Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz Referent: Tobias Gleißner 29. Januar 2013 (syntaktischer Aufbau eines arithmetischen Terms) - Jede Zahl ist ein Term - Jede Variable ist ein Term - Sind und Terme, so auch sowie (syntaktischer Aufbau einer arithmetischen Formel) - Sind und Terme, so ist eine Formel - Sind Formeln, so auch - Ist eine Variable und eine Formel, so auch und (semantische Interpretation von Operationen in arithmetischen Formeln) Sei eine Menge von Variablen. Sei eine Belegung. erweitert auf arithmetische Terme: ( ) ( ) (Wahrheitswert für arithmetische Formeln) - ist wahr, falls für alle Belegungen - ist wahr, falls nicht wahr ist - ist wahr, falls wahr ist und wahr ist - ist wahr, falls wahr ist oder wahr ist - ist wahr, falls es ein gibt, so dass wahr ist - ist wahr, falls für alle gilt, dass wahr ist Eine Funktion (arithmetische Repräsentierbarkeit) heißt arithmetisch repräsentierbar, falls es eine arithmetische Formel gibt, so dass für alle gilt:
Satz (über die arithmetische Repräsentierbarkeit von WHILE-berechenbaren Funktionen) Jede WHILE-berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar. Man zeigt, dass für jedes WHILE-Programm mit den Programmvariablen eine arithmetische Formel mit den freien Variablen existiert, so dass für alle gilt: ist genau dann wahr, wenn P (mit den Variablenwerten gestartet) stoppt und die Programmvariablen dann die Werte besitzen. (Für den vollständigen Beweis s. Schöning, Uwe. Theoretische Informatik kurz gefasst S. 138-139) Der Beweis des Satzes lautet dann wie folgt: Angenommen das WHILE-Programm berechnet eine WHILE-berechenbare Funktion mit Parametern,, so kann diese Funktion durch die Formel arithmetisch repräsentiert werden:
Satz (zur Entscheidbarkeit der Menge der wahren arithmetischen Formeln) ist nicht rekursiv aufzählbar. Für jede arithmetische Formel gilt: ist wahr oder ist wahr. Angenommen wäre rekursiv aufzählbar, so existierte eine Turing-Maschine, die aufzählt, z.b., und bei sowie akzeptiert. Somit wäre sie auch entscheidbar. Sei eine rekursiv aufzählbare aber nicht entscheidbare Sprache. Da rekursiv aufzählbar ist, ist die Funktion { Turing-berechenbar (ist äquivalent zu WHILE-berechenbar) und damit arithmetisch repräsentierbar mit einer Formel. Es gilt: Damit hat man eine Turing-berechenbare Abbildung konstruiert, die eine Reduktion von nach darstellt. Da nicht entscheidbar ist, ist auch nicht entscheidbar und damit nicht rekursiv aufzählbar.
(Beweissystem) Ein Beweissystem einer Menge ist ein Paar mit - ist entscheidbar - ist berechenbar Mit wird die Menge der durch beweisbaren Elemente (Aussagen) von A bezeichnet. Ein Beweissystem heißt vollständig, falls. Da bereits in der eingebaut ist, folgt daraus schon, dass ein Beweissystem genau dann vollständig ist, wenn. Dies ist der Fall, genau dann wenn surjektiv ist. Satz (erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz) Jedes Beweissystem für die Menge der wahren arithmetischen Formeln ist unvollständig. Angenommen für ein Beweissystem. Dann wäre rekursiv aufzählbar, indem man alle durchläuft und aufzählt.
Anmerkungen Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Unmittelbare Folgerung: Es existieren in der Arithmetik der natürlichen Zahlen mit den Operationen plus und mal wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind. Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes Hinreichend mächtige, konsistente, formale System kann seine eigene Konsistenz nicht beweisen. Davon betroffen sind: Peano Arithmetik, Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) Davon nicht betroffen sind: Pressburger Arithmetik, ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom, ZFC mit großen Kardinalzahlen Eine Liste weiterführender Literatur ist im Wikipedia-Artikel Gödelscher Unvollständigkeitssatz zu finden. http://de.wikipedia.org/wiki/gödelscher_unvollständigkeitssatz Quellen Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publ. Comp. 1997 (S. 204 211) Schöning, Uwe. Theoretische Informatik kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag 2008 (S. 133 142)