Elektrotechnik Aufgabensammlung mit en Manfred Albach Janina Fischer Higher Education München Harlow Amsterdam Madrid Boston San Francisco Don Mills Mexico City Sydney a part of Pearson plc worldwide
3 Einfache elektrische Netzwerke Widerstände sind entsprechend geringer. Diese Zusammenhänge können für die beiden Glühbirnen sehr gut mit den Beziehungen beschrieben werden. 1 U1 60 und (1) Ω = U 35 V Ω = V Abbildung 1: eihenschaltung zweier Glühbirnen und Temperaturcharakteristik 1. Welche Leistung wird von den beiden Glühbirnen aufgenommen, wenn der ohmsche Widerstand der Glühwendel bei Nominalbetrieb zugrunde gelegt und die Temperaturabhängigkeit zunächst vernachlässigt wird?. Welche Leistung wird von den beiden Glühbirnen aufgenommen, wenn die angegebene Temperaturabhängigkeit berücksichtigt wird? zur Teilaufgabe 1: Im ersten Schritt werden die ohmschen Widerstände der Glühbirnen im Nominalbetrieb aus den angegebenen Daten berechnet. Aus der Beziehung P = U / erhalten wir die beiden Widerstände 30 V 1 = = 88Ω 60W 30 V und = = 59Ω. 100W 114
3.4 Level 3 Unter der Annahme, dass diese Widerstände unabhängig von der Temperatur, d. h. unabhängig von der Lampenleistung sind, nehmen die beiden Glühbirnen bei der eihenschaltung die Leistungen U q 1 1 1 1 1411Ω 30V P = I = = 88 Ω 3,4W + 30V P = I = 59 Ω 14,1W 1411Ω auf, d. h. die Leistung bei der 60 W-Lampe ist bei der eihenschaltung wesentlich größer. und zur Teilaufgabe : Da beide Widerstände vom gleichen Strom durchflossen werden, folgt mit der Spannungsteilerregel U1 1 60 U = = U 35 U 1 U1 U U1 60 1 = = = 144 U. U1 U U 35 7 1 = U 49 Diese Gleichung liefert zusammen mit dem Maschenumlauf 144 193 Uq U U = + = + 1 U = U 49 49 1 49 U = 30V = 58,4V 193 Der in Gl. (1) angegebene Zusammenhang liefert die zugehörigen Widerstandswerte 1 = 60 171,6 Ω= 786Ω und = 35 58,4 = 67,5Ω und damit auch den Strom sowie die beiden Leistungen U = 30V U = 171,6V. 1 30V I = 18,3mA Ω = ( 786 + 67,5) = = = P1 I 1 0,183A 786Ω 37,5W und P = 0,183A 67,5Ω = 1,75W. Schlussfolgerung Wird die Temperaturabhängigkeit der Lampenwiderstände berücksichtigt, dann steigt die Leistung an der 60 W-Glühbirne von 3,4 W auf 37,5 W, während die Leistung an der 100 W-Glühbirne von 14,1 W auf 1,75 W fällt. Dieses Beispiel zeigt, dass die thermischen Effekte unter Umständen großen Einfluss auf die Ergebnisse haben und daher nicht generell vernachlässigt werden dürfen. 115
3 Einfache elektrische Netzwerke Aufgabe 3.17 Widerstandsnetzwerk mit einstellbarem Widerstand Gegeben ist die folgende Schaltung, die an einer Gleichspannungsquelle U q mit Innenwiderstand i betrieben wird. Das an die Quelle angeschlossene Widerstandsnetzwerk kann ersatzweise durch einen Lastwiderstand L beschrieben werden. Abbildung 1: Gleichspannungsnetzwerk Das eingezeichnete Potentiometer p kann über einen sehr weiten Skalenbereich, dargestellt durch den dimensionslosen Parameter, mit 0 0 0 Ó, eingestellt werden. 1. Geben Sie den in Abb. 1 eingezeichneten Widerstand L für die beiden Grenzfälle = 0 und Ó an.. Im allgemeinen Fall kann der Widerstand L durch die Gleichung beschrieben werden. Berechnen Sie die beiden Werte a 0 und b 0. 3. Bei welcher Stellung des Potentiometers gibt die Gleichspannungsquelle die maximale Wirkleistung ab, wenn der Innenwiderstand der Quelle i = (7/8) beträgt? zur Teilaufgabe 1: L a0 + b0α = 1 + α Für die beiden Grenzfälle ergeben sich unterschiedliche Ersatznetzwerke und Lastwiderstände. Im Kurzschlussfall = 0 erhalten wir das Netzwerk a in Abb.. Der Lastwiderstand berechnet sich aus der Parallelschaltung der beiden gleichen Widerstände a = b zu: 3 a = b = + = + a b a 3 L =. + = = 4 a b a b Abbildung : Gleichspannungsnetzwerk für die beiden Sonderfälle a: = 0 und b: Ó 116
3.4 Level 3 Im Leerlauffall Ó ergibt sich das Netzwerk b, in dem der Brückenzweig wegen der gleichen Potentiale links und rechts stromlos bleibt und damit auch entfernt werden kann. esultierend verbleiben die beiden senkrechten Zweige links und rechts mit den Widerständen. Die Parallelschaltung dieser Zweige liefert den Lastwiderstand zur Teilaufgabe : L = =. + Die Berechnung des Netzwerks kann auf konventionelle Art und Weise mit den Kirchhoff schen Gleichungen erfolgen. Allerdings bietet sich hier eine einfachere Vorgehensweise an. Aufgrund der Symmetrie besitzen die beiden in Abb. 3 eingezeichneten Punkte P 1 und P gleiches Potential, d. h. sie dürfen leitend miteinander verbunden werden. Durch diese ebenfalls in Abb. 3 eingetragene Verbindung sind aber die oberen beiden Widerstände parallel geschaltet, das gleiche gilt für die beiden unteren Widerstände und auch für die beiden Widerstände im Brückenzweig, sodass sich das auf der rechten Seite der Abbildung dargestellte vereinfachte Netzwerk ergibt. Abbildung 3: Vereinfachung des Netzwerks Den Widerstand dieses Netzwerks können wir unter Beachtung der jeweiligen eihenund Parallelschaltung direkt angeben: + α 1 α + 4 L = + α + = + = + 1+ α + α + 1+ α 1 α 3 = + + α 4 = 1 α + 4 + 1+ α L 3/4+ α = 1 + α zur Teilaufgabe 3: 3 a 0 =, b 0 = 1. (1) 4 Die maximale Wirkleistung wird von der Gleichspannungsquelle bei Widerstandsanpassung, also bei L = i abgegeben. Mit Gl. (1) folgt dann: 3/4+ α 7 = 1+ α 8 3 71 ( + α) = 8 + α. 4 α = 1 117
3 Einfache elektrische Netzwerke Aufgabe 3.18 Brückenschaltung In dem gegebenen Netzwerk können die beiden Widerstände und 3 synchron in dem Wertebereich 0... 50 eingestellt werden. Die Quellenspannung beträgt U q = 30 V. Abbildung 1: Brückenschaltung 1. Welchen Wert muss L aufweisen, damit er bei der Einstellung = 3 = 30 maximale Leistung aufnimmt?. Wie groß ist in diesem Fall der Wirkungsgrad (Verhältnis der Leistung an L zur gesamten von der Quelle abgegebenen Leistung)? 3. Stellen Sie die Leistung an L für den in Teilaufgabe 1 ermittelten Wert in Abhängigkeit von = 3 dar. zur Teilaufgabe 1: Die Schaltung besitzt z = 6 Zweige und damit z = 1 unbekannte Ströme und Spannungen. In dem Zweig mit der Quelle ist die Spannung bekannt. In den fünf Zweigen mit den Widerständen können die Spannungen mit dem Ohm schen Gesetz U = I durch die Ströme ausgedrückt werden, sodass zunächst nur die sechs unbekannten Ströme verbleiben. Da aber die Widerstände in den sich diagonal gegenüberliegenden Querzweigen jeweils gleich sind, müssen auch die Spannungen bzw. Ströme in diesen Zweigen jeweils gleich sein. Für das Netzwerk mit den vier verbleibenden unbekannten Strömen werden noch vier unabhängige Gleichungen benötigt. Abbildung : Bezeichnungen 118
3.4 Level 3 Maschengleichungen: U = U + U = I + I q 1 1 1 (1) UL = U U1 I = I I 11. () L L Knotengleichungen: I = I1+ I (3) Aus den Gln. (1) und () folgen die beiden Beziehungen. (4) Uq + ILL und I =. Einsetzen dieser Beziehungen in Gl. (4) liefert den Strom I L : Uq 1 a I L = =. + + b+ c Für die Leistung an L gilt P L = I L L. Die notwendige Bedingung für maximale Leistung ist das Verschwinden der 1. Ableitung. Mit der abgekürzten Schreibweise für I L gilt dann Ergebnis: U I I = I + I 1 L q L L 1 = 1 U I U + I IL = I1 I = I q L L q L L 1 dp d! L a = L = 0 d d b c b+ Lc c 0. 3 L = 3 b+ c b+ c b 1 10 30 = = = Ω= 15Ω. c + 10 + 30 Die Überprüfung der hinreichenden Bedingung, dass die. Ableitung kleiner Null sein muss, sei dem Leser überlassen. 1 L 1 ( + ) ( L ) ( L ) L L L L 1 L zur Teilaufgabe : Mit dem Strom durch L I L ( 1) Uq 30 0 = = A = 0,5A + + 10 30 + 15 40 1 L 1 ergibt sich die Leistung an L zu 15 PL = IL L = W. 4 Für die gesamte von der Quelle abgegebene Leistung benötigen wir den Gesamtstrom: Uq ILL Uq + ILL 30 7,5 30 + 7,5 I = I1+ I = + = A+ A = 1,75A. 0 60 1 119
3 Einfache elektrische Netzwerke Wirkungsgrad: η = PL 15 100% 100% 7,14%. P = 4301,75 = ges zur Teilaufgabe 3: Leistung an L : U q 1 L 30 10Ω 15 PL = IL L = =. W 1 + L ( 1+ ) [ 35 + 150Ω] Abbildung 3: Leistung an L in Abhängigkeit der Widerstände = 3 Bei = 3 = 0 stellt sich an L die Leistung U q / L = 60 W ein. Beim Brückenabgleich verschwindet die Spannung an L und damit auch die Leistung. Aufgabe 3.19 Belasteter Spannungsteiler Ein Potentiometer mit Widerstand liegt an einer Gleichspannung U q = 100 V. Am Spannungsabgriff liegt im unbelasteten Zustand eine Spannung von 50 V. Abbildung 1: Belasteter Spannungsteiler Wie groß muss der Spannungsteilerwiderstand gewählt werden, damit sich die Spannung bei der Belastung mit 1 k um maximal 1 % verringert? 10
3.4 Level 3 Da sich im unbelasteten Zustand genau die halbe Eingangsspannung am Spannungsabgriff einstellt, liegt dieser genau in der Mitte von, d. h. wir können das folgende Netzwerk zugrunde legen. Abbildung : Alternative Netzwerkdarstellung Aus der im rechten Netzwerk angegebenen Forderung für die Ausgangsspannung resultiert die Bestimmungsgleichung für den Widerstand : / 1kΩ U /+ 1kΩ / 1kΩ 1kΩ = = = 100V / 1kΩ /+ / ( /+ 1k Ω) + / 1k Ω ( /+ 1kΩ) + 1kΩ /+ 1kΩ U 1kΩ = 0,495 100V / + kω 1kΩ 0,495 kω 0,495. 0,495 4 Ergebnis: k Ω = 40,4 Ω. 0,495 Schlussfolgerung Je kleiner der Widerstand des Spannungsteilers ist, desto geringer ist der Einfluss des parallel geschalteten Widerstandes auf die Ausgangsspannung. 11
3 Einfache elektrische Netzwerke Aufgabe 3.0 Netzwerkberechnung mit Ersatzspannungsquelle Für das nachstehende Netzwerk wurden die Maschen- und Knotengleichungen bereits in Kap. 3 aufgestellt. In diesem Beispiel soll der Strom durch den Widerstand 3 auf zwei unterschiedlichen Wegen berechnet werden. Abbildung 1: Betrachtetes Netzwerk 1. Berechnen Sie den Strom durch den Widerstand 3, indem Sie die Maschen- und Knotengleichungen nach diesem Strom auflösen.. Ersetzen Sie das Netzwerk auf der linken Seite in Abb. durch die auf der rechten Seite dargestellte Ersatzspannungsquelle, sodass sich die beiden Netzwerke bezüglich eines an die Ausgangsklemmen angeschlossenen Lastwiderstandes 3 gleich verhalten. Abbildung : Umrechnung in eine äquivalente Ersatzspannungsquelle 3. Schließen Sie den Widerstand 3 an die Ersatzspannungsquelle an und überprüfen Sie, ob der Strom durch 3 mit der aus Teilaufgabe 1 übereinstimmt. 1
3.4 Level 3 zur Teilaufgabe 1: Aus den Knotengleichungen K 1 und K in Gl. (3.59) erhalten wir die beiden Beziehungen I1 = I3 + I5 und I = I3 + I4, die in die Maschengleichung (3.61) eingesetzt werden und zunächst das Zwischenergebnis I + + I = U 13 1 5 5 + I + I I = 3 3 4 5 5 I + I + I = U 33 44 55 mit den drei noch unbekannten Strömen I 3, I 4 und I 5 liefern. Aus diesen Gleichungen müssen die Ströme I 4 und I 5 eliminiert werden, sodass nur noch eine Beziehung mit dem gesuchten Strom I 3 verbleibt. Aus der obersten Zeile folgt direkt 1 I U I 1 5 = q 3 1+ 5 1+ 5 Wir können jetzt I 5 in die zweite Zeile einsetzen und diese nach I 4 auflösen. Einsetzen von I 4 und I 5 in die dritte Zeile liefert dann die gesuchte Beziehung. Den Strom I 4 erhalten wir aber auf eine etwas einfachere Weise, indem wir die zweite und dritte Zeile addieren. Aus dem Ergebnis folgt unmittelbar der Strom I 4 : 1 I 3+ ( + 4) I4= Uq I4 = Uq I3. + + Einsetzen in die zweite oder dritte Zeile liefert eine Gleichung für die Berechnung des Stromes I 3. Wir verwenden die zweite Zeile: 5 51 + 3 I3 + Uq I3 Uq + I3 = 0. + + + + Multiplikation mit ( + 4 )( 1 + 5 ) und Umsortieren liefert das Ergebnis. 0 q q 4 4 4 4 1 5 1 5 ( + )( + )( + ) ( + ) + ( + ) = [ ] I U 3 4 1 5 1 5 1 5 4 3 4 5 1 q I 3 = 4 5 1 ( + + )( + ) + ( + ) 4 3 3 4 1 5 1 5 4 U. q, 13
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