KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT Abitur 2001 Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 210 Minuten Der Prüfling wählt nach Empfehlung durch die Lehrkraft je eine Aufgabe aus den Gebieten G 1, G 2 und G 3 zur Bearbeitung aus. Gewählte Aufgaben (Die drei zur Bewertung vorgesehenen Aufgaben sind vom Prüfling anzukreuzen.): Gebiet G 1 Gebiet G 2 Gebiet G 3 Aufgabe 1.1 Aufgabe 2.1 Aufgabe 3.1 Aufgabe 1.2 Aufgabe 2.2 Aufgabe 3.2 Aufgabe 3.3 Unterschrift Prüfling:
Gebiet G 1 Aufgabe 1.1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f(x) = 8 1 (x 3 6x 2 + 32) und y = g(x) = x 2 4, x R. In einem kartesischen Koordinatensystem sei der Graph der Funktion f mit F und der Graph der Funktion g mit G bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass x 0 = 4 eine Nullstelle der Funktion f ist. Berechnen Sie die weiteren Nullstellen der Funktion f. Ermitteln Sie Art und Lage der lokalen Extrempunkte des Graphen F. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 2,5 x 5. b) Die Graphen F und G besitzen zwei gemeinsame Punkte. Zeigen Sie, dass einer dieser Punkte ein Schnittpunkt ist und geben Sie dessen Koordinaten an. Die Graphen F und G und die x-achse begrenzen im IV. Quadranten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. c) Der Verlauf einer Rennstrecke werde in dem zu betrachtenden Bereich durch den Graphen F beschrieben. Der Standort eines Beobachtungsturmes sei der Punkt K. Der Punkt K soll so gewählt werden, dass er zu den gemeinsamen Punkten des Graphen F mit den Koordinatenachsen jeweils den gleichen Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes K.
Gebiet G 1 Aufgabe 1.2 Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g durch 2 y = f(x) =, x R, x 2, und 2 (x 2) y = g(x) = 4x + 14, x R. a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -1 x 5. Untersuchen Sie dazu den Graphen der Funktion f auf waagerechte Asymptoten sowie auf Existenz lokaler Extrempunkte und ermitteln Sie die Koordinaten seines Schnittpunktes mit der y-achse. Geben Sie die Gleichung der Polasymptote an. b) Im Punkt P(1 f(1)) wird an den Graphen der Funktion f eine Tangente t gelegt. Die Tangente t schneidet die Polasymptote im Punkt Q(2 6). Weisen Sie die Richtigkeit dieser Aussage nach. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g auch Tangente an den Graphen der Funktion f ist und berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes. c) Die Graphen der Funktionen f und g und die Gerade mit der Gleichung x = 4 begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. d) Für jeden Wert des Parameters a schneidet die Gerade mit der Gleichung y = a, a > 0, den Graphen der Funktion f in den Punkten A (2+ 2 a a) und B (2 2 a a). Eine Parallele zur y-achse durch den Punkt A schneidet die x-achse im Punkt D und eine Parallele durch den Punkt B schneidet die x-achse im Punkt C. Berechnen Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass das Viereck ABCD einen minimalen Umfang besitzt.
Gebiet G 2 Aufgabe 2.1 Analytische Geometrie Auf einem ebenen Berghang sollen in den Geländepunkten A(10 15 5), B(-20 30 20) und C(-5 0 5) zur Horizontalebene senkrechte Masten mit einer Länge von jeweils 10 m errichtet werden. Entsprechend ihrem Standort werden sie mit a, b und c bezeichnet. Die Lage der Geländepunkte ist in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben, in dem eine Einheit einem Meter entspricht und die xy-ebene die Lage der Horizontalebene beschreibt. a) Zeigen Sie, dass der Standort des Mastes b in gleicher Entfernung von den Standorten der Masten a und c gewählt wurde. Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene auf, die die Lage des Berghanges beschreibt. b) Ermitteln Sie jeweils die Koordinaten der Punkte A', B' und C', die die Lage der Spitzen der Masten a, b und c kennzeichnen. [Teilergebnis zur Kontrolle: A'(10 15 15)] An der Spitze des Mastes b soll ein Befestigungsseil angebracht werden, dessen 1 Richtung durch den Vektor v b = 1 beschrieben wird. 4 Stellen Sie eine Gleichung der Geraden auf, die die Lage des Befestigungsseiles am Mast b beschreibt und berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes des Seiles in der Hangebene. c) Die Befestigungsseile an den Masten a und c sollen senkrecht zum Hang verlaufen. In den Bauunterlagen gibt es zu deren Richtung jedoch unterschiedliche Angaben: 1 1 va = 0, v 2 c = 1. 3 Prüfen Sie, ob diese Vektoren die geforderte Richtung angeben.
Gebiet G 2 Aufgabe 2.2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0 0), B(8 4), C(6 8) und D(-2 4) gegeben. a) Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Rechtecks sind. b) Die Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis k mit dem Mittelpunkt M. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und eine Gleichung dieses Kreises. [Mögliches Teilergebnis zur Kontrolle: k: x 2 +y 2-6x-8y = 0] Im Punkt C ist an den Kreis k die Tangente t zu legen. Geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an. c) Die Gerade durch die Punkte B und D sowie die Tangente t (aus Aufgabe b)) schneiden einander im Punkt E. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes E. Die Punkte E, C und M (aus Aufgabe b)) seien die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie das Gradmaß der Innenwinkel und den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Gebiet G 3 Aufgabe 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Während eines praktischen Fahrschulunterrichts sollen Antje, Babette und Christian zur Übung unterschiedlich schwierige Rundkurse befahren. Aus langjährigen Erfahrungen sind für das fehlerfreie Durchfahren der Rundkurse die folgenden Wahrscheinlichkeiten bekannt: Rundkurs I 50 %, Rundkurs II 60 % sowie Rundkurs III 70 %. a) Antje durchfährt den Rundkurs I, Babette den Rundkurs II. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass - keines der beiden Mädchen, - genau eines der beiden Mädchen seinen Rundkurs (bei jeweils genau einer Fahrt) fehlerfrei absolviert. b) Christian durchfährt erstmals den Rundkurs III. Bei jedem weiteren Durchfahren des Rundkurses erhöht sich durch einen Trainingseffekt die Wahrscheinlichkeit für das fehlerfreie Durchfahren um 0,05. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Christian den Rundkurs in den ersten drei Durchfahrten mindestens zweimal ohne Fehler durchfährt. Von einem weiteren, schwierigen Rundkurs (Rundkurs IV) wird behauptet, dass ihn im Durchschnitt jeder vierte Fahrschüler fehlerfrei absolviert. 50 Interessenten wollen diese Behauptung (mit je einer Fahrt) testen. Wenn weniger als 10 von ihnen den Rundkurs IV fehlerfrei absolvieren, dann wollen sie die Behauptung als falsch ablehnen. c) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei diesem Testvorgehen die Behauptung irrtümlich als falsch abgelehnt wird.
Gebiet G 3 Aufgabe 3.2 Analysis Gegeben sind die Funktionen f a durch 2x 1 y = f a (x) = e + a, a, x R. a) Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters a auf den Verlauf der Graphen der Funktionen f a. Berechnen Sie die in der Tabelle fehlenden Werte. x 3 0 f 1 (x) 0 e² 1 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f -1 im Intervall -3 x 1,5. b) Durch Rotation des Graphen der Funktion f -1 im Intervall 1 x 0,5 um die x-achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens dieses Körpers.
Gebiet G 3 Aufgabe 3.3 Analytische Geometrie In einem Koordinatensystem seien die in der Abbildung dargestellte Hyperbel mit Halbachsen ganzzahligen Maßes und ihre Asymptoten gegeben. (Skizze nicht maßstäblich) a) Geben Sie eine Gleichung für die Hyperbel und eine Gleichung für jede der Asymptoten an. b) Vom Punkt P(-4 9) aus sei die Tangente t 1 an den linken Hyperbelast gelegt. Diese schneidet jede der beiden Asymptoten und begrenzt mit diesen ein Dreieck D 1. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes dieses Dreiecks. c) Im Punkt T(5-2,25) werde die Tangente t 2 an die Hyperbel gelegt. Ermitteln Sie eine Gleichung für diese Tangente. Diese Tangente t 2 schneidet die Asymptoten in den Punkten S 1 und S 2 und bestimmt mit diesen ein Dreieck D 2. Zeigen Sie, dass die Maßzahl des Flächeninhaltes des Dreiecks D 2 gleich der Maßzahl des Flächeninhaltes des Dreiecks D 1 ist.