Fachbereich Mathematik Universität Salzburg Ulrich Orbanz Mathematische Finanzmodelle - Theorie und Praxis in der Versicherung Vortrag anlässlich der Verleihung der Honorarprofessur Bericht 43 September 2010 MATHEMATISCHE BERICHTE Hellbrunner Straße 34, A-5020 Salzburg, Austria http://www.uni-salzburg.at/mat
Verleihung der Honorarprofessur an Ulrich Orbanz Das Rektorat der Universität Salzburg hat auf Antrag des Fachbereichs Mathematik Herrn Privatdozent Dr. Ulrich Orbanz mit Wirkung vom 21. April 2009 den Titel Honorarprofessor verliehen. Am 29. Oktober 2009 fand nach einer Laudatio von Univ.-Prof. DDr. Christian Buchta die feierliche Überreichung des Dekrets durch Rektor Univ.-Prof. Dr. Heinrich Schmidinger und Dekan Univ.-Prof. Dr. Georg Amthauer statt. Anschließend hielt Dr. Ulrich Orbanz einen Vortrag mit dem Thema Mathematische Finanzmodelle Theorie und Praxis in der Versicherung. Zwischen den einzelnen Programmpunkten spielte ein Bläserquartett Teile der Wassermusik von Georg Friedrich Händel. Dr. Ulrich Orbanz Dieser Bericht enthält die Laudatio und den Vortrag Mathematische Finanzmodelle Theorie und Praxis in der Versicherung. 1
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Laudatio Christian Buchta Magnifizenz, lieber Herr Rektor! Spectabilis, lieber Herr Dekan! Sehr geehrter Herr Dr. Orbanz, lieber Uli! Sehr geehrte Damen und Herren! Es fällt mir die ehrenvolle Aufgabe zu, den Werdegang und die Salzburg-Beziehung von Herrn Orbanz zu skizzieren. Ulrich Orbanz ist ein Berliner. Geboren am Ende des Zweiten Weltkriegs, am 3. Mai 1945. Schulzeit in Berlin, Studium der Mathematik an der Freien Universität. Promotion in Saarbrücken, Habilitation an der Universität zu Köln. In den Jahren bis zur Habilitation und auch noch danach war Ulrich Orbanz zur Genüge auf der Walz, um ein Meister seines Faches zu werden: Baton Rouge, Paderborn, Purdue University in West Lafayette, Darmstadt, Max- Planck-Institut für Mathematik in Bonn, Genua, Kansas University in Lawrence, um nur die längeren Aufenthalte und Gastprofessuren zu nennen. Die Beiträge zur mathematischen Grundlagenforschung bis zur Mitte der Achtzigerjahre werden von mehr als hundert Autoren in internationalen Fachzeitschriften zitiert, was für jemanden, der als Vierzigjähriger die Universität verlassen hat, eine ganz außergewöhnliche Beachtung der Forschungsergebnisse bedeutet und jedem hauptamtlichen Professor zur Ehre gereicht. 1986 erfolgte der Wechsel in die Privatwirtschaft. Während seiner zehnjährigen Tätigkeit im Gerling-Konzern leistete Herr Orbanz durch die Verbreitung des Profit Testing und die Einführung des Embedded Value in Deutschland bahnbrechende Beiträge zur Modernisierung der Lebensversicherungsmathematik. 1996 wechselte er zur Schweizer Rückversicherungsgesellschaft, der größten Lebensrückversicherungsgesellschaft der Welt, und war dort für das gesamte deutsche Lebensrückversicherungsgeschäft verantwortlich. Diese Position einerseits und sein nationales und internationales Engagement in der Standesvertretung der Aktuare andererseits u. a. war er bis April dieses Jahres Präsident der Deutschen Aktuarvereinigung machten Ulrich Orbanz zu einem der bekanntesten Aktuare im Weltmaßstab. So ist es für uns eine große Ehre, Herrn Orbanz durch die heutige Verleihung in noch höherem Maß an die Universität Salzburg zu binden, als er ohnedies schon bisher mit der Universität Salzburg verbunden war: 2002 lud Ulrich Orbanz seitens der Deutschen Aktuarvereinigung die Präsidenten aller zentral-, ost- und südosteuropäischen Aktuarvereinigungen nach Salzburg. Auf der Grundlage des von den Präsidenten erfragten Bedarfs in Bezug auf die Aus- und Weiterbildung der Aktuare besonders in jenen Staaten, die damals vor dem EU-Beitritt standen, fand im Jahr 2003 das erste internationale Weiterbildungsseminar in Salzburg statt, veranstaltet von den Aktuarvereinigungen Deutschlands, Österreichs, der Schweiz und der Niederlande zusammen mit dem Fachbereich Mathematik (damals noch Institut für Mathematik ) der Universität 3
Salzburg. Die inhaltliche Gestaltung lag in den Händen von Herrn Orbanz. Das Interesse an dieser Veranstaltung in ganz Europa war so groß, dass bei weitem nicht alle Anmeldungen berücksichtigt werden konnten. In den Jahren 2004 und 2005 wurde die Aktuarausbildung in Deutschland vollständig reformiert. Ulrich Orbanz war der Leiter dieses Großprojekts. Für jedes einzelne Fach wurde eine Expertengruppe eingesetzt, bestehend aus allen einschlägig aktiven Kollegen an den deutschen Hochschulen und den renommiertesten Praktikern aus den größten deutschen Unternehmen. Die Arbeit der Expertengruppen wurde von zwei Lenkungskomitees koordiniert, eines für die mathematischen und eines für die wirtschaftlichen und rechtlichen Fächer. Herr Orbanz lud mich als ausländisches Mitglied zur Mitarbeit in beiden Lenkungskomitees ein, verbunden mit der Option, auch in den Expertengruppen mitzuarbeiten. Von dieser Einladung machte ich reichlich Gebrauch. Im Sommer 2005 war das Gesamtkonzept fertig und wurde mit Beginn 2006 in Deutschland in Kraft gesetzt. Das erarbeitete Gesamtkonzept liegt seit dem Wintersemester 2005/2006 der Aktuarausbildung in Salzburg zugrunde. 16 Module, die für die Mathematik-Studierenden der Universität Salzburg als Wahlfächer im Rahmen des Schwerpunkts Finanz- und Versicherungsmathematik offen stehen, vermitteln alle Kenntnisse, die zur Erlangung der Berufsberechtigung als Aktuarin bzw. Aktuar nach EU-Recht erforderlich sind. Die Module in Salzburg sind im Vergleich zur berufsständischen Ausbildung in Deutschland stärker international ausgerichtet. So wird zum Beispiel in der Vorlesung Krankenversicherungsmathematik die private Krankenversicherung in Europa aus gesamteuropäischer Sicht dargestellt und auf nationale Besonderheiten nur exemplarisch eingegangen. Für das größte Modul, die Lebensversicherungsmathematik, konnte Ulrich Orbanz selbst als Gastprofessor gewonnen werden. Das neue Modul Instrumente und Strategien der Kapitalveranlagung wird die erste Lehrveranstaltung von Herrn Orbanz als Honorarprofessor sein. Das Konzept für dieses Modul wurde bereits vor zwei Jahren erstellt, als nicht absehbar war, welche Aktualität und Bedeutung diese Thematik durch die Finanzkrise erlangen würde. Die engere Bindung von Ulrich Orbanz an die Universität Salzburg wird gewiss auch der internationalen Beachtung unseres Lehrangebots dienlich sein. Schon jetzt fördern die internationale Herkunft und die internationale Bekanntheit unserer derzeit 16 Gastprofessoren und sechs weiteren Lehrenden die Internationalität unserer nichtstudentischen Lehrveranstaltungsteilnehmer, welche derzeit aus 27 Staaten stammen. Zuletzt danke ich Ihnen, sehr geehrte Frau Vollmer, dass Sie zum heutigen Festakt mitgekommen sind, und ersuche Sie, den Salzburg-Reisen Ihres Mannes wohlwollend gegenüberzustehen. Sie machen sich so um die Aktuarwissenschaft und die Universität verdient. Dir, lieber Uli, wünsche ich für Deinen neuen Lebensabschnitt als Professor unserer Universität herzlich alles Gute, Gesundheit und viel Freude mit unseren Studierenden. 4
Mathematische Finanzmodelle - Theorie und Praxis in der Versicherung Ulrich Orbanz Der Titel meiner Vorlesung lautet Mathematische Finanzmodelle Theorie und Praxis in der Versicherung. Der Titel sollte vor falschen Erwartungen im Zusammenhang mit Finanzmodellen schützen, und um ganz sicher zu sein, zeige ich Ihnen hier eine Liste der Dinge, über die ich nicht sprechen werde: Die Kapitalmarktkrise Hedgefonds CDS Derivative Finanzinstrumente Boni von Managern 2 Es geht also nicht um die Kapitalmarktkrise, um Hedgefonds, CDS (Credit Default Swap) und andere derivative Finanzinstrumente, auch nicht um Boni von Managern und ähnliche öffentliche Diskussionen. Vielmehr möchte ich über mathematische Anwendungen in der Versicherung reden und zwar speziell über die Risikolandschaft eines Versicherungsunternehmens. Risikolandschaft eines Versicherungsunternehmens Modellierung in der (Lebens )Versicherung: alt und neu Künftige Solvenzvorschriften: Solvency II Wert von Aktiva und Passiva Modellprobleme Praxisprobleme Anspruchsvolle Aufgaben für Aktuare in Theorie und Praxis 3 5
Ich habe mir dafür das Thema Solvency II als Leitfaden herausgesucht, also die neuen europäischen Solvenzbestimmungen, die in drei Jahren eingeführt werden. Der Begriff Solvency II bezeichnet einen einheitlichen europäischen Ansatz zur Vermeidung der Insolvenz von Versicherungsgesellschaften. In der Vergangenheit gab es solche Insolvenzen, einige davon auch recht spektakulär, ohne dass das von den bisherigen Aufsichtsregeln verhindert wurde. Seit 2001 wird nunmehr ein völlig neues System der Solvenzbewertung entwickelt, das das Vertrauen der Verbraucher in die Finanzkraft der Versicherungsunternehmen stärken soll. Im ersten Teil meiner Vorlesung werde ich eine Einführung in Solvency II geben, damit ich Ihnen anschließend an einigen ausgewählten Beispielen theoretische und praktische Probleme erläutern kann. Ich hoffe, dass Sie dann am Ende mit mir der Meinung sind, dass hier viele interessante Probleme auf die Aktuarwissenschaft und die praktisch tätigen Aktuare warten. Als Einstieg möchte ich kurz die Hauptmerkmale des klassischen Lebensversicherungsmodells vorstellen: Deterministische Kalkulation künftiger Zahlungen Unrealistische Annahmen: Verzinsung bei 60% des Marktzinses Sterblichkeit mit 100% Sicherheitsmarge Ziel: Generierung von systematischen Überschüssen Das deterministische Modell der Lebensversicherung ist nur deshalb erfolgreich, weil eben die in das Modell eingehenden Grundannahmen so gewählt worden sind, dass a posteriori Verluste nicht auftreten können. (Georg Reichel 1978) 4 In der klassischen Berechnung von Prämien und Reserven geht es im Wesentlichen um eine deterministische Kalkulation künftiger Zahlungen. Man tut so, als ob jede vereinbarte Prämie immer und pünktlich gezahlt wird, und man tut auch so, als wüsste man, wann die Versicherten sterben und die Versicherungssummen zu bezahlen sind. Darüber hinaus werden diese Rechnungen mit weiteren unrealistischen Annahmen durchgeführt: Die angenommene Verzinsung liegt in der Regel deutlich unter dem aktuellen Marktzins, und die eingerechnete Sterblichkeit enthält eine Sicherheitsmarge von 100% und mehr. Durch die systematische Generierung von Überschüssen soll die Verlustmöglichkeit ausgeschlossen werden. Der im vergangenen Jahr verstorbene Prof. Reichel aus Göttingen schrieb dazu 1978: Das deterministische Modell der Lebensversicherung ist nur deshalb erfolgreich, weil eben die in das Modell eingehenden Grundannahmen so gewählt worden sind, dass a posteriori Verluste nicht auftreten können. 6
Dieser Ansatz versucht, Risiken durch ein geeignetes Modell von vornherein zu eliminieren, die Anpassung an die Realität erfolgt im Nachhinein durch Überschussbeteiligung. Bei Solvency II geht es dagegen um eine laufende Überwachung und Steuerung aller Unternehmensrisiken, also um einen dynamischen Ansatz. Spötter haben in dem klassischen Modell den Aktuar mit einem Autofahrer verglichen, der ausschließlich in den Rückspiegel schaut. In Solvency II versuchen wir, so weit wie möglich nach vorne zu schauen. Den heutigen Stand möchte ich in dem folgenden Bild veranschaulichen: klassisches Modell (Lebensversicherung) Standardmodell Solvency II Internes Modell zur Steuerung absichtlich unrealistisch theoretisch zu einfach praktisch zu kompliziert realistisch aber hochkomplex 5 Das klassische Modell war wie erwähnt absichtlich unrealistisch. In Solvency II wird eine realistische Modellierung angestrebt, die aber aus theoretischer Sicht nicht immer befriedigt und gleichzeitig recht hohe praktische Anforderungen stellt. Einige der theoretischen Schwächen werden in sogenannten Internen Modellen behoben, jedoch um den Preis einer erheblich höheren Komplexität. Auf diese Internen Modelle werde ich nicht weiter eingehen. Wie sieht nun die Risikolandschaft im Standardmodell Solvency II aus? SCR BSCR SCRop Nichtleben Markt Kranken Ausfall Leben Prämie & Reserve Fx LT Storno Sterblichkt. Cat Spread ST Kosten Langlebigkt. Zins WC Invalidität Cat Konzentration Immobilien Revision Aktien 6 7
In der dritten Ebene des Diagramms sehen Sie die Hauptrisikokategorien eines Versicherungsunternehmens und darunter Teilrisiken in diesen Kategorien. Sie erkennen hier die wichtigsten Sparten Schaden/Unfall, hier als Nichtleben bezeichnet, Krankenversicherung und Lebensversicherung. Weitere Kategorien sind das Marktrisiko, womit der Kapitalmarkt gemeint ist, und schließlich das Ausfallrisiko. Mit den Hervorhebungen möchte ich darauf hinweisen, dass ich mich für den Rest der Vorlesung mehr oder weniger auf Aspekte des Marktrisikos und der Lebensversicherung konzentrieren werde. Auf der folgenden Folie sehen Sie die drei Kernpunkte für das Vorgehen unter Solvency II: Wie viel Kapital ( Risikokapital =SCR, auch ökonomisches Kapital) benötigt mein Unternehmen, damit die Wahrscheinlichkeit einer Insolvenz höchstens 0,5% beträgt? Separate Berechnung des Risikokapitals für Teilrisiken, Aggregation zum Gesamtrisiko Insolvenz bedeutet Insolvenz in einer ökonomischen Bilanz : 7 Das Ziel ist die Berechnung eines ausreichenden Kapitals, mit dem die Wahrscheinlichkeit der Insolvenz auf 0,5% begrenzt werden soll. Dieses Risikokapital wird zunächst für jedes Teilrisiko separat ermittelt und dann zum Gesamtrisikokapital aggregiert. Ein entscheidendes Element besteht darin, dass Insolvenz nicht im handelsrechtlichen Sinn gemeint ist, sondern für eine ökonomische Bilanz, die ich kurz erläutern möchte. Das folgende Bild soll den Unterschied zwischen Handelsbilanz und ökonomischer Bilanz veranschaulichen: Buchwert Kapitalanlagen HGB Eigenmittel Buchwert Verbindlichkeiten Marktwert Kapitalanlagen Eigenmittel ökonomisch Marktwert Verbindlichkeiten 8 8
Sie sehen links die übliche Handelsbilanz stark vereinfacht mit Buchwerten für die Aktiva und die Rückstellungen. Diese Buchwerte ergeben sich aus den handelsrechtlichen Bewertungsvorschriften, die Eigenmittel erscheinen als Differenz. Zum Vergleich ist daneben die ökonomische Bilanz zu sehen, bei der die Aktiva und die Rückstellungen mit Marktwerten angesetzt werden. In der Regel sind die Aktiva größer und die Rückstellungen kleiner als in der Handelsbilanz, da die handelsrechtlichen Bewertungen nach dem Vorsichtsprinzip erfolgen: Aktiva vorsichtig niedrig und Rückstellungen vorsichtig hoch. Die Differenz von Aktiva und Rückstellungen in der ökonomischen Bilanz sind die ökonomischen Eigenmittel, und Insolvenz im Sinne von Solvency II liegt vor, wenn die ökonomischen Eigenmittel negativ sind. Der Begriff des Marktwertes ist allerdings komplizierter, als er auf den ersten Blick aussieht, da es nicht für jeden Wert in der Bilanz einen Markt gibt. mark to market Der Marktwert ist der Preis im Markt. Beispiele: Börsengehandelte Aktien und Anleihen Unsicherheit: Ineffiziente Märkte ja Es gibt einen Markt nein mark to model Marktkonsistener Wert als Ersatz für Marktwert Berechnung als Barwert künftiger Zahlungen Unsicherheit: Höhe und Zeitpunkt künftiger Zahlungen Diskontsatz 9 Wenn es einen Markt gibt, so sollte der Marktwert einfach der Preis in diesem Markt sein. Als Beispiele sehen Sie hier Aktien oder Anleihen, die an Börsen gehandelt werden. In diesen Beispielen sind die Preise für alle Marktteilnehmer gleich. Es gibt allerdings auch ineffiziente Märkte, in denen ein und dasselbe Gut unterschiedliche Preise haben kann. Am schwierigsten ist es, wenn das Gut überhaupt nicht gehandelt werden kann, wie das in der Regel für Versicherungsverpflichtungen der Fall ist. In diesem Fall ersetzt man den Marktwert durch den sogenannten marktkonsistenten Wert, also den Barwert künftiger Zahlungen unter möglichst realistischen Annahmen. Dieses Vorgehen wird als mark-to-model bezeichnet, während mark-to-market bedeutet, dass man sich auf Marktpreise stützen kann. Der ökonomische Wert der Aktiva einer Versicherungsbilanz ist daher weitgehend durch Marktpreise gegeben, während der ökonomische Wert der Rückstellungen über ein Modell bestimmt wird. Im Fall von Versicherungsverpflichtungen muss man im Modell den künftigen Cash Flow gebildet aus Prämien, Schäden und Kosten schätzen und sich für den Barwert auf einen Diskontzins verständigen. Der Wert hängt damit von Annahmen ab, die nicht immer objektiv zu ermitteln sind. 9
Ich komme jetzt zurück auf die Berechnung des Risikokapitals für ein Teilrisiko. Für jedes Teilrisiko wird das Risikokapital durch Vergleich der Eigenmittel vor und nach Stress ermittelt. Marktwert Aktiva Eigenmittel Marktwert Rückstellungen Stress Marktwert Aktiva Eigenmittel Marktwert Rückstellugnen Stressszenarien: Aktienpreise Zinsen Sterblichkeit/ Schäden Storno Kosten 10 Nehmen wir als Beispiel das Aktienrisiko: Man vergleicht die ökonomische Bilanz mit einer gestressten Bilanz ein Jahr später, in der die Aktienpreise deutlich niedriger sind. In dem gezeigten Beispiel haben die Eigenmittel abgenommen. Die entstandene Differenz in den Eigenmitteln ist das Risikokapital für das Aktienrisiko. In der Grafik sind weitere Stressszenarien für Teilrisiken angeführt: Zinsen, Sterblichkeit (oder allgemeiner Schäden), Storno und Kosten. In diesem Verfahren wird ein höheres oder niedrigeres Sicherheitsniveau dadurch bestimmt, wie man den Stress kalibriert. Beispielsweise gab es eine lang andauernde Diskussion, ob beim Aktienstress ein Kursrückgang von 35% oder von 40% angemessen ist. Analog wird für alle Einzelrisiken in der eingangs gezeigten Risikolandschaft ein Risikokapital errechnet und dann zum Gesamtrisikokapital aggregiert. Das Gesamtrisikokapital gibt an, wie viel Eigenmittel durch eine Kombination der Stresssituationen vernichtet werden können. Der Solvenztest besteht dann in einem Vergleich der ökonomischen Eigenmittel mit dem Gesamtrisikokapital: Gesamtrisikokapital Aktiva Verbindlichkeiten Aktiva Verbindlichkeiten Aktiva Verbindlichkeiten Solvenz ausreichend Solvenz kritisch insolvent 11 10
Links übersteigen die Eigenmittel das Risikokapital, es liegt ausreichende Solvenz vor. In der Mitte sind die Eigenmittel geringer als das Risikokapital, es liegt eine kritische Situation vor, die zum Eingreifen der Aufsicht führt. Rechts ist Insolvenz eingetreten. Insbesondere in der Lebensversicherung ist die Berechnung der technischen Rückstellungen sehr aufwändig, und diese Rückstellungen müssen für jede Stressbilanz neu berechnet werden. Der Solvenztest ist daher mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden. Ich möchte nun noch auf die besondere Bedeutung des Zinsrisikos eingehen. Zur Vorbereitung von Solvency II sind bisher vier quantitative Studien organisiert worden, um das Modell und die Kalibrierung dieses Modells zu testen. Obwohl noch immer einige Grundfragen des Modells ungeklärt sind, sind die Ergebnisse für das Zinsrisiko eindeutig: Es ist das größte Einzelrisiko für Lebensversicherer und Krankenversicherer. In der Grafik sehen Sie die deutschen Ergebnisse der letzten Studie aus 2008: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% VT Risiko Marktrisiko 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Anteil Zins am Marktrisiko Leben Kranken Schaden Leben Kranken Schaden 11 Links erkennen Sie den relativen Einfluss des Marktrisikos. Es beträgt bei Lebensversicherern rund 80% des Gesamtrisikos, bei Krankenversicherern sogar über 90%. Innerhalb des Marktrisikos sehen Sie in dem rechten Diagramm, dass das Zinsrisiko mehr als die Hälfte des Marktrisikos für Lebensversicherer ausmacht, für Krankenversicherer noch erheblich mehr. Für Schaden- und Unfallversicherer hingegen ist das Zinsrisiko unbedeutend, und das Marktrisiko wird von den anderen Risiken dominiert. Die prominente Rolle des Zinsrisikos hängt einerseits damit zusammen, dass der größte Teil der Kapitalanlagen eines Lebensversicherers aus festverzinslichen Anlagen besteht. Andererseits hängt auch der Marktwert der Verbindlichkeiten stark vom Zins ab, da es sich um Barwerte handelt, die durch Diskontierung über einen sehr langen Zeitraum gebildet werden typischerweise über Jahrzehnte. Die nächste Grafik soll den Einfluss des Zinsrisikos veranschaulichen. Sie zeigt, wie die ökonomische Bilanz eines Lebensversicherers auf Zinsänderungen reagiert. 11
vor Zinsänderung: nach Zinsanstieg: nach Zinssenkung: festverzinsliche Wertpapiere Eigenmittel Verbindlichkeiten festverzinsliche Wertpapiere Eigenmittel Verbindlichkeiten festverzinsliche Wertpapiere Verbindlichkeiten 12 Dabei habe ich vereinfachend angenommen, dass die Aktiva nur aus festverzinslichen Wertpapieren bestehen und die Rückstellungen nur aus den technischen Verbindlichkeiten. Links sehen Sie die ökonomische Ausgangsbilanz vor Stress. Bei einem Zinsanstieg verringert sich der Wert der Anleihen, aber auch die Verbindlichkeiten werden geringer, weil mit einem höheren Zins diskontiert wird. Die Änderung der Aktiva und der Rückstellungen erfolgt also in derselben Richtung, aber unterschiedlich stark. Das hängt mit der unterschiedlichen Duration zusammen, auf die ich hier nicht eingehen möchte. Umgekehrt sind die Verhältnisse bei einem Zinsrückgang: Die Anleihen gewinnen an Wert, aber auch die Verbindlichkeiten steigen, und zwar schneller als der Wert der Anleihen. In diesem Beispiel tritt der Fall ein, dass die ursprünglichen Eigenmittel nicht ausreichen, die simulierte Zinssenkung zu kompensieren. Ich möchte zum Abschluss meiner kurzen Beschreibung von Solvency II noch einmal den Fortschritt in der Modellierung zusammenfassen: Klassisches Modell Deterministisch Absichtlich unrealistisch Sicherheit soll durch extrem vorsichtige Annahmen erzeugt werden Nur ein Teil der Risiken wird durch die vorsichtigen Annahmen erfasst. Standardmodell Solvency II Im Ansatz realitätsnahes Modell Versuch einer vollständigen Risikobeschreibung Sicherheit wird über ausreichende Sicherheitspuffer in der ökonomischen Bilanz erzeugt. 13 Im Gegensatz zum klassischen Modell wird hier versucht, realitätsnah den künftigen Verlauf zu modellieren, indem alle Risiken erfasst und mit Erwartungswerten kalkuliert wird, also 12
ohne Sicherheitszuschläge. Drohende Verluste werden nicht durch systematische Überschüsse, sondern durch ausreichende Eigenmittel abgesichert. Bevor ich nun gleich auf einige der zahlreichen offenen Fragen übergehe, möchte ich noch einmal hervorheben, dass der Modellansatz von Solvency II trotz etlicher Kritikpunkte das Verständnis der wirtschaftlichen Zusammenhänge in einem Versicherungsunternehmen einen großen Schritt vorangebracht hat. Wir haben auch durch die quantitativen Studien besser verstanden, welches die wichtigsten Risikofaktoren der Sparten sind, und wie die Risiken zwischen dem Unternehmen und den Versicherungsnehmern verteilt sind. Im zweiten Teil der Vorlesung komme ich nun zu einigen offenen Fragen, die das Standardmodell Solvency II aufwirft. Ich beginne mit drei Grundsatzfragen der Modellierung: Zinsprognose Risikoaggregation Operationales Risiko 15 Als Beispiele habe ich die Themen Zinsprognose, Risikoaggregation und das operationale Risiko ausgewählt. Da das Zinsrisiko in der Lebensversicherung dominiert, sind die Zinsannahmen im Modell von entscheidender Bedeutung, und zwar geht es um den sogenannten risikofreien Zins. Lebensversicherungspolicen haben Laufzeiten bis zu 70 Jahren, und der Barwert der Zahlungen über diesen langen Zeitraum hängt entscheidend vom Diskontzins ab. Für den risikolosen Zins gibt es veröffentlichte Daten, die dem Modell zugrunde gelegt werden. (Auf die Frage der Auswahl dieser Daten werde ich später noch eingehen.) 13
6,00% 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2007 2008 16 Sie sehen hier die Zinskurven also die Zinssätze in Abhängigkeit von der Laufzeit in blau Ende 2007 und in rot Ende 2008. Ich hatte Ihnen gezeigt, dass ein Zinsrückgang, wie Sie ihn hier erkennen können, einen erheblichen Verlust an Eigenmitteln zur Folge hat. Es könnte sich also herausstellen, dass ein Unternehmen, das Ende 2007 noch gesund aussah, ein Jahr später insolvent ist im Sinne von Solvency II, ohne dass im Versicherungsgeschäft etwas passiert wäre. Dieser Insolvenzbegriff stützt sich allerdings auf künftige prognostizierte Verluste, die nur eintreten, wenn sich in den nächsten 30 und mehr Jahren die Zinsen entsprechend der Kurve realisieren. Das Problem, das hier erkennbar wird, liegt darin, dass die Zinskurven stichtagsbezogene Werte wiedergeben, die zeitlichen Schwankungen unterworfen sind. Der langfristige Prognosewert ist daher kritisch zu beurteilen. Wir erhalten damit ökonomische Eigenmittel und Risikokapitalien, die unabhängig vom Schadenverlauf je nach Stichtag sehr unterschiedlich ausfallen können. Dieser Ansatz ist geeignet, den aktuellen Wert der Gesellschaft festzustellen etwa als Indikation für den Kaufpreis bei einer Übernahme. Für die langfristige Entwicklung ist er aber nur ein grober Indikator. Dieses Spannungsverhältnis zwischen der stichtagsbezogenen Sichtweise der ökonomischen Bilanz und der langfristigen Abwicklung in der Lebensversicherung führt immer wieder zu neuen Fragestellungen. Ein eindrucksvolles Beispiel für die Schwankungen der ökonomischen Eigenmittel liefern die jüngsten Unterlagen der Allianz von der Investorenkonferenz am 08. Oktober. 14
21 Milliarden in 2008 +12 Milliarden 1. Halbjahr 2009 17 Die Grafik zeigt die Entwicklung des MCEV (Market Consistent Embedded Value), der mit den ökonomischen Eigenmitteln eng verwandt ist. Im Laufe des Jahres 2008 haben die Änderungen der Finanzmärkte zu einem Rückgang dieses Wertes um 21 Milliarden Euro geführt, in der ersten Jahreshälfte 2009 hat er wieder um 12 Milliarden zugenommen. Daher hat die Allianz es auch zum Ziel ihrer Lobbyarbeit erklärt, die Bewertungsverfahren der ökonomischen Bilanz so zu modifizieren, dass die Schwankungen in den Eigenmitteln geringer ausfallen. Mein zweites Beispiel ist die Risikoaggregation. Im Standardmodell Solvency II erfolgt diese Aggregation über Korrelationen: Korrelationen sind zeitlich nicht stabil! 18 Sie sehen hier die Korrelationsmatrix für die verschiedenen Komponenten des Marktrisikos und die Aggregationsformel, mit der die Risiken für Aktien, Zinsen, Immobilien etc. zum Marktrisiko zusammengefasst werden. Hier wird eine Vorgehensweise erkennbar, die im Standardmodell auch an anderen Stellen wieder auftritt: Verteilungen, die man nicht kennt, werden erst einmal wie Normalverteilungen behandelt. In den Unterlagen von Solvency II werden Sie beispielsweise an mehreren Stellen den Koeffizienten 2,56 finden. Dieser 15
Koeffizient für die Standardabweichung entspricht der Insolvenzwahrscheinlichkeit von 0,5%, allerdings nur für die Normalverteilung. Tatsächlich sind aber viele der Verteilungen nicht normal und auch nicht genügend genau bekannt. Auch die Wurzelformel der Risikoaggregation ist nur sinnvoll, wenn unkorreliert und unabhängig dasselbe bedeuten, wie etwa für multivariate Normalverteilungen. Hier könnte man sich mit anderen mathematischen Ansätzen wie Copulas helfen, aber es kommt hinzu, dass die Korrelationen zeitlich instabil sind. Ich habe hier hervorgehoben, dass in der letzten quantitativen Studie Aktien und Anleihen als unkorreliert angenommen wurden, in den Krisen 2008 und auch 2002 haben sie jedoch eine starke Abhängigkeit gezeigt. Mein drittes Beispiel ist das operationale Risiko: Risikokapital für operationales Risiko IT Ausfall Brand Betrug Key People Viren/Hacker Je besser das Risikomanagement, um so geringer der Kapitalbedarf für operationales Risiko, aber das operationale Risiko ist (noch) nicht quantifizierbar. 17 Sie sehen hier in der zweiten Ebene die Berücksichtigung eines Risikokapitals für das operationale Risiko. Beispiele für das operationale Risiko sind IT-Ausfall, Brand, Betrug oder Hacker, aber auch das Risiko des Verlustes von Schlüsselpersonen. Zwar wird das operationale Risiko hier mit einem Risikokapital unterlegt, aber die Höhe ist immer noch ein großer Streitpunkt. Tatsächlich kann das operationale Risiko nicht so modelliert werden, dass eine seriöse Quantifizierung nach dem Sicherheitsstandard von Solvency II möglich wäre. Der Ansatz über eine Stressbilanz ist hier nicht sinnvoll. An dem Modellierungsproblem für das operationale Risiko arbeitet unter anderen Paul Embrechts in Zürich. 16
Hier noch einmal die drei Modellfragen im Überblick: Zinskurve Risikoaggregation Operationales Risiko Das stichtagsbezogene Modell ignoriert Charakteristika der Lebensversicherung Fragwürdige Verteilungsannahmen und instabile Korrelationen Noch nicht quantitativ modellierbar 20 Die Modellierung mit der stichtagsbezogenen Zinskurve ignoriert wichtige Charakteristika der Lebensversicherung, die Risikoaggregation ist mathematisch naiv, und das operationale Risiko ist nicht quantifizierbar. Nach diesen Beispielen grundsätzlicher Fragen für das Standardmodell Solvency II komme ich nun zu mehr praxisnahen Themen, Modellauswahl risikofreier Zins Garantien 21 unter denen ich die Modellauswahl, die Bestimmung des risikolosen Zinses und die Absicherung von Garantien ansprechen möchte. 17
200 100 0 All models are wrong, but some are useful. deterministisch Szenarien stochastisch 200 100 0 200 100 0 1 Pfad Ergebnis: Zahl = Erwartungswert? Wenige Pfade Ergebnis: Intervall, keine Wahrscheinlichkeiten 10.000 Pfade Ergebnis: Verteilung 22 Sie sehen hier ein Zitat von Prof. George Box aus Wisconsin: All models are wrong, but some are useful. Damit wird prägnant zum Ausdruck gebracht, dass jedes Modell nur einen Teil der Realität abbildet und sich daher die Auswahl eines Modells an dem Zweck der Modellierung ausrichten muss. Die Folie zeigt eine einfache Modellhierarchie, geordnet nach steigender Komplexität und steigendem Rechenaufwand. In der Praxis spielen Rechenzeiten eine wesentliche Rolle, und daher kann ein einfaches Modell ebenso nützlich sein wie ein komplexes. Ein Unternehmensmodell besteht in der Regel aus einer Mischung verschiedener Ansätze. Teile mit geringer Unsicherheit können deterministisch behandelt werden das gilt weitgehend für Todesfallleistungen in der Lebensversicherung andere Teile müssen mit ausgewählten Szenarien gerechnet oder stochastisch simuliert werden. Das Problem der Modellauswahl besteht nun darin, für jedes Teilmodell den Aufwand zu minimieren, ohne die Ergebnisse unangemessen zu verzerren. Zum Teil sind das methodische Fragen zum Beispiel, ob man aufwändige Simulationen durch geschlossene Formeln ersetzen und damit Rechenaufwand sparen kann. Es bleibt jedoch auch immer ein Teil dem professional judgement des Modellierers, also der subjektiven Beurteilung des Experten, überlassen. Ich komme jetzt erneut auf den Zins zurück, weil er für die Lebensversicherung die wichtigste Einzelgröße darstellt. Wenn man von risikolosem Zins spricht, so denkt man in der Theorie an Staatsanleihen. Allerdings ist hierfür die Datenbasis unvollständig, weil nicht immer Staatsanleihen einer bestimmten Laufzeit verfügbar sind. Derzeit gibt es eine intensive Diskussion darüber, ob man als Ersatz die Swapkurve verwenden kann, für die wesentlich mehr Daten zur Verfügung stehen. 18
21 Ich werde die Swapkurve hier nicht erläutern. Es genügt zu erkennen, dass Ende 2007 die gelbe Swapkurve weitgehend parallel zu den Zinsen deutscher Staatsanleihen in dunkelblau verläuft. Damit bietet sich die Swapkurve als Kandidatin für risikolose Zinsen an. Ende 2008 sieht das jedoch ganz anders aus: 22 Für kurze Laufzeiten ist der Spread der Abstand zwischen der gelben Swapkurve und den Staatsanleihen erheblich, für lange Laufzeiten verschwindet er, und für Laufzeiten, die hier nicht erfasst sind, wird der Spread sogar negativ. Die Parallelität von 2007 ist verloren gegangen. Wie soll man sich zwischen einer gut dokumentierten falschen Kurve und einer weniger gut dokumentierten, theoretisch korrekten entscheiden? Als weitere Beobachtung sehen Sie aus den beiden Grafiken, dass auch im Euroraum die Zinsen der Staatsanleihen vom jeweiligen Land abhängen hier das Beispiel Italien. Das macht die Wahl des risikolosen Zinses nicht leichter. Zum Abschluss komme ich auf ein besonderes Problem der Lebensversicherung, den Garantiezins. Zur Veranschaulichung habe ich im nächsten Bild die Entwicklung zehnjähriger Staatsanleihen und den deutschen Rechnungszins gegenüber gestellt. 19
% 12 Marktzins und Rechnungszins 1980 2009 10 8 6 4 2 0 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 24 Sie sehen die Zinsen der Staatsanleihen in blau und den Rechnungszins in rot. Mit dem Rechnungszins ist die garantierte Verzinsung bei Abschluss der Police gemeint. In Deutschland ist dieser Garantiezins bis 1994 angestiegen und dann ab 2000 schrittweise abgesenkt worden. In dem Bild habe ich versucht anzudeuten, dass diese Absenkung keine Auswirkung auf zuvor abgeschlossene Verträge hat die in 1998 ausgesprochene Garantie von 4% beispielsweise behält ihre Gültigkeit bis zum Ablauf der Police. Finanzmathematisch hat diese Garantie einen Wert, der umso höher ist, je niedriger die Zinsen am Markt sind. Solvency II schreibt vor, dass dieser Wert der Garantie als Verpflichtung in der ökonomischen Bilanz erfasst wird. Eine einigermaßen genaue Bestimmung dieses Wertes erfordert jedoch aufwändige Simulationsrechnungen. Die bisherigen Versuche, mit einfacheren Ansätzen beispielsweise einer geschlossenen Formel basierend auf der Optionspreistheorie zu arbeiten, haben keine zufriedenstellenden Ergebnisse erbracht. In den vereinfachten Rechnungen wurde der Wert der Garantien meist erheblich unterschätzt. Das führt auf eine andere interessante Fragestellung: Haben wir die richtigen Produkte? Sind die traditionellen Garantien aus Sicht der Kapitalkosten vielleicht zu teuer für das Unternehmen, und wie kann man kostengünstigere Garantien gestalten, die dem Bedürfnis der Verbraucher entsprechen? 20
Auch hier die praktischen Beispiele noch einmal in der Zusammenfassung: Modellauswahl risikofreier Zins Garantien Praktisch brauchbare Ergebnisse mit minimalen Modellierungsaufwand Mehrere Kandidaten, keine eindeutig optimale Auswahl Realistische Bewertung bisher nur durch Simulation 26 Die Modellauswahl muss sich an Zielsetzung und Rechenaufwand orientieren, für den risikofreien Zins gibt es keinen idealen Kandidaten, und die Garantien sind nicht nur schwer zu bewerten, sie sind vielleicht auch zu teuer und müssen neu gestaltet werden. Sie sollten aus meinen Ausführungen aber nicht den Schluss ziehen, dass die Modellierung unter Solvency II unbrauchbar wäre, im Gegenteil. Der Ansatz gibt qualitativ ein sinnvolles Bild der Risikosituation und der wichtigsten Risikofaktoren, die Bauchschmerzen des Mathematikers beginnen bei der Quantifizierung. Auf viele weitere Fragestellungen kann ich in diesem Rahmen nicht eingehen, Sie müssen sich mit der Spitze des Eisbergs begnügen. Ich hoffe es ist deutlich geworden, dass es bei aktuariellen Modellen auch nicht nur um Mathematik geht, sondern um das komplexe Zusammenspiel mit einer Vielzahl anderer Gebiete, etwa mit den Finanzmärkten. Ich komme zum Fazit: Die Modellierung von Versicherungsunternehmen stößt an viele theoretische und praktische Grenzen. Eine sinnvolle Balance zwischen Realitätsnähe des Modells und praktischer Handhabung ist in der Lebensversicherung noch nicht überall erreicht. Daraus ergeben sich viele interessante Aufgaben, sowohl für die Aktuarwissenschaft als auch für den praktisch tätigen Aktuar. Hinzufügen möchte ich, dass diese Entwicklung auch einen großen Bedarf an Aktuaren erzeugt und dadurch viele interessante Arbeitsplätze entstehen. Ich danke Ihnen für Ihre Aufmerksamkeit. 21
Ergänzende Anmerkungen bei Drucklegung: Seit dem Vortrag ist fast ein Jahr vergangen, und einige Ausführungen zu Solvency II müssen daher aktualisiert werden. So ist das Standard-Risikomodell stärker differenziert worden, wobei besonders die Änderungen in der Krankenversicherung zu nennen sind sowie das Risikomodul zur neu eingeführten Illiquiditätsprämie. Sämtliche Parameter sind mehr oder weniger unter dem Einfluss der Auswirkungen der Finanzkrise überarbeitet worden. Das betrifft auch die Korrelation zwischen Aktien- und Zinsrisiko, die jetzt mit 0,5 angesetzt wurde. Der Ansatz, Einzelrisiken über Korrelationen zu aggregieren, wurde jedoch trotz aller Unzulänglichkeiten beibehalten. Die umfangreichste inhaltliche Diskussion der vergangenen Monate betrifft die Zinskurve für die Barwertbildung. Für die Prognose der Zinsentwicklung sind verschiedene neue Ansätze in die Diskussion eingebracht worden, wobei aber fachlich interessante Überlegungen von Interessen der nationalen Versicherungsmärkte überlagert werden. Schließlich sei noch angemerkt, dass die griechische Finanzkrise noch einmal sehr scharf die Frage der Bonität von Staatsanleihen und deren Behandlung im Rahmen des Ausfallrisikos aufgeworfen hat, wesentlich schärfer als das im Vortrag am Beispiel Italien angedeutet wurde. Die wesentlichen Aussagen des Vortrags und natürlich das Fazit sind unverändert gültig. München, am 17. September 2010 Ulrich Orbanz 22