Der Skalenfaktor des Universums

Der Skalenfaktor des Universums Roter Faden: 1.Hubblesches Gesetz: v = H d 2.Wie mißt man Geschwindigkeiten? 3.Wie mißt man Abstände? 4.Wie alt ist das Universum? 5.Wie groß ist das sichtbare Universum? 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 1

Bestimmung der Geschwindigkeiten Relative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung. V rel Blauverschiebung Absorptionslinien Keine Verschiebung Rotverschiebung 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 2

Relativistische Dopplerverschiebung Relative Geschwindigkeit v der Galaxien aus Dopplerverschiebung. ( Quelle bewegt sich, aber Frequenz konstant. In einer Periode Δt =T vergrößert sich Abstand von λ rest = ct auf λ obs = (c+v)t. Die relativistische Zeitdilatation ergibt: T / T = γ = 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 3

Relativistische Rotverschiebung 1 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 4

Abstandsmessungen Und SNIa, das sind Supernovae die aus Doppelsternen entstehen, sehr hell leuchten und immer praktisch gleiche Anfangshelligkeit haben. Perfekte Standardkerzen, sichtbar auf sehr große Entfernungen 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 5

Bestimmung der Abstände zwischen Galaxien Trigonometrie: r = Astronomische Einheit (AE) = = 1.496 10 8 km = 1/(206265) pc. π d/2 r 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 6

Einheiten Abstand zur Sonne: 8 Lichtminuten. Nächster Stern: 1,3 pc. Zentrum der Milchstraße: 8 kpc. Nächste Galaxy: 55 kpc Andromeda Nebel: 770 kpc. Milchstraße Cluster (1 Mpc) Supercluster (100 Mpc) Universum (10000Mpc) 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 7

Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie Leuchtkraft L = Oberflächenhelligkeit F x Fläche πr 2 oder Energieströme messen: Scheinbare Helligkeit m = gemessene Strahlungsstrom, d.h. pro Zeiteinheit vom Empfänger registrierte Energie. Absolute Helligkeit M = scheinbare Helligkeit auf Abstand von r 0 = 10 pc und m 1/4πR 2. L aus Temperatur (Farbe) m messbar mit Photoplatte, digitale Kamera.. F oder M aus a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagram b) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode) c) Supernovae Ia ( M bekannt) d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit M) e) hellsten Sterne einer Galaxie 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 8

Leuchtkraft der Sterne Leuchtkraft der Sonne L S = 3.9 10 26 W = 4.75 m Antike: 6 Größenklassen der scheinbaren Helligkeiten m, angegeben mit 1 m.. 6 m. Sterne sechster Größe kaum mit Auge sichtbar. Sonne: 4,75 m Man sagt: Sonne hat Größe (oder magnitude) 4.75 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 9

Leuchtkraft und Entfernungsmodul Die Leuchtkraft L (engl. luminosity) eines Sterns ist die abgestrahlte Energie integriert über alle Wellenlängen. Aus der Helligkeit in unterschiedlichen Frequenzbändern (U=UV, B=Blau, V=Visuell) kann man die Leuchtkraft (oder bolometrische Helligkeit) rekonstruieren. Die bolometrische Helligkeit der Sonne wird festgelegt auf M = 4,75 (stimmt ungefähr mit Skale 1-6 der Antiken). Die Helligkeit (engl. magnitude) in einem bestimmten Spektralbereich hängt vom Abstand und Durchsichtigkeit des Universums für die Strahlung ab. Man definiert die absolute Helligkeit M als die Helligkeit auf einem Abstand von 10 pc and die scheinbare Helligkeit m (= gemessener Strahlungsstrom S, d.h. pro Zeit und Flächeneinheit vom Empfänger registrierte Energie) für einem Abstand d als m = M + 5 log (d/10pc). Der logarithmische Term m-m nennt man Entfernungsmodul (distance modulus) und kann benutzt werden um Abstände zu bestimmen, wenn m und M bekannt s Oder man kann die Helligkeiten von Sternen vergleichen bei gleichem Abstand: M 1 -M 2 = 2.5 log S 1 /S 2, wenn die Strahlungsströme S1 und S2 bekannt sind. Eine Supernova Ia hat M= -19.6, die Sonne 4.75, so die Helligkeiten unterscheiden sich um einen Faktor 10 (4,75+19,6)/ 2.5 10 Größenordnungen. 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 10

Nicht-Linearität des Hubbleschen Gesetzes parametrisieren mit Bremsparameter q 0 (Taylor-Entwicklung: S(t)=S(t 0 )-S `(t 0 )(t-t 0 )-½ S ``(t 0 )(t-t 0 ) 2 ) Experimentell: q=-0.6±0.02: abstoßende Gravitationskraft 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 11

Hubble Diagramm aus SN Ia Daten Abstand aus dem Hubbleschen Gesetz mit Bremsparameter q 0 =-0.6 und H=0.7 (100 km/s/mpc) z=1-> r=c/h(z+1/2(1-q 0 )z 2 )= 3.10 8 /(0.7x10 5 )(1+0.8) Mpc = 7 Gpc Abstand aus SN1a Helligkeit m mit absoluter Helligkeit M=-19.6: m=24.65 und log d=(m-m+5)/5) -> Log d=(24.65+19.6+5)/5=9.85 d = 7.1 Gpc 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 12

Bestimmung der Abstände durch Spektroskopie Absolute Helligkeit M aus: a) Spektrum plus Hertzsprung-Russel Diagram b) Cepheiden (absolute Leuchtkraft M aus Periode) c) Supernovae Ia ( M bekannt) d) Tully-Fisher Relation (Rotationsgeschwindigkeit M) e) hellsten Sterne einer Galaxie 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 13

Herzsprung-Russell Diagramm Oh Be A Fine Girl Kiss Me Right No 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 14

Herzsprung-Russel Diagramm 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 15

J. Hörandel Siehe Astroteilchenphysik I 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 16

J. Hörandel 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 17

Entstehung Supernova Ia A giant red star (right) blowing gas onto a white dwarf star caused an explosion so violent that it could be seen 8,000 trillion miles away on Earth without a telescope on Feb. 12, 2006. (David A.Hardy/www.astroart.org & PPARC) 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 18

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Geschichte der SN1987a 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 20

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Cepheiden (veränderliche Sterne) 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 22

Tully-Fisher : max. Rotationsgeschwindigkeit der Spiralgalaxien prop. Leuchtkraft 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 23

Hubblesches Gesetz in comoving coordinates d D Beispiel: D = S(t) d (1) Diff, nach Zeit D = S(t) d (2) oder D = v = S(t)/S(t) D Oder v = HD mit H = S(t)/S(t) D = S(t) d S(t) = zeitabhängige Skalenfaktor, die die Expansion berücksichtigt. Durch am Ende alle Koordinaten mit Skalenfaktor zu multiplizieren, kann ich mit einem festen (comoving) Koordinatensystem rechnen. 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 24

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Einfluss des Dichteparameters auf die Expansion Offenes Univ. Flaches Univ. Geschlossenes Univ. Vergleich mit einer Rakete mit U<T, U=T und U>T Radius des sichtbaren Universum S, d.h. S(t) bestimmt Zukunft des Universums! 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 26

Zeitabhängigkeit der Skalenfaktor S(t) bei Ω=1 r S(t) und ρ 1/r 3 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 27

Altersabschätzung des Universum für Ω=1 Oder ds/dt = H S oder mit S = kt 2/3 2/3 k t -1/3 = H kt 2/3 oder t 0 =2/(3H 0 ) 10. 10 9 a Richtige Antwort: t 0 1/H 0 14. 10 9 a, da durch Vakuumenergie nicht-lineare Terme im Hubbleschen Gesetz auftreten (entsprechend abstoßende Gravitation). τ 0 =1/H 0, da tan α = ds / dt = S 0 / t 0 τ uni = 2 / 3H 0 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 28

Wie groß ist das sichtbare Universum für Ω=1? Naiv: R = ct 0 ist Radius des Universums. Dies ist richtig für ein statisches Universum ohne Expansion. Mit Expansion: R = 3ct 0. Beweis (mit comoving coor.): Betrachte sphärische Koor. (R,θ,ϕ,t) und mitbewegende Koor. (σ,θ,ϕ,η) und Lichtstrahl in Ri. ϕ=θ=0. Dann gilt: R = c t und σ = c η, weil c = unabh. vom Koor. System Aus R = S(t) σ folgt dann: R = c S(t) η = ct, d.h. Zeit skaliert auch mit S(t)! Daraus folgt: η = dη = dt / S(t) oder mit S(t) = kt 2/3 σ = c dη = c 1/ kt 2/3 dt = (3c/k) t 1/3 Oder R 0 = S(t) σ = 3 c t 0 = 3 x 3.10 8 x 14.10 9 x 3.10 7 = 3.8x10 26 m= 3.8x10 26 /3.1x10 16 =12 Gpc 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 29

Beobachtungen: Ω=1, jedoch Alter >>2/3H 0 Alte SN dunkler als erwartet 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 30

Vakuumenergie abstoßende Gravitation Vakuumenergie and cosmological constant both produce repulsive gravity equivalent! 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 31

Energie-Inhalt des Universums (später mehr) Ω= ρ/ρ crit 1.0±0.04 Λ Ω M = ρ M /ρ crit Ω CDM = ρ CDM /ρ crit Ω Λ = ρ Λ /ρ crit =73% Nur 4-5% der Energieform ist bekannt, d.h. besteht aus bekannten Teilchen, wie Atome, Neutrinos, usw. 95% VÖLLIG UNBEKANNT. 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 32

Zum Mitnehmen: 1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen OHNE die Expansion zu berücksichtigen. Nachher werden alle Abstände und auch die Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert. 2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt 2/3 3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne Vakuumenergie: t 0 = 2/(3H 0 ) 10. 10 9 a Dieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird. 4. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct 0 (ohne Expansion: ct 0 ) 2. November 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 33