es gibt natürlich kein Problem! Es sind nur die Worte, die aufs Glatteis führen. 27 und 2 zu addieren ist völlig bedeutungslos. 30-3 x 1 = 27 Euro 27-2 die er behält = 25 Preis für den Ball! oder 3 x 9 = 27 27-2 = 25 Preis für den Ball! Äquatoraufgabe Ein Seil wird straff um den Äquator (ca. 40000 km Länge) gespannt und anschließend um 1 Meter verlängert. Wie weit steht das Seil von der Erde ab, wenn man es überall gleichmäßig und gleichzeitig hochzieht? Der gleiche Sachverhalt - nur wird das Seil jetzt nicht um die Erde gespannt, sondern um einen Medizinball, der einen Umfang von 2 Metern hat. Wie weit steht das Seil in diesem Fall ab? Lösung: U Erde (r)=2 r π 2(r+ x)π=2r π+ 1 U neu (r)=2 r π+ 1 x= 1 2π =0,159m=15,9cm In beiden Fällen ist die Lösung 15,9 cm. Das Ergebnis hängt also nicht vom Radius ab! Teile und Staple Folgendes Rätsel führt die Macht des Verdoppelns vor Augen. Nehmen Sie ein Blatt Papier und reißen Sie es mittendurch. Legen Sie die beiden Hälften aufeinander und zerreißen Sie sie in vier Stücke. Legen Sie diese wieder aufeinander und zerreißen sie in nunmehr acht Stücke. Noch einmal dasselbe, und Sie haben 16 Stücke. Tun Sie das 42 mal. Das können Sie natürlich nicht, wie Sie bald feststellen werden. Wie hoch wäre der Stapel, wenn Sie es könnten? So hoch wie ein Tisch? Wie ein Haus? Wie ein Wolkenkratzer? Bis zur Sonne? Wir nehmen an, dass ein Blatt einen Zehntelmillimeter dick ist, ein Stapel von 100 Blatt also einen Zentimeter dick. Lösung: Fast bis zum Mond! (Der Mond ist von der Erde rund 385 000 km entfernt.) 2 42 /10000000 = 440 000 km 7
Kartentricks Binärer Kartentrick Diese sieben Karten werden benötigt: Sie bitten jemanden, sich eine Zahl zwischen 1 und 100 zu denken. Dann legen Sie nacheinander 7 Karten mit Zahlen auf den Tisch und fragen bei jeder Karte, ob die gedachte Zahl drauf ist. Obwohl Sie immer nur ein "ja" oder "nein" als Antwort bekommen, können Sie danach die gesuchte Zahl sofort nennen. Wie kann das funktionieren? Lösung: Der Trick basiert auf dem binären Zahlensystem, das nur die Ziffern "0" und "1" kennt. Jede Zahl von 1 bis 100 lässt sich auch als siebenstellige Binärzahl darstellen. Jede Karte steht dabei für eine Stelle dieser Binärzahl. (Die Karte mit der "64" am Anfang steht für die vorderste Stelle und die mit der "1" für die letzte Stelle.) Die Antworten "nein" und "ja" entsprechen einfach den Ziffern "0" und "1" so dass die gesuchte Zahl im Prinzip als Binärzahl mitgeteilt wird. Jetzt müssen nur mehr die jeweils erste Zahl auf den Karten, die die Zahl enthalten, zusammengezählt werden, schon wurde die Zahl erraten. 1 aus 21 Man hat 21 Karten. Drei davon legt man offen nebeneinander. Auf diese werden der Reihe nach die restlichen Karten mit sichtbarem Bild gesetzt, wobei die vierte Karte auf die erste, die fünfte auf die zweite usw. zu liegen kommt. Auf diese Weise erhält man drei Stapel mit jeweils sieben Karten. Jemand merkt sich eine Karte und nennt den Stapel, in dem sich diese Karte befindet. Der bezeichnete Stapel wird in die Mitte zwischen die beiden anderen Häufchen gegeben, dann werden die Karten wieder wie vorher aufgelegt. Zum zweiten Mal wird jetzt der Stapel mit der bewussten Karte bezeichnet und dann 8
wieder in die Mitte genommen. Dieses Verfahren wird ein drittes Mal wiederholt. Dann zählt man bis zur elften Karte und erhält die am Anfang ausgewählte. Funktioniert der Trick auch mit 27 Karten? Wenn ja, auf welcher Platznummer (Fixpunkt) stabilisiert sich das Verfahren? Lösung: Das ganze ist ein rein mathematischen Sortierverfahren. Indem Sie den Stapel mit der gesuchten Karte immer wieder in die Mitte legen, können Sie in drei Durchläufen dafür sorgen, das die gesuchte Karte in die Mitte wandert, egal welche Karte die Gesuchte ist. Im ersten Durchlauf schließen Sie 14 der 21 Karten aus und verteilen die übrigen möglichst gleichmäßig über die 3 Stapel. Im zweiten Durchlauf können Sie erneut 4-5 Karten ausschließen. Somit bleiben für den dritten nur noch zwei oder drei Karten übrig und die Befinden sich alle in unterschiedlichen Stapel. Folglich wird durch die Angabe des Stapels im dritten Durchlauf direkt die gesuchte Karte preisgegeben. Das Abzählen der 10 Karten dient nur noch zur Verwirrung der Zuschauer. Übersicht des aktuellen Platzes nach dem 1., 2. und 3. Auflegen der jeweiligen Karte: Karte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Platz1 14 14 14 13 13 13 12 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 9 8 8 8 Platz2 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 Platz3 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 Beispiel: Karte 6 ist die ausgewählte Karte Nach dem ersten Austeilen liegt sie auf dem linken Stapel als vorletzte Karte. Der 3. Stapel wird daher in die Mitte zwischen die beiden anderen Stapeln gegeben. Die gewählte Karte liegt somit an 13. Stelle. Nach dem 2. Austeilen liegt die Karte auf dem rechten Stapel und somit wird nun dieser in die Mitte genommen. Die 10. Karte ist nun die Gesuchte. Nach dem 3. Austeilen liegt die Karte 6 wieder im rechten Stapel und insgesamt (nach dem Zusammenfügen) am 11. Platz. Karten finden 32 Karten eines Spiels liegen verdeckt ungeordnet auf dem Tisch. Der Spieler/die Spielerin wählt 3 beliebige Karten aus und schaut sie an. Sie greifen 5 verdeckt liegende Karten, stapeln sie und legen die erste ausgewählte Karte verdeckt darauf. Anschließend nehmen Sie 15 Karten und legen die zweite ausgewählte Karte wieder darauf. Nun werden nur mehr 7 Karten der restlichen ungeordneten Karten auf dem Tisch genommen und dann die letzte ausgewählte Karte daraufgelegt. Die letzten beiden Karten schichtet man schließlich noch auf den Stoß. (Wichtig: Die Anzahl der Karten sollte für den Spieler/die Spielerin willkürlich erscheinen!) Nun werden die Karten auf folgende Weise gemischt: Es werden zuerst zwei Stapeln gemacht, wo immer abwechselnd eine Karte auf den linken und eine auf den rechten Stapel kommt. Der linke Stapel wird nun wieder in gleicher Weise aufgeteilt. Die erste Karte kommt auf den linken Stapel, die zweite auf den bereits bestehenden rechten Stapel. So wird der linke Stapel halbiert und der 9
rechte immer größer. Dies wird solange wiederholt bis der linke Stapel nur mehr aus einer Karte besteht. Diese wird schließlich auch noch auf den rechten Stapel gelegt. Sie decken nun die obersten drei Karten des Stapels auf und es sind tatsächlich die 3 zu Beginn gewählten Karten. Lösung: Das Mischen ist hier kein zufälliges Anordnen der Karten, sondern ist ein determinierter Vorgang. Wichtig ist es zu Beginn die richtige Position für die Karten zu finden und dies noch möglichst unauffällig und zufällig. Die ausgewählten Karten liegen vor dem Mischen immer auf den Positionen 3, 11 und 27. Sieht man sich den Mischvorgang genauer an, findet man noch mehrere Varianten dieses Tricks! Erster Stapel Erster Mischvorgang Zweiter Mischvorgang Dritter Mischvorgang Vierter Mischvorgang Fünfter Mischvorgang 1 11 2 27 3 3 3 4 19 19 5 31 31 31 6 23 23 23 7 15 15 15 8 7 7 7 9 1 1 1 1 10 5 5 5 5 11 9 9 9 9 12 13 13 13 13 13 17 17 17 17 14 21 21 21 21 15 25 25 25 25 16 29 29 29 29 17 31 32 32 32 32 32 18 29 30 30 30 30 30 19 27 28 28 28 28 28 20 25 26 26 26 26 26 21 23 24 24 24 24 24 22 21 22 22 22 22 22 23 19 20 20 20 20 20 24 17 18 18 18 18 18 25 15 16 3 16 16 16 16 26 13 14 7 14 14 14 14 27 11 12 11 12 12 12 12 28 9 10 15 10 10 10 10 29 7 8 19 8 27 8 8 8 30 5 6 23 6 19 6 6 6 31 3 4 27 4 11 4 11 4 4 32 1 2 31 2 3 2 27 2 2 10