Mathematik für alle Mathematics for Everyone This is a fractal with the word luck 1 2 Mathematik für Kinder Kroptografie Mathematics for Children Kroptografie Decode the message: auf der Kinderseite einer Kundenzeitung in the children s page of commercial newspaper 3 4 Mathematik echt leicht Mathematics is Easy Solution: Der Apfel faellt nicht weit vom Stamm a german idiomatic expression: The apple falls not far from the tree 5 6 1
Cäsarcode, Urtyp der Kryptografie Schlüssel- Buchstabe über das A stellen Kryptogramm-Buchstaben Caesar s code, Prototype of the Cryptographic Methods keyletter Schlüssel- Buchstabe put it over the A über das A stellen letters of the ciphertext Kryptogramm-Buchstaben Klartext-Buchstaben Klartext-Buchstaben letters of the plaintext 8 Schlüssel- Buchstabe do it yourself: caesarcode über das A stellen DRKYV Kryptogramm-Buchstaben Caesar s Code, the Origin of the Cryptography keyletter DRKYV Schlüssel- Buchstabe put it over the A über das A stellen letters of the ciphertext Kryptogramm-Buchstaben Klartext-Buchstaben 9 Klartext-Buchstaben letters of the plaintext 10 Kyptografie, Vigenère-Verfahren Vigenère-Verfahren Cyptographie, Vigenère s Method Vigenère-Verfahren plaintext Kryptogramm: keyword Kryptogramm: ciphertext: Klartext-Buchstaben 11 Klartext-Buchstaben 12 2
Kyptografie, Vigenère-Verfahren Vigenère-Verfahren Kryptogramm: Cyptographie, Vigenère s Method Vigenère-Verfahren plaintext ciphertext: XENWLMNTTO keyword XENWLMNTTO DYJTY DYJTY Klartext-Buchstaben 13 Klartext-Buchstaben 14 Kyptografie macht sich auf den Weg 435544239 Cyptography Goes On 435544239 INFO: Der ASCII-Code ist die übliche Codierung des Alphabetes. Die großen Buchstaben reichen von 65 bis 90, dann folgen die kleinen Buchstaben. Hier ist die Zahl 30 vom ASCII-Code abgezogen, damit man zweistellig bleibt. 15 INFO: The ASCII-Code is the usual way to realise letters and sign in the computer. The big Letters have the Mumbers 65 to 90, then the small letters follow. The number 30 is subtracted from ASCII-Code here, so that two figures are enough. 16 Kyptografie macht sich auf den Weg Cyptography Goes On Klartext m 435544239 Schlüssel s 284693581 plaintext m 435544239 key s 284693581 free chosen 1 18 3
Zahlen ermöglichen gute Kryptografie Numbers are Good for Good Cryptography Klartext m 435544239 Schlüssel s 284693581 plaintext m 435544239 key s 284693581 you habe to add it without transfer 10 19 20 Zahlen ermöglichen gute Kyptografie Numbers are Good for Good Cryptography Klartext m 435544239 Schlüssel s 284693581 plaintext m 435544239 key s 284693581 21 22 Rechnen geht besser als Ablesen To Add is Better than to Read Vigenère s Table Die Tabelle können wir vergessen, man kann das ganz einfach auch ausrechnen! Klartext m 435544239 Schlüssel s 284693581 Forget the table, it is easier to add it (without transfer the 10) plaintext m 435544239 key s 284693581 Ziffernweise ohne Übertrag addieren mz sz cz cz sz mz Ziffernweise abziehen modulo 10 23 add the figures and drop the tens mz sz cz cz sz mz subtract the figures take a 10 if you need modulo 10 24 4
Rechnen geht besser als Ablesen To Add is Better than to Read Vigenère s Table Die Tabelle können wir vergessen, man kann das ganz einfach auch ausrechnen! Klartext m 435544239 Schlüssel s 284693581 Forget the table, it is easier to add it (without transfer the 10) plaintext m 435544239 key s 284693581 Ziffernweise ohne Übertrag addieren mz sz cz cz sz mz Ziffernweise abziehen modulo 10 25 add the figures and drop the tens mz sz cz cz sz mz subtract the figures take a 10 if you need modulo 10 26 Kyptografisches Protokoll one-time-pad (dezimal) Vorbereitungsphase Anton und Berta vereinbaren einen Schlüssel Anwendungsphase: Verschlüsselung (encryption) 1. Anton übersetzt einen Klartext in eine Zahl m 2. Er addiert ziffenweise modulo 10 (d.h. ohne Übertrag) den Schlüssel s 3. Das Ergebnis c schickt er Berta. Entschlüsselung (decryption) 1. Berta subtrahiert ziffernweise modulo 10 den Schlüssel von dem Krytogramm c und erhält m 2. Sie übersetzt m zurück in Buchstaben und liest. mz sz cz cz sz mz 2 Cryptographic Protokoll one-time-pad (decimal) preparation phase Anton and Berta agree on a key application phase: encryption 1. Anton translates a plaintext in a Number m 2. He adds figurewise modulo 10 (without take 10) the key s 3. He sends the result, the ciphertext, c to Berta. decryption 1. Berta subtracts modulo 10 the key from the ciphertext. The result ist the message m. 2. She translates m back in letters ans reads the message. mz sz cz cz sz mz 28 Vierer-Übung Vier Studis bilden eine Gruppe Rechts-Unten sagt den Schlüssel an. 8 Stellen zufällig Die, die nebeneinander sitzen, verschlüsseln ein Wort mit 4 Buchstaben. Die beiden anderen müssen es herausbekommen. 6 Minuten mz sz cz cz sz mz 29 Exercises with Four Students Four students build a group. Right-down says an arbitrary key. 8 figures randomly The students, which are neighbours, encrypt one word whith 4 letters. The two others must decrypt this word. 6 minutes mz sz cz cz sz mz 30 5
Organisation und Hilfen Website www.leuphana.de/matheomnibus Organisatorisches Organisation and Help Website www.leuphana.de/matheomnibus organisation of blendes learning http://mystudy.leuphana.de de http://mystudy.leuphana.de de Einführung Sie finden sie hier. Introduction you can find it here Tutoren-Team mit Sprechstunden u.a 12.113 ab dem 22.10. TutorenInnen ( BWL, LBS, 1 Lehrer) 31 tutor-team with consultation hours in C 12.113 start: 21.Okt. 11 tutors ( BWL, LBS, 1 teacher) All tutors are able to help you in english and german. 32 Das Buch zur Vorlesung Für Sie konzipiert, passend geschrieben, so wie die Vorlesung ist, für Menschen ohne spezielle mathematische Kenntnisse --- Kap. 5,10 und 11 sind nur im Buch und nicht in der Vorlesung --- 340 Seiten, 600 farbige Bilder In den Buchhandlungen und der Bibliothek 33 The Book to the Lecture The concept is based on this lecture, the style is similar to this lecture, written for people who have nt a special knoewledge in mathematics --- Chap. 5, 10 and 11 are only in the book and not in the lecture ---- 340 pages, 600 colored pictures You find it in bookshops and in the library. 34 Was ist moderne Kyptografie? What is Modern Cryptography? It ist a very special joke, that one can read important german dictionary: cryptography is a randomly made scratching of adults. The goal of this lecture is, to enable people to know it better. 35 36 6
Was ist moderne Kryptografie? treibt das Rechnen auf die Spitze verwendet riesige Zahlen von 200 Stellen Länge werkelt mit Primzahlen erzeugt das Kryptogramm und die Schlüssel durch Rechnungen die Rechnungen laufen modulo n, im Restklassen ring von n Das wird jetzt erkärt: 3 What is modern cryptography? high end calculating with numbers takes giant numbers with 200 figures handles with primnumbers produce the ciphertext and the keys only with calculating calculation is modulo n, in residue class ring on n This will be explained: 38 modulo 20 was bedeutet das? Die Vielfachen von 8 bzw. 9 modulo 20 Es geht nur um die Reste beim Teilen durch 20. modulo 20 what is it? The multiples of 8 (left) and 9 (right) modulo 20 Importend are only the residues in divison by 20. gehe von Null 8 Schritte und 8 Schritte u.s.w. gehe von Null 9 Schritte und 9 Schritte u.s.w. go from zero 8 steps and 8 steps and so on go from zero 9steps and 9 steps and so on zero one one zero 39 40 n = 20 modulo n was bedeutet das? Die Vielfachen von 8 bzw. 9 modulo 20 Es geht nur um die Reste beim Teilen durch 20. n = 20 modulo n what is it? The multiples of 8 (left) and 9 (right) modulo 20 Importend are only the residues in divison by 20. 8 hat einen gemeinsamen Teiler mit 20, nämlich 4. Es bleiben Punkte übrig. 9 hat keinen gemeinsamen Teiler mit 20 Es bleiben keine Punkte übrig. 8 has a common divisor with 20, namely 4. There are points in the circle without lines. 9 don t have a commom divisor with 20 All points in the circle get lines. 41 42
modulo n: was bedeutet das? n = 19 Die Vielfachen von 8 modulo 19 Keine Zahl 1 z 19hat einen gemeinsamen Teiler mit 19. Darum wird immer jeder Punkt erreicht. Es bleiben nie Punkte übrig. 19 ist eine Primzahl Eine Primzahl p ist eine Zahl mit genau zwei Teilern: 1 und p. 43 modulo n: what is it? n = 19 The multiples of 8 modulo 19 No Number 1 z 19 has a common divisor with 19. Therefore in all cases every point ist reached. No points are left. 19 is a prime number A prime number p is a number with exact two divisors: 1 and p. 44 Die Primzahlen und das modulo-n- Rechnen Kryptografie Prime Numbers and the Calulating modulo n That s the New Cryptography n =19 n =4 n =1 n = 221542321013390125581966581640559644 106895543954912468505921928055298496 45 n =19 n =4 n =1 n = 251535285950550046445522336499121615445948844 610436902866453166903238260139626390055216918440 200214658241956139860863538912118382811369 46 Erklärung zur letzte Folie: Für jede Zahl n denkt man sich den Kreis der Zahlen als Punkte {0,1,2,3,.. n-1} auf dem Zifferblatt einer Uhr. Beim Rechnen modulo n kommen nur diese Zahlen vor. Ihre Menge bezeichnet man mit n. ( sind die ganzen Zahlen ) Die Vielfachen einer Zahl t lassen manchmal Punkte aus. Das ist für die Kryptografie ungünstig. n Bei Primzahlen kann das nicht passieren, darum sind Primzahlen so wichtig für die Kryptografie. In der Kryptografie verwendet man riesige Primzahlen. Der ganz große Kreis rechts müsste für das angegebene n (etwa 10 150 ) viel mehr Punkte haben, als im Universum Atome (etwa 10 ) sind. 4 Explanation of the Last Slide: We think for every number n a circle of numbers with points {0,1,2,3,.. n-1} as a face plate of a clock. When we calculate modulo n the are only this numbers. We name the set of these numbers n. ( are the integers) The multiples of a number t sometimes leap some points. This is awkward for cryptography. n With prime numbers this is impossible. Thats why prime numbers are so important for cryptography In cryptography one take giant prime numbers Primzahlen. For the given n (ca. 10 150 ) the biggest circle at the right must have more points than the universe has atoms (ca. 10 ). 48 8
Jetzt: Kopfrechnen mit den Resten beim Teilen durch n: das ist Rechnen modulo-n 1 modulo 5 ist 2 1 2 1 ist gleich 2 modulo 5 mod (1, 5) 2 5 1 ist kongruent 2 modulo 5 1 2 mod 5 Now: Mental Arithmetic with the Rests by Dividing by n: That is modulo n Calculation. 1 modulo 5 equals 2 mod (1, 5) 2 1 2 1 equals 2 modulo 5 5 1 is congruent 2 modulo 5 1 2 mod 5 5 heißt Teiler oder modulo-zahl 5 is the divisor or modulo-number Ganze Vielfache von n weglassen! leave whole multiples of n! 49 50 Jetzt: Kopfrechnen mit den Resten beim Teilen durch n: das ist Rechnen modulo-n 1 modulo 5 ist 2 1 2 1 ist gleich 2 modulo 5 mod (1, 5) 2 5 1 ist kongruent 2 modulo 5 1 2 mod 5 Now: Mental Arithmetic with the Rests by Dividing by n: That is modulo n Calculation. 5 heißt Teiler oder modulo-zahl Ganze Vielfache von n weglassen! evt. schrittweise 1 2 5 1 modulo 5 equals 2 mod (1, 5) 2 1 equals 2 modulo 5 1 is congruent 2 modulo 5 1 2 mod 5 5 is the divisor or modulo-number leave whole multiples of n! perhaps more steps 51 52 modulo-rechnen ist einfach modulo Calculating ist Easy Man rechnet wie immer, lässt aber an beliebigen Stellen in Zahlen Vielfache der modulo-zahl n weg oder addiert sie. You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. 53 54 9
modulo-rechnen ist einfach modulo Calculating ist Easy Man rechnet modulo n wie immer, lässt aber an beliebigen Stellen in den Zahlen Vielfache der Modulzahl n weg. You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. weil: -2+5=3 because -2+5=3 55 Z(m) ist die Menge der möglichen Reste beim Teilen durch m 56 Z(m) is the Set of all Possible Rests in Division by m V k ü f Verknüpfungstafeln t f l t bl off operation table ti 5 Muster sample 58 Vier Studis helfen einander. 4 Min Four Studis help eachother. Vier Studis helfen einander. 4 Min Four Studis help each other. You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. You calculate in the normal manner but in numbers you can leave multiples of the modulo-number n everywhere. You can add the modulo number n, if a result is negative. Kopfrechnen mental arithmetic 59 Muster sample Kopfrechnen mental arithmetic 60 10
Gleichungen? Equations? Gleichungen? Equations? only by trial and error keine Lösung no solution Weil k*10+3 ungerade aber 8*x gerade 10 0,1,2,3,4,5,6,,8,9 hat außer 0 weitere Nullteiler!!!! zero divisor 61 keine Lösung no solution * 1,2,3,4 5 has no zero divisors because 5 is prime. 62 Was muss ich mir merken? Die Ganzen Zahlen sind {... 2, 1, 0, 1, 2, 3...} In der Kryptografie geht es um das Rechnen modulo n in der Menge n { 0, 1, 2, 3,..., n 1}, der Menge der Reste. In der Kryptografie hat n etwa 200 Stellen. Zum Lernen nehmen wir kleine n und rechnen meist im Kopf. Hinter jeder Zahl r in n muss man sich alle Zahlen vorstellen, die denselben Rest beim Teilen durch n ergeben. Sie ergeben sich aus r durch Addition eines beliebigen Vielfachen von n. Also r repräsentiert zn r mit z Das schreibt man so: r z n r n Im Beispiel { 0, 1, 2, 3,...,6} 3 z 3 3 1 3 10 3 200 3 143 3 1 3 4 63 What Shall I Have to Keep in My Mind? The integers are this: {... 2, 1, 0, 1, 2, 3...} In cryptography one calculate modulo n in the set n { 0, 1, 2, 3,..., n 1}, the set of residues, the set of rests. In cryptografie n has ca. 200 digits. to learn it, we take small modulo-numbers n and mostly we calculate by head. behind every number r in n one must imagine alle numbers with the same rest in division by n. They are constructed from r by addition of an arbitrary multiple of n. So r represents zn r mit z We write in this manner: r z n r n In example { 0, 1, 2, 3,...,6} 3 z 3 3 1 3 10 3 200 3 143 3 1 3 4 64 Uff, jetzt haben wir schon viel gelernt! Wow, We Have Learned Much in this Short Time! Ziel: Kryptografie verstehen goal: to understand cryptography Weitere Überraschungen beim modulo-rechen folgen! 65 Futher surprises with modulo-calculating! 66 11
Potenzen sind spannend Die Potenzen von 3 modulo 20 Powers are Powerfull The powers of 3 modulo 20 3 hat in Z (20) die Ordnung 4, denn 3 has in Z (20) the Order 4, denn Nur Zahlen, deren Potenzen in Z(n) wieder 1 erzeugen sind brauchbar. Der kleinste Exponent k von a, mit heißt Ordnung von a modulo n. 6 Numbers are only useful, if the powers in Z(n) equal 1 for any exponent. The smalest exponent k von a, mit is named Order of a modulo n. 68 Powers modulo n Potenzen in Z(n) Die Potenzen von 3 modulo 20 69 0 Powers in Z(n) The powers of 3 modulo 20 4.0389963* 10 ^ 2385 Potenzen in Z(n) 4038996298155339008634098150848394498166 59634862318662815021844263163244095899912831 12221950803122644092529821124859181 0338304034419302831610118 8129043164196698062 35690286648689620291486444551053184811536 68354858842583 210948081600929295655263111 0406984120533836065664635950242364928442451805 99508312484611404441399958188423268629895 33584 63854091303432618956468436 264622168989536939 221538008683215919461 203335321439182449136148 195168349141 2486599141322485923995054191594 1214523139 01051263045668863231323159390082 Die Potenzen von 3 modulo 20 1485506802 96553150265553312948254293531 5800946829026948 09251125632205422108053051595 8 02981233109856012113525552509932 3549899369 5548808266328549362 084693205546560839058922 81995269666524 931286293386196564822546419290429591462439 03855562489356161956885954150826921 892632942999150401240108529239460862 88448401091385489206262521143251898560639945389659 4.0389963* 10 ^ 2385 22414444350834130994418 05308940116392449921436191128 6066408496525819888322565 33888062092 950033223059418 285493291048089968255200044686313662245 618461205683559130948166 4522053 2382605012998030 18463030441302626850859830224909045349312846354844263 39644646260892 228164529264956922686898553685528221 491014801484632422189680862290605830519696161868384599 28035 0429904960585449130842202616225188586962080530864632041 326182612698498484353406811946592 3915208683483681364361483033564850 104989166601490814214154945854563 006444808828699 694481804435844 4861500611528625846948651340208248384068655658114518448386145545996346098 9861608134559326325343842230980229968160066838942906126088644111914141455 248988628956 8286295961338393885921344589821604566983 19860335993253315655 39619290604163556063532953648 893086913392026253692233350241045325999643532468824953294306881 660939492886366404195436910656 50165960385015543622222148848680393545144 5890619044805913468089164536163934000232191538866 88365255688115338002309292544923831405866436365604559608580943064300004242591830363850263 2685832590453009183866802820050165881888843052104551499608836288180634999559111106849 9262389334205163686819341001992202623320 85169339416835052645498039818859135023834681135 93263360049356313699826100001 That s cryptography! 1 2 12